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15
Dans une fête foraine, le gain d’un des jeux
présentés est modélisé par la variable aléatoire X.
Afin de fêter le 5e anniversaire de ce stand, tous les
gains sont doublés.
On note Y la variable aléatoire correspondant au
nouveau gain possible.
Exprimer Y en fonction de X.
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16
On donne les lois de probabilité de deux
variables aléatoires X et Y.
xi
−4
−1
2
8
P(X=xi)
0,2
0,3
0,4
0,1
yi
−7
2
3
P(Y=yi)
0,1
0,7
0,2
Calculer l’espérance de la variable aléatoire Z
définie par Z = X + Y.
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17
On reprend les lois de probabilité ci‑dessus
et on suppose, de plus, que X et Y sont
indépendantes. Déterminer V(Z) puis σ(X).
On arrondira σ à 10−5 près.
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18
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
binomiale de paramètres n=100 et p=0,3.
Calculer E(X), V(X) et σ(X). On arrondira σ(X) à 0,1 près.
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19
On considère quatre variables aléatoires
identiquement distribuées (de même loi de
probabilité) et indépendantes X1, X2, X3 et X4.
On donne la loi de probabilité de X1.
xi
−4
1
5
10
P(X=xi)
0,25
0,15
0,2
0,4
On pose enfin X=X1+X2+X3+X4.
En utilisant éventuellement une calculatrice,
déterminer E(X), V(X) et σ(X).
On arrondira σ à 10−2.
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20
On reprend les conditions de l’exercice
précédent. On pose Y=4X1+X2+X3+X4.
Déterminer E(Y), V(Y) et σ(Y). On arrondira σ(Y) au millième.
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Sommes de variables aléatoires
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21
Lors d’une soirée au casino, Nadège décide de
tester différents jeux : une fois la roulette et deux fois
les machines à sous.
Elle note X la variable aléatoire correspondant au gain
total remporté.
1. Pour faciliter l’étude, elle écrit X=X1+X2+X3.
À quoi les variables aléatoires X1, X2 et X3 peuvent-elles
alors correspondre ?
2. Yvann souhaite écrire X sous la forme X=X1+2X2.
A‑t‑il raison ? Justifier.
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22
Après une séance de sport, Victor invite ses amis
Ridwan et Justine à un bar.
Ridwan choisit une boisson au hasard parmi les
boissons chaudes et Justine et Victor choisissent la
même boisson au hasard parmi les boissons froides.
On note X la variable aléatoire correspondant au prix
total payé par Victor.
Justifier qu’on peut écrire X=X1+2X2, où X1 et X2 sont deux variables qu’on interprétera.
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Propriétés de l'espérance et de la variance
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23
On considère les variables aléatoires X et Y définies sur un même univers Ω dont on donne les lois de probabilité suivantes.
xi
−7
−4
2
5
P(X=xi)
0,04
0,27
0,36
0,33
yi
−4
−1
2
4
P(Y=yi)
0,28
0,04
0,54
0,14
Calculer E(3X) et E(X+Y).
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24
On reprend les variables aléatoires X et Y définies
ci‑dessus.
Calculer E(X−Y) et E(3X−Y).
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25
On considère un nombre réel a et deux vriables aléatoires X et Y définies sur Ω dont on donne les lois de probabilité.
xi
−7
a
2
P(X=xi)
0,24
0,37
0,39
yi
−2
4
5
8
P(Y=yi)
0,15
0,47
0,13
0,25
On donne par ailleurs E(2X+5Y)=20,29.
Déterminer la valeur de a.
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26
On reprend les variables aléatoires X et Y dont
les lois de probabilité sont données dans l’exercice
23
.
On suppose par ailleurs que X et Y sont deux variables
aléatoires indépendantes.
1. Calculer V(5X) et V(X+Y).
2. En déduire σ(5X) et σ(X+Y). On arrondira à 10−4 près.
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27
On reprend les variables aléatoires X et Y dont
les lois de probabilité sont données dans l’exercice
23
.
On suppose encore par ailleurs que X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes.
1. Calculer V(3X+2Y) et V(3X−2Y).
2. En déduire σ(3X+2Y) et σ(3X−2Y). On arrondira les
résultats à 10−3 près.
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Applications à la loi binomiale
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28
Soient X et Y deux variables aléatoires suivant respectivement les lois binomiales B(150;0,6) et B(400;0,3).
Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la valeur moyenne théorique est la plus forte ? Justifier.
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29
On reprend les conditions de l’exercice précédent.
Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la dispersion
des valeurs autour de la moyenne théorique est la plus
faible ? Justifier.
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30
Soit X une variable aléatoire suivant la loi
binomiale de paramètres n⩾1 et p∈[0;1].
On donne E(X)=60 et V(X)=48.
Déterminer les valeurs de n et de p.
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31
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=15 et p=0,7.
Donner les valeurs exactes de de E(X), V(X) puis σ(X).
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Échantillon de variables aléatoires
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32
On considère dix variables aléatoires X1;…;X10 définies sur un même univers Ω.
On suppose que les variables aléatoires X1;…;X10 ont même loi de probabilité et sont indépendantes. On
donne ci-dessous la loi de probabilité de X7.
xi
−5
0
1
3
P(X=xi)
0,4
0,3
0,2
0,1
On pose S10 la variable aléatoire définie par S10=X1+…+X10
1. Calculer E(S10)
2. Calculer la valeur de V(S10) puis en déduire σ(S10).
On arrondira la valeur de σ(S10) au centième.
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33
On reprend les conditions de l’exercice
32
et on note M10 la variable aléatoire définie par M10=10X1+…+X10
1. Calculer E(M10) et V(M10)
2. En déduire une valeur approchée de σ(M10) à 10−4 près.
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34
Soient n un entier naturel non nul et X1,…,Xn, n variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes, dont on donne, pour tout k∈{1;…;n}, la loi de probabilité suivie.
xi
4
10
12
P(X=xi)
0,25
0,5
0,25
On pose Sn la variable aléatoire définie pour tout n∈N∗ par
Sn=X1+…+Xn
Quelle est la valeur minimale de n pour laquelle E(Sn)⩾2453 ?
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35
On reprend les conditions de l’exercice précédent.
Quelle doit être la valeur maximale de n pour avoir σ(Sn)⩽60 ?
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Exercices inversés
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36
Écrire une situation issue de la vie courante
pouvant être modélisée par une variable aléatoire X
s’écrivant sous la forme X=X1+X2.
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37
Écrire un exercice menant à l’étude de l’espérance
et de la variance d’une variable aléatoire pouvant être
écrite sous la forme d'une somme de variables
aléatoires indépendantes.
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