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Travailler les automatismes
P.394-395

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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15
Dans une fête foraine, le gain d’un des jeux présentés est modélisé par la variable aléatoire X\text{X}.
Afin de fêter le 5e anniversaire de ce stand, tous les gains sont doublés.
On note Y\text{Y} la variable aléatoire correspondant au nouveau gain possible.
Exprimer Y\text{Y} en fonction de X\text{X}.
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16
On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y}.

xi\boldsymbol{x_{i}} 4-4
1-1
22
88
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,20,2
0,30,3
0,40,4
0,10,1

yi\boldsymbol{y_{i}} 7-7
22
33
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) 0,10,1
0,70,7
0,20,2

Calculer l’espérance de la variable aléatoire Z\text{Z} définie par Z = X + Y\text{Z = X + Y}.
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17
On reprend les lois de probabilité ci‑dessus et on suppose, de plus, que X\text{X} et Y\text{Y} sont indépendantes. Déterminer V(Z)\mathrm{V}(\mathrm{Z}) puis σ(X)\sigma(\mathrm{X}).
On arrondira σ\sigma à 10510^{-5} près.
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18
Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=100n = 100 et p=0,3p = 0,3. Calculer E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}), V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) et σ(X)\sigma(\mathrm{X}). On arrondira σ(X)\sigma(\mathrm{X}) à 0,10,1 près.
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19
On considère quatre variables aléatoires identiquement distribuées (de même loi de probabilité) et indépendantes X1\mathrm{X}_{1}, X2\mathrm{X}_{2}, X3\mathrm{X}_{3} et X4\mathrm{X}_{4}.
On donne la loi de probabilité de X1\mathrm{X}_{1}.

xi\boldsymbol{x_{i}} 4-4
11
55
1010
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,250,25
0,150,15
0,20,2
0,40,4

On pose enfin X=X1+X2+X3+X4\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}+\mathrm{X}_{4}. En utilisant éventuellement une calculatrice, déterminer E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}), V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) et σ(X)\sigma(\mathrm{X}).
On arrondira σ\sigma à 10210^{-2}.
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20
On reprend les conditions de l’exercice précédent. On pose Y=X1+X2+X3+X44\mathrm{Y}=\dfrac{\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}+\mathrm{X}_{4}}{4}.
Déterminer E(Y)\mathrm{E}(\mathrm{Y}), V(Y)\mathrm{V}(\mathrm{Y}) et σ(Y)\sigma(\mathrm{Y}). On arrondira σ(Y)\sigma(\mathrm{Y}) au millième.
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Sommes de variables aléatoires

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21
Lors d’une soirée au casino, Nadège décide de tester différents jeux : une fois la roulette et deux fois les machines à sous.
Elle note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au gain total remporté.

1. Pour faciliter l’étude, elle écrit X=X1+X2+X3\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}.
À quoi les variables aléatoires X1\mathrm{X}_{1}, X2\mathrm{X}_{2} et X3\mathrm{X}_{3} peuvent-elles alors correspondre ?


2. Yvann souhaite écrire X\text{X} sous la forme X=X1+2X2\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+2 \mathrm{X}_{2}.
A‑t‑il raison ? Justifier.
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22
Après une séance de sport, Victor invite ses amis Ridwan et Justine à un bar.
Ridwan choisit une boisson au hasard parmi les boissons chaudes et Justine et Victor choisissent la même boisson au hasard parmi les boissons froides.
On note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au prix total payé par Victor.
Justifier qu’on peut écrire X=X1+2\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+2 X2\mathrm{X}_{2}, où X1\mathrm{X}_{1} et X2\mathrm{X}_{2} sont deux variables qu’on interprétera.
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cocktails

Propriétés de l'espérance et de la variance

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23
On considère les variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} définies sur un même univers Ω\Omega dont on donne les lois de probabilité suivantes.

xi\boldsymbol{x_{i}} 7-7
4-4
22
55
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,040,04
0,270,27
0,360,36
0,330,33

yi\boldsymbol{y_{i}} 4-4
1-1
22
44
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) 0,280,28
0,040,04
0,540,54
0,140,14

Calculer E(3X)\mathrm{E}(3 \mathrm{X}) et E(X+Y)\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y}).
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24
On reprend les variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} définies ci‑dessus. Calculer E(XY)\mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y}) et E(3XY)\mathrm{E}(3 \mathrm{X}-\mathrm{Y}).
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25
On considère un nombre réel aa et deux vriables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} définies sur Ω\Omega dont on donne les lois de probabilité.

xi\boldsymbol{x_{i}} 7-7
aa
22
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,240,24
0,370,37
0,390,39

yi\boldsymbol{y_{i}} 2-2
44
55
88
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) 0,150,15
0,470,47
0,130,13
0,250,25

On donne par ailleurs E(2X+5Y)=20,29\mathrm{E}(2 \mathrm{X}+5 \mathrm{Y})=20,29. Déterminer la valeur de aa.
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26
On reprend les variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} dont les lois de probabilité sont données dans l’exercice
23
. On suppose par ailleurs que X\text{X} et Y\text{Y} sont deux variables aléatoires indépendantes.

1. Calculer V(5X)\mathrm{V}(5 \mathrm{X}) et V(X+Y)\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y}).


2. En déduire σ(5X)\sigma(5 \mathrm{X}) et σ(X+Y)\sigma(\mathrm{X}+\mathrm{Y}). On arrondira à 10410^{-4} près.
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27
On reprend les variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} dont les lois de probabilité sont données dans l’exercice
23
. On suppose encore par ailleurs que X\text{X} et Y\text{Y} sont deux variables aléatoires indépendantes.

1. Calculer V(3X+2Y)\mathrm{V}(3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y}) et V(3X2Y)\mathrm{V}(3 \mathrm{X}-2 \mathrm{Y}).


2. En déduire σ(3X+2Y)\sigma(3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y}) et σ(3X2Y)\sigma(3 \mathrm{X}-2 \mathrm{Y}). On arrondira les résultats à 10310^{-3} près.
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Applications à la loi binomiale

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28
Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires suivant respectivement les lois binomiales B(150;0,6)\mathcal{B}(150 \: ; 0,6) et B(400;0,3)\mathcal{B}(400 \: ; 0,3).
Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la valeur moyenne théorique est la plus forte ? Justifier.
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29
On reprend les conditions de l’exercice précédent. Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la dispersion des valeurs autour de la moyenne théorique est la plus faible ? Justifier.
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30
Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n1n \geqslant 1 et p[0;1]p \in[0 \: ; 1].
On donne E(X)=60\mathrm{E}(\mathrm{X})=60 et V(X)=48\mathrm{V}(\mathrm{X})=48.
Déterminer les valeurs de nn et de pp.
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31
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=15n = 15 et p=0,7p = 0,7.
Donner les valeurs exactes de de E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}), V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) puis σ(X)\sigma(\mathrm{X}).
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Échantillon de variables aléatoires

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32
On considère dix variables aléatoires X1;;X10\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{10} définies sur un même univers Ω\Omega.
On suppose que les variables aléatoires X1;;X10\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{10} ont même loi de probabilité et sont indépendantes. On donne ci-dessous la loi de probabilité de X7\text{X}_{7}.

xi\boldsymbol{x_{i}} 5-5
00
11
33
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,40,4
0,30,3
0,20,2
0,10,1

On pose S10\text{S}_{10} la variable aléatoire définie par S10=X1++X10S_{10}=X_{1}+\ldots+X_{10}

1. Calculer E(S10)\mathrm{E}\left(\mathrm{S}_{10}\right)


2. Calculer la valeur de V(S10)\mathrm{V}\left(\mathrm{S}_{10}\right) puis en déduire σ(S10)\sigma\left(\mathrm{S}_{10}\right). On arrondira la valeur de σ(S10)\sigma\left(\mathrm{S}_{10}\right) au centième.
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33
On reprend les conditions de l’exercice
32
et on note M10\mathrm{M}_{10} la variable aléatoire définie par M10=X1++X1010\mathrm{M}_{10}=\dfrac{\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{10}}{10}

1. Calculer E(M10)\mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{10}\right) et V(M10)\mathrm{V}\left(\mathrm{M}_{10}\right)


2. En déduire une valeur approchée de σ(M10)\sigma\left(\mathrm{M}_{10}\right) à 10410^{-4} près.
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34
Soient n un entier naturel non nul et X1,,Xn\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{n}, nn variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes, dont on donne, pour tout k{1;;n}k \in\{1 \: ; \ldots \: ; n\}, la loi de probabilité suivie.

xi\boldsymbol{x_{i}} 44
1010
1212
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,250,25
0,50,5
0,250,25

On pose Sn\mathrm{S}_{n} la variable aléatoire définie pour tout nNn \in \mathbb{N}^{*} par Sn=X1++Xn\mathrm{S}_{n}=\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}
Quelle est la valeur minimale de nn pour laquelle E(Sn)2453\mathrm{E}\left(\mathrm{S}_{n}\right) \geqslant 2453 ?
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35
On reprend les conditions de l’exercice précédent. Quelle doit être la valeur maximale de nn pour avoir σ(Sn)60\sigma\left(\mathrm{S}_{n}\right) \leqslant 60 ?
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Exercices inversés

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36

Écrire une situation issue de la vie courante pouvant être modélisée par une variable aléatoire X\text{X} s’écrivant sous la forme X=X1+X2\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}.
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37

Écrire un exercice menant à l’étude de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire pouvant être écrite sous la forme d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
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