Travailler les automatismes

16

On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires \text{X} et \text{Y}.



Calculer l'espérance de la variable aléatoire \text{Z} définie par \text{Z = X + Y}.

19

On considère quatre variables aléatoires identiquement distribuées (de même loi de probabilité) et indépendantes \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \mathrm{X}_{3} et \mathrm{X}_{4}.
On donne la loi de probabilité de \mathrm{X}_{1}.


On pose enfin \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}+\mathrm{X}_{4}. En utilisant éventuellement une calculatrice, déterminer \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) et \sigma(\mathrm{X}).
On arrondira \sigma à 10^{-2}.

23

On considère les variables aléatoires \text{X} et \text{Y} définies sur un même univers \Omega dont on donne les lois de probabilité suivantes.

\boldsymbol{x_{i}}	-7	-4	2	5
\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right)	0,04	0,27	0,36	0,33

\boldsymbol{y_{i}}	-4	-1	2	4
\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right)	0,28	0,04	0,54	0,14

Calculer \mathrm{E}(3 \mathrm{X}) et \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y}).

24

On reprend les variables aléatoires \text{X} et \text{Y} définies ci‑dessus. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y}) et \mathrm{E}(3 \mathrm{X}-\mathrm{Y}).

25

On considère un nombre réel a et deux vriables aléatoires \text{X} et \text{Y} définies sur \Omega dont on donne les lois de probabilité.

\boldsymbol{x_{i}}	-7	a	2
\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right)	0,24	0,37	0,39

\boldsymbol{y_{i}}	-2	4	5	8
\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right)	0,15	0,47	0,13	0,25

On donne par ailleurs \mathrm{E}(2 \mathrm{X}+5 \mathrm{Y})=20,29. Déterminer la valeur de a.

32

On considère dix variables aléatoires \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{10} définies sur un même univers \Omega.
On suppose que les variables aléatoires \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{10} ont même loi de probabilité et sont indépendantes. On donne ci-dessous la loi de probabilité de \text{X}_{7}.


On pose \text{S}_{10} la variable aléatoire définie par S_{10}=X_{1}+\ldots+X_{10} 1. Calculer \mathrm{E}\left(\mathrm{S}_{10}\right)

2. Calculer la valeur de \mathrm{V}\left(\mathrm{S}_{10}\right) puis en déduire \sigma\left(\mathrm{S}_{10}\right). On arrondira la valeur de \sigma\left(\mathrm{S}_{10}\right) au centième.

33

On reprend les conditions de l'

exercice 32

et on note \mathrm{M}_{10} la variable aléatoire définie par \mathrm{M}_{10}=\frac{\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{10}}{10} 1. Calculer \mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{10}\right) et \mathrm{V}\left(\mathrm{M}_{10}\right)

2. En déduire une valeur approchée de \sigma\left(\mathrm{M}_{10}\right) à 10^{-4} près.

34

Soient n un entier naturel non nul et \mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{n}, n variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes, dont on donne, pour tout k \in\{1 \: ; \ldots \: ; n\}, la loi de probabilité suivie.


On pose \mathrm{S}_{n} la variable aléatoire définie pour tout n \in \mathbb{N}^{*} par \mathrm{S}_{n}=\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}
Quelle est la valeur minimale de n pour laquelle \mathrm{E}\left(\mathrm{S}_{n}\right) \geqslant 2453 ?

35

On reprend les conditions de l'exercice précédent. Quelle doit être la valeur maximale de n pour avoir \sigma\left(\mathrm{S}_{n}\right) \leqslant 60 ?