Travailler les automatismes

16

On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}.$



Calculer l'espérance de la variable aléatoire $\text{Z}$ définie par $\text{Z = X + Y}$.

19

On considère quatre variables aléatoires identiquement distribuées (de même loi de probabilité) et indépendantes ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$, ${\mathrm{X}}_3$ et ${\mathrm{X}}_4$.
On donne la loi de probabilité de ${\mathrm{X}}_1$.


On pose enfin $\mathrm{X}={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+{\mathrm{X}}_3+{\mathrm{X}}_4$. En utilisant éventuellement une calculatrice, déterminer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma (\mathrm{X})$.
On arrondira $\sigma$ à $10^{-2}$.

23

On considère les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies sur un même univers $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité suivantes.

${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$	$-7$	$-4$	$2$	$5$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{X}={\mathbf{x}}_i\right)$	$0,04$	$0,27$	$0,36$	$0,33$

${\mathbf{y}}_{\mathbf{i}}$	$-4$	$-1$	$2$	$4$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}={\mathbf{y}}_i\right)$	$0,28$	$0,04$	$0,54$	$0,14$

Calculer $\mathrm{E}(3\mathrm{X})$ et $\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})$.

24

On reprend les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies ci‑dessus. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})$ et $\mathrm{E}(3\mathrm{X}-\mathrm{Y})$.

25

On considère un nombre réel $a$ et deux vriables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies sur $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité.

${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}$	$-7$	$a$	$2$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{X}={\mathbf{x}}_i\right)$	$0,24$	$0,37$	$0,39$

${\mathbf{y}}_{\mathbf{i}}$	$-2$	$4$	$5$	$8$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}={\mathbf{y}}_i\right)$	$0,15$	$0,47$	$0,13$	$0,25$

On donne par ailleurs $\mathrm{E}(2\mathrm{X}+5\mathrm{Y})=20,29$. Déterminer la valeur de $a$.

Insérer une formule mathématique

32

On considère dix variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_{10}$ définies sur un même univers $\Omega$.
On suppose que les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_{10}$ ont même loi de probabilité et sont indépendantes. On donne ci-dessous la loi de probabilité de ${\text{X}}_7$.


On pose ${\text{S}}_{10}$ la variable aléatoire définie par $S_{10}=X_1+\dots +X_{10}$ 1. Calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_{10}\right)$

2. Calculer la valeur de $\mathrm{V}\left({\mathrm{S}}_{10}\right)$ puis en déduire $\sigma \left({\mathrm{S}}_{10}\right)$. On arrondira la valeur de $\sigma \left({\mathrm{S}}_{10}\right)$ au centième.

33

On reprend les conditions de l'

exercice 32

et on note ${\mathrm{M}}_{10}$ la variable aléatoire définie par ${\mathrm{M}}_{10}=\frac{{\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_{10}}{10}$ 1. Calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_{10}\right)$ et $\mathrm{V}\left({\mathrm{M}}_{10}\right)$

2. En déduire une valeur approchée de $\sigma \left({\mathrm{M}}_{10}\right)$ à $10^{-4}$ près.

34

Soient n un entier naturel non nul et ${\mathrm{X}}_1,\dots ,{\mathrm{X}}_n$, $n$ variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes, dont on donne, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\}$, la loi de probabilité suivie.


On pose ${\mathrm{S}}_n$ la variable aléatoire définie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ par ${\mathrm{S}}_n={\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n$
Quelle est la valeur minimale de $n$ pour laquelle $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)⩾2453$ ?

Insérer une formule mathématique

35

On reprend les conditions de l'exercice précédent. Quelle doit être la valeur maximale de $n$ pour avoir $\sigma \left({\mathrm{S}}_n\right)⩽60$ ?