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Travailler les automatismes
P.394-395

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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15
Dans une fête foraine, le gain d’un des jeux présentés est modélisé par la variable aléatoire .
Afin de fêter le 5e anniversaire de ce stand, tous les gains sont doublés.
On note la variable aléatoire correspondant au nouveau gain possible.
Exprimer en fonction de .
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16
On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires et .

















Calculer l’espérance de la variable aléatoire définie par .
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17
On reprend les lois de probabilité ci‑dessus et on suppose, de plus, que et sont indépendantes. Déterminer puis .
On arrondira à près.
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18
Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres et . Calculer , et . On arrondira à près.
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19
On considère quatre variables aléatoires identiquement distribuées (de même loi de probabilité) et indépendantes , , et .
On donne la loi de probabilité de .










On pose enfin . En utilisant éventuellement une calculatrice, déterminer , et .
On arrondira à .
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20
On reprend les conditions de l’exercice précédent. On pose .
Déterminer , et . On arrondira au millième.
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Sommes de variables aléatoires

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21
Lors d’une soirée au casino, Nadège décide de tester différents jeux : une fois la roulette et deux fois les machines à sous.
Elle note la variable aléatoire correspondant au gain total remporté.

1. Pour faciliter l’étude, elle écrit .
À quoi les variables aléatoires , et peuvent-elles alors correspondre ?


2. Yvann souhaite écrire sous la forme .
A‑t‑il raison ? Justifier.
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22
Après une séance de sport, Victor invite ses amis Ridwan et Justine à un bar.
Ridwan choisit une boisson au hasard parmi les boissons chaudes et Justine et Victor choisissent la même boisson au hasard parmi les boissons froides.
On note la variable aléatoire correspondant au prix total payé par Victor.
Justifier qu’on peut écrire , où et sont deux variables qu’on interprétera.
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cocktails

Propriétés de l'espérance et de la variance

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23
On considère les variables aléatoires et définies sur un même univers dont on donne les lois de probabilité suivantes.



















Calculer et .
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24
On reprend les variables aléatoires et définies ci‑dessus. Calculer et .
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25
On considère un nombre réel et deux vriables aléatoires et définies sur dont on donne les lois de probabilité.

















On donne par ailleurs . Déterminer la valeur de .
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26
On reprend les variables aléatoires et dont les lois de probabilité sont données dans l’exercice
23
. On suppose par ailleurs que et sont deux variables aléatoires indépendantes.

1. Calculer et .


2. En déduire et . On arrondira à près.
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27
On reprend les variables aléatoires et dont les lois de probabilité sont données dans l’exercice
23
. On suppose encore par ailleurs que et sont deux variables aléatoires indépendantes.

1. Calculer et .


2. En déduire et . On arrondira les résultats à près.
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Applications à la loi binomiale

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28
Soient et deux variables aléatoires suivant respectivement les lois binomiales et .
Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la valeur moyenne théorique est la plus forte ? Justifier.
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29
On reprend les conditions de l’exercice précédent. Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la dispersion des valeurs autour de la moyenne théorique est la plus faible ? Justifier.
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30
Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres et .
On donne et .
Déterminer les valeurs de et de .
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31
Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres et .
Donner les valeurs exactes de de , puis .
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Échantillon de variables aléatoires

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32
On considère dix variables aléatoires définies sur un même univers .
On suppose que les variables aléatoires ont même loi de probabilité et sont indépendantes. On donne ci-dessous la loi de probabilité de .










On pose la variable aléatoire définie par

1. Calculer


2. Calculer la valeur de puis en déduire . On arrondira la valeur de au centième.
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33
On reprend les conditions de l’exercice
32
et on note la variable aléatoire définie par

1. Calculer et


2. En déduire une valeur approchée de à près.
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34
Soient n un entier naturel non nul et , variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes, dont on donne, pour tout , la loi de probabilité suivie.








On pose la variable aléatoire définie pour tout par
Quelle est la valeur minimale de pour laquelle  ?
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35
On reprend les conditions de l’exercice précédent. Quelle doit être la valeur maximale de pour avoir  ?
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Exercices inversés

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36

Écrire une situation issue de la vie courante pouvant être modélisée par une variable aléatoire s’écrivant sous la forme .
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37

Écrire un exercice menant à l’étude de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire pouvant être écrite sous la forme d'une somme de variables aléatoires indépendantes.
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