Travailler les automatismes

À L'ORAL

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15

Dans une fête foraine, le gain d’un des jeux présentés est modélisé par la variable aléatoire $\text{X}$.
Afin de fêter le 5^e anniversaire de ce stand, tous les gains sont doublés.
On note $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant au nouveau gain possible.
Exprimer $\text{Y}$ en fonction de $\text{X}$.

16

On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$.



Calculer l’espérance de la variable aléatoire $\text{Z}$ définie par $\text{Z = X + Y}$.

17

On reprend les lois de probabilité ci‑dessus et on suppose, de plus, que $\text{X}$ et $\text{Y}$ sont indépendantes. Déterminer $\mathrm{V}(\mathrm{Z})$ puis $\sigma(\mathrm{X})$.
On arrondira $\sigma$ à $10^{-5}$ près.

18

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,3$. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma(\mathrm{X})$. On arrondira $\sigma(\mathrm{X})$ à $0,1$ près.

19

On considère quatre variables aléatoires identiquement distribuées (de même loi de probabilité) et indépendantes $\mathrm{X}_{1}$, $\mathrm{X}_{2}$, $\mathrm{X}_{3}$ et $\mathrm{X}_{4}$.
On donne la loi de probabilité de $\mathrm{X}_{1}$.


On pose enfin $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}+\mathrm{X}_{4}$. En utilisant éventuellement une calculatrice, déterminer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma(\mathrm{X})$.
On arrondira $\sigma$ à $10^{-2}$.

20

On reprend les conditions de l’exercice précédent. On pose $\mathrm{Y}=\dfrac{\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}+\mathrm{X}_{4}}{4}$.
Déterminer $\mathrm{E}(\mathrm{Y})$, $\mathrm{V}(\mathrm{Y})$ et $\sigma(\mathrm{Y})$. On arrondira $\sigma(\mathrm{Y})$ au millième.

21

Lors d’une soirée au casino, Nadège décide de tester différents jeux : une fois la roulette et deux fois les machines à sous.
Elle note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au gain total remporté.

1. Pour faciliter l’étude, elle écrit $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3}$.
À quoi les variables aléatoires $\mathrm{X}_{1}$, $\mathrm{X}_{2}$ et $\mathrm{X}_{3}$ peuvent-elles alors correspondre ?


2. Yvann souhaite écrire $\text{X}$ sous la forme $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+2 \mathrm{X}_{2}$.
A‑t‑il raison ? Justifier.

22

Après une séance de sport, Victor invite ses amis Ridwan et Justine à un bar.
Ridwan choisit une boisson au hasard parmi les boissons chaudes et Justine et Victor choisissent la même boisson au hasard parmi les boissons froides.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au prix total payé par Victor.
Justifier qu’on peut écrire $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+2$ $\mathrm{X}_{2}$, où $\mathrm{X}_{1}$ et $\mathrm{X}_{2}$ sont deux variables qu’on interprétera.

23

On considère les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies sur un même univers $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité suivantes.



Calculer $\mathrm{E}(3 \mathrm{X})$ et $\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})$.

24

On reprend les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies ci‑dessus. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})$ et $\mathrm{E}(3 \mathrm{X}-\mathrm{Y})$.

25

On considère un nombre réel $a$ et deux vriables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies sur $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité.



On donne par ailleurs $\mathrm{E}(2 \mathrm{X}+5 \mathrm{Y})=20,29$. Déterminer la valeur de $a$.

26

On reprend les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ dont les lois de probabilité sont données dans l’exercice . On suppose par ailleurs que $\text{X}$ et $\text{Y}$ sont deux variables aléatoires indépendantes.

1. Calculer $\mathrm{V}(5 \mathrm{X})$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})$.


2. En déduire $\sigma(5 \mathrm{X})$ et $\sigma(\mathrm{X}+\mathrm{Y})$. On arrondira à $10^{-4}$ près.

27

On reprend les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ dont les lois de probabilité sont données dans l’exercice . On suppose encore par ailleurs que $\text{X}$ et $\text{Y}$ sont deux variables aléatoires indépendantes.

1. Calculer $\mathrm{V}(3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y})$ et $\mathrm{V}(3 \mathrm{X}-2 \mathrm{Y})$.


2. En déduire $\sigma(3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y})$ et $\sigma(3 \mathrm{X}-2 \mathrm{Y})$. On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.

28

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires suivant respectivement les lois binomiales $\mathcal{B}(150 \: ; 0,6)$ et $\mathcal{B}(400 \: ; 0,3)$.
Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la valeur moyenne théorique est la plus forte ? Justifier.

29

On reprend les conditions de l’exercice précédent. Quelle est la variable aléatoire pour laquelle la dispersion des valeurs autour de la moyenne théorique est la plus faible ? Justifier.

30

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n \geqslant 1$ et $p \in[0 \: ; 1]$.
On donne $\mathrm{E}(\mathrm{X})=60$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=48$.
Déterminer les valeurs de $n$ et de $p$.

31

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n = 15$ et $p = 0,7$.
Donner les valeurs exactes de de $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ puis $\sigma(\mathrm{X})$.

32

On considère dix variables aléatoires $\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{10}$ définies sur un même univers $\Omega$.
On suppose que les variables aléatoires $\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{10}$ ont même loi de probabilité et sont indépendantes. On donne ci-dessous la loi de probabilité de $\text{X}_{7}$.


On pose $\text{S}_{10}$ la variable aléatoire définie par $S_{10}=X_{1}+\ldots+X_{10}$

1. Calculer $\mathrm{E}\left(\mathrm{S}_{10}\right)$


2. Calculer la valeur de $\mathrm{V}\left(\mathrm{S}_{10}\right)$ puis en déduire $\sigma\left(\mathrm{S}_{10}\right)$. On arrondira la valeur de $\sigma\left(\mathrm{S}_{10}\right)$ au centième.

33

On reprend les conditions de l’exercice et on note $\mathrm{M}_{10}$ la variable aléatoire définie par $\mathrm{M}_{10}=\dfrac{\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{10}}{10}$

1. Calculer $\mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{10}\right)$ et $\mathrm{V}\left(\mathrm{M}_{10}\right)$


2. En déduire une valeur approchée de $\sigma\left(\mathrm{M}_{10}\right)$ à $10^{-4}$ près.

34

Soient n un entier naturel non nul et $\mathrm{X}_{1}, \ldots, \mathrm{X}_{n}$, $n$ variables aléatoires identiquement distribuées et indépendantes, dont on donne, pour tout $k \in\{1 \: ; \ldots \: ; n\}$, la loi de probabilité suivie.


On pose $\mathrm{S}_{n}$ la variable aléatoire définie pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ par $\mathrm{S}_{n}=\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}$
Quelle est la valeur minimale de $n$ pour laquelle $\mathrm{E}\left(\mathrm{S}_{n}\right) \geqslant 2453$ ?

35

On reprend les conditions de l’exercice précédent. Quelle doit être la valeur maximale de $n$ pour avoir $\sigma\left(\mathrm{S}_{n}\right) \leqslant 60$ ?

36

Écrire une situation issue de la vie courante pouvant être modélisée par une variable aléatoire $\text{X}$ s’écrivant sous la forme $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}$.

37

Écrire un exercice menant à l’étude de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire pouvant être écrite sous la forme d'une somme de variables aléatoires indépendantes.