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Sommes de variables aléatoires

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61 et 66
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 48 ; 54 ; 56 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 51 et 67

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Un site spécialisé propose la fabrication de gourmettes personnalisées.
Les gourmettes peuvent être en argent ($75$ €), en or ($100$ €) ou en acier ($50$ €).
Par ailleurs, il est possible de graver la gourmette, le prix variant selon le nombre de caractères à graver.
On choisit au hasard un client achetant une gourmette et on note $X$ la variable aléatoire correspondant au prix total payé.
On écrit $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}$ où $\mathrm{X}_{1}$ et $\mathrm{X}_{2}$ sont deux variables aléatoires.
Proposer une interprétation des variables $\mathrm{X}_{1}$ et $\mathrm{X}_{2}$.

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On considère deux variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies sur un univers $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité ci‑dessous.



1. Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire définie par $\text{Z = X + Y}$. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $\text{Z}$ ?


2. Peut‑on déterminer la loi de probabilité de $\text{Z}$ à partir des données de l’énoncé ? Si oui, donner cette loi.

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VRAI/FAUX

On lance trois dés cubiques équilibrés et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant à la somme obtenue.

On note $\mathrm{X}_{1}$ la variable aléatoire correspondant au résultat du premier dé. A‑t‑on $\mathrm{X}=3 \times \mathrm{X}_{1}$ ?

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[Modéliser.] ◉◉◉
Lors de l’inscription à un club de fitness, les clients paient différents droits d’inscription selon leur tranche d’âge : les adhérents de moins de $20$ ans paient mensuellement $15$ €, les adhérents de plus de $62$ ans paient $10$ € et les autres paient $30$ €.
Par ailleurs, il est possible de souscrire une extension d’abonnement qui revient à $5$ € supplémentaires pour les boissons à volonté, $15$ € supplémentaires pour l’utilisation des appareils de type Sismo et $17$ € pour l’inscription aux deux suppléments à la fois.
On choisit au hasard un client du club de sport et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au prix total de son abonnement.

1. Proposer une décomposition de $\text{X}$ en somme de variables aléatoires dont on donnera une interprétation.


2. Expliciter l’ensemble des valeurs prises par ces variables aléatoires.

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[Calculer.] ◉◉◉
On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant : le nombre de points récoltés est le triple du résultat de ce dé.
On joue deux fois à ce jeu et on note $\mathrm{X}_{1}$ et $\mathrm{X}_{2}$ les variables aléatoires correspondant aux points respectivement obtenus au premier et au deuxième lancer.

1. Calculer $\mathrm{X}_{1}((3 \: ; 4))$, $\mathrm{X}_{2}((1 \: ; 6))$ et $\mathrm{X}_{1}((4 \: ; 2))$.


2. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire définie par $\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}$.
a. Que représente la variable aléatoire $\text{X}$ dans le contexte de l’exercice ?


b. Calculer $\mathrm{X}((3 \: ; 5))$.

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[Calculer.] ◉◉◉
On considère une urne dans laquelle se trouvent différentes boules de couleur : des rouges, des vertes et des noires.
On tire avec remise trois boules de l’urne.
À chaque étape, obtenir une boule noire rapporte $5$ points, obtenir une boule verte rapporte $2$ points et obtenir une boule rouge fait perdre $10$ points.
On note respectivement $\text{R}$, $\text{V}$ et $\text{N}$ les événements « Obtenir une boule rouge », « Obtenir une boule verte » et « Obtenir une boule noire ». On note enfin $\mathrm{X}_{1}$, $\mathrm{X}_{2}$ et $\mathrm{X}_{3}$ les variables aléatoires correspondant respectivement au nombre de points obtenus aux premier, deuxième et troisième tirages.

1. Calculer les valeurs suivantes :
$\mathrm{X}_{2}((\mathrm{V} \: ; \mathrm{R} \: ; \mathrm{N}))$, $\mathrm{X}_{1}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V}))$ et $\mathrm{X}_{3}((\mathrm{R} \: ; \mathrm{N} \: ; \mathrm{R}))$.


2. On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre moyen de points obtenus par étape à l’issue de la partie.

a. Exprimer $\text{X}$ en fonction de $\mathrm{X}_{1}$, $\mathrm{X}_{2}$ et $\mathrm{X}_{3}$.


b. Calculer $\mathrm{X}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V}))$.