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1. Sommes de variables aléatoires
P.396

Entraînement


1
Sommes de variables aléatoires





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61 et 66
◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 48 ; 54 ; 56 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 51 et 67
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38
FLASH

Un site spécialisé propose la fabrication de gourmettes personnalisées.
Les gourmettes peuvent être en argent ( €), en or ( €) ou en acier ( €).
Par ailleurs, il est possible de graver la gourmette, le prix variant selon le nombre de caractères à graver.
On choisit au hasard un client achetant une gourmette et on note la variable aléatoire correspondant au prix total payé.
On écrit et sont deux variables aléatoires.
Proposer une interprétation des variables et .
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39
FLASH

On considère deux variables aléatoires et définies sur un univers dont on donne les lois de probabilité ci‑dessous.













1. Soit la variable aléatoire définie par . Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire  ?


2. Peut‑on déterminer la loi de probabilité de à partir des données de l’énoncé ? Si oui, donner cette loi.
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40
FLASH
VRAI/FAUX

On lance trois dés cubiques équilibrés et on note la variable aléatoire correspondant à la somme obtenue.

On note la variable aléatoire correspondant au résultat du premier dé. A‑t‑on  ?
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41
[Modéliser.] ◉◉
Lors de l’inscription à un club de fitness, les clients paient différents droits d’inscription selon leur tranche d’âge : les adhérents de moins de  ans paient mensuellement  €, les adhérents de plus de  ans paient  € et les autres paient  €.
Par ailleurs, il est possible de souscrire une extension d’abonnement qui revient à  € supplémentaires pour les boissons à volonté,  € supplémentaires pour l’utilisation des appareils de type Sismo et  € pour l’inscription aux deux suppléments à la fois.
On choisit au hasard un client du club de sport et on note la variable aléatoire correspondant au prix total de son abonnement.

1. Proposer une décomposition de en somme de variables aléatoires dont on donnera une interprétation.


2. Expliciter l’ensemble des valeurs prises par ces variables aléatoires.
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42
[Calculer.] ◉◉
On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant : le nombre de points récoltés est le triple du résultat de ce dé.
On joue deux fois à ce jeu et on note et les variables aléatoires correspondant aux points respectivement obtenus au premier et au deuxième lancer.

1. Calculer , et .


2. Soit la variable aléatoire définie par .
a. Que représente la variable aléatoire dans le contexte de l’exercice ?


b. Calculer .
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43
[Calculer.] ◉◉◉
On considère une urne dans laquelle se trouvent différentes boules de couleur : des rouges, des vertes et des noires.
On tire avec remise trois boules de l’urne.
À chaque étape, obtenir une boule noire rapporte points, obtenir une boule verte rapporte points et obtenir une boule rouge fait perdre points.
On note respectivement , et les événements « Obtenir une boule rouge », « Obtenir une boule verte » et « Obtenir une boule noire ». On note enfin , et les variables aléatoires correspondant respectivement au nombre de points obtenus aux premier, deuxième et troisième tirages.

1. Calculer les valeurs suivantes :
, et .


2. On note la variable aléatoire correspondant au nombre moyen de points obtenus par étape à l’issue de la partie.

a. Exprimer en fonction de , et .


b. Calculer .
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