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1. Sommes de variables aléatoires
P.396

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Entraînement


1
Sommes de variables aléatoires





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61 et 66
◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 48 ; 54 ; 56 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 51 et 67
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38
FLASH

Un site spécialisé propose la fabrication de gourmettes personnalisées.
Les gourmettes peuvent être en argent (7575 €), en or (100100 €) ou en acier (5050 €).
Par ailleurs, il est possible de graver la gourmette, le prix variant selon le nombre de caractères à graver.
On choisit au hasard un client achetant une gourmette et on note XX la variable aléatoire correspondant au prix total payé.
On écrit X=X1+X2\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}X1\mathrm{X}_{1} et X2\mathrm{X}_{2} sont deux variables aléatoires.
Proposer une interprétation des variables X1\mathrm{X}_{1} et X2\mathrm{X}_{2}.
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39
FLASH

On considère deux variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} définies sur un univers Ω\Omega dont on donne les lois de probabilité ci‑dessous.

xi\boldsymbol{x_{i}} 4-4
11
2020
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,10,1
0,350,35
0,550,55

yi\boldsymbol{y_{i}} 2-2
55
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) 0,270,27
0,730,73

1. Soit Z\text{Z} la variable aléatoire définie par Z = X + Y\text{Z = X + Y}. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire Z\text{Z} ?


2. Peut‑on déterminer la loi de probabilité de Z\text{Z} à partir des données de l’énoncé ? Si oui, donner cette loi.
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40
FLASH
VRAI/FAUX

On lance trois dés cubiques équilibrés et on note X\text{X} la variable aléatoire correspondant à la somme obtenue.

On note X1\mathrm{X}_{1} la variable aléatoire correspondant au résultat du premier dé. A‑t‑on X=3×X1\mathrm{X}=3 \times \mathrm{X}_{1} ?
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41
[Modéliser.] ◉◉
Lors de l’inscription à un club de fitness, les clients paient différents droits d’inscription selon leur tranche d’âge : les adhérents de moins de 2020 ans paient mensuellement 1515 €, les adhérents de plus de 6262 ans paient 1010 € et les autres paient 3030 €.
Par ailleurs, il est possible de souscrire une extension d’abonnement qui revient à 55 € supplémentaires pour les boissons à volonté, 1515 € supplémentaires pour l’utilisation des appareils de type Sismo et 1717 € pour l’inscription aux deux suppléments à la fois.
On choisit au hasard un client du club de sport et on note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au prix total de son abonnement.

1. Proposer une décomposition de X\text{X} en somme de variables aléatoires dont on donnera une interprétation.


2. Expliciter l’ensemble des valeurs prises par ces variables aléatoires.
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42
[Calculer.] ◉◉
On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant : le nombre de points récoltés est le triple du résultat de ce dé.
On joue deux fois à ce jeu et on note X1\mathrm{X}_{1} et X2\mathrm{X}_{2} les variables aléatoires correspondant aux points respectivement obtenus au premier et au deuxième lancer.

1. Calculer X1((3;4))\mathrm{X}_{1}((3 \: ; 4)), X2((1;6))\mathrm{X}_{2}((1 \: ; 6)) et X1((4;2))\mathrm{X}_{1}((4 \: ; 2)).


2. Soit X\text{X} la variable aléatoire définie par X=X1+X2\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}.
a. Que représente la variable aléatoire X\text{X} dans le contexte de l’exercice ?


b. Calculer X((3;5))\mathrm{X}((3 \: ; 5)).
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43
[Calculer.] ◉◉◉
On considère une urne dans laquelle se trouvent différentes boules de couleur : des rouges, des vertes et des noires.
On tire avec remise trois boules de l’urne.
À chaque étape, obtenir une boule noire rapporte 55 points, obtenir une boule verte rapporte 22 points et obtenir une boule rouge fait perdre 1010 points.
On note respectivement R\text{R}, V\text{V} et N\text{N} les événements « Obtenir une boule rouge », « Obtenir une boule verte » et « Obtenir une boule noire ». On note enfin X1\mathrm{X}_{1}, X2\mathrm{X}_{2} et X3\mathrm{X}_{3} les variables aléatoires correspondant respectivement au nombre de points obtenus aux premier, deuxième et troisième tirages.

1. Calculer les valeurs suivantes :
X2((V;R;N))\mathrm{X}_{2}((\mathrm{V} \: ; \mathrm{R} \: ; \mathrm{N})), X1((N;V;V))\mathrm{X}_{1}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V})) et X3((R;N;R))\mathrm{X}_{3}((\mathrm{R} \: ; \mathrm{N} \: ; \mathrm{R})).


2. On note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre moyen de points obtenus par étape à l’issue de la partie.

a. Exprimer X\text{X} en fonction de X1\mathrm{X}_{1}, X2\mathrm{X}_{2} et X3\mathrm{X}_{3}.


b. Calculer X((N;V;V))\mathrm{X}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V})).
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