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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
Entraînement
Sommes de variables aléatoires
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38
Flash
Un site spécialisé propose la fabrication de gourmettes personnalisées.
Les gourmettes peuvent être en argent (75 €), en or (100 €) ou en acier (50 €).
Par ailleurs, il est possible de graver la gourmette, le prix variant selon le nombre de caractères à graver.
On choisit au hasard un client achetant une gourmette et on note X la variable aléatoire correspondant au prix total payé.
On écrit \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2} où \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} sont deux variables aléatoires. Proposer une interprétation des variables \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2}.
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39
Flash
On considère deux variables aléatoires \text{X} et \text{Y}
définies sur un univers \Omega dont on donne les lois de
probabilité ci‑dessous.
| \boldsymbol{x_{i}} | -4 | 1 | 20 |
| \mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) | 0,1 | 0,35 | 0,55 |
| \boldsymbol{y_{i}} | -2 | 5 |
| \mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) | 0,27 | 0,73 |
1. Soit \text{Z} la variable aléatoire définie par \text{Z = X + Y}.
Quelles sont les valeurs prises par la variable
aléatoire \text{Z} ?
2. Peut‑on déterminer la loi de probabilité de \text{Z} à partir des données de l'énoncé ? Si oui, donner cette loi.
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40
Flash
Vrai/Faux
On lance trois dés cubiques équilibrés et on note \text{X} la variable aléatoire correspondant à la somme obtenue. On note \mathrm{X}_{1} la variable aléatoire correspondant au résultat du premier dé. A‑t‑on \mathrm{X}=3 \times \mathrm{X}_{1} ?
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41
[Modéliser.]
Lors de l'inscription à un club de fitness, les clients paient différents droits d'inscription selon leur tranche d'âge : les adhérents de moins de 20 ans paient mensuellement 15 €, les adhérents de plus de 62 ans paient 10 € et les autres paient 30 €.
Par ailleurs, il est possible de souscrire une extension d'abonnement qui revient à 5 € supplémentaires pour les boissons à volonté, 15 € supplémentaires pour l'utilisation des appareils de type Sismo et 17 € pour l'inscription aux deux suppléments à la fois.
On choisit au hasard un client du club de sport et on note \text{X} la variable aléatoire correspondant au prix total de son abonnement. 1. Proposer une décomposition de \text{X} en somme de variables aléatoires dont on donnera une interprétation.
2. Expliciter l'ensemble des valeurs prises par ces variables aléatoires.
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42
[Calculer.]
On lance un dé cubique équilibré et on joue au jeu suivant : le nombre de points récoltés est le triple du résultat de ce dé.
On joue deux fois à ce jeu et on note \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} les variables aléatoires correspondant aux points respectivement obtenus au premier et au deuxième lancer. 1. Calculer \mathrm{X}_{1}((3 \: ; 4)), \mathrm{X}_{2}((1 \: ; 6)) et \mathrm{X}_{1}((4 \: ; 2)).
2. Soit \text{X} la variable aléatoire définie par \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}.
a. Que représente la variable aléatoire \text{X} dans le contexte de l'exercice ?
b. Calculer \mathrm{X}((3 \: ; 5)).
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43
[Calculer.]
On considère une urne dans laquelle se trouvent
différentes boules de couleur : des rouges, des vertes
et des noires.
On tire avec remise trois boules de l'urne.
À chaque étape, obtenir une boule noire rapporte 5 points, obtenir une boule verte rapporte 2 points et obtenir une boule rouge fait perdre 10 points.
On note respectivement \text{R}, \text{V} et \text{N} les événements « Obtenir une boule rouge », « Obtenir une boule verte » et « Obtenir une boule noire ». On note enfin \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \mathrm{X}_{3} les variables aléatoires correspondant respectivement au nombre de points obtenus aux premier, deuxième et troisième tirages.
On tire avec remise trois boules de l'urne.
À chaque étape, obtenir une boule noire rapporte 5 points, obtenir une boule verte rapporte 2 points et obtenir une boule rouge fait perdre 10 points.
On note respectivement \text{R}, \text{V} et \text{N} les événements « Obtenir une boule rouge », « Obtenir une boule verte » et « Obtenir une boule noire ». On note enfin \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \mathrm{X}_{3} les variables aléatoires correspondant respectivement au nombre de points obtenus aux premier, deuxième et troisième tirages.
1. Calculer les valeurs suivantes :
\mathrm{X}_{2}((\mathrm{V} \: ; \mathrm{R} \: ; \mathrm{N})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V})) et \mathrm{X}_{3}((\mathrm{R} \: ; \mathrm{N} \: ; \mathrm{R})).
2. On note \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre moyen de points obtenus par étape à l'issue de la partie.
a. Exprimer \text{X} en fonction de \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \mathrm{X}_{3}.
b. Calculer \mathrm{X}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V})).
\mathrm{X}_{2}((\mathrm{V} \: ; \mathrm{R} \: ; \mathrm{N})), \mathrm{X}_{1}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V})) et \mathrm{X}_{3}((\mathrm{R} \: ; \mathrm{N} \: ; \mathrm{R})).
2. On note \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre moyen de points obtenus par étape à l'issue de la partie.
a. Exprimer \text{X} en fonction de \mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2} et \mathrm{X}_{3}.
b. Calculer \mathrm{X}((\mathrm{N} \: ; \mathrm{V} \: ; \mathrm{V})).
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