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2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires
P.397-398

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Entraînement


2
Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61 et 66
◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 48 ; 54 ; 56 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 51 et 67
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44
FLASH

Soient et deux variables aléatoires dont on donne les lois de probabilité ci‑dessous.















1. Calculer .


2. On suppose que et sont deux variables aléatoires indépendantes. Calculer et en déduire une valeur approchée de au centième.
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45
FLASH
VRAI/FAUX

Si et sont deux variables aléatoires définies sur un univers , a‑t‑on  ? Justifier.
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46
FLASH
VRAI/FAUX

Si et sont deux variables aléatoires définies sur un univers , a‑t‑on  ? Justifier.
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47
[Calculer.] ◉◉
Soient et deux variables aléatoires définies sur un même univers .
Compléter le tableau de valeurs suivant.

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48
[Raisonner.] ◉◉
Soit un nombre réel.
On donne ci‑dessous les lois de probabilité de trois variables aléatoires , et définies sur un univers .






















Déterminer l’ensemble des valeurs prises par sachant que .
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49
[Modéliser.]
Le cinéma de la commune propose différents tarifs : un tarif plein à 12 €, un tarif étudiant à 7 € et un tarif enfant (−12‑ans) à 5 €.
Une étude portant sur la clientèle a montré que 48 % des clients paient un tarif plein, 22 % des clients bénéficient du tarif enfant et les autres du tarif étudiant.
Par ailleurs, sur l’ensemble des clients, 12 % achètent uniquement un paquet de bonbons à 4 €, 23 % achètent seulement un paquet de pop‑corn taille standard à 5 €, 15 % achètent uniquement un paquet de pop‑corn en grande taille à 7 €. Les autres clients ne souhaitent pas payer de confiserie.
On choisit au hasard un client du cinéma et on appelle respectivement et les variables aléatoires correspondant au prix payé par ce client pour la place de cinéma et pour l’éventuelle confiserie supplémentaire.

1. Déterminer les lois de probabilité de et de


2. Soit la variable aléatoire correspondant au prix total payé par le client.

a. Exprimer en fonction de et de .


b. Calculer et interpréter le résultat obtenu.


Salle de cinéma - exercice 49
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50
[DÉMO]
[Raisonner.] ◉◉
Soient et deux variables aléatoires définies sur un univers . Soit
On rappelle que et que .

1. Montrer que


2. Soit . Justifier que .
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51
[Calculer.] ◉◉◉
À la fin de l'année civile, la gérante d'un garage automobile spécialisé s'intéresse au prix payé par ses clients pour les pneus (par deux) et les plaquettes de frein.
Elle remarque, pour les plaquettes de frein, que :
  • 12 % des clients paient 70 € ;
  • 47 % des clients paient 90 € ;
  • 40 % des clients paient 120 € ;
  • 1 % des clients paient 160 €.

Pour les deux pneus, elle a établi que :
  • 45 % des clients paient 100 € ;
  • 40 % des clients paient 150 € ;
  • 15 % des clients paient 200 €.

On note la variable aléatoire correspondant au prix payé pour le changement des plaquettes de frein, et la variable aléatoire correspondant au prix payé pour le changement des deux pneus.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire , puis celle de la variable aléatoire .


2. a. Soit la variable aléatoire correspondant au prix payé par un client changeant à la fois deux pneus et ses plaquettes de frein. Exprimer la variable aléatoire en fonction des variables aléatoires et .


b. À quel prix moyen le changement de deux pneus et des plaquettes de frein s'élève‑t‑il ?


3. Certains clients souhaitent changer leurs plaquettes de frein et les quatre pneus, tous identiques. Soit la variable aléatoire correspondant au prix alors payé.
Exprimer la variable aléatoire en fonction de et Y puis déterminer . Interpréter le résultat obtenu.
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52
[Calculer.] ◉◉
Soient et deux variables aléatoires indépendantes définies sur un univers .
À partir des informations données à chaque ligne, recopier et compléter le tableau ci‑dessous.

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53
[Modéliser.]
Afin de réguler le trafic automobile, le maire d'une commune a décidé de régler les trois feux de la voie principale de manière à obtenir les résultats suivants :
  • 80 % des automobilistes doivent s'arrêter au premier feu ;
  • 30 % des automobilistes doivent s'arrêter au second feu ;
  • 65 % des automobilistes doivent s'arrêter au troisième feu.

On note la variable aléatoire correspondant au nombre de feux auxquels s'arrête un automobiliste pris au hasard.

1. Justifier qu'on peut écrire où, pour tout , est la variable aléatoire prenant la valeur si l'automobiliste s'est arrêté au feu et sinon.


2. Déterminer les lois de probabilité des trois variables aléatoires , et .


3. En déduire . Interpréter le résultat obtenu.


feu tricolores - exercice 53
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54
[Modéliser.] ◉◉
Lors du bilan de fin d’année, un opticien a établi les résultats suivants quant aux ventes de montures et de verres correctifs réalisées cette année.

Prix monture (en €)


Fréquence (en %)



Prix verre (en €)




Fréquence (en %)





On choisit au hasard une facture parmi celles correspondant aux clients ayant acheté une paire de lunettes.
On note la variable aléatoire correspondant au prix de la paire de lunettes. On suppose que les deux verres ont le même prix.

1. On note la variable aléatoire correspondant au prix de la monture et la variable aléatoire correspondant au prix d’un verre. Justifier l’égalité


2. Déterminer . Interpréter le résultat obtenu.


3. On suppose les variables et indépendantes.
Déterminer puis en déduire une valeur approchée de à près.
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55
[Modéliser.] ◉◉
Un disquaire est un commerçant dirigeant un magasin spécialisé dans la vente de musique.
Chez un disquaire, on a relevé les prix des CD et des vinyles qu’il commercialise.

Prix du CD (€)



Fréquence d’achat




Prix du vinyle (€)


Fréquence d’achat



On regroupe les factures des clients ayant acheté un CD et un vinyle, et on en choisit une au hasard. On suppose que le choix du CD n’a aucune influence sur le choix du vinyle.
Soit la variable aléatoire correspondant au prix payé par le client choisi.

1. Décomposer en somme de variables aléatoires indépendantes dont on donnera, pour chacune d’entre elles, une interprétation dans le cadre de l’exercice.


2. Calculer et interpréter le résultat obtenu.


3. Déterminer . On arrondira le résultat à près.


Vinyles - Exercice 55
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56
[DÉMO]
[Chercher.] ◉◉
Soient un entier naturel non nul et , variables aléatoires définies sur un univers .

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier  :
.


b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul et pour tous réels  :
.


2. On suppose dans cette question que la famille de variables aléatoires est constituée de variables aléatoires indépendantes.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier  :
.


b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul et pour tous réels  :
.
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