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2. Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires
P.397-398

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Entraînement


2
Espérance et variance d’une somme de variables aléatoires





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61 et 66
◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 48 ; 54 ; 56 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 51 et 67
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44
FLASH

Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires dont on donne les lois de probabilité ci‑dessous.

xi\boldsymbol{x_{i}} 11
22
33
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,120,12
0,540,54
0,340,34

yi\boldsymbol{y_{i}} 55
1010
1515
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) 0,20,2
0,40,4
0,40,4

1. Calculer E(X+3Y)\mathrm{E}(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y}).


2. On suppose que X\text{X} et Y\text{Y} sont deux variables aléatoires indépendantes. Calculer V(X+3Y)\mathrm{V}(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y}) et en déduire une valeur approchée de σ(X+3Y)\sigma(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y}) au centième.
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45
FLASH
VRAI/FAUX

Si X\text{X} et Y\text{Y} sont deux variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega, a‑t‑on E(XY)=E(X)E(Y)\mathrm{E}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})-\mathrm{E}(\mathrm{Y}) ? Justifier.
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46
FLASH
VRAI/FAUX

Si X\text{X} et Y\text{Y} sont deux variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega, a‑t‑on V(XY)=V(X)V(Y)\mathrm{V}(\mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(\mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y}) ? Justifier.
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47
[Calculer.] ◉◉
Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires définies sur un même univers Ω\Omega.
Compléter le tableau de valeurs suivant.

E(X)\mathbf{E}(\mathbf{X}) E(Y)\mathbf{E}(\mathbf{Y}) E(X+Y)\mathbf{E}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) E(2X3Y)\mathbf{E}(2 \mathbf{X}-\mathbf{3} \mathbf{Y})
0,20,2 0,550,55
0,120,12 1,651,65
0,230,23 1,79-1,79
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48
[Raisonner.] ◉◉
Soit aa un nombre réel.
On donne ci‑dessous les lois de probabilité de trois variables aléatoires X\text{X}, Y\text{Y} et Z\text{Z} définies sur un univers Ω\Omega.

xi\boldsymbol{x_{i}} 5-5
22
44
1212
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 0,40,4
0,050,05
0,250,25
0,30,3

yi\boldsymbol{y_{i}} 00
33
77
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y}_{i}\right) 0,30,3
0,20,2
0,50,5

zi\boldsymbol{z_{i}} 1212
aa
P(Z=zi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Z}=\boldsymbol{z}_{i}\right) 0,750,75
0,250,25

Déterminer l’ensemble des valeurs prises par Z\text{Z} sachant que E(X+3Y)=E(Z)\mathrm{E}(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{Z}).
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49
[Modéliser.]
Le cinéma de la commune propose différents tarifs : un tarif plein à 12 €, un tarif étudiant à 7 € et un tarif enfant (−12‑ans) à 5 €.
Une étude portant sur la clientèle a montré que 48 % des clients paient un tarif plein, 22 % des clients bénéficient du tarif enfant et les autres du tarif étudiant.
Par ailleurs, sur l’ensemble des clients, 12 % achètent uniquement un paquet de bonbons à 4 €, 23 % achètent seulement un paquet de pop‑corn taille standard à 5 €, 15 % achètent uniquement un paquet de pop‑corn en grande taille à 7 €. Les autres clients ne souhaitent pas payer de confiserie.
On choisit au hasard un client du cinéma et on appelle respectivement X1\mathrm{X}_{1} et X2\mathrm{X}_{2} les variables aléatoires correspondant au prix payé par ce client pour la place de cinéma et pour l’éventuelle confiserie supplémentaire.

1. Déterminer les lois de probabilité de X1\mathrm{X}_{1} et de X2\mathrm{X}_{2}


2. Soit X\text{X} la variable aléatoire correspondant au prix total payé par le client.

a. Exprimer X\text{X} en fonction de X1\mathrm{X}_{1} et de X2\mathrm{X}_{2}.


b. Calculer E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) et interpréter le résultat obtenu.


Salle de cinéma - exercice 49
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50
[DÉMO]
[Raisonner.] ◉◉
Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega. Soit aRa \in \mathbb{R}
On rappelle que E(X+Y)=E(X)+E(Y)\mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}) et que E(aX)=aE(X)\mathrm{E}(a \mathrm{X})=a \mathrm{E}(\mathrm{X}).

1. Montrer que E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)\mathrm{E}(a \mathrm{X}+\mathrm{Y})=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y})


2. Soit bRb \in \mathbb{R}. Justifier que E(aX+b)=aE(X)+b\mathrm{E}(a \mathrm{X}+b)=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+b.
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51
[Calculer.] ◉◉◉
À la fin de l'année civile, la gérante d'un garage automobile spécialisé s'intéresse au prix payé par ses clients pour les pneus (par deux) et les plaquettes de frein.
Elle remarque, pour les plaquettes de frein, que :
  • 12 % des clients paient 70 € ;
  • 47 % des clients paient 90 € ;
  • 40 % des clients paient 120 € ;
  • 1 % des clients paient 160 €.

Pour les deux pneus, elle a établi que :
  • 45 % des clients paient 100 € ;
  • 40 % des clients paient 150 € ;
  • 15 % des clients paient 200 €.

On note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au prix payé pour le changement des plaquettes de frein, et Y\text{Y} la variable aléatoire correspondant au prix payé pour le changement des deux pneus.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X\text{X}, puis celle de la variable aléatoire Y\text{Y}.


2. a. Soit Z1\mathrm{Z}_{1} la variable aléatoire correspondant au prix payé par un client changeant à la fois deux pneus et ses plaquettes de frein. Exprimer la variable aléatoire Z1\mathrm{Z}_{1} en fonction des variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y}.


b. À quel prix moyen le changement de deux pneus et des plaquettes de frein s'élève‑t‑il ?


3. Certains clients souhaitent changer leurs plaquettes de frein et les quatre pneus, tous identiques. Soit Z1\mathrm{Z}_{1} la variable aléatoire correspondant au prix alors payé.
Exprimer la variable aléatoire Z2\mathrm{Z}_{2} en fonction de X\text{X} et Y puis déterminer E(Z2)\mathrm{E}\left(\mathrm{Z}_{2}\right). Interpréter le résultat obtenu.
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52
[Calculer.] ◉◉
Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires indépendantes définies sur un univers Ω\Omega.
À partir des informations données à chaque ligne, recopier et compléter le tableau ci‑dessous.

V(X)\mathbf{V}(\mathbf{X}) V(Y)\mathbf{V}(\mathbf{Y}) V(X+Y)\mathbf{V}(\mathbf{X}+\mathbf{Y}) V(3XY)\mathbf{V}(3 \mathbf{X}-\mathbf{Y})
1,41,4 33
2,82,8 39,439,4
11,411,4 53,853,8
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53
[Modéliser.]
Afin de réguler le trafic automobile, le maire d'une commune a décidé de régler les trois feux de la voie principale de manière à obtenir les résultats suivants :
  • 80 % des automobilistes doivent s'arrêter au premier feu ;
  • 30 % des automobilistes doivent s'arrêter au second feu ;
  • 65 % des automobilistes doivent s'arrêter au troisième feu.

On note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre de feux auxquels s'arrête un automobiliste pris au hasard.

1. Justifier qu'on peut écrire X=X1+X2+X3\mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3} où, pour tout k{1;2;3}k \in\{1 ; 2 ; 3\}, Xk\mathrm{X}_{\mathrm{k}} est la variable aléatoire prenant la valeur 11 si l'automobiliste s'est arrêté au feu kk et 00 sinon.


2. Déterminer les lois de probabilité des trois variables aléatoires X1\mathrm{X}_{\mathrm{1}}, X2\mathrm{X}_{\mathrm{2}} et X3\mathrm{X}_{\mathrm{3}}.


3. En déduire E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}). Interpréter le résultat obtenu.


feu tricolores - exercice 53
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54
[Modéliser.] ◉◉
Lors du bilan de fin d’année, un opticien a établi les résultats suivants quant aux ventes de montures et de verres correctifs réalisées cette année.

Prix monture (en €) 100100
200200
300300
Fréquence (en %) 2626
5656
1818

Prix verre (en €) 2020
6060
110110
220220
375375
Fréquence (en %) 77
4848
2222
2020
33

On choisit au hasard une facture parmi celles correspondant aux clients ayant acheté une paire de lunettes.
On note Z\text{Z} la variable aléatoire correspondant au prix de la paire de lunettes. On suppose que les deux verres ont le même prix.

1. On note X\text{X} la variable aléatoire correspondant au prix de la monture et Y\text{Y} la variable aléatoire correspondant au prix d’un verre. Justifier l’égalité Z=X+2Y\mathrm{Z}=\mathrm{X}+2 \mathrm{Y}


2. Déterminer E(Z)\mathrm{E}(\mathrm{Z}). Interpréter le résultat obtenu.


3. On suppose les variables X\text{X} et Y\text{Y} indépendantes.
Déterminer V(Z)\mathrm{V}(\mathrm{Z}) puis en déduire une valeur approchée de σ(z)\sigma(z) à 10410^{-4} près.
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55
[Modéliser.] ◉◉
Un disquaire est un commerçant dirigeant un magasin spécialisé dans la vente de musique.
Chez un disquaire, on a relevé les prix des CD et des vinyles qu’il commercialise.

Prix du CD (€) 55
1010
1515
2020
Fréquence d’achat 0,070,07
0,120,12
0,640,64
0,170,17

Prix du vinyle (€) 1010
2020
3030
Fréquence d’achat 0,330,33
0,450,45
0,220,22

On regroupe les factures des clients ayant acheté un CD et un vinyle, et on en choisit une au hasard. On suppose que le choix du CD n’a aucune influence sur le choix du vinyle.
Soit Z\text{Z} la variable aléatoire correspondant au prix payé par le client choisi.

1. Décomposer Z\text{Z} en somme de variables aléatoires indépendantes dont on donnera, pour chacune d’entre elles, une interprétation dans le cadre de l’exercice.


2. Calculer E(Z)\text{E}(\text{Z}) et interpréter le résultat obtenu.


3. Déterminer σ(Z)\sigma(\text{Z}). On arrondira le résultat à 10310^{-3} près.


Vinyles - Exercice 55
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56
[DÉMO]
[Chercher.] ◉◉
Soient nn un entier naturel non nul et X1;;Xn\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n}, nn variables aléatoires définies sur un univers Ω\Omega.

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1 :
E(X1++Xn)=E(X1)++E(Xn)\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right).


b. En déduire que, pour tout entier naturel nn non nul et pour tous réels a1;;ana_{1} ; \ldots ; a_{n} :
E(a1X1++anXn)=a1E(X1)++anE(Xn)\mathrm{E}\left(a_{1} \mathrm{X}_{1}+\ldots+a_{n} \mathrm{X}_{n}\right)=a_{1} \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+a_{n} \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right).


2. On suppose dans cette question que la famille de variables aléatoires X1;;Xn\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} est constituée de variables aléatoires indépendantes.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1 :
V(X1++Xn)=V(X1)++V(Xn)\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{n}\right).


b. En déduire que, pour tout entier naturel nn non nul et pour tous réels a1;;ana_{1} ; \ldots ; a_{n} :
V(a1X1++anXn)=a12V(X1)+1+an2V(Xn)\mathrm{V}\left(a_{1} \mathrm{X}_{1}+\ldots+a_{n} \mathrm{X}_{n}\right)=a_{1}^{2} \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+1 \ldots+a_{n}^{2} \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{n}\right).
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