Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires

44

Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires dont on donne les lois de probabilité ci‑dessous.

1. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y}).

2. On suppose que \text{X} et \text{Y} sont deux variables aléatoires indépendantes. Calculer \mathrm{V}(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y}) et en déduire une valeur approchée de \sigma(\mathrm{X}+3 \mathrm{Y}) au centième.

49

[Modéliser.]

Le cinéma de la commune propose différents tarifs : un tarif plein à 12 €, un tarif étudiant à 7 € et un tarif enfant (−12‑ans) à 5 €.
Une étude portant sur la clientèle a montré que 48 % des clients paient un tarif plein, 22 % des clients bénéficient du tarif enfant et les autres du tarif étudiant.
Par ailleurs, sur l'ensemble des clients, 12 % achètent uniquement un paquet de bonbons à 4 €, 23 % achètent seulement un paquet de pop‑corn taille standard à 5 €, 15 % achètent uniquement un paquet de pop‑corn en grande taille à 7 €. Les autres clients ne souhaitent pas payer de confiserie.
On choisit au hasard un client du cinéma et on appelle respectivement \mathrm{X}_{1} et \mathrm{X}_{2} les variables aléatoires correspondant au prix payé par ce client pour la place de cinéma et pour l'éventuelle confiserie supplémentaire.

1. Déterminer les lois de probabilité de \mathrm{X}_{1} et de \mathrm{X}_{2}

2. Soit \text{X} la variable aléatoire correspondant au prix total payé par le client.
a. Exprimer \text{X} en fonction de \mathrm{X}_{1} et de \mathrm{X}_{2}.

b. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}) et interpréter le résultat obtenu.

50

Démo

[Raisonner.]
Soient \text{X} et \text{Y} deux variables aléatoires définies sur un univers \Omega. Soit a \in \mathbb{R}
On rappelle que \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y}) et que \mathrm{E}(a \mathrm{X})=a \mathrm{E}(\mathrm{X}).

1. Montrer que \mathrm{E}(a \mathrm{X}+\mathrm{Y})=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+\mathrm{E}(\mathrm{Y})

2. Soit b \in \mathbb{R}. Justifier que \mathrm{E}(a \mathrm{X}+b)=a \mathrm{E}(\mathrm{X})+b.

51

[Calculer.]
À la fin de l'année civile, la gérante d'un garage automobile spécialisé s'intéresse au prix payé par ses clients pour les pneus (par deux) et les plaquettes de frein.
Elle remarque, pour les plaquettes de frein, que :

• 12 % des clients paient 70 € ;
• 47 % des clients paient 90 € ;
• 40 % des clients paient 120 € ;
• 1 % des clients paient 160 €.

Pour les deux pneus, elle a établi que :

• 45 % des clients paient 100 € ;
• 40 % des clients paient 150 € ;
• 15 % des clients paient 200 €.

On note \text{X} la variable aléatoire correspondant au prix payé pour le changement des plaquettes de frein, et \text{Y} la variable aléatoire correspondant au prix payé pour le changement des deux pneus.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \text{X}, puis celle de la variable aléatoire \text{Y}.

2. a. Soit \mathrm{Z}_{1} la variable aléatoire correspondant au prix payé par un client changeant à la fois deux pneus et ses plaquettes de frein. Exprimer la variable aléatoire \mathrm{Z}_{1} en fonction des variables aléatoires \text{X} et \text{Y}.

b. À quel prix moyen le changement de deux pneus et des plaquettes de frein s'élève‑t‑il ?

3. Certains clients souhaitent changer leurs plaquettes de frein et les quatre pneus, tous identiques. Soit \mathrm{Z}_{2} la variable aléatoire correspondant au prix alors payé.
Exprimer la variable aléatoire \mathrm{Z}_{2} en fonction de \text{X} et Y puis déterminer \mathrm{E}\left(\mathrm{Z}_{2}\right). Interpréter le résultat obtenu.

53

[Modéliser.]
Afin de réguler le trafic automobile, le maire d'une commune a décidé de régler les trois feux de la voie principale de manière à obtenir les résultats suivants :

• 80 % des automobilistes doivent s'arrêter au premier feu ;
• 30 % des automobilistes doivent s'arrêter au second feu ;
• 65 % des automobilistes doivent s'arrêter au troisième feu.

On note \text{X} la variable aléatoire correspondant au nombre de feux auxquels s'arrête un automobiliste pris au hasard.

1. Justifier qu'on peut écrire \mathrm{X}=\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\mathrm{X}_{3} où, pour tout k \in\{1 ; 2 ; 3\}, \mathrm{X}_{\mathrm{k}} est la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l'automobiliste s'est arrêté au feu k et 0 sinon.

2. Déterminer les lois de probabilité des trois variables aléatoires \mathrm{X}_{\mathrm{1}}, \mathrm{X}_{\mathrm{2}} et \mathrm{X}_{\mathrm{3}}.

3. En déduire \mathrm{E}(\mathrm{X}). Interpréter le résultat obtenu.

55

[Modéliser.]
Un disquaire est un commerçant dirigeant un magasin spécialisé dans la vente de musique.
Chez un disquaire, on a relevé les prix des CD et des vinyles qu'il commercialise.



On regroupe les factures des clients ayant acheté un CD et un vinyle, et on en choisit une au hasard. On suppose que le choix du CD n'a aucune influence sur le choix du vinyle.
Soit \text{Z} la variable aléatoire correspondant au prix payé par le client choisi.

1. Décomposer \text{Z} en somme de variables aléatoires indépendantes dont on donnera, pour chacune d'entre elles, une interprétation dans le cadre de l'exercice.

2. Calculer \text{E}(\text{Z}) et interpréter le résultat obtenu.

3. Déterminer \sigma(\text{Z}). On arrondira le résultat à 10^{-3} près.

56

Démo

[Chercher.]
Soient n un entier naturel non nul et \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n}, n variables aléatoires définies sur un univers \Omega.

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 1 :
\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right).

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul et pour tous réels a_{1} ; \ldots ; a_{n} :
\mathrm{E}\left(a_{1} \mathrm{X}_{1}+\ldots+a_{n} \mathrm{X}_{n}\right)=a_{1} \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+a_{n} \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right).

2. On suppose dans cette question que la famille de variables aléatoires \mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n} est constituée de variables aléatoires indépendantes.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n \geqslant 1 :
\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+\ldots+\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{n}\right).

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul et pour tous réels a_{1} ; \ldots ; a_{n} :
\mathrm{V}\left(a_{1} \mathrm{X}_{1}+\ldots+a_{n} \mathrm{X}_{n}\right)=a_{1}^{2} \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)+1 \ldots+a_{n}^{2} \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{n}\right).