DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 41 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 61 et 66
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 42 ; 48 ; 54 ; 56 et 63
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 43 ; 51 et 67

57

On considère deux variables aléatoires indépendantes $\text{X}$ et $\text{Y}$ suivant respectivement les lois binomiales $\mathcal{B}(20;0,2)$ et $\mathcal{B}(100;0,5)$.
Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire définie par $\text{Z = 2X + 3Y}$.
Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{Z})$ et $\mathrm{V}(\mathrm{Z})$ et en déduire une valeur approchée de $\sigma (Z)$ au millième.

58

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère un échantillon de $n$ variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ identiquement distribuées.
On donne la loi de probabilité de ${\mathrm{X}}_1$ ci‑dessous.


Soit ${\mathrm{S}}_n$ la variable aléatoire définie par ${\mathrm{S}}_n={\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n$. On donne $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_n\right)=423$.
Déterminer la valeur de $n$.

59

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère un échantillon de $n$ variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$ identiquement distribuées.
On donne la loi de probabilité de ${\mathrm{X}}_1$ ci‑dessous.



Soit ${\mathrm{M}}_n$ la variable aléatoire définie par ${\mathrm{M}}_n=\frac{{\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n}{n}$. On donne $\sigma \left({\mathrm{M}}_n\right)=\sqrt{2}$. Déterminer la valeur de $n$.

60

[Calculer.]
Un lycée propose un tournoi interclasse de football dans lequel douze équipes s’affrontent.
L’équipe A rencontre l’intégralité des autres équipes et, à chaque match, sa probabilité de remporter le duel s’élève à 0,35.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de matchs gagnés par l'équipe A.
On admet que $\text{X}$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(11;0,35)$.
Les résultats seront arrondis au millième si besoin.

1. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$, $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma (\mathrm{X})$.


2. Une victoire rapporte trois points. Une défaite ou un match nul rapporte 0 point. On note $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de points remportés par l’équipe A. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{Y})$, $\mathrm{V}(\mathrm{Y})$ et $\sigma (\mathrm{Y})$.

61

[Calculer.] ◉◉◉
Deux lycées sont situés dans la même commune. Le premier lycée, noté lycée A, réalise de très bons résultats aux examens : 75 % des élèves de l’établissement obtiennent le bac avec mention. Dans le lycée B, seulement 55 % des élèves l’obtiennent avec mention.
On choisit 12 élèves du lycée A et 20 élèves du lycée B. Le nombre d’élèves de chaque lycée permet d’assimiler ces expériences à deux tirages avec remise.
On note respectivement $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires comptant le nombre d’élèves ayant obtenu une mention parmi les élèves du lycée A et du lycée B choisis.

1. Justifier que $\text{X}$ et $\text{Y}$ suivent deux lois binomiales dont on précisera les paramètres.


2. Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire comptant le nombre d’élèves ayant obtenu une mention parmi tous ceux interrogés.

a. Exprimer $\text{Z}$ en fonction de $\text{X}$ et $\text{Y}$.


b. Calculer et interpréter $\mathrm{E}(\mathrm{Z})$.


c. Calculer $\mathrm{V}(\mathrm{Z})$ et en déduire une valeur approchée de $\sigma (\mathrm{Z})$ à 0,001 près.

62

[Modéliser.]
Au 1^er janvier 2020, le prix du timbre pour une enveloppe de 20 g ou moins s’élève à 0,95 € pour les timbres gris, 0,97 € pour les timbres verts, 1,16 € pour les timbres rouges et 1,40 € pour les timbres internationaux.
On se rend dans un bureau de poste et le directeur d’établissement donne les informations suivantes sur l’affranchissement des lettres de 20 g ou moins.


On prélève 20 enveloppes de 20 g ou moins de ce bureau de poste. On supposera que le nombre de lettres est suffisamment important pour assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;20\}$, on note ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au prix du timbre de la $k^e$ enveloppe choisie et ${\mathrm{S}}_{20}={\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_{20}$.

1. À quoi la variable aléatoire ${\mathrm{S}}_{20}$ correspond‑elle ?


2. En moyenne, à combien le prix des 20 timbres s’élève‑t‑il ? Justifier.


3. Déterminer la valeur exacte de $\sigma \left({\mathrm{S}}_{20}\right)$.

63

[Modéliser.] ◉◉◉
Dans un jeu de Scrabble^®, on compte 102 jetons parmi lesquels figurent deux jokers (valant 0 point) et les différentes lettres de l’alphabet dont les valeurs et les occurrences sont répertoriées dans le tableau suivant :



Lors du premier tour, on tire au hasard sept jetons du sac. On suppose qu’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;7\}$, on note ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au nombre de points attribués par le jeton tiré au $k^{\mathrm{e}}$ tirage, et on note ${\mathrm{S}}_7$ la variable aléatoire définie par ${\mathrm{S}}_7={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+\dots +{\mathrm{X}}_7$.

1. Interpréter la variable aléatoire ${\mathrm{S}}_7$ dans le cadre de l’exercice.


2. Déterminer $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_7\right)$ et interpréter le résultat obtenu.


3. On pose la variable aléatoire ${\mathrm{M}}_7$ définie par ${\mathrm{M}}_7=\frac{{\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+\dots +{\mathrm{X}}_7}{7}$.
Calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_7\right)$ et interpréter le résultat obtenu.

64

[Modéliser.]
À la fin d’une partie de tarot, on compte les points de la manière suivante :

• un bout (3 cartes) ou un roi (4 cartes) rapporte 4,5 points ;
• une dame (4 cartes) rapporte 3,5 points ;
• un cavalier (4 cartes) rapporte 2,5 points ;
• un valet (4 cartes) rapporte 1,5 point ;
• toute autre carte (59 cartes) rapporte 0,5 point.

On choisit deux cartes dans le paquet en remettant la carte tirée dans le tas.
Pour tout $k\in \{1;2\}$, on note ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au nombre de points attribués par la carte tirée au $k^e$ tirage, et on note ${\mathrm{S}}_2$ la variable aléatoire définie par ${\mathrm{S}}_2={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2$.

1. Interpréter la variable aléatoire ${\mathrm{S}}_2$ dans le cadre de l’exercice.


2. Calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{S}}_2\right)$et interpréter le résultat obtenu.


3. Calculer $\sigma \left({\mathrm{S}}_2\right)$ (donner un arrondi au centième).

65

[Modéliser.]
Une enseigne de supermarché propose la location de véhicules de déménagement dont le prix à la journée varie en fonction de la taille.


On sélectionne au hasard $20$ clients louant un véhicule de déménagement dans ce magasin, et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au prix payé.
On suppose qu’on peut assimiler cette expérience à un tirage avec remise.

1. Écrire $\text{X}$ sous la forme d’une somme de variables aléatoires adaptée au problème. Interpréter chacune de ces variables aléatoires.


2. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ et interpréter le résultat obtenu.


3. Calculer $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ puis en déduire une valeur approchée de $\sigma (\mathrm{X})$ à $10^{-4}$ près.

66

[Modéliser.] ◉◉◉
La majorité des contraventions liées aux infractions au code de la route concernent les contraventions de 4e classe : utilisation du téléphone au volant, feu rouge grillé, non respect du port de la ceinture, chevauchement d’une ligne blanche continue, etc.
Le tarif forfaitaire d’une telle contravention s’élève à 135 €.
Il est cependant possible de payer la contravention moins chère si on procède rapidement au paiement.
Elle s’élève alors à 90 € et on parle d’amende minorée.
À l’inverse, en cas de retard de paiement, le prix de l’amende augmente et passe alors à 375 €. On parle alors d’amende majorée.
Une préfecture transmet les informations suivantes concernant le paiement des contraventions de 4^e classe.


Afin d’étudier de manière plus précise ces données, on prélève cent dossiers concernant les amendes de 4^e classe. On suppose que le nombre d’amendes est suffisamment important pour assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;100\}$, on appelle ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au montant payé par le $k^e$ dossier prélevé.

1. On note ${\mathrm{S}}_{100}$ la variable aléatoire correspondant au montant total payé par les cent contrevenants. Exprimer ${\mathrm{S}}_{100}$ en fonction des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_k$.


2. En moyenne, sur cent contrevenants aux infractions de 4^e classe, quel est le montant total payé ?


3. Calculer $\sigma \left({\mathrm{S}}_{100}\right)$. On arrondira le résultat au millième.


4. On note ${\mathrm{M}}_{100}$ la variable correspondant au paiement moyen par amende des cent contrevenants choisis. Calculer $\sigma \left({\mathrm{M}}_{100}\right)$. On arrondira le résultat au millième.

67

[Modéliser.] ◉◉◉
Un restaurant propose différents choix de menus.

• 64 % des clients ne souhaitent pas manger d'entrée, alors que 22 % des clients choisissent l'entrée à 9 €. Les autres choisissent l'entrée à 11 €.
• 76 % des clients commandent le plat composé de viande dont le prix s'élève à 19 €. Les autres choisissent le plat de poisson coûtant 22 €.
• Enfin, 10 % des clients mangent une crêpe en dessert à 8 €, 38 % des clients désirent manger le dessert au chocolat à 6 €, 30 % commandent le dessert aux fruits à 7 € et 22 % ne souhaitent pas manger de dessert.

On choisit un client du restaurant au hasard.
On note respectivement ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$ et ${\mathrm{X}}_3$ les variables aléatoires correspondant aux prix payés pour l'entrée, pour le plat et pour le dessert.

1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$ et ${\mathrm{X}}_3$.


2. On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au prix total payé par le client.
Exprimer $\text{X}$ en fonction de ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$ et ${\mathrm{X}}_3$.


3. En déduire le prix moyen payé par chaque client.


4. On choisit maintenant dix clients de ce restaurant.
On suppose que le nombre de clients du restaurant est suffisament important pour assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
En moyenne, sur ces dix clients, à combien le prix total s’élève‑t‑il ?