61

[Calculer.]
Deux lycées sont situés dans la même commune. Le premier lycée, noté lycée A, réalise de très bons résultats aux examens : 75 % des élèves de l'établissement obtiennent le bac avec mention. Dans le lycée B, seulement 55 % des élèves l'obtiennent avec mention.
On choisit 12 élèves du lycée A et 20 élèves du lycée B. Le nombre d'élèves de chaque lycée permet d'assimiler ces expériences à deux tirages avec remise.
On note respectivement $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires comptant le nombre d'élèves ayant obtenu une mention parmi les élèves du lycée A et du lycée B choisis.

1. Justifier que $\text{X}$ et $\text{Y}$ suivent deux lois binomiales dont on précisera les paramètres.

2. Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire comptant le nombre d'élèves ayant obtenu une mention parmi tous ceux interrogés.
a. Exprimer $\text{Z}$ en fonction de $\text{X}$ et $\text{Y}$.

b. Calculer et interpréter $\mathrm{E}(\mathrm{Z})$.

c. Calculer $\mathrm{V}(\mathrm{Z})$ et en déduire une valeur approchée de $\sigma (\mathrm{Z})$ à 0,001 près.

66

[Modéliser.]
La majorité des contraventions liées aux infractions au code de la route concernent les contraventions de 4e classe : utilisation du téléphone au volant, feu rouge grillé, non respect du port de la ceinture, chevauchement d'une ligne blanche continue, etc.
Le tarif forfaitaire d'une telle contravention s'élève à 135 €.
Il est cependant possible de payer la contravention moins chère si on procède rapidement au paiement.
Elle s'élève alors à 90 € et on parle d'amende minorée.
À l'inverse, en cas de retard de paiement, le prix de l'amende augmente et passe alors à 375 €. On parle alors d'amende majorée.
Une préfecture transmet les informations suivantes concernant le paiement des contraventions de 4^e classe.


Afin d'étudier de manière plus précise ces données, on prélève cent dossiers concernant les amendes de 4^e classe. On suppose que le nombre d'amendes est suffisamment important pour assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;100\}$, on appelle ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au montant payé par le $k^e$ dossier prélevé.

1. On note ${\mathrm{S}}_{100}$ la variable aléatoire correspondant au montant total payé par les cent contrevenants. Exprimer ${\mathrm{S}}_{100}$ en fonction des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_k$.

2. En moyenne, sur cent contrevenants aux infractions de 4^e classe, quel est le montant total payé ?

3. Calculer $\sigma \left({\mathrm{S}}_{100}\right)$. On arrondira le résultat au millième.

4. On note ${\mathrm{M}}_{100}$ la variable correspondant au paiement moyen par amende des cent contrevenants choisis. Calculer $\sigma \left({\mathrm{M}}_{100}\right)$. On arrondira le résultat au millième.

67

[Modéliser.]
Un restaurant propose différents choix de menus.

• 64 % des clients ne souhaitent pas manger d'entrée, alors que 22 % des clients choisissent l'entrée à 9 €. Les autres choisissent l'entrée à 11 €.
• 76 % des clients commandent le plat composé de viande dont le prix s'élève à 19 €. Les autres choisissent le plat de poisson coûtant 22 €.
• Enfin, 10 % des clients mangent une crêpe en dessert à 8 €, 38 % des clients désirent manger le dessert au chocolat à 6 €, 30 % commandent le dessert aux fruits à 7 € et 22 % ne souhaitent pas manger de dessert.

On choisit un client du restaurant au hasard.
On note respectivement ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$ et ${\mathrm{X}}_3$ les variables aléatoires correspondant aux prix payés pour l'entrée, pour le plat et pour le dessert.

1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$ et ${\mathrm{X}}_3$.

2. On note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au prix total payé par le client.
Exprimer $\text{X}$ en fonction de ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$ et ${\mathrm{X}}_3$.

3. En déduire le prix moyen payé par chaque client.

4. On choisit maintenant dix clients de ce restaurant.
On suppose que le nombre de clients du restaurant est suffisament important pour assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
En moyenne, sur ces dix clients, à combien le prix total s'élève‑t‑il ?