Exercices de synthèse

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Devoir maison

[Calculer, Modéliser.]

On dispose d'un jeu de 52 cartes comme ci‑dessus et on prélève une carte au hasard dans le paquet.
On s'intéresse à deux aspects de la carte.

❯ Sa couleur :

• si la carte est un coeur, on gagne 10 points ;
• si la carte est un trèfle, on gagne 2 points ;
• dans les autres cas, on perd 15 points.

❯ Sa valeur :

• si la carte est une figure (valet, dame ou roi), on gagne 5 points ;
• si la carte est un as, on gagne 2 points ;
• si la carte est un 2 ou un 10, on gagne 1 point ;
• si la carte est un 5, on ne gagne pas de point ;
• dans les autres cas, on perd 1 point.

Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de points remportés au total. 1. On note $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires correspondant au nombre de points obtenus en regardant respectivement la couleur et la valeur de la carte.
a. Exprimer $\text{Z}$ en fonction de $\text{X}$ et $\text{Y}$.

b. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$.

c. En déduire $\mathrm{E}(\mathrm{Z})$ puis $\sigma (\mathrm{Z})$. On arrondira à $10^{-4}$ près.

2. On joue cinq fois de suite à ce jeu, en remettant systématiquement la carte obtenue dans le paquet et en mélangeant de nouveau les cartes.
Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;5\}$, on note ${\mathrm{Z}}_k$ la variable aléatoire correspondant au nombre de points obtenus au $k^{\mathrm{e}}$ tirage.
Soit $\text{S}$ la variable aléatoire correspondant au nombre total de points obtenus à l'issue de la partie.

a. Exprimer $\text{S}$ en fonction des variables ${\mathrm{Z}}_k$.

b. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{S})$ puis interpréter le résultat obtenu.
Calculer $\sigma (\mathrm{S})$. On arrondira à $10^{-4}$ près.

c. On pose enfin la variable aléatoire $\mathrm{M}=\frac{{\mathrm{Z}}_1+\dots +{\mathrm{Z}}_5}{5}$.
À quoi la variable aléatoire $\text{M}$ correspond-elle ?
Calculer $\sigma (\mathrm{M})$. On arrondira à $10^{-4}$ près.

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[Calculer, Chercher.]
Soient $a$ et $b$ deux réels, et $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires dont on donne les lois de probabilité.



On pose $\text{T}$ et $\text{Z}$ les variables aléatoires définies par $\mathrm{T}=\mathrm{Y}-\mathrm{X}\text{ et }\mathrm{Z}=3\mathrm{X}+2\mathrm{Y}$.

1. a. Exprimer $\mathrm{E}(\mathrm{T})$ et $\mathrm{E}(\mathrm{Z})$ en fonction de $a$ et de $b$.

b. On suppose que $\mathrm{E}(\mathrm{T})=0,1$ et $\mathrm{E}(\mathrm{Z})=26,5$.
Déterminer les valeurs de $a$ et de $b$.

2. a. On donne $\mathrm{V}(10\mathrm{Z})=54853,32$. Les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ peuvent‑elles être indépendantes ?

b. On donne enfin $\mathrm{V}(\mathrm{T})=89,058$. Les variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ peuvent‑elles être indépendantes ?

70

[Chercher, Modéliser.]
On lance deux dés cubiques équilibrés et on fait la somme des nombres obtenus.
Le tableau ci-dessous résume les probabilités d'obtention de chaque résultat possible de la somme.


On joue au jeu suivant composé de quatre règles :

• règle 1 : si la somme obtenue est paire, le joueur gagne 1 point ;
• règle 2 : si la somme obtenue est un multiple de 3, le joueur gagne 2 points ;
• règle 3 : si la somme obtenue vaut au moins 10, le joueur gagne 5 points ;
• règle 4 : dans les autres cas (donc si la somme obtenue vaut 5 ou 7), le joueur perd 10 points.

Les points sont cumulables : si la somme obtenue vaut 10, le joueur remporte alors $1+5=6$ points.

1. Pour tout entier $k\in \{1;2;3;4\}$, on note ${\mathrm{X}}_{\mathrm{k}}$ la variable aléatoire correspondant aux points obtenus grâce à la règle $k$.
Déterminer la loi de probabilité de chacune des quatre variables aléatoires ${\mathrm{X}}_{\mathrm{k}}$ puis en déduire leur espérance.

2. On pose $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au total des points obtenus à l'issue de la partie.

a. Écrire $\text{X}$ en fonction des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$, ${\mathrm{X}}_2$, ${\mathrm{X}}_3$ et ${\mathrm{X}}_4$.

b. En déduire $\text{E}(\mathrm{X})$. Le jeu est‑il favorable au joueur ?

3. Un groupe de 18 amis décide de jouer chacun une fois à ce jeu. On note ${\mathrm{Y}}_1;\dots ;{\mathrm{Y}}_{18}$ les variables aléatoires correspondant aux points obtenus par chacun des joueurs et $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant au gain obtenu par le groupe.

a. Exprimer $\text{Y}$ en fonction des variables aléatoires ${\mathrm{Y}}_1;\dots ;{\mathrm{Y}}_{18}$.

b. Pour tout $k\in \{1;\dots ;18\}$, comparer $\mathrm{E}\left({\mathrm{Y}}_k\right)$ et $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.

c. En déduire $\mathrm{E}(\mathrm{Y})$ puis interpréter le résultat obtenu.

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[Calculer, Raisonner.]

Soit n un entier naturel non nul. On lance $n$ fois une pièce équilibrée et on joue à un jeu. Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;n\}$ :

• si la pièce tombe sur pile au $k^{\mathrm{e}}$ lancer, on gagne $k$ € ;
• sinon, on ne gagne rien.

On note ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au gain obtenu lors du $k^{\mathrm{e}}$ tirage et, pour tout $\ell \in \{1;\dots ;n\}$, $\text{Y}$, le total des gains obtenus à l'issue du ${\ell }^{\mathrm{e}}$ lancer.

1. Étude de ${\mathbf{X}}_k$.
a. Pour tout entier $k\in \{1;\dots ;n\}$, déterminer la loi de probabilité de ${\mathrm{X}}_k$.

b. En déduire $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$.

c. Montrer que, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\},\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_k\right)=\frac{k^2}{4}$.

2. Étude de ${\mathbf{Y}}_{\ell }$.

a. Exprimer, pour tout entier $\ell \in \{1;\dots ;n\}$, ${\mathrm{Y}}_{\ell }$ en fonction des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_k$.

b. • Déterminer l'espérance de ${\mathrm{Y}}_{\ell }$.

• Déterminer le nombre théorique de lancers nécessaires afin que le gain total dépasse 280 €.

c. • Montrer par récurrence sur l'entier $m⩾1$ que $\sum _{k=1}^m{k}^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$.

• En déduire $\mathrm{V}\left({\mathrm{Y}}_{\ell }\right)$ en fonction de $\ell$.

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[Chercher, Modéliser.]

On considère un jeu sur une machine de casino se déroulant en deux manches. Il n'y a que deux possibilités à chaque tour de jeu : gagner 5 € et ne rien gagner.

• Au premier tour de jeu, 10 % des joueurs remportent 5 €. Les autres perdent.
• Au second tour de jeu, si le joueur a remporté 5 € au premier tour, ses chances de les remporter de nouveau sont de 15 %. Si, à l'inverse, il avait perdu au premier tour, ses chances de gagner au second tour s'élèvent alors à 65 %.

On note ${\mathrm{X}}_1$ la variable aléatoire correspondant au gain du premier tour et ${\mathrm{X}}_2$ celle correspondant au gain du second tour.
Pour tout entier $k\in \{0;5\}$, on note ${\mathrm{A}}_k$ l'événement « On a remporté $k$ € au premier tour » et ${\mathrm{B}}_k$ l'événement « On a remporté $k$ € au second tour ».

1. Construire un arbre pondéré adapté à la situation.

2. En déduire les lois de probabilité des variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$.

3. Calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)$ et $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_2\right)$. Les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$ sont‑elles identiquement distribuées ? Justifier.

4. Calculer $\mathrm{P}\left(\left({\mathrm{X}}_1=0\right)\cap \left({\mathrm{X}}_2=0\right)\right)$ et $\mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_1=0\right)\times \mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_2=0\right)$. Les variables aléatoires ${\mathrm{X}}_1$ et ${\mathrm{X}}_2$ sont‑elles indépendantes ? Justifier.

5. Dans le casino concurrent, les règles de ce jeu sont légèrement différentes :

• au premier tour de jeu, 10 % des joueurs remportent 5 €, les autres perdent ;
• au second tour de jeu, 60 % des joueurs ayant remporté 5 € au premier tour les gagnent à nouveau. Parmi ceux ayant perdu au premier tour, toujours 60 % des joueurs gagnent 5 € lors du second tour.

On note ${\mathrm{Y}}_1$ la variable aléatoire correspondant au gain du premier tour et ${\mathrm{Y}}_2$ celle correspondant au gain du second tour.

a. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires ${\mathrm{Y}}_1$ et ${\mathrm{Y}}_2$.

b. Ces variables aléatoires sont‑elles identiquement distribuées ? Indépendantes ? Justifier.

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[Chercher, Raisonner.]

Le problème de Montmort

On considère une urne contenant trois boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à 3.
On tire successivement et sans remise les trois boules de l'urne.
Pour $k\in \{1;2;3\}$, on dit qu'il y a « rencontre » au $k^{\mathrm{e}}$ tirage lorsqu'on tire la boule numérotée $k$ au $k^{\mathrm{e}}$ tirage.
On cherche à connaître le nombre moyen de rencontres.
Pour tout $m\in \{1;2;3\}$, on note ${\text{B}}_m$ l'événement « On a obtenu la boule $m$. »

1. a. Avec l'outil de dessin, compléter l'arbre de probabilité ci‑dessous.


Pour tous nombres distincts $i$, $j$ et $k$ appartenant à l'ensemble $1;2;3$, on note les variables aléatoires :

• ${\mathrm{X}}_1$ définie par ${\mathrm{X}}_1\left({\mathrm{B}}_i;{\mathrm{B}}_j;{\mathrm{B}}_k\right)=1$ si $i=1$ et 0 sinon ;
• ${\mathrm{X}}_2$ définie par ${\mathrm{X}}_2\left({\mathrm{B}}_i;{\mathrm{B}}_j;{\mathrm{B}}_k\right)=1$ si $j=2$ et 0 sinon ;
• ${\mathrm{X}}_3$ définie par ${\mathrm{X}}_3\left({\mathrm{B}}_i;{\mathrm{B}}_j;{\mathrm{B}}_k\right)=1$ si $k=3$ et 0 sinon.

On pose $\text{X}$ la variable aléatoire définie par $\mathrm{X}={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+{\mathrm{X}}_3$.

b. Interpréter la variable aléatoire $\text{X}$ dans le cadre du problème.

c. Pour tout $k\in \{1;2;3\}$, déterminer la loi de probabilité de ${\mathrm{X}}_k$.

d. Pour tout $k\in \{1;2;3\}$, calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_k\right)$ puis en déduire $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.

e. Répondre au problème posé.

2. On considère une urne contenant $n$ boules numérotées de 1 à $n$. On tire successivement et sans remise les $n$ boules de l'urne. Quel est théoriquement le nombre moyen de rencontres ?

75

[Chercher, Raisonner.]

Retour au « problème des tiroirs » (TP 1)

1. On dispose d'une commode contenant trois tiroirs et de trois objets qu'on dispose aléatoirement et de manière indépendante dans les tiroirs. On souhaite calculer le nombre théorique moyen de tiroirs vides à l'issue de la distribution.
a. Pour tout $k\in \{1;2;3\}$, on note ${\mathrm{T}}_k$ l'événement « L'objet est rangé dans le tiroir $k$ ». Représenter la situation sous la forme d'un arbre pondéré.

b. Pour tout $k\in \{1;2;3\}$, on note ${\mathrm{X}}_k$ la variable aléatoire valant 1 si aucun objet n'est rangé dans le tiroir $k$ à l'issue des trois distributions, et 0 sinon. On pose $\text{X}$ la variable aléatoire définie par $\mathrm{X}={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+{\mathrm{X}}_3$.

c. Calculer $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)$ puis en déduire $\mathrm{E}(\mathrm{X})$.

d. Répondre alors au problème posé.

2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On dispose d'une commode contenant $n$ tiroirs et de $n$ objets qu'on dispose aléatoirement et de manière indépendante dans les tiroirs.

a. Pour tout $k\in \{1;\dots ;n\}$, on note ${\mathrm{Y}}_k$ la variable aléatoire valant 1 si aucun objet n'est rangé dans le tiroir $k$ à l'issue des n distributions, et 0 sinon. Montrer que $\mathrm{E}\left({\mathrm{Y}}_1\right)=\frac{(n-1{)}^n}{n^n}$.

b. On note Y la variable aléatoire définie par $\mathrm{Y}={\mathrm{Y}}_1+{\mathrm{Y}}_2+{\mathrm{Y}}_3+\dots +{\mathrm{Y}}_n$. Calculer le nombre théorique moyen de tiroirs vides à l'issue de la distribution.

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Approfondissement

Formule de $\mathbf{E}(\mathbf{XY})$ sous hypothèse d'indépendance

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur un univers $\Omega$.
On souhaite montrer que $\mathrm{E}(\mathrm{XY})=\mathrm{E}(\mathrm{X})\mathrm{E}(\mathrm{Y})$.

❯ Notations et questions préliminaires :

Soit $\text{Z}$ la variable aléatoire définie par $\mathrm{Z}=\mathrm{X}\times \mathrm{Y}$.
On notera dans la suite ${\mathrm{Val}}_{\mathrm{x}}=\left\{x_1;\dots ;x_r\right\}$ l'ensemble des valeurs prises par $\text{X}$, ${\mathrm{Val}}_{\mathrm{Y}}=\left\{y_1;\dots ;y_s\right\}$ l'ensemble des valeurs prises par $\text{Y}$ et ${\mathrm{Val}}_{\mathrm{z}}$ l'ensemble des valeurs prises par $\text{Z}$.
Attention, pour $z\in {\mathrm{Val}}_{\mathrm{z}}$, il peut exister plusieurs couples $(x;y)$ tels que $z=x\times y$.
On va donc regrouper ces différents couples dans un ensemble qu'on notera ${\mathrm{A}}_z$ : pour tout $z\in {\mathrm{Val}}_{\mathrm{Z}}$, on pose ${\mathrm{A}}_z=\left\{(x;y)\in {\mathrm{Val}}_{\mathrm{X}}\times {\mathrm{Val}}_{\mathrm{Y}}\text{ tels que }x\times y=z\right\}$.
${\mathrm{A}}_z$ est donc l'ensemble des couples de valeurs de $\text{X}$ et de $\text{Y}$ dont le produit vaut $z$.

1. Justifier que les ensembles ${\mathrm{A}}_z$ sont des ensembles deux à deux disjoints.

2. À quoi la réunion de tous les ensembles ${\mathrm{A}}_z$ tels que $z\in {\mathrm{Val}}_{\mathrm{z}}$ correspond‑elle ?

3. Démontrer que pour tout $z\in {\mathrm{Val}}_{\mathrm{z}}$, $\mathrm{P}(\mathrm{Z}=z)=\sum _{(x;y)\in {\mathrm{A}}_z}\mathrm{P}((\mathrm{X}=x)\cap (\mathrm{Y}=y))$.

❯ Résolution du problème :

4. Montrer que $\mathrm{E}(\mathrm{Z})=\sum _{z\in {\mathrm{Val}}_{\mathrm{Z}}}\sum _{(x;y)\in {\mathrm{A}}_z}xy\mathrm{P}(\mathrm{X}=x)\mathrm{P}(\mathrm{Y}=y)$.

5. En déduire que $\mathrm{E}(\mathrm{Z})=\mathrm{E}(\mathrm{X})\mathrm{E}(\mathrm{Y})$.

Une discussion à l'oral demande plus de spontanéité et d'improvisation qu'un exposé. Être à l'aise dans un échange oral, cela s'apprend ! Pour progresser et bien vous préparer à l'épreuve, voici quelques exercices que vous pouvez réaliser avant le jour J.

Exercice 1

Demandez à un(e) ami(e) qui suit la même spécialité que vous de jouer le rôle du jury. Présentez votre question problématisée pendant 5 minutes. Demandez‑lui ensuite de vous poser des questions sur le sujet pendant 10 minutes. À chaque fois que le jury ne comprend pas ce que veut expliquer le candidat, il tape dans ses mains. À la fin de la séquence, on compte le nombre de fois où le jury a tapé dans ses mains et on échange sur ces incompréhensions.
Échangez ensuite les rôles !
Cet exercice peut aussi se réaliser sans préparation préalable pour travailler l'improvisation.
Pour cela, il faut trouver quelques sujets d'entretiens en lien avec le programme de Terminale (la formule de Köning‑Huygens, le problème des tiroirs

p. 392

ou l'espérance de la loi binomiale par exemple).

Exercice 2

Vous savez ce que vous allez dire lors de votre exposé, et ce que vous avez choisi de passer sous silence faute de temps : identifiez les points qui pourraient nécessiter des précisions de la part du jury et notez‑les sur une feuille. Réfléchissez également aux questions qui permettraient d'approfondir l'échange.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14