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Le problème de Montmort
On considère une urne contenant trois boules
indiscernables au toucher numérotées de 1 à 3.
On tire successivement et sans remise les trois boules
de l’urne.
Pour
k∈{1;2;3}, on dit qu’il y a « rencontre » au
ke tirage lorsqu’on tire la boule numérotée
k au
ke tirage.
On cherche à connaître le nombre moyen de rencontres.
Pour tout
m∈{1;2;3}, on note
Bm l’événement « On a obtenu la boule
m. »
1.
a. Avec l'outil de dessin, compléter l’arbre de probabilité ci‑dessous.
Pour tous nombres distincts
i,
j et
k appartenant à
l'ensemble
1;2;3, on note les variables aléatoires :
- X1 définie par X1(Bi;Bj;Bk)=1 si i=1 et 0 sinon ;
- X2 définie par X2(Bi;Bj;Bk)=1 si i=2 et 0 sinon ;
- X3 définie par X3(Bi;Bj;Bk)=1 si i=3 et 0 sinon.
On pose
X la variable aléatoire définie par
X=X1+X2+X3.
b. Interpréter la variable aléatoire
X dans le cadre du problème.
c. Pour tout
k∈{1;2;3}, déterminer la loi de probabilité de
Xk.
d. Pour tout
k∈{1;2;3}, calculer
E(Xk) puis en
déduire
E(X).
e. Répondre au problème posé.
2. On considère une urne contenant
n boules numérotées de 1 à
n. On tire successivement et sans remise les
n boules de l’urne. Quel est théoriquement le nombre moyen de rencontres ?