Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
TP INFO 2

Le paradoxe du duc de Toscane

Énoncé
Grand habitué des jeux de dés, le duc de Toscane aurait remarqué qu'en lançant trois dés équilibrés et en faisant la somme des trois nombres obtenus, la somme était plus fréquente que la somme alors qu'il y a autant de manières d'écrire que en faisant la somme de trois entiers compris entre et .

Questions préliminaires :
1. Avec trois dés, on peut obtenir la somme de la façon suivante : .
Trouver les cinq autres possibilités d'obtenir la somme .

2. Trouver les six possibilités d'obtenir la somme avec trois dés.
Objectif
On cherche à vérifier expérimentalement la conjecture du duc de Toscane à l'aide d'une des deux méthodes.

Méthode 1
Tableur

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous dans un tableur.

modèle de feuille de calcul - méthode de résolution 2
Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. On souhaite faire essais de lancers de triplets de dés équilibrés. Qu'écrire en case C1 ? Étendre la formule jusqu'à la case GS1.


3. Simuler le lancer de chacun des trois dés aux lignes 3, 4 et 5.
On pourra utiliser la commande ALEA.ENTRE.BORNES
Aide

4. Remplir les cases de la ligne 7.
On pourra utiliser la commande SOMME.
Aide

5. Remplir enfin les lignes 9 et 10.
On pourra utiliser la commande NB.SI.
Aide

6. Comparer le résultat obtenu avec celui des autres élèves de la classe. Retrouve‑t‑on expérimentalement l'hypothèse du duc de Toscane ?

Méthode 2
Python

On considère le programme suivant.

from random import *

def somme_des_dés():
  dé_1 = randint(1,6)
  dé_2 = randint(1,6)
  dé_3 = randint(1,6)
  S = dé_1 + dé_2 + dé_3
  return S

def comparaison_10_et_9(n):
  i = 0
  j = 0
  for k in range(n):
    S = somme_des_dés()
    if S == 10 :
      i = i + 1
    elif S == 9 :
      j = j + 1
  return (i,j)

1. Expliquer la fonction somme_des_dés. À quoi sert‑elle ?

2. Les variables i et j correspondent à des variables de comptage (correspondant respectivement aux nombres de et de obtenus). Expliquer la suite du programme.

3. Tester le programme pour .
Cela semble‑t‑il confirmer l'hypothèse du duc de Toscane ?

Pour aller plus loin

Pour tout , on note la variable aléatoire correspondant au résultat du dé et la variable aléatoire correspondant à la somme alors obtenue.


1. Exprimer en fonction des variables aléatoires .

2. Calculer . Déterminer alors et .

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