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Le paradoxe du duc de Toscane
P.393

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TP / TICE 2


2
Le paradoxe du duc de Toscane




Énoncé

Grand habitué des jeux de dés, le duc de Toscane aurait remarqué qu’en lançant trois dés équilibrés et en faisant la somme des trois nombres obtenus, la somme 1010 était plus fréquente que la somme 99 alors qu’il y a autant de manières d’écrire 99 que 1010 en faisant la somme de trois entiers compris entre 11 et 66.

Questions préliminaires :

1. Avec trois dés, on peut obtenir la somme 99 de la façon suivante : 1+2+61 + 2 + 6.
Trouver les cinq autres possibilités d’obtenir la somme 99.


2. Trouver les six possibilités d’obtenir la somme 1010 avec trois dés.
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Objectif

On cherche à vérifier expérimentalement la conjecture du duc de Toscane à l'aide d'une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous dans un tableur.

modèle de feuille de calcul - méthode de résolution 2

2. On souhaite faire 200200 essais de lancers de triplets de dés équilibrés. Qu’écrire en case C1 ? Étendre la formule jusqu’à la case GS1.


3. Simuler le lancer de chacun des trois dés aux lignes 3, 4 et 5.

Aide
On pourra utiliser la commande ALEA.ENTRE.BORNES.


4. Remplir les cases de la ligne 7.

Aide
On pourra utiliser la commande SOMME.


5. Remplir enfin les lignes 9 et 10.

Aide
On pourra utiliser la commande NB.SI.


6. Comparer le résultat obtenu avec celui des autres élèves de la classe. Retrouve‑t‑on expérimentalement l’hypothèse du duc de Toscane ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

1. Expliquer la fonction somme_des_dés. À quoi sert‑elle ?


2. Les variables i et j correspondent à des variables de comptage (correspondant respectivement aux nombres de 1010 et de 99 obtenus). Expliquer la suite du programme.


3. Tester le programme pour n=10000n = 10000.
Cela semble‑t‑il confirmer l’hypothèse du duc de Toscane ?
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On considère le programme suivant.

from random import *

def somme_des_dés():
  dé_1 = randint(1,6)
  dé_2 = randint(1,6)
  dé_3 = randint(1,6)
  S = dé_1 + dé_2 + dé_3
  return S

def comparaison_10_et_9(n):
  i = 0
  j = 0
  for k in range(n):
    S = somme_des_dés()
    if S == 10 :
      i = i + 1
    elif S == 9 :
      j = j + 1
  return (i,j)
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Pour aller plus loin


Pour tout k{1;2;3}k \in\{1 \: ; 2 \: ; 3\}, on note Xk\mathrm{X}_{k} la variable aléatoire correspondant au résultat du kek^{e} dé et X\text{X} la variable aléatoire correspondant à la somme alors obtenue.

1.Exprimer X\text{X} en fonction des variables aléatoires Xk\mathrm{X}_{k}.


2.Calculer E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}). Déterminer alors V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) et σ(X)\sigma(\mathrm{X}).
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