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Chapitre 13
TP INFO 2
Le paradoxe du duc de Toscane
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Énoncé
Grand habitué des jeux de dés, le duc de Toscane aurait remarqué qu'en lançant trois dés équilibrés et en faisant la somme des trois nombres obtenus, la somme était plus fréquente que la somme alors qu'il y a autant de manières d'écrire que en faisant la somme de trois entiers compris entre et .
Questions préliminaires :
1. Avec trois dés, on peut obtenir la somme de la façon suivante : .
Trouver les cinq autres possibilités d'obtenir la somme .
2. Trouver les six possibilités d'obtenir la somme avec trois dés.
1. Avec trois dés, on peut obtenir la somme de la façon suivante : .
Trouver les cinq autres possibilités d'obtenir la somme .
2. Trouver les six possibilités d'obtenir la somme avec trois dés.
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Objectif
On cherche à vérifier expérimentalement
la conjecture du duc de Toscane à l'aide
d'une des deux méthodes.
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Méthode 1 Tableur
1.
Reproduire la feuille de calcul ci‑dessous dans un tableur.
2. On souhaite faire essais de lancers de triplets de dés équilibrés. Qu'écrire en case C1 ? Étendre la formule jusqu'à la case GS1.
2. On souhaite faire essais de lancers de triplets de dés équilibrés. Qu'écrire en case C1 ? Étendre la formule jusqu'à la case GS1.
3.
Simuler le lancer de chacun des trois dés aux lignes 3, 4 et 5.
4. Remplir les cases de la ligne 7.
5. Remplir enfin les lignes 9 et 10.
6. Comparer le résultat obtenu avec celui des autres élèves de la classe. Retrouve‑t‑on expérimentalement l'hypothèse du duc de Toscane ?
Aide
On pourra utiliser la commande ALEA.ENTRE.BORNES
4. Remplir les cases de la ligne 7.
Aide
On pourra utiliser la commande SOMME.
5. Remplir enfin les lignes 9 et 10.
Aide
On pourra utiliser la commande NB.SI.
6. Comparer le résultat obtenu avec celui des autres élèves de la classe. Retrouve‑t‑on expérimentalement l'hypothèse du duc de Toscane ?
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Méthode 2Python
On considère le programme suivant.
from random import *
def somme_des_dés():
dé_1 = randint(1,6)
dé_2 = randint(1,6)
dé_3 = randint(1,6)
S = dé_1 + dé_2 + dé_3
return S
def comparaison_10_et_9(n):
i = 0
j = 0
for k in range(n):
S = somme_des_dés()
if S == 10 :
i = i + 1
elif S == 9 :
j = j + 1
return (i,j)
1.
Expliquer la fonction somme_des_dés. À quoi sert‑elle ?
2. Les variables i et j correspondent à des variables de comptage (correspondant respectivement aux nombres de et de obtenus). Expliquer la suite du programme.
3. Tester le programme pour .
Cela semble‑t‑il confirmer l'hypothèse du duc de Toscane ?
2. Les variables i et j correspondent à des variables de comptage (correspondant respectivement aux nombres de et de obtenus). Expliquer la suite du programme.
3. Tester le programme pour .
Cela semble‑t‑il confirmer l'hypothèse du duc de Toscane ?
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Pour tout , on note la variable aléatoire
correspondant au résultat du dé et la
variable aléatoire correspondant à la somme alors
obtenue.
1. Exprimer en fonction des variables aléatoires .
2. Calculer . Déterminer alors et .
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
