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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 13
Auto‑évaluation
Exercices d'auto‑évaluation
QCM
Réponse unique
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes
définies sur un même univers Ω dont on
donne les lois de probabilité.
xi
−4
2
3
P(X=xi)
0,25
0,6
0,15
yi
−7
1
3
5
P(Y=yi)
0,15
0,2
0,35
0,3
6
E(2X) est égale à :
b.0,65
c.0,3252
d.1,3
7
E(3X−Y) est égale à :
a.3,65
b.7,55
c.0,25
d.4,15
8
V(X+Y) est égale à :
a.22,6375
b.14,655
c.7,3275
d.15,31
9
V(2X+Y) est égale à :
a.29,965
b.18,97375
c.22,6375
d.44,62
QCM
Réponses multiples
Une ou plusieurs bonnes réponses par question
10
On considère deux variables aléatoires X et Y
suivant respectivement les lois binomiales de paramètres
n=100 et p=0,25, et m=200 et q=0,4.
a. E(X)=E(Y)
b. La moyenne théorique des valeurs prises par X est inférieure à celle des valeurs prises par Y.
c. σ(X)=σ(Y)
d. Les valeurs prises par X sont théoriquement moins espacées autour de leur moyenne que celles de Y.
11
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes
définies sur Ω. Alors :
a. V(2X−Y)=V(2X)−V(Y)
b. V(2X−Y)=2V(X)−V(Y)
c. V(2X−Y)=V(2X)+V(Y)
d. V(2X−Y)=4V(X)+V(Y)
12
Soient n un entier supérieur ou égal à 2 et
X1;…;Xn, n variables aléatoires de même loi de probabilité. Alors :
a. E(X2)=E(Xn)
b. Si X1 prend la valeur 3 à l'issue de l'expérience aléatoire, il en est nécessairement de même pour Xn.
c. E(i=1∑nXi)=nE(X1)
d. E(i=1∑nXi)=nE(Xn)
13
On reprend les conditions de la question précédente. Alors :
a. V(X1+…+Xn)=nV(X1)
b. σ(X1+…+Xn)=n×σ(X1)
c. V(nX1+…+Xn)=nV(Xn)
d. Aucune des propositions ne convient, il faut ajouter une hypothèse.
Problème
14
On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur un univers Ω dont on donne les lois de probabilité.
xi
−8
2
4
P(X=xi)
0,35
0,45
0,2
yi
1
3
a
7
P(Y=yi)
0,1
0,25
0,45
0,2
1. Calculer E(X) puis déterminer une expression de
E(Y) en fonction de a.
2. Quelle doit être la valeur de a pour que E(X+2Y)=7 ?
QCM
Supplémentaires
Une ou plusieurs bonnes réponses par question
A
On lance deux fois de suite un dé cubique et on note X la variable aléatoire correspondant à la moyenne des deux dés obtenus. Pour k∈{1;2} , on note Xk la variable aléatoire correspondant au résultat du k-ième dé. Alors :
a.X=2X1.
b.X=2X2.
c.X=X1+X2 .
d.X=2X1+X2.
B
On considère quatre variables aléatoires X1 , X2 , X3 et X4 . L'espérance de la somme S=X1+X2+X3+X4 est :
a.E(S)=4E(X1).
b.E(S)=4E(X3).
c.E(S)=4E(X1).
d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse dans l'énoncé.
C
On lance un dé équilibré et le nombre de points correspond au triple du numéro de la face obtenue. Soit X la variable aléatoire correspondante. Alors :
a.X=3X1 où X1 correspond au numéro de la face obtenue en lançant un dé équilibré.
b.X=X1+X2+X3 où, pour tout k∈{1;2;3} , Xk correspond au numéro de la face obtenue pour chacun des lancers en lançant un dé équilibré.
D
Soient X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n=20 et p=0,2, et Y une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n=35 et p=0,7, toutes deux supposées définies sur le même univers Ω.
Déterminer E(X+2Y).
a.E(X+2Y)=17,9
b.E(X+2Y)=53
c.E(X+2Y)=28,5
d.E(X+2Y)=26,5
On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires indépendantes X et Y.
xi
−4
0
5
8
P(X=xi)
0,25
0,3
0,2
0,25
yi
−5
5
10
20
P(Y=yi)
0,2
0,4
0,3
0,1
E
En prenant X et Y les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de σ(3Y−2X) est :
a.3σ(Y)−2σ(X).
b.3σ(Y)+2σ(X) .
c.521 .
d.357 .
F
En prenant X et Y les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de V(3Y−2X) est :
a.9V(Y)−4V(X).
b.9V(Y)+4V(X).
c.525.
d.357.
G
Lesquelles des situations ci-dessous pourraient être décrites par une variable aléatoire X pouvant s'écrire X=X1+X2 ?
a. On choisit au hasard un client d'un magasin de meubles et on regarde le prix total que ce client a payé en s'intéressant au prix des meubles qu'il a acheté, et à la location (ou non) d'un camion de déménagement.
b. On choisit au hasard un utilisateur d'un site de vente aux enchères et on s'intéresse au prix maximum que l'utilisateur a déboursé pour acheter un objet.
c. On pioche deux boules, l'une après l'autre et avec remise, dans une urne contenant neuf boules numérotées de 1 à 9 et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus.
d. On lance deux dés équilibrés à six faces et on cherche à savoir s'ils ont donné, ou non, le même résultat.
H
On considère quatre variables aléatoires X1 , X2 , X3 et X4 de même loi de probabilité et indépendantes. La variance de la somme S=X1+X2+X3+X4 est :
a.V(S)=4V(X1).
b.V(S)=16V(X1).
c.V(S)=V(X1)+V(X2)+V(X3)+V(X4).
d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse.
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