Auto-évaluation

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur un même univers $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité.

6

$\mathrm{E}(2 \mathrm{X})$ est égale à :
a. $0{,}325$
b. $0{,}65$
c. $0{,}325^{2}$
d. $1{,}3$

7

$\mathrm{E}(3 \mathrm{X}-\mathrm{Y})$ est égale à :
a. $3{,}65$
b. $7{,}55$
c. $0{,}25$
d. $4{,}15$

8

$\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})$ est égale à :
a. $22{,}6375$
b. $14{,}655$
c. $7{,}3275$
d. $15{,}31$

9

$\mathrm{V}(2 \mathrm{X}+\mathrm{Y})$ est égale à :
a. $29{,}965$
b. $18{,}97375$
c. $22{,}6375$
d. $44{,}62$

10

On considère deux variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ suivant respectivement les lois binomiales de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}25$, et $m = 200$ et $q = 0{,}4$.

a. $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{E}(\mathrm{Y})$

×

b. La moyenne théorique des valeurs prises par $\text{X}$ est inférieure à celle des valeurs prises par $\text{Y}$.

c. $\sigma(\mathrm{X})=\sigma(\mathrm{Y})$

×

d. Les valeurs prises par $\text{X}$ sont théoriquement moins espacées autour de leur moyenne que celles de $\text{Y}$.

11

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur $\Omega$. Alors :

a. $\mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(2 \mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

b. $\mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=2 \mathrm{V}(\mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

×

c. $\mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(2 \mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

×

d. $\mathrm{V}(2 \mathrm{X}-\mathrm{Y})=4 \mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

12

Soient $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $\mathrm{X}_{1} ; \ldots ; \mathrm{X}_{n}$, $n$ variables aléatoires de même loi de probabilité. Alors :

×

a. $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{2}\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right)$

b. Si $\mathrm{X}_{1}$ prend la valeur $3$ à l’issue de l’expérience aléatoire, il en est nécessairement de même pour $\mathrm{X}_{n}$.

×

c. $\mathrm{E}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}\right)=n \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)$

×

d. $\mathrm{E}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}\right)=n \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{n}\right)$

13

On reprend les conditions de la question précédente. Alors :

a. $\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=n \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}\right)$

b. $\sigma\left(\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=\sqrt{n} \times \sigma\left(\mathrm{X}_{1}\right)$

c. $V\left(\dfrac{X_{1}+\ldots+X_{n}}{n}\right)=\dfrac{V\left(X_{n}\right)}{n}$

×

d. Aucune des propositions ne convient, il faut ajouter une hypothèse.

14

On considère deux variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ définies sur un univers $\Omega$ dont on donne les lois de probabilité.



1. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ puis déterminer une expression de $\mathrm{E}(\mathrm{Y})$ en fonction de $a$.


2. Quelle doit être la valeur de $a$ pour que $\mathrm{E}(\mathrm{X}+2 \mathrm{Y})=7$ ?

A

On lance deux fois de suite un dé cubique et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant à la moyenne des deux dés obtenus. Pour $k\in\{1 \: ;2\}$ , on note $\text{X}_k$ la variable aléatoire correspondant au résultat du $k$-ième dé. Alors :

a. $\text{X} = 2 \text{X}_1$.
b. $\text{X}=2 \text{X}_2$.
c. $\text{X} = \text{X}_1+ \text{X}_2$ .
d. $\text{X} =\dfrac{\text{X}_1+ \text{X}_2}{2}$.

B

On considère quatre variables aléatoires $\text{X}_1$ , $\text{X}_2$ , $\text{X}_3$ et $\text{X}_4$ . L’espérance de la somme $\text{S}=\text{X}_1+\text{X}_2+\text{X}_3+\text{X}_4$ est :

a. $\text{E}(\text{S}) = 4\text{E}(\text{X}_1)$.
b. $\text{E}(\text{S})= 4\text{E}(\text{X}_3)$.
c. $\text{E}(\text{S}) = \dfrac{\text{E}(\text{X}_1)}{4}$.
d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse dans l’énoncé.

C

On lance un dé équilibré et le nombre de points correspond au triple du numéro de la face obtenue. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondante. Alors :

a. $\text{X}=3 \text{X}_1$ où $\text{X}_1$ correspond au numéro de la face obtenue en lançant un dé équilibré.
b. $\text{X}= \text{X}_1+ \text{X}_2+ \text{X}_3$ où, pour tout $k\in\{1 \: ;2 \: ;3\}$ , $\text{X}_k$ correspond au numéro de la face obtenue pour chacun des lancers en lançant un dé équilibré.

D

Soient $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}2$, et $\text{Y}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n = 35$ et $p = 0{,}7$, toutes deux supposées définies sur le même univers $\Omega$.
Déterminer $\text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right)$.

a. $\text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 17{,}9$
b. $\text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 53$
c. $\text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 28{,}5$
d. $\text{E} \left( \text{X} + 2 \text{Y} \right) = 26{,}5$

On donne les lois de probabilité de deux variables aléatoires indépendantes $\text{X}$ et $\text{Y}$.

E

En prenant $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de $\sigma(3 \text{Y} -2 \text{X})$ est :

a. $3\sigma( \text{Y})-2\sigma(\text{X})$.
b. $3\sigma( \text{Y})+2\sigma(\text{X})$ .
c. $5\sqrt{21}$ .
d. $\sqrt{357}$ .

F

En prenant $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de $\text{V} (3 \text{Y} -2 \text{X})$ est :

a. $9\text{V}( \text{Y} )-4\text{V}( \text{X} )$.

×

b. $9\text{V}( \text{Y} )+4\text{V}( \text{X} )$.

×

c. $525$.

d. $357$.

G

Lesquelles des situations ci-dessous pourraient être décrites par une variable aléatoire $\text{X}$ pouvant s’écrire $\text{X} = \text{X}_1 + \text{X}_2$ ?

×

a. On choisit au hasard un client d’un magasin de meubles et on regarde le prix total que ce client a payé en s’intéressant au prix des meubles qu’il a acheté, et à la location (ou non) d’un camion de déménagement.

b. On choisit au hasard un utilisateur d’un site de vente aux enchères et on s’intéresse au prix maximum que l’utilisateur a déboursé pour acheter un objet.

×

c. On pioche deux boules, l’une après l’autre et avec remise, dans une urne contenant neuf boules numérotées de $1$ à $9$ et on s’intéresse à la somme des deux nombres obtenus.

d. On lance deux dés équilibrés à six faces et on cherche à savoir s’ils ont donné, ou non, le même résultat.

H

On considère quatre variables aléatoires $\text{X}_1$ , $\text{X}_2$ , $\text{X}_3$ et $\text{X}_4$ de même loi de probabilité et indépendantes. La variance de la somme $\text{S}=\text{X}_1+\text{X}_2+\text{X}_3+\text{X}_4$ est :

×

a. $\text{V}(\text{S}) = 4 \text{V}(\text{X}_1)$.

b. $\text{V}(\text{S}) = 16 \text{V}(\text{X}_1)$.

×

c. $\text{V}(\text{S})=\text{V}(\text{X}_1) + \text{V}(\text{X}_2)+\text{V}(\text{X}_3)+\text{V}(\text{X}_4)$.

d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse.