Exercices d'auto‑évaluation

6

$\mathrm{E}(2\mathrm{X})$ est égale à :

a. $0,325$

b. $0,65$

c. $0,325^2$

d. $1,3$

7

$\mathrm{E}(3\mathrm{X}-\mathrm{Y})$ est égale à :

a. $3,65$

b. $7,55$

c. $0,25$

d. $4,15$

8

$\mathrm{V}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})$ est égale à :

a. $22,6375$

b. $14,655$

c. $7,3275$

d. $15,31$

9

$\mathrm{V}(2\mathrm{X}+\mathrm{Y})$ est égale à :

a. $29,965$

b. $18,97375$

c. $22,6375$

d. $44,62$

10

On considère deux variables aléatoires $\text{X}$ et $\text{Y}$ suivant respectivement les lois binomiales de paramètres $n=100$ et $p=0,25$, et $m=200$ et $q=0,4$.

a. $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathrm{E}(\mathrm{Y})$

b. La moyenne théorique des valeurs prises par $\text{X}$ est inférieure à celle des valeurs prises par $\text{Y}$.

c. $\sigma (\mathrm{X})=\sigma (\mathrm{Y})$

d. Les valeurs prises par $\text{X}$ sont théoriquement moins espacées autour de leur moyenne que celles de $\text{Y}$.

11

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur $\Omega$. Alors :

a. $\mathrm{V}(2\mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(2\mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

b. $\mathrm{V}(2\mathrm{X}-\mathrm{Y})=2\mathrm{V}(\mathrm{X})-\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

c. $\mathrm{V}(2\mathrm{X}-\mathrm{Y})=\mathrm{V}(2\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

d. $\mathrm{V}(2\mathrm{X}-\mathrm{Y})=4\mathrm{V}(\mathrm{X})+\mathrm{V}(\mathrm{Y})$

12

Soient $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et ${\mathrm{X}}_1;\dots ;{\mathrm{X}}_n$, $n$ variables aléatoires de même loi de probabilité. Alors :

a. $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_2\right)=\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_n\right)$

b. Si ${\mathrm{X}}_1$ prend la valeur $3$ à l'issue de l'expérience aléatoire, il en est nécessairement de même pour ${\mathrm{X}}_n$.

c. $\mathrm{E}\left(\sum _{i=1}^n{\mathrm{X}}_i\right)=n\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)$

d. $\mathrm{E}\left(\sum _{i=1}^n{\mathrm{X}}_i\right)=n\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_n\right)$

13

On reprend les conditions de la question précédente. Alors :

a. $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n\right)=n\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_1\right)$

b. $\sigma \left({\mathrm{X}}_1+\dots +{\mathrm{X}}_n\right)=\sqrt{n}\times \sigma \left({\mathrm{X}}_1\right)$

c. $V\left(\frac{X_1+\dots +X_n}{n}\right)=\frac{V\left(X_n\right)}{n}$

d. Aucune des propositions ne convient, il faut ajouter une hypothèse.

A

On lance deux fois de suite un dé cubique et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant à la moyenne des deux dés obtenus. Pour $k\in \{1;2\}$ , on note ${\text{X}}_k$ la variable aléatoire correspondant au résultat du $k$-ième dé. Alors :

a. $\text{X}=2{\text{X}}_1$.

b. $\text{X}=2{\text{X}}_2$.

c. $\text{X}={\text{X}}_1+{\text{X}}_2$ .

d. $\text{X}=\frac{{\text{X}}_1+{\text{X}}_2}{2}$.

B

On considère quatre variables aléatoires ${\text{X}}_1$ , ${\text{X}}_2$ , ${\text{X}}_3$ et ${\text{X}}_4$ . L'espérance de la somme $\text{S}={\text{X}}_1+{\text{X}}_2+{\text{X}}_3+{\text{X}}_4$ est :

a. $\text{E}(\text{S})=4\text{E}({\text{X}}_1)$.

b. $\text{E}(\text{S})=4\text{E}({\text{X}}_3)$.

c. $\text{E}(\text{S})=\frac{\text{E}({\text{X}}_1)}{4}$.

d. On ne peut pas savoir, il manque une hypothèse dans l'énoncé.

C

On lance un dé équilibré et le nombre de points correspond au triple du numéro de la face obtenue. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondante. Alors :

a. $\text{X}=3{\text{X}}_1$ où ${\text{X}}_1$ correspond au numéro de la face obtenue en lançant un dé équilibré.

b. $\text{X}={\text{X}}_1+{\text{X}}_2+{\text{X}}_3$ où, pour tout $k\in \{1;2;3\}$ , ${\text{X}}_k$ correspond au numéro de la face obtenue pour chacun des lancers en lançant un dé équilibré.

D

Soient $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,2$, et $\text{Y}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0,7$, toutes deux supposées définies sur le même univers $\Omega$.
Déterminer $\text{E}\left(\text{X}+2\text{Y}\right)$.

a. $\text{E}\left(\text{X}+2\text{Y}\right)=17,9$

b. $\text{E}\left(\text{X}+2\text{Y}\right)=53$

c. $\text{E}\left(\text{X}+2\text{Y}\right)=28,5$

d. $\text{E}\left(\text{X}+2\text{Y}\right)=26,5$

E

En prenant $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de $\sigma (3\text{Y}-2\text{X})$ est :

a. $3\sigma (\text{Y})-2\sigma (\text{X})$.

b. $3\sigma (\text{Y})+2\sigma (\text{X})$ .

c. $5\sqrt{21}$ .

d. $\sqrt{357}$ .

F

En prenant $\text{X}$ et $\text{Y}$ les variables aléatoires définies ci-dessus, la valeur de $\text{V}(3\text{Y}-2\text{X})$ est :

a. $9\text{V}(\text{Y})-4\text{V}(\text{X})$.

b. $9\text{V}(\text{Y})+4\text{V}(\text{X})$.

c. $525$.

d. $357$.