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3. Intégration par parties
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COURS 3


3
Intégration par parties





Propriété : Intégration par parties

On considère deux fonctions uu et vv dérivables sur un intervalle I\text{I} telles que uu' et vv' soient continues sur I\text{I}. Soient aa et bb deux réels de I\text{I} tels que a<ba \lt b. Alors :
ab(uv)(x)dx=[(uv)(x)]abab(uv)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.

Remarque

Il est parfois utile de remarquer que abf(x)dx=ab1×f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b} 1 \times f(x) \mathrm{d} x pour effectuer une intégration par parties en utilisant u(x)=1u'(x)=1.

DÉMONSTRATION

Par opération de fonctions dérivables, u×vu \times v est dérivable sur [a ;b][a~; b] et (u×v)=uv+uv(u \times v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}. Donc, pour tout réel x[a ;b]x \in[a~; b], on a (u×v)(x)=(uv+uv)(x)(u \times v)^{\prime}(x)=\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right)(x).
uu et vv sont des fonctions dérivables sur [a ;b][a~; b] et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, (uv)(u v)^{\prime}, uvu^{\prime} v, uvu v^{\prime} et uv+uvu^{\prime} v+u v^{\prime} sont continues sur [a ;b][a~; b]. Elles admettent donc des primitives.
On obtient ab(uv)(x)dx=ab[(uv)(x)+(uv)(x)]dx\displaystyle\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\left(u^{\prime} v\right)(x)+\left(u v^{\prime}\right)(x)\right] \mathrm{d} x soit [(uv)(x)]ab=ab(uv)(x)dx+ab(uv)(x)dx[(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x, par linéarité de l’intégrale.
D’après l’égalité précédente, on écrit ab(uv)(x)dx=[(uv)(x)]abab(uv)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.

Remarque

La propriété reste vraie si a>ba > b.

Exemple

Calculer 10xexdx\displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} d x.
On définit les fonctions uu et vv sur [1 ;0][-1~; 0] par u(x)=exu^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=xv(x)=x.
Ainsi, pour tout x[1 ;0]x \in[-1~; 0], on peut poser u(x)=exu(x)=\mathrm{e}^{x} et on a v(x)=1v^{\prime}(x)=1 et uu et vv sont dérivables sur [1 ;0][-1~; 0]. uu' et vv' sont continues sur [1 ;0][-1~; 0].
En utilisant une intégration par parties, on obtient :
10xexdx=[xex]1010exdx=e1[ex]10=2e11\displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\left[x \mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}-\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-1}-\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}=2 \mathrm{e}^{-1}-1.

Remarque

Le choix des fonctions uu' et vv est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielle, fonctions polynômes).

Remarque

L’intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien (chapitre 8) et les fonctions trigonométriques (chapitre 9).

Application et méthode - 6

Énoncé

On admet que 0e11x+1dx=1\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \dfrac{1}{x+1} \mathrm{d} x=1. Calculer 0e1x(x+1)2dx\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \dfrac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x.

Solution

On définit sur [0 ;e1][0~; \mathrm{e}-1] les fonctions u(x)=1(x+1)2u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}} et v(x)=xv(x)=x.
Ainsi, u(x)=1x+1u(x)=-\dfrac{1}{x+1} et v(x)=1v^{\prime}(x)=1. uu et vv sont dérivables sur [0 ;e1][0~; \mathrm{e}-1] et uu' et vv' sont continues sur [0 ;e1][0~; \mathrm{e}-1].
En utilisant une intégration par parties, on obtient 0e1x(x+1)2dx=[xx+1]0e10e11x+1dx=e1e1+1+0e11x+1dx=e1e+1=1e\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \dfrac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\dfrac{x}{x+1}\right]_{0}^{\mathrm{e}-1}-\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1}-\dfrac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\dfrac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}-1+1}+\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \dfrac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\dfrac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}+1=\dfrac{1}{\mathrm{e}}.

Pour s'entraîner : exercices 40 et 41 p. 327

Méthode

Lorsque le calcul d’une intégrale n’est pas possible directement avec une primitive, on peut utiliser une intégration par parties.
  • Choisir judicieusement uu' et vv en justifiant la dérivabilité et la continuité des fonctions.
  • Utiliser la formule d’intégration par parties.
  • Calculer les intégrales pour conclure.

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