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Cours 3
Intégration par parties
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Propriété : Intégration par parties
On considère deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle \text{I} telles que u' et v' soient continues sur \text{I}. Soient a et b deux réels de \text{I} tels que a \lt b. Alors :
\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
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Il est parfois utile de remarquer que \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b} 1 \times f(x) \mathrm{d} x pour effectuer une intégration par parties en utilisant u'(x)=1.
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Démonstration
Par opération de fonctions dérivables, u \times v est dérivable sur [a~; b] et (u \times v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}. Donc, pour tout réel x \in[a~; b], on a (u \times v)^{\prime}(x)=\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right)(x).
u et v sont des fonctions dérivables sur [a~; b] et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, (u v)^{\prime}, u^{\prime} v, u v^{\prime} et u^{\prime} v+u v^{\prime} sont continues sur [a~; b]. Elles admettent donc des primitives.
On obtient \displaystyle\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\left(u^{\prime} v\right)(x)+\left(u v^{\prime}\right)(x)\right] \mathrm{d} x soit [(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x, par linéarité de l'intégrale.
D'après l'égalité précédente, on écrit \displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
u et v sont des fonctions dérivables sur [a~; b] et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, (u v)^{\prime}, u^{\prime} v, u v^{\prime} et u^{\prime} v+u v^{\prime} sont continues sur [a~; b]. Elles admettent donc des primitives.
On obtient \displaystyle\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\left(u^{\prime} v\right)(x)+\left(u v^{\prime}\right)(x)\right] \mathrm{d} x soit [(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x, par linéarité de l'intégrale.
D'après l'égalité précédente, on écrit \displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
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La propriété reste vraie si a > b.
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Exemple
Calculer \displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} d x.
On définit les fonctions u et v sur [-1~; 0] par u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=x.
Ainsi, pour tout x \in[-1~; 0], on peut poser u(x)=\mathrm{e}^{x} et on a v^{\prime}(x)=1 et u et v sont dérivables sur [-1~; 0]. u' et v' sont continues sur [-1~; 0].
En utilisant une intégration par parties, on obtient : \displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\left[x \mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}-\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-1}-\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}=2 \mathrm{e}^{-1}-1.
On définit les fonctions u et v sur [-1~; 0] par u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=x.
Ainsi, pour tout x \in[-1~; 0], on peut poser u(x)=\mathrm{e}^{x} et on a v^{\prime}(x)=1 et u et v sont dérivables sur [-1~; 0]. u' et v' sont continues sur [-1~; 0].
En utilisant une intégration par parties, on obtient : \displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\left[x \mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}-\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-1}-\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}=2 \mathrm{e}^{-1}-1.
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Le choix des fonctions u' et v est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d'autres (exponentielle, fonctions polynômes).
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Application et méthode - 6
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Énoncé
On admet que \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=1. Calculer \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x.
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L'intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien () et les fonctions trigonométriques ().
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Lorsque le calcul d'une intégrale n'est pas possible directement avec une primitive, on peut utiliser une intégration par parties.
- Choisir judicieusement u' et v en justifiant la dérivabilité et la continuité des fonctions.
- Utiliser la formule d'intégration par parties.
- Calculer les intégrales pour conclure.
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Solution
On définit sur [0~; \mathrm{e}-1] les fonctions u^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+1)^{2}} et v(x)=x.
Ainsi, u(x)=-\frac{1}{x+1} et v^{\prime}(x)=1. u et v sont dérivables sur [0~; \mathrm{e}-1] et u' et v' sont continues sur [0~; \mathrm{e}-1].
En utilisant une intégration par parties, on obtient \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{x}{x+1}\right]_{0}^{\mathrm{e}-1}-\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1}-\frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}-1+1}+\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}+1=\frac{1}{\mathrm{e}}.
Ainsi, u(x)=-\frac{1}{x+1} et v^{\prime}(x)=1. u et v sont dérivables sur [0~; \mathrm{e}-1] et u' et v' sont continues sur [0~; \mathrm{e}-1].
En utilisant une intégration par parties, on obtient \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{x}{x+1}\right]_{0}^{\mathrm{e}-1}-\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1}-\frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}-1+1}+\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}+1=\frac{1}{\mathrm{e}}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 327
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