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3. Intégration par parties
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COURS 3


3
Intégration par parties





Propriété : Intégration par parties

On considère deux fonctions et dérivables sur un intervalle telles que et soient continues sur . Soient et deux réels de tels que . Alors :
.

Remarque

Il est parfois utile de remarquer que pour effectuer une intégration par parties en utilisant .

DÉMONSTRATION

Par opération de fonctions dérivables, est dérivable sur et . Donc, pour tout réel , on a .
et sont des fonctions dérivables sur et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, , , et sont continues sur . Elles admettent donc des primitives.
On obtient soit , par linéarité de l’intégrale.
D’après l’égalité précédente, on écrit .

Remarque

La propriété reste vraie si .

Exemple

Calculer .
On définit les fonctions et sur par et .
Ainsi, pour tout , on peut poser et on a et et sont dérivables sur . et sont continues sur .
En utilisant une intégration par parties, on obtient :
.

Remarque

Le choix des fonctions et est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielle, fonctions polynômes).

Remarque

L’intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien (chapitre 8) et les fonctions trigonométriques (chapitre 9).

Application et méthode - 6

Énoncé

On admet que . Calculer .

Solution

On définit sur les fonctions et .
Ainsi, et . et sont dérivables sur et et sont continues sur .
En utilisant une intégration par parties, on obtient .

Pour s'entraîner : exercices 40 et 41 p. 327

Méthode

Lorsque le calcul d’une intégrale n’est pas possible directement avec une primitive, on peut utiliser une intégration par parties.
  • Choisir judicieusement et en justifiant la dérivabilité et la continuité des fonctions.
  • Utiliser la formule d’intégration par parties.
  • Calculer les intégrales pour conclure.

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