Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Cours 3
Intégration par parties
11 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriété : Intégration par parties
On considère deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle \text{I} telles que u' et v' soient continues sur \text{I}. Soient a et b deux réels de \text{I} tels que a \lt b. Alors :
\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Il est parfois utile de remarquer que \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b} 1 \times f(x) \mathrm{d} x pour effectuer une intégration par parties en utilisant u'(x)=1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Par opération de fonctions dérivables, u \times v est dérivable sur [a~; b] et (u \times v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}. Donc, pour tout réel x \in[a~; b], on a (u \times v)^{\prime}(x)=\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right)(x).
u et v sont des fonctions dérivables sur [a~; b] et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, (u v)^{\prime}, u^{\prime} v, u v^{\prime} et u^{\prime} v+u v^{\prime} sont continues sur [a~; b]. Elles admettent donc des primitives.
On obtient \displaystyle\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\left(u^{\prime} v\right)(x)+\left(u v^{\prime}\right)(x)\right] \mathrm{d} x soit [(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x, par linéarité de l'intégrale.
D'après l'égalité précédente, on écrit \displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
u et v sont des fonctions dérivables sur [a~; b] et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, (u v)^{\prime}, u^{\prime} v, u v^{\prime} et u^{\prime} v+u v^{\prime} sont continues sur [a~; b]. Elles admettent donc des primitives.
On obtient \displaystyle\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\left(u^{\prime} v\right)(x)+\left(u v^{\prime}\right)(x)\right] \mathrm{d} x soit [(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x, par linéarité de l'intégrale.
D'après l'égalité précédente, on écrit \displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
La propriété reste vraie si a > b.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Calculer \displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} d x.
On définit les fonctions u et v sur [-1~; 0] par u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=x.
Ainsi, pour tout x \in[-1~; 0], on peut poser u(x)=\mathrm{e}^{x} et on a v^{\prime}(x)=1 et u et v sont dérivables sur [-1~; 0]. u' et v' sont continues sur [-1~; 0].
En utilisant une intégration par parties, on obtient : \displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\left[x \mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}-\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-1}-\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}=2 \mathrm{e}^{-1}-1.
On définit les fonctions u et v sur [-1~; 0] par u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=x.
Ainsi, pour tout x \in[-1~; 0], on peut poser u(x)=\mathrm{e}^{x} et on a v^{\prime}(x)=1 et u et v sont dérivables sur [-1~; 0]. u' et v' sont continues sur [-1~; 0].
En utilisant une intégration par parties, on obtient : \displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\left[x \mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}-\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-1}-\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}=2 \mathrm{e}^{-1}-1.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Le choix des fonctions u' et v est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d'autres (exponentielle, fonctions polynômes).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Application et méthode - 6
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Énoncé
On admet que \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=1. Calculer \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
L'intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien () et les fonctions trigonométriques ().
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Lorsque le calcul d'une intégrale n'est pas possible directement avec une primitive, on peut utiliser une intégration par parties.
- Choisir judicieusement u' et v en justifiant la dérivabilité et la continuité des fonctions.
- Utiliser la formule d'intégration par parties.
- Calculer les intégrales pour conclure.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Solution
On définit sur [0~; \mathrm{e}-1] les fonctions u^{\prime}(x)=\frac{1}{(x+1)^{2}} et v(x)=x.
Ainsi, u(x)=-\frac{1}{x+1} et v^{\prime}(x)=1. u et v sont dérivables sur [0~; \mathrm{e}-1] et u' et v' sont continues sur [0~; \mathrm{e}-1].
En utilisant une intégration par parties, on obtient \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{x}{x+1}\right]_{0}^{\mathrm{e}-1}-\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1}-\frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}-1+1}+\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}+1=\frac{1}{\mathrm{e}}.
Ainsi, u(x)=-\frac{1}{x+1} et v^{\prime}(x)=1. u et v sont dérivables sur [0~; \mathrm{e}-1] et u' et v' sont continues sur [0~; \mathrm{e}-1].
En utilisant une intégration par parties, on obtient \displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{x}{x+1}\right]_{0}^{\mathrm{e}-1}-\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1}-\frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}-1+1}+\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}+1=\frac{1}{\mathrm{e}}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 327
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah