On considère deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I telles que u′ et v′ soient continues sur I. Soient a et b deux réels de I tels que a<b. Alors :
∫ab(u′v)(x)dx=[(uv)(x)]ab−∫ab(uv′)(x)dx.
Remarque
Il est parfois utile de remarquer que ∫abf(x)dx=∫ab1×f(x)dx pour effectuer une intégration par parties en utilisant u′(x)=1.
DÉMONSTRATION
Par opération de fonctions dérivables, u×v est dérivable sur [a;b] et (u×v)′=u′v+uv′. Donc, pour tout réel x∈[a;b], on a (u×v)′(x)=(u′v+uv′)(x). u et v sont des fonctions dérivables sur [a;b] et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, (uv)′, u′v, uv′ et u′v+uv′ sont continues sur [a;b]. Elles admettent donc des primitives.
On obtient ∫ab(uv)′(x)dx=∫ab[(u′v)(x)+(uv′)(x)]dx soit [(uv)(x)]ab=∫ab(u′v)(x)dx+∫ab(uv′)(x)dx, par linéarité de l’intégrale.
D’après l’égalité précédente, on écrit ∫ab(u′v)(x)dx=[(uv)(x)]ab−∫ab(uv′)(x)dx.
Remarque
La propriété reste vraie si a>b.
Exemple
Calculer ∫−10xexdx.
On définit les fonctions u et v sur [−1;0] par u′(x)=ex et v(x)=x.
Ainsi, pour tout x∈[−1;0], on peut poser u(x)=ex et on a v′(x)=1 et u et v sont dérivables sur [−1;0]. u′ et v′ sont continues sur [−1;0].
En utilisant une intégration par parties, on obtient :
Le choix des fonctions u′ et v est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielle, fonctions polynômes).
Remarque
L’intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien (chapitre 8) et les fonctions trigonométriques (chapitre 9).
Application et méthode - 6
Énoncé
On admet que ∫0e−1x+11dx=1. Calculer ∫0e−1(x+1)2xdx.
Solution
On définit sur [0;e−1] les fonctions u′(x)=(x+1)21 et v(x)=x.
Ainsi, u(x)=−x+11 et v′(x)=1. u et v sont dérivables sur [0;e−1] et u′ et v′ sont continues sur [0;e−1].
En utilisant une intégration par parties, on obtient ∫0e−1(x+1)2xdx=[−x+1x]0e−1−∫0e−1−x+11dx=−e−1+1e−1+∫0e−1x+11dx=−ee−1+1=e1.
Lorsque le calcul d’une intégrale n’est pas possible directement avec une primitive, on peut utiliser une intégration par parties.
Choisir judicieusement u′ et v en justifiant la dérivabilité et la continuité des fonctions.
Utiliser la formule d’intégration par parties.
Calculer les intégrales pour conclure.
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