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Intégration par parties

Il est parfois utile de remarquer que $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b} 1 \times f(x) \mathrm{d} x$ pour effectuer une intégration par parties en utilisant $u'(x)=1$.

DÉMONSTRATION

Par opération de fonctions dérivables, $u \times v$ est dérivable sur $[a~; b]$ et $(u \times v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$. Donc, pour tout réel $x \in[a~; b]$, on a $(u \times v)^{\prime}(x)=\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right)(x)$.
$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $[a~; b]$ et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, $(u v)^{\prime}$, $u^{\prime} v$, $u v^{\prime}$ et $u^{\prime} v+u v^{\prime}$ sont continues sur $[a~; b]$. Elles admettent donc des primitives.
On obtient $\displaystyle\int_{a}^{b}(u v)^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left[\left(u^{\prime} v\right)(x)+\left(u v^{\prime}\right)(x)\right] \mathrm{d} x$ soit $[(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x$, par linéarité de l’intégrale.
D’après l’égalité précédente, on écrit $\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x=[(u v)(x)]_{a}^{b}-\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x$.

La propriété reste vraie si $a > b$.

Exemple

Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} d x$.
On définit les fonctions $u$ et $v$ sur $[-1~; 0]$ par $u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $v(x)=x$.
Ainsi, pour tout $x \in[-1~; 0]$, on peut poser $u(x)=\mathrm{e}^{x}$ et on a $v^{\prime}(x)=1$ et $u$ et $v$ sont dérivables sur $[-1~; 0]$. $u'$ et $v'$ sont continues sur $[-1~; 0]$.
En utilisant une intégration par parties, on obtient : $\displaystyle\int_{-1}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\left[x \mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}-\displaystyle\int_{-1}^{0} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{-1}-\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{-1}^{0}=2 \mathrm{e}^{-1}-1$.

Le choix des fonctions $u'$ et $v$ est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielle, fonctions polynômes).

L’intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien (chapitre 8) et les fonctions trigonométriques (chapitre 9).

On admet que $\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \dfrac{1}{x+1} \mathrm{d} x=1$. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{e}-1} \dfrac{x}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x$.