Intégration par parties

Par opération de fonctions dérivables, $u\times v$ est dérivable sur $[a;b]$ et $(u\times v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Donc, pour tout réel $x\in [a;b]$, on a $(u\times v{)}^{\prime }(x)=\left(u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\right)(x)$.
$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $[a;b]$ et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, $(uv{)}^{\prime }$, $u^{\prime }v$, $u{v}^{\prime }$ et $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ sont continues sur $[a;b]$. Elles admettent donc des primitives.
On obtient ${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left[\left(u^{\prime }v\right)(x)+\left(u{v}^{\prime }\right)(x)\right]\mathrm{d}x$ soit $[(uv)(x){]}_a^b={\int }_a^b\left(u^{\prime }v\right)(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^b\left(u{v}^{\prime }\right)(x)\mathrm{d}x$, par linéarité de l'intégrale.
D'après l'égalité précédente, on écrit ${\int }_a^b\left(u^{\prime }v\right)(x)\mathrm{d}x=[(uv)(x){]}_a^b-{\int }_a^b\left(u{v}^{\prime }\right)(x)\mathrm{d}x$.

La propriété reste vraie si $a>b$.

Lorsque le calcul d'une intégrale n'est pas possible directement avec une primitive, on peut utiliser une intégration par parties.

• Choisir judicieusement $u^{\prime }$ et $v$ en justifiant la dérivabilité et la continuité des fonctions.
• Utiliser la formule d'intégration par parties.
• Calculer les intégrales pour conclure.

On définit sur $[0;\mathrm{e}-1]$ les fonctions $u^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}$ et $v(x)=x$.
Ainsi, $u(x)=-\frac{1}{x+1}$ et $v^{\prime }(x)=1$. $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0;\mathrm{e}-1]$ et $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ sont continues sur $[0;\mathrm{e}-1]$.
En utilisant une intégration par parties, on obtient ${\int }_0^{\mathrm{e}-1}\frac{x}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x={\left[-\frac{x}{x+1}\right]}_0^{\mathrm{e}-1}-{\int }_0^{\mathrm{e}-1}-\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}-1+1}+{\int }_0^{\mathrm{e}-1}\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x=-\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}}+1=\frac{1}{\mathrm{e}}$.

Exercices

40

et

41

p. 327