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Intégration par parties

Il est parfois utile de remarquer que ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}1\times f(x)\mathrm{d}x$ pour effectuer une intégration par parties en utilisant $u^{\prime }(x)=1$.

DÉMONSTRATION

Par opération de fonctions dérivables, $u\times v$ est dérivable sur $[a;b]$ et $(u\times v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Donc, pour tout réel $x\in [a;b]$, on a $(u\times v{)}^{\prime }(x)=\left(u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\right)(x)$.
$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur $[a;b]$ et sont donc continues.
Par opérations sur les fonctions continues, $(uv{)}^{\prime }$, $u^{\prime }v$, $u{v}^{\prime }$ et $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ sont continues sur $[a;b]$. Elles admettent donc des primitives.
On obtient ${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left[\left(u^{\prime }v\right)(x)+\left(u{v}^{\prime }\right)(x)\right]\mathrm{d}x$ soit $[(uv)(x){]}_a^b={\int }_a^b\left(u^{\prime }v\right)(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^b\left(u{v}^{\prime }\right)(x)\mathrm{d}x$, par linéarité de l’intégrale.
D’après l’égalité précédente, on écrit ${\int }_a^b\left(u^{\prime }v\right)(x)\mathrm{d}x=[(uv)(x){]}_a^b-{\int }_a^b\left(u{v}^{\prime }\right)(x)\mathrm{d}x$.

La propriété reste vraie si $a>b$.

Exemple

Calculer ${\int }_{-1}^{0}x{\mathrm{e}}^{x}dx$.
On définit les fonctions $u$ et $v$ sur $[-1;0]$ par $u^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$ et $v(x)=x$.
Ainsi, pour tout $x\in [-1;0]$, on peut poser $u(x)={\mathrm{e}}^x$ et on a $v^{\prime }(x)=1$ et $u$ et $v$ sont dérivables sur $[-1;0]$. $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ sont continues sur $[-1;0]$.
En utilisant une intégration par parties, on obtient : ${\int }_{-1}^{0}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\left[x{\mathrm{e}}^x\right]}_{-1}^0-{\int }_{-1}^0{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^{-1}-{\left[{\mathrm{e}}^x\right]}_{-1}^0=2{\mathrm{e}}^{-1}-1$.

Le choix des fonctions $u^{\prime }$ et $v$ est important pour permettre de continuer les calculs. Il ne faut pas oublier que certaines fonctions sont plus faciles à intégrer que d’autres (exponentielle, fonctions polynômes).

L’intégration par parties est aussi utilisée avec la fonction logarithme népérien (chapitre 8) et les fonctions trigonométriques (chapitre 9).

On admet que ${\int }_0^{\mathrm{e}-1}\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x=1$. Calculer ${\int }_0^{\mathrm{e}-1}\frac{x}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x$.