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2. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
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COURS 2


2
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque





aa et bb sont deux réels quelconques. I\text{I} est un intervalle contenant aa et bb.

A
Primitives et calcul intégral


Théorème

Toute fonction ff continue sur I\text{I} admet des primitives sur I\text{I}.

DÉMONSTRATION

Le cas général est admis. Se reporter à l’exercice
58
p. 329
pour la démonstration dans le cas où a<ba \lt b et où I=[a ;b]\mathrm{I}=[a~; b].

Définition

Lorsque ff est une fonction continue de signe quelconque sur I\text{I}, on définit l’intégrale de f\boldsymbol{f} sur l’intervalle [a ;b]\boldsymbol{[a~; b]} par abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a), où F\text{F} est une primitive de ff.

Remarque

Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l’intégrale comme l’aire d’un domaine.

Exemple

La fonction ff, définie sur R\R par f(x)=x23xf(x)=x^{2}-3 x, est continue sur R\R et admet pour primitive la fonction F\text{F} définie par F(x)=13x332x2\mathrm{F}(x)=\dfrac{1}{3} x^{3}-\dfrac{3}{2} x^{2}. Donc 25f(x)dx=[F(x)]25=152\displaystyle\int_{2}^{5} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{2}^{5}=\dfrac{15}{2}.

Définition

Lorsque a<ba \lt b, le nombre 1baabf(x)dx\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x est appelé valeur moyenne de f\boldsymbol{f} sur [a ;b]\boldsymbol{[a~; b]}.

Remarque

Lorsque ff est positive, la valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle de côté bab-a et de même aire que D\mathcal{D}.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral

Exemple

La valeur moyenne de la fonction cube sur [1 ;3][1~; 3] est 13113x3dx=10\dfrac{1}{3-1} \displaystyle\int_{1}^{3} x^{3} \mathrm{d} x=10.

Applications et méthodes - 3

Calculer une intégrale

Énoncé

Calculer 13xx2+9dx\displaystyle\int_{-1}^{3} \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}} \mathrm{d} x.

Solution

On définit la fonction ff sur R\R par f(x)=xx2+9f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}.
Par opérations de fonctions dérivables sur R\R, ff est dérivable sur R\R, donc continue sur R\R. ff admet donc des primitives sur R\R.
On a f=u2uf=\dfrac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}, avec u(x)=x2+9u(x)=x^{2}+9 et u(x)=2xu^{\prime}(x)=2 x. Donc F=u\mathrm{F}=\sqrt{u}.
Pour tout réel xx, F(x)=x2+9\mathrm{F}(x)=\sqrt{x^{2}+9}.
Ainsi, 13xx2+9dx=[x2+9]13=32+9(1)2+9=3210\displaystyle\int_{-1}^{3} \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}} \mathrm{d} x=[\sqrt{x^{2}+9}]_{-1}^{3}=\sqrt{3^{2}+9}-\sqrt{(-1)^{2}+9}=3 \sqrt{2}-\sqrt{10}.

Pour s'entraîner : exercices 32 et 33 p. 327

Méthode

  • Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives.
  • Déterminer une primitive de ff.
  • Utiliser la définition : abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).

Calculer une valeur moyenne

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur R\{2}\mathbb{R} \backslash\{-2\} par f(x)=1(x+2)2f(x)=\dfrac{1}{(x+2)^{2}}.

1. Calculer la valeur moyenne de ff sur [1 ;3][-1~; 3].
2. Interpréter graphiquement ce résultat.

Solution

1. Par opérations de fonctions dérivables sur [1 ;3][-1~; 3], ff est dérivable sur [1 ;3][-1~; 3] donc ff est continue sur [1 ;3][-1~; 3]. ff admet donc des primitives sur [1 ;3][-1~; 3].
On a f=uu2f=\dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}, avec u(x)=x+2u(x)=x+2 et u(x)=1u^{\prime}(x)=1. Donc F=1u\mathrm{F}=-\dfrac{1}{u} est une primitive de ff.
Pour tout réel x[1 ;3]x \in[-1~; 3], F(x)=1x+2\mathrm{F}(x)=-\dfrac{1}{x+2}.
La valeur moyenne de ff sur [1 ;3][-1~; 3] est égale à
13(1)131(x+2)2dx=14[1x+2]13=14(13+2+11+2)=14×45=15\dfrac{1}{3-(-1)} \displaystyle\int_{-1}^{3} \dfrac{1}{(x+2)^{2}} \mathrm{d} x=\dfrac{1}{4}\left[-\dfrac{1}{x+2}\right]_{-1}^{3}=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{3+2}+\dfrac{1}{-1+2}\right)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}.

2. ff est positive sur [1 ;3][-1~; 3]. On note D\mathcal{D} le domaine délimité par Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation respective x=1x=-1 et x=3x=3.
La valeur moyenne de ff sur [1 ;3][-1~; 3] est 15\dfrac{1}{5}.
Le rectangle de longueur 3(1)=43-(-1)=4 et de largeur 15\dfrac{1}{5} a la même aire que D\mathcal{D}.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral

Pour s'entraîner : exercices 29 p. 326 et 31 p. 327

Méthode

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l’aide de sa définition 1baabf(x)dx\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x.

2. Pour l’interprétation graphique, justifier que ff est positive sur [a ;b][a~; b], puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine D\mathcal{D}.

B
Propriétés


Propriétés

Soit ff une fonction continue sur un intervalle I\text{I}. Alors, pour tous réels aIa \in \mathrm{I} et bIb \in \mathrm{I} :
aaf(x)dx=0\displaystyle\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 et baf(x)dx=abf(x)dx\displaystyle\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x=-\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x.

Remarque

Ces propriétés découlent de abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).

Propriété : Linéarité de l’intégrale

Soient ff et gg sont deux fonctions continues sur I\text{I} et λ\lambda un réel. Alors :
ab(λf+g)(x)dx=λabf(x)dx+abg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}(\lambda f+g)(x) \mathrm{d} x=\lambda \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x.

DÉMONSTRATION

Soient ff et gg deux fonctions continues sur I\text{I}. On note F\text{F} et G\text{G} des primitives respectives de ff et gg sur I\text{I}. Une primitive de λf+g\lambda f+g est donc λF+G\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G}. On a :
ab(λf+g)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}(\lambda f+g)(x) \mathrm{d} x
=[(λF+G)(x)]ab=[(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(x)]_{a}^{b}
=(λF+G)(b)(λF+G)(a)=(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(b)-(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(a)
=λF(b)+G(b)λF(a)G(a)=\lambda \mathrm{F}(b)+\mathrm{G}(b)-\lambda \mathrm{F}(a)-\mathrm{G}(a)
=λ[F(b)F(a)]+G(b)G(a)=\lambda[\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)]+\mathrm{G}(b)-\mathrm{G}(a)
=λ[F(x)]ab+[G(x)]ab=\lambda[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}+[\mathrm{G}(x)]_{a}^{b}
=λabf(x)dx+abg(x)dx=\lambda \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x.

Exemple

Soit φ\varphi la fonction définie sur R\R par φ(x)=3ex+2x\varphi(x)=3 \mathrm{e}^{x}+2 x.
Alors 02φ(x)dx=302exdx+022xdx=3[ex]02+[x2]02=3e23+40=3e2+1\displaystyle\int_{0}^{2} \varphi(x) \mathrm{d} x=3 \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{2} 2 x \mathrm{d} x=3\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{2}+\left[x^{2}\right]_{0}^{2}=3 \mathrm{e}^{2}-3+4-0=3 \mathrm{e}^{2}+1.

Propriété : Relation de Chasles

Soit ff une fonction continue sur I\text{I}. Pour tout réel cIc \in \mathrm{I}, abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\displaystyle\int_{\textcolor{#2c85bb}{a}}^\textcolor{#b1354f}{{b}} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_\textcolor{#2c85bb}{a}^\textcolor{#5eb45e}{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_\textcolor{#5eb45e}{c}^\textcolor{#b1354f}{{b}} f(x) \mathrm{d} x.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Remarque

Lorsque ff est positive et acba \leqslant c \leqslant b, cette relation correspond à la somme des aires des domaines.

DÉMONSTRATION

Soit F\text{F} une primitive de ff sur I\text{I}. On a : abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =[F(x)]ab=F(b)F(a)=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)
=F(b)F(c)+F(c)F(a)=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c)+\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a)
=F(c)F(a)+F(b)F(c)=\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a)+\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c)
=[F(x)]ac+[F(x)]cb=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{c}+[\mathrm{F}(x)]_{c}^{b}
=acf(x)dx+cbf(x)dx=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x.

Exemple

23xdx=20xdx+03xdx=20xdx+03xdx=132\displaystyle\int_{-2}^{3}|x| \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{-2}^{0}|x| \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{3}|x| \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{-2}^{0}-x \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{3} x \mathrm{d} x=\dfrac{13}{2}.

Propriété

Si ff est une fonction continue sur [a ;b][a~; b], positive sur [a ;c][a~; c] et négative sur [c ;b][c~; b] (a<c<b(a \lt c \lt b), alors abf(x)dx=aire(D1)aire(D2)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{1}\right)-\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right)D1\mathcal{D}_{1} est le domaine compris entre sa courbe représentative Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=ax=a et x=cx=c et D2\mathcal{D}_{2} est celui délimité par Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=cx=c et x=bx=b.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Remarque

Dans le cas général d’une fonction de signe non constant, pour calculer abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, on additionne les aires des domaines où ff est positive et on retranche les aires des domaines où ff est négative.

DÉMONSTRATION

Sur [a ;c][a~; c], ff est positive. Donc : aire(D1)=acf(x)dx\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{1}\right)=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x.
Sur [c ;b][c~; b], ff est négative. Donc : aire(D2)=cbf(x)dx\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right)=\displaystyle\int_{c}^{b}-f(x) \mathrm{d} x, soit cbf(x)dx=aire(D2)\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right), par linéarité de l’intégrale. Ainsi, d’après la relation de Chasles, abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx=aire(D1)aire(D2)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{1}\right)-\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right).

Propriété

Soient ff et gg deux fonctions continues sur I\text{I} telles que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x).
D\mathcal{D} est le domaine délimité par les courbes représentatives de ff et gg sur [a ;b][a~; b].
Alors l’aire de D\mathcal{D}, en u.a., est égale à :
ab(fg)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)(x) \mathrm{d} x.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Remarque

Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus.
Si ff et gg ne sont pas positives, il suffit d’appliquer une translation de vecteur kj|k| \overrightarrow{j}, où kk est le minimum de gg sur [a ;b][a~; b].

DÉMONSTRATION

On considère ici uniquement le cas où les fonctions ff et gg sont positives sur [a ;b][a~; b].
Sachant que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, f(x)g(x)f(x) \geqslant g(x), l’aire du domaine D\mathcal{D} est la différence entre l’aire du domaine sous la courbe de ff et celle du domaine sous la courbe gg.
Ainsi, d’après la linéarité de l’intégrale, l’aire de D\mathcal{D} est égale à :
abf(x)dxabg(x)dx=ab[f(x)g(x)]dx=ab(fg)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)(x) \mathrm{d} x.

Application et méthode - 4

Énoncé

ff et gg sont respectivement définies sur R\R par f(x)=x2f(x)=x^{2} et g(x)=xg(x)=x.
On se place dans un repère orthogonal d’unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. Déterminer l’aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de ff et gg et par les droites d’équation x=0x=0 et x=1x=1.
2. En déduire l’aire du domaine en cm2.

Solution

1. Pour tout réel xx, on a : f(x)g(x)=x2xf(x)-g(x)=x^{2}-x.
Sur [0 ;1][0~; 1], on sait que x2xx^{2} \leqslant x donc fgf-g est négative sur [0 ;1][0~; 1].
L’aire du domaine cherchée, en u.a., est donc
ab(gf)(x)dx=ab(xx2)dx=[x22x33]01=16\displaystyle\int_{a}^{b}(g-f)(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{6}.

2. Une unité d’aire correspond à 2×3=62 \times 3=6 cm2.
L’aire du domaine est donc 6×16=16 \times \dfrac{1}{6}=1 cm2.

Pour s'entraîner : exercices 36 et 37 p. 327

Méthode

  • Étudier le signe de fgf-g pour connaître la position relative de Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g sur [a ;b][a~; b].
  • Selon le résultat obtenu, calculer ab(fg)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)(x) \mathrm{d} x ou ab(gf)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}(g-f)(x) \mathrm{d} x.
  • Si besoin, penser à utiliser l’unité du graphique pour calculer l’aire dans l’unité demandée.

C
Inégalités et intégrales


Propriétés

Soient ff et gg deux fonctions continues sur I\text{I}. aa et bb sont deux réels de I\text{I} tels que aba \leqslant b.
1. Si f(x)0f(x) \geqslant 0 pour tout xIx \in \mathrm{I}, alors abf(x)dx0\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.
2. Si f(x)g(x)f(x) \leqslant g(x) pour tout xIx \in \mathrm{I}, alors abf(x)dxabg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x.

Remarque

Il est important de vérifier la condition aba \leqslant b.

Remarque

La première propriété est appelée positivité de l’intégrale.

DÉMONSTRATION

1. Si f(x)0f(x) \geqslant 0 pour tout xIx \in \mathrm{I}, alors abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de ff, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b. Cette aire est positive donc abf(x)dx0\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.

2. Si f(x)g(x)f(x) \leqslant g(x) pour tout xIx \in \mathrm{I}, alors (gf)(x)0(g-f)(x) \geqslant 0.
D’après la propriété 1., on a ab(gf)(x)dx0\displaystyle\int_{a}^{b}(g-f)(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.
Par linéarité de l’intégrale, on obtient abg(x)dxabf(x)dx0\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x-\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0, soit abf(x)dxabg(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x.

Exemple

Soit ff une fonction définie et continue sur R\R qui admet pour minimum 1-1 et pour maximum 33 sur R\R. Autrement dit, pour tout réel xx, 1f(x)3-1 \leqslant f(x) \leqslant 3.
En intégrant les inégalités précédentes sur [0 ;2][0~; 2], on obtient 021dx02f(x)dx023dx\displaystyle\int_{0}^{2}-1 \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{0}^{2} 3 \mathrm{d} x soit 202f(x)dx6-2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x \leqslant 6.

Application et méthode - 5

Énoncé

Démontrer que 890811+xdx8\dfrac{8}{9} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 8.

Solution

Pour tout réel x[0 ;8]x \in[0~; 8], on a 0x811+x9111+x190 \leqslant x \leqslant 8 \Leftrightarrow 1 \leqslant 1+x \leqslant 9 \Leftrightarrow 1 \geqslant \dfrac{1}{1+x} \geqslant \dfrac{1}{9} puisque la fonction inverse est décroissante sur [1 ;9][1~; 9].
La fonction x11+xx \mapsto \dfrac{1}{1+x} est continue sur [0 ;8][0~; 8], on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur [0 ;8][0~; 8].
081dx0811+xdx0819dx\displaystyle\int_{0}^{8} 1 \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{9} \mathrm{d} x donc 80811+xdx898 \geqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \geqslant \dfrac{8}{9} soit 890811+xdx8\dfrac{8}{9} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 8.

Remarque : xln(1+x)x \mapsto \ln (1+x) est une primitive de x11+xx \mapsto \dfrac{1}{1+x} sur [0 ;8][0~; 8] donc 0811+xdx=[ln(1+x)]08=ln(9)2,2\displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x=[\ln (1+x)]_{0}^{8}=\ln (9) \approx 2,2. On a donc bien 890811+xdx8\dfrac{8}{9} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 8.


Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 327

Méthode

Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d’une intégrale, on doit :
  • déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l’intervalle [a ;b][a~; b] ;
  • intégrer l’inégalité ou l’encadrement obtenu ;
  • calculer les intégrales pour conclure.

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