Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Cours 2

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

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et sont deux réels quelconques. est un intervalle contenant et .
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A
Primitives et calcul intégral

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Théorème
Toute fonction continue sur admet des primitives sur
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Démonstration
Le cas général est admis. Se reporter à l'exercice pour la démonstration dans le cas où et où
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Définition
Lorsque est une fonction continue de signe quelconque sur , on définit l'intégrale de sur l'intervalle par , où est une primitive de .
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Remarque

Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l'intégrale comme l'aire d'un domaine.
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Exemple
La fonction , définie sur par , est continue sur et admet pour primitive la fonction définie par . Donc .
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Définition
Lorsque , le nombre est appelé valeur moyenne de sur .
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Remarque

Lorsque est positive, la valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle de côté et de même aire que .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral
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Exemple
La valeur moyenne de la fonction cube sur est .
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Applications et méthodes - 3

Calculer une intégrale

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Énoncé
Calculer .
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Méthode

  • Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives.
  • Déterminer une primitive de .
  • Utiliser la définition : .
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Solution
On définit la fonction sur par .
Par opérations de fonctions dérivables sur , est dérivable sur , donc continue sur . admet donc des primitives sur .
On a , avec et . Donc .
Pour tout réel , .
Ainsi, .

Pour s'entraîner
Exercices et
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Calculer une valeur moyenne

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Énoncé
Soit la fonction définie sur par .
1. Calculer la valeur moyenne de sur .
2. Interpréter graphiquement ce résultat.
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Méthode

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l'aide de sa définition .

2. Pour l'interprétation graphique, justifier que est positive sur , puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine .

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Solution
1. Par opérations de fonctions dérivables sur , est dérivable sur donc est continue sur . admet donc des primitives sur .
On a , avec et . Donc est une primitive de .
Pour tout réel , .
La valeur moyenne de sur est égale à
.

2. est positive sur . On note le domaine délimité par , l'axe des abscisses et les droites d'équation respective et .
La valeur moyenne de sur est .
Le rectangle de longueur et de largeur a la même aire que .

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Pour s'entraîner
Exercices et
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B
Propriétés

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Propriétés
Soit une fonction continue sur un intervalle . Alors, pour tous réels et  : et .
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Remarque

Ces propriétés découlent de .
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Propriété : Linéarité de l'intégrale
Soient et sont deux fonctions continues sur et un réel. Alors : .
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Démonstration
Soient et deux fonctions continues sur . On note et des primitives respectives de et sur . Une primitive de est donc . On a :






.
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Exemple
Soit la fonction définie sur par .
Alors .
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Propriété : Relation de Chasles
Soit une fonction continue sur . Pour tout réel , .

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Remarque

Lorsque est positive et , cette relation correspond à la somme des aires des domaines.
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Démonstration
Soit une primitive de sur . On a :



.
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Exemple
.
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Propriété
Si est une fonction continue sur , positive sur et négative sur ), alors est le domaine compris entre sa courbe représentative , l'axe des abscisses et les droites d'équation et et est celui délimité par , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .

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Remarque

Dans le cas général d'une fonction de signe non constant, pour calculer , on additionne les aires des domaines où est positive et on retranche les aires des domaines où est négative.
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Démonstration
Sur , est positive. Donc : .
Sur , est négative. Donc : , soit , par linéarité de l'intégrale. Ainsi, d'après la relation de Chasles, .
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Propriété
Soient et deux fonctions continues sur telles que, pour tout , .
est le domaine délimité par les courbes représentatives de et sur .
Alors l'aire de , en u.a., est égale à : .

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Remarque

Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus. Si et ne sont pas positives, il suffit d'appliquer une translation de vecteur , où est le minimum de sur .
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Démonstration
On considère ici uniquement le cas où les fonctions et sont positives sur .
Sachant que, pour tout , , l'aire du domaine est la différence entre l'aire du domaine sous la courbe de et celle du domaine sous la courbe .
Ainsi, d'après la linéarité de l'intégrale, l'aire de est égale à : .
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Application et méthode - 4
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Énoncé
et sont respectivement définies sur par et . On se place dans un repère orthogonal d'unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. Déterminer l'aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de et et par les droites d'équation et .
2. En déduire l'aire du domaine en cm2.
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Méthode

  • Étudier le signe de pour connaître la position relative de et sur .
  • Selon le résultat obtenu, calculer ou .
  • Si besoin, penser à utiliser l'unité du graphique pour calculer l'aire dans l'unité demandée.

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Solution
1. Pour tout réel , on a : .
Sur , on sait que donc est négative sur .
L'aire du domaine cherchée, en u.a., est donc
.

2. Une unité d'aire correspond à  cm2.
L'aire du domaine est donc  cm2.

Pour s'entraîner
Exercices et
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C
Inégalités et intégrales

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Propriétés
Soient et deux fonctions continues sur . et sont deux réels de tels que .
1. Si pour tout , alors .
2. Si pour tout , alors .
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Remarque

Il est important de vérifier la condition .
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Remarque

La première propriété est appelée positivité de l'intégrale.
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Démonstration
1. Si pour tout , alors est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l'axe des abscisses et les droites d'équation et . Cette aire est positive donc .

2. Si pour tout , alors .
D'après la propriété 1., on a .
Par linéarité de l'intégrale, on obtient , soit .
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Exemple


Soit une fonction définie et continue sur qui admet pour minimum et pour maximum sur . Autrement dit, pour tout réel , .
En intégrant les inégalités précédentes sur , on obtient soit .
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Démontrer que .
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Méthode

Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d'une intégrale, on doit :
  • déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l'intervalle  ;
  • intégrer l'inégalité ou l'encadrement obtenu ;
  • calculer les intégrales pour conclure.

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Solution
Pour tout réel , on a puisque la fonction inverse est décroissante sur .
La fonction est continue sur , on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur .
donc soit .

Remarque

est une primitive de sur donc . On a donc bien .

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Exercices et

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