Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Le cas général est admis. Se reporter à l'exercice

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pour la démonstration dans le cas où a \lt b et où \mathrm{I}=[a~; b].

Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l'intégrale comme l'aire d'un domaine.

La fonction f, définie sur \R par f(x)=x^{2}-3 x, est continue sur \R et admet pour primitive la fonction \text{F} définie par \mathrm{F}(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}. Donc \displaystyle\int_{2}^{5} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{2}^{5}=\frac{15}{2}.

Lorsque a \lt b, le nombre \frac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x est appelé valeur moyenne de \boldsymbol{f} sur \boldsymbol{[a~; b]}.

La valeur moyenne de la fonction cube sur [1~; 3] est \frac{1}{3-1} \displaystyle\int_{1}^{3} x^{3} \mathrm{d} x=10.

Calculer \displaystyle\int_{-1}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}} \mathrm{d} x.

• Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives.
• Déterminer une primitive de f.
• Utiliser la définition : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-2\} par f(x)=\frac{1}{(x+2)^{2}}.
1. Calculer la valeur moyenne de f sur [-1~; 3].
2. Interpréter graphiquement ce résultat.

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l'aide de sa définition \frac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x.

2. Pour l'interprétation graphique, justifier que f est positive sur [a~; b], puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine \mathcal{D}.

Soit f une fonction continue sur un intervalle \text{I}. Alors, pour tous réels a \in \mathrm{I} et b \in \mathrm{I} : \displaystyle\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 et \displaystyle\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x=-\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x.

Ces propriétés découlent de \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).

Soient f et g deux fonctions continues sur \text{I}. On note \text{F} et \text{G} des primitives respectives de f et g sur \text{I}. Une primitive de \lambda f+g est donc \lambda \mathrm{F}+\mathrm{G}. On a :
\displaystyle\int_{a}^{b}(\lambda f+g)(x) \mathrm{d} x
=[(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(x)]_{a}^{b}
=(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(b)-(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(a)
=\lambda \mathrm{F}(b)+\mathrm{G}(b)-\lambda \mathrm{F}(a)-\mathrm{G}(a)
=\lambda[\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)]+\mathrm{G}(b)-\mathrm{G}(a)
=\lambda[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}+[\mathrm{G}(x)]_{a}^{b}
=\lambda \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x+\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x.

Soit \varphi la fonction définie sur \R par \varphi(x)=3 \mathrm{e}^{x}+2 x.
Alors \displaystyle\int_{0}^{2} \varphi(x) \mathrm{d} x=3 \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{2} 2 x \mathrm{d} x=3\left[\mathrm{e}^{x}\right]_{0}^{2}+\left[x^{2}\right]_{0}^{2}=3 \mathrm{e}^{2}-3+4-0=3 \mathrm{e}^{2}+1.

Lorsque f est positive et a \leqslant c \leqslant b, cette relation correspond à la somme des aires des domaines.

Soit \text{F} une primitive de f sur \text{I}. On a : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)
=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c)+\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a)
=\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a)+\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c)
=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{c}+[\mathrm{F}(x)]_{c}^{b}
=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x.

Dans le cas général d'une fonction de signe non constant, pour calculer \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, on additionne les aires des domaines où f est positive et on retranche les aires des domaines où f est négative.

Sur [a~; c], f est positive. Donc : \operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{1}\right)=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x.
Sur [c~; b], f est négative. Donc : \operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right)=\displaystyle\int_{c}^{b}-f(x) \mathrm{d} x, soit \displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right), par linéarité de l'intégrale. Ainsi, d'après la relation de Chasles, \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{1}\right)-\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}_{2}\right).

Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus. Si f et g ne sont pas positives, il suffit d'appliquer une translation de vecteur |k| \overrightarrow{j}, où k est le minimum de g sur [a~; b].

On considère ici uniquement le cas où les fonctions f et g sont positives sur [a~; b].
Sachant que, pour tout x \in \mathrm{I}, f(x) \geqslant g(x), l'aire du domaine \mathcal{D} est la différence entre l'aire du domaine sous la courbe de f et celle du domaine sous la courbe g.
Ainsi, d'après la linéarité de l'intégrale, l'aire de \mathcal{D} est égale à : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)(x) \mathrm{d} x.

f et g sont respectivement définies sur \R par f(x)=x^{2} et g(x)=x. On se place dans un repère orthogonal d'unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. Déterminer l'aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de f et g et par les droites d'équation x=0 et x=1.
2. En déduire l'aire du domaine en cm².

• Étudier le signe de f-g pour connaître la position relative de \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g sur [a~; b].
• Selon le résultat obtenu, calculer \displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)(x) \mathrm{d} x ou \displaystyle\int_{a}^{b}(g-f)(x) \mathrm{d} x.
• Si besoin, penser à utiliser l'unité du graphique pour calculer l'aire dans l'unité demandée.

Soient f et g deux fonctions continues sur \text{I}. a et b sont deux réels de \text{I} tels que a \leqslant b.
1. Si f(x) \geqslant 0 pour tout x \in \mathrm{I}, alors \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.
2. Si f(x) \leqslant g(x) pour tout x \in \mathrm{I}, alors \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x.

La première propriété est appelée positivité de l'intégrale.

Il est important de vérifier la condition a \leqslant b.