DÉMONSTRATION

Le cas général est admis. Se reporter à l’exercice

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p. 329 pour la démonstration dans le cas où $a<b$ et où $\mathrm{I}=[a;b]$.

Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l’intégrale comme l’aire d’un domaine.

Exemple

La fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x$, est continue sur $\mathbb{R}$ et admet pour primitive la fonction $\text{F}$ définie par $\mathrm{F}(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2$. Donc ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=[\mathrm{F}(x){]}_2^5=\frac{15}{2}$.

Lorsque $f$ est positive, la valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle de côté $b-a$ et de même aire que $\mathcal{D}$.

Exemple

La valeur moyenne de la fonction cube sur $[1;3]$ est $\frac{1}{3-1}{\int }_1^3{x}^3\mathrm{d}x=10$.

Calculer ${\int }_{-1}^3\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\mathrm{d}x$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-2\}$ par $f(x)=\frac{1}{(x+2{)}^2}$.

1. Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1;3]$.
2. Interpréter graphiquement ce résultat.

Ces propriétés découlent de ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.

DÉMONSTRATION

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\text{I}$. On note $\text{F}$ et $\text{G}$ des primitives respectives de $f$ et $g$ sur $\text{I}$. Une primitive de $\lambda f+g$ est donc $\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G}$. On a :
${\int }_a^b(\lambda f+g)(x)\mathrm{d}x$
$=[(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(x){]}_a^b$
$=(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(b)-(\lambda \mathrm{F}+\mathrm{G})(a)$
$=\lambda \mathrm{F}(b)+\mathrm{G}(b)-\lambda \mathrm{F}(a)-\mathrm{G}(a)$
$=\lambda [\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)]+\mathrm{G}(b)-\mathrm{G}(a)$
$=\lambda [\mathrm{F}(x){]}_a^b+[\mathrm{G}(x){]}_a^b$
$=\lambda {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$.

Exemple

Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=3{\mathrm{e}}^x+2x$.
Alors ${\int }_0^2\phi (x)\mathrm{d}x=3{\int }_0^2{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x+{\int }_0^{2}2x\mathrm{d}x=3{\left[{\mathrm{e}}^x\right]}_0^2+{\left[x^2\right]}_0^2=3{\mathrm{e}}^2-3+4-0=3{\mathrm{e}}^2+1$.

Lorsque $f$ est positive et $a⩽c⩽b$, cette relation correspond à la somme des aires des domaines.

DÉMONSTRATION

Soit $\text{F}$ une primitive de $f$ sur $\text{I}$. On a : ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ $=[\mathrm{F}(x){]}_a^b=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$
$=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c)+\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a)$
$=\mathrm{F}(c)-\mathrm{F}(a)+\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(c)$
$=[\mathrm{F}(x){]}_a^c+[\mathrm{F}(x){]}_c^b$
$={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$.

Exemple

${\int }_{-2}^3|x|\mathrm{d}x={\int }_{-2}^0|x|\mathrm{d}x+{\int }_0^3|x|\mathrm{d}x={\int }_{-2}^0-x\mathrm{d}x+{\int }_0^{3}x\mathrm{d}x=\frac{13}{2}$.

Dans le cas général d’une fonction de signe non constant, pour calculer ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$, on additionne les aires des domaines où $f$ est positive et on retranche les aires des domaines où $f$ est négative.

DÉMONSTRATION

Sur $[a;c]$, $f$ est positive. Donc : $\mathrm{aire}\left({\mathcal{D}}_1\right)={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$.
Sur $[c;b]$, $f$ est négative. Donc : $\mathrm{aire}\left({\mathcal{D}}_2\right)={\int }_c^b-f(x)\mathrm{d}x$, soit ${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x=-\mathrm{aire}\left({\mathcal{D}}_2\right)$, par linéarité de l’intégrale. Ainsi, d’après la relation de Chasles, ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{aire}\left({\mathcal{D}}_1\right)-\mathrm{aire}\left({\mathcal{D}}_2\right)$.

Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus.
Si $f$ et $g$ ne sont pas positives, il suffit d’appliquer une translation de vecteur $|k|\overrightarrow{j}$, où $k$ est le minimum de $g$ sur $[a;b]$.

DÉMONSTRATION

On considère ici uniquement le cas où les fonctions $f$ et $g$ sont positives sur $[a;b]$.
Sachant que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f(x)⩾g(x)$, l’aire du domaine $\mathcal{D}$ est la différence entre l’aire du domaine sous la courbe de $f$ et celle du domaine sous la courbe $g$.
Ainsi, d’après la linéarité de l’intégrale, l’aire de $\mathcal{D}$ est égale à :

$f$ et $g$ sont respectivement définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$.
On se place dans un repère orthogonal d’unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. Déterminer l’aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de $f$ et $g$ et par les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
2. En déduire l’aire du domaine en cm².

Il est important de vérifier la condition $a⩽b$.

La première propriété est appelée positivité de l’intégrale.

DÉMONSTRATION

1. Si $f(x)⩾0$ pour tout $x\in \mathrm{I}$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$. Cette aire est positive donc ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾0$.

2. Si $f(x)⩽g(x)$ pour tout $x\in \mathrm{I}$, alors $(g-f)(x)⩾0$.
D’après la propriété 1., on a ${\int }_a^b(g-f)(x)\mathrm{d}x⩾0$.
Par linéarité de l’intégrale, on obtient ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x-{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾0$, soit ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$.

Exemple

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ qui admet pour minimum $-1$ et pour maximum $3$ sur $\mathbb{R}$. Autrement dit, pour tout réel $x$, $-1⩽f(x)⩽3$.
En intégrant les inégalités précédentes sur $[0;2]$, on obtient ${\int }_0^2-1\mathrm{d}x⩽{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_0^{2}3\mathrm{d}x$ soit $-2⩽{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x⩽6$.

Démontrer que $\frac{8}{9}⩽{\int }_0^8\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x⩽8$.