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Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

On définit la fonction $f$ sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}$.
Par opérations de fonctions dérivables sur $\R$, $f$ est dérivable sur $\R$, donc continue sur $\R$. $f$ admet donc des primitives sur $\R$.
On a $f=\dfrac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}$, avec $u(x)=x^{2}+9$ et $u^{\prime}(x)=2 x$. Donc $\mathrm{F}=\sqrt{u}$.
Pour tout réel $x$, $\mathrm{F}(x)=\sqrt{x^{2}+9}$.
Ainsi, $\displaystyle\int_{-1}^{3} \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}} \mathrm{d} x=[\sqrt{x^{2}+9}]_{-1}^{3}=\sqrt{3^{2}+9}-\sqrt{(-1)^{2}+9}=3 \sqrt{2}-\sqrt{10}$.

Pour s'entraîner : exercices 32 et 33 p. 327

• Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives.
• Déterminer une primitive de $f$.
• Utiliser la définition : $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=[\mathrm{F}(x)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.

1. Par opérations de fonctions dérivables sur $[-1~; 3]$, $f$ est dérivable sur $[-1~; 3]$ donc $f$ est continue sur $[-1~; 3]$. $f$ admet donc des primitives sur $[-1~; 3]$.
On a $f=\dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}$, avec $u(x)=x+2$ et $u^{\prime}(x)=1$. Donc $\mathrm{F}=-\dfrac{1}{u}$ est une primitive de $f$.
Pour tout réel $x \in[-1~; 3]$, $\mathrm{F}(x)=-\dfrac{1}{x+2}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[-1~; 3]$ est égale à $\dfrac{1}{3-(-1)} \displaystyle\int_{-1}^{3} \dfrac{1}{(x+2)^{2}} \mathrm{d} x=\dfrac{1}{4}\left[-\dfrac{1}{x+2}\right]_{-1}^{3}=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{3+2}+\dfrac{1}{-1+2}\right)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}$.
2. $f$ est positive sur $[-1~; 3]$. On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation respective $x=-1$ et $x=3$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[-1~; 3]$ est $\dfrac{1}{5}$.
Le rectangle de longueur $3-(-1)=4$ et de largeur $\dfrac{1}{5}$ a la même aire que $\mathcal{D}$.

Pour s'entraîner : exercices 29 p. 326 et 31 p. 327

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l’aide de sa définition $\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$.

2. Pour l’interprétation graphique, justifier que $f$ est positive sur $[a~; b]$, puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine $\mathcal{D}$.

1. Pour tout réel $x$, on a : $f(x)-g(x)=x^{2}-x$.
Sur $[0~; 1]$, on sait que $x^{2} \leqslant x$ donc $f-g$ est négative sur $[0~; 1]$.
L’aire du domaine cherchée, en u.a., est donc
$\displaystyle\int_{a}^{b}(g-f)(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{6}$.

2. Une unité d’aire correspond à $2 \times 3=6$ cm².
L’aire du domaine est donc $6 \times \dfrac{1}{6}=1$ cm².

Pour s'entraîner : exercices 36 et 37 p. 327

• Étudier le signe de $f-g$ pour connaître la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a~; b]$.
• Selon le résultat obtenu, calculer $\displaystyle\int_{a}^{b}(f-g)(x) \mathrm{d} x$ ou $\displaystyle\int_{a}^{b}(g-f)(x) \mathrm{d} x$.
• Si besoin, penser à utiliser l’unité du graphique pour calculer l’aire dans l’unité demandée.

Pour tout réel $x \in[0~; 8]$, on a $0 \leqslant x \leqslant 8 \Leftrightarrow 1 \leqslant 1+x \leqslant 9 \Leftrightarrow 1 \geqslant \dfrac{1}{1+x} \geqslant \dfrac{1}{9}$ puisque la fonction inverse est décroissante sur $[1~; 9]$.
La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{1+x}$ est continue sur $[0~; 8]$, on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur $[0~; 8]$.
$\displaystyle\int_{0}^{8} 1 \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \geqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{9} \mathrm{d} x$ donc $8 \geqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \geqslant \dfrac{8}{9}$ soit $\dfrac{8}{9} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{8} \dfrac{1}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 8$.

Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 327

Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d’une intégrale, on doit :

• déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l’intervalle $[a~; b]$ ;
• intégrer l’inégalité ou l’encadrement obtenu ;
• calculer les intégrales pour conclure.