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Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$.
Par opérations de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $\mathbb{R}$. $f$ admet donc des primitives sur $\mathbb{R}$.
On a $f=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$, avec $u(x)=x^2+9$ et $u^{\prime }(x)=2x$. Donc $\mathrm{F}=\sqrt{u}$.
Pour tout réel $x$, $\mathrm{F}(x)=\sqrt{x^2+9}$.
Ainsi, ${\int }_{-1}^3\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\mathrm{d}x=[\sqrt{x^2+9}{]}_{-1}^3=\sqrt{3^2+9}-\sqrt{(-1{)}^2+9}=3\sqrt{2}-\sqrt{10}$.

Pour s'entraîner : exercices 32 et 33 p. 327

• Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives.
• Déterminer une primitive de $f$.
• Utiliser la définition : ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=[\mathrm{F}(x){]}_a^b=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.

1. Par opérations de fonctions dérivables sur $[-1;3]$, $f$ est dérivable sur $[-1;3]$ donc $f$ est continue sur $[-1;3]$. $f$ admet donc des primitives sur $[-1;3]$.
On a $f=\frac{u^{\prime }}{u^2}$, avec $u(x)=x+2$ et $u^{\prime }(x)=1$. Donc $\mathrm{F}=-\frac{1}{u}$ est une primitive de $f$.
Pour tout réel $x\in [-1;3]$, $\mathrm{F}(x)=-\frac{1}{x+2}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[-1;3]$ est égale à $\frac{1}{3-(-1)}{\int }_{-1}^3\frac{1}{(x+2{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}{\left[-\frac{1}{x+2}\right]}_{-1}^3=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3+2}+\frac{1}{-1+2}\right)=\frac{1}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
2. $f$ est positive sur $[-1;3]$. On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par ${\mathcal{C}}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation respective $x=-1$ et $x=3$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[-1;3]$ est $\frac{1}{5}$.
Le rectangle de longueur $3-(-1)=4$ et de largeur $\frac{1}{5}$ a la même aire que $\mathcal{D}$.

Pour s'entraîner : exercices 29 p. 326 et 31 p. 327

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l’aide de sa définition $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$.

2. Pour l’interprétation graphique, justifier que $f$ est positive sur $[a;b]$, puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine $\mathcal{D}$.

1. Pour tout réel $x$, on a : $f(x)-g(x)=x^2-x$.
Sur $[0;1]$, on sait que $x^2⩽x$ donc $f-g$ est négative sur $[0;1]$.
L’aire du domaine cherchée, en u.a., est donc
${\int }_a^b(g-f)(x)\mathrm{d}x={\int }_a^b\left(x-x^2\right)\mathrm{d}x={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{6}$.

2. Une unité d’aire correspond à $2\times 3=6$ cm².
L’aire du domaine est donc $6\times \frac{1}{6}=1$ cm².

Pour s'entraîner : exercices 36 et 37 p. 327

• Étudier le signe de $f-g$ pour connaître la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ sur $[a;b]$.
• Selon le résultat obtenu, calculer ${\int }_a^b(f-g)(x)\mathrm{d}x$ ou ${\int }_a^b(g-f)(x)\mathrm{d}x$.
• Si besoin, penser à utiliser l’unité du graphique pour calculer l’aire dans l’unité demandée.

Pour tout réel $x\in [0;8]$, on a $0⩽x⩽8\iff 1⩽1+x⩽9\iff 1⩾\frac{1}{1+x}⩾\frac{1}{9}$ puisque la fonction inverse est décroissante sur $[1;9]$.
La fonction $x\mapsto \frac{1}{1+x}$ est continue sur $[0;8]$, on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur $[0;8]$.
${\int }_0^{8}1\mathrm{d}x⩾{\int }_0^8\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x⩾{\int }_0^8\frac{1}{9}\mathrm{d}x$ donc $8⩾{\int }_0^8\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x⩾\frac{8}{9}$ soit $\frac{8}{9}⩽{\int }_0^8\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x⩽8$.

Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 327

Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d’une intégrale, on doit :

• déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l’intervalle $[a;b]$ ;
• intégrer l’inégalité ou l’encadrement obtenu ;
• calculer les intégrales pour conclure.