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2. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
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COURS 2


2
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque





et sont deux réels quelconques. est un intervalle contenant et .

A
Primitives et calcul intégral


Théorème

Toute fonction continue sur admet des primitives sur .

DÉMONSTRATION

Le cas général est admis. Se reporter à l’exercice
58
p. 329
pour la démonstration dans le cas où et où .

Définition

Lorsque est une fonction continue de signe quelconque sur , on définit l’intégrale de sur l’intervalle par , où est une primitive de .

Remarque

Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l’intégrale comme l’aire d’un domaine.

Exemple

La fonction , définie sur par , est continue sur et admet pour primitive la fonction définie par . Donc .

Définition

Lorsque , le nombre est appelé valeur moyenne de sur .

Remarque

Lorsque est positive, la valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle de côté et de même aire que .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral

Exemple

La valeur moyenne de la fonction cube sur est .

Applications et méthodes - 3

Calculer une intégrale

Énoncé

Calculer .

Solution

On définit la fonction sur par .
Par opérations de fonctions dérivables sur , est dérivable sur , donc continue sur . admet donc des primitives sur .
On a , avec et . Donc .
Pour tout réel , .
Ainsi, .

Pour s'entraîner : exercices 32 et 33 p. 327

Méthode

  • Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives.
  • Déterminer une primitive de .
  • Utiliser la définition : .

Calculer une valeur moyenne

Énoncé

Soit la fonction définie sur par .

1. Calculer la valeur moyenne de sur .
2. Interpréter graphiquement ce résultat.

Solution

1. Par opérations de fonctions dérivables sur , est dérivable sur donc est continue sur . admet donc des primitives sur .
On a , avec et . Donc est une primitive de .
Pour tout réel , .
La valeur moyenne de sur est égale à
.

2. est positive sur . On note le domaine délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équation respective et .
La valeur moyenne de sur est .
Le rectangle de longueur et de largeur a la même aire que .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral

Pour s'entraîner : exercices 29 p. 326 et 31 p. 327

Méthode

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l’existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l’aide de sa définition .

2. Pour l’interprétation graphique, justifier que est positive sur , puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine .

B
Propriétés


Propriétés

Soit une fonction continue sur un intervalle . Alors, pour tous réels et  :
et .

Remarque

Ces propriétés découlent de .

Propriété : Linéarité de l’intégrale

Soient et sont deux fonctions continues sur et un réel. Alors :
.

DÉMONSTRATION

Soient et deux fonctions continues sur . On note et des primitives respectives de et sur . Une primitive de est donc . On a :






.

Exemple

Soit la fonction définie sur par .
Alors .

Propriété : Relation de Chasles

Soit une fonction continue sur . Pour tout réel , .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Remarque

Lorsque est positive et , cette relation correspond à la somme des aires des domaines.

DÉMONSTRATION

Soit une primitive de sur . On a :



.

Exemple

.

Propriété

Si est une fonction continue sur , positive sur et négative sur ), alors est le domaine compris entre sa courbe représentative , l’axe des abscisses et les droites d’équation et et est celui délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Remarque

Dans le cas général d’une fonction de signe non constant, pour calculer , on additionne les aires des domaines où est positive et on retranche les aires des domaines où est négative.

DÉMONSTRATION

Sur , est positive. Donc : .
Sur , est négative. Donc : , soit , par linéarité de l’intégrale. Ainsi, d’après la relation de Chasles, .

Propriété

Soient et deux fonctions continues sur telles que, pour tout , .
est le domaine délimité par les courbes représentatives de et sur .
Alors l’aire de , en u.a., est égale à :
.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Remarque

Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus.
Si et ne sont pas positives, il suffit d’appliquer une translation de vecteur , où est le minimum de sur .

DÉMONSTRATION

On considère ici uniquement le cas où les fonctions et sont positives sur .
Sachant que, pour tout , , l’aire du domaine est la différence entre l’aire du domaine sous la courbe de et celle du domaine sous la courbe .
Ainsi, d’après la linéarité de l’intégrale, l’aire de est égale à :
.

Application et méthode - 4

Énoncé

et sont respectivement définies sur par et .
On se place dans un repère orthogonal d’unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. Déterminer l’aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de et et par les droites d’équation et .
2. En déduire l’aire du domaine en cm2.

Solution

1. Pour tout réel , on a : .
Sur , on sait que donc est négative sur .
L’aire du domaine cherchée, en u.a., est donc
.

2. Une unité d’aire correspond à  cm2.
L’aire du domaine est donc  cm2.

Pour s'entraîner : exercices 36 et 37 p. 327

Méthode

  • Étudier le signe de pour connaître la position relative de et sur .
  • Selon le résultat obtenu, calculer ou .
  • Si besoin, penser à utiliser l’unité du graphique pour calculer l’aire dans l’unité demandée.

C
Inégalités et intégrales


Propriétés

Soient et deux fonctions continues sur . et sont deux réels de tels que .
1. Si pour tout , alors .
2. Si pour tout , alors .

Remarque

Il est important de vérifier la condition .

Remarque

La première propriété est appelée positivité de l’intégrale.

DÉMONSTRATION

1. Si pour tout , alors est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation et . Cette aire est positive donc .

2. Si pour tout , alors .
D’après la propriété 1., on a .
Par linéarité de l’intégrale, on obtient , soit .

Exemple

Soit une fonction définie et continue sur qui admet pour minimum et pour maximum sur . Autrement dit, pour tout réel , .
En intégrant les inégalités précédentes sur , on obtient soit .

Application et méthode - 5

Énoncé

Démontrer que .

Solution

Pour tout réel , on a puisque la fonction inverse est décroissante sur .
La fonction est continue sur , on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur .
donc soit .

Remarque : est une primitive de sur donc . On a donc bien .


Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 327

Méthode

Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d’une intégrale, on doit :
  • déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l’intervalle  ;
  • intégrer l’inégalité ou l’encadrement obtenu ;
  • calculer les intégrales pour conclure.

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