Mathématiques Terminale Spécialité
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Cours 2

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

et sont deux réels quelconques. est un intervalle contenant et .

A
Primitives et calcul intégral

Théorème
Toute fonction continue sur admet des primitives sur
Démonstration
Le cas général est admis. Se reporter à l'exercice pour la démonstration dans le cas où et où
Définition
Lorsque est une fonction continue de signe quelconque sur , on définit l'intégrale de sur l'intervalle par , où est une primitive de .

Remarque

Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l'intégrale comme l'aire d'un domaine.
Exemple
La fonction , définie sur par , est continue sur et admet pour primitive la fonction définie par . Donc .
Définition
Lorsque , le nombre est appelé valeur moyenne de sur .

Remarque

Lorsque est positive, la valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle de côté et de même aire que .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exemple
La valeur moyenne de la fonction cube sur est .
Applications et méthodes - 3

Calculer une intégrale

Énoncé
Calculer .

Méthode

  • Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives.
  • Déterminer une primitive de .
  • Utiliser la définition : .
Solution
On définit la fonction sur par .
Par opérations de fonctions dérivables sur , est dérivable sur , donc continue sur . admet donc des primitives sur .
On a , avec et . Donc .
Pour tout réel , .
Ainsi, .

Pour s'entraîner
Exercices et

Calculer une valeur moyenne

Énoncé
Soit la fonction définie sur par .
1. Calculer la valeur moyenne de sur .
2. Interpréter graphiquement ce résultat.

Méthode

1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l'aide de sa définition .

2. Pour l'interprétation graphique, justifier que est positive sur , puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine .

Solution
1. Par opérations de fonctions dérivables sur , est dérivable sur donc est continue sur . admet donc des primitives sur .
On a , avec et . Donc est une primitive de .
Pour tout réel , .
La valeur moyenne de sur est égale à
.

2. est positive sur . On note le domaine délimité par , l'axe des abscisses et les droites d'équation respective et .
La valeur moyenne de sur est .
Le rectangle de longueur et de largeur a la même aire que .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Primitives et calcul intégral
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Pour s'entraîner
Exercices et

B
Propriétés

Propriétés
Soit une fonction continue sur un intervalle . Alors, pour tous réels et  : et .

Remarque

Ces propriétés découlent de .
Propriété : Linéarité de l'intégrale
Soient et sont deux fonctions continues sur et un réel. Alors : .
Démonstration
Soient et deux fonctions continues sur . On note et des primitives respectives de et sur . Une primitive de est donc . On a :






.
Exemple
Soit la fonction définie sur par .
Alors .
Propriété : Relation de Chasles
Soit une fonction continue sur . Pour tout réel , .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Lorsque est positive et , cette relation correspond à la somme des aires des domaines.
Démonstration
Soit une primitive de sur . On a :



.
Exemple
.
Propriété
Si est une fonction continue sur , positive sur et négative sur ), alors est le domaine compris entre sa courbe représentative , l'axe des abscisses et les droites d'équation et et est celui délimité par , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Dans le cas général d'une fonction de signe non constant, pour calculer , on additionne les aires des domaines où est positive et on retranche les aires des domaines où est négative.
Démonstration
Sur , est positive. Donc : .
Sur , est négative. Donc : , soit , par linéarité de l'intégrale. Ainsi, d'après la relation de Chasles, .
Propriété
Soient et deux fonctions continues sur telles que, pour tout , .
est le domaine délimité par les courbes représentatives de et sur .
Alors l'aire de , en u.a., est égale à : .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - cours - Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus. Si et ne sont pas positives, il suffit d'appliquer une translation de vecteur , où est le minimum de sur .
Démonstration
On considère ici uniquement le cas où les fonctions et sont positives sur .
Sachant que, pour tout , , l'aire du domaine est la différence entre l'aire du domaine sous la courbe de et celle du domaine sous la courbe .
Ainsi, d'après la linéarité de l'intégrale, l'aire de est égale à : .
Application et méthode - 4
Énoncé
et sont respectivement définies sur par et . On se place dans un repère orthogonal d'unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

1. Déterminer l'aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de et et par les droites d'équation et .
2. En déduire l'aire du domaine en cm2.

Méthode

  • Étudier le signe de pour connaître la position relative de et sur .
  • Selon le résultat obtenu, calculer ou .
  • Si besoin, penser à utiliser l'unité du graphique pour calculer l'aire dans l'unité demandée.

Solution
1. Pour tout réel , on a : .
Sur , on sait que donc est négative sur .
L'aire du domaine cherchée, en u.a., est donc
.

2. Une unité d'aire correspond à  cm2.
L'aire du domaine est donc  cm2.

Pour s'entraîner
Exercices et

C
Inégalités et intégrales

Propriétés
Soient et deux fonctions continues sur . et sont deux réels de tels que .
1. Si pour tout , alors .
2. Si pour tout , alors .

Remarque

Il est important de vérifier la condition .

Remarque

La première propriété est appelée positivité de l'intégrale.
Démonstration
1. Si pour tout , alors est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l'axe des abscisses et les droites d'équation et . Cette aire est positive donc .

2. Si pour tout , alors .
D'après la propriété 1., on a .
Par linéarité de l'intégrale, on obtient , soit .

Exemple


Soit une fonction définie et continue sur qui admet pour minimum et pour maximum sur . Autrement dit, pour tout réel , .
En intégrant les inégalités précédentes sur , on obtient soit .
Application et méthode - 5
Énoncé
Démontrer que .

Méthode

Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d'une intégrale, on doit :
  • déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l'intervalle  ;
  • intégrer l'inégalité ou l'encadrement obtenu ;
  • calculer les intégrales pour conclure.

Solution
Pour tout réel , on a puisque la fonction inverse est décroissante sur .
La fonction est continue sur , on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur .
donc soit .

Remarque

est une primitive de sur donc . On a donc bien .

Pour s'entraîner
Exercices et

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah

Premium activé


5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.