pour la démonstration dans le cas où a<b et où I=[a;b].
Définition
Lorsque f est une fonction continue de signe quelconque sur I, on définit l'intégrale de f sur l'intervalle[a;b] par ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a), où F est une primitive de f.
Remarque
Attention, dans ce cas, on ne peut plus interpréter géométriquement l'intégrale comme l'aire d'un domaine.
Exemple
La fonction f, définie sur R par f(x)=x2−3x, est continue sur R et admet pour primitive la fonction F définie par F(x)=31x3−23x2. Donc ∫25f(x)dx=[F(x)]25=215.
Définition
Lorsque a<b, le nombre b−a1∫abf(x)dx est appelé valeur moyenne de f sur[a;b].
Remarque
Lorsque f est positive, la valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle de côté b−a et de même aire que D.
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Exemple
La valeur moyenne de la fonction cube sur [1;3] est 3−11∫13x3dx=10.
Applications et méthodes - 3
Calculer une intégrale
Énoncé
Calculer ∫−13x2+9xdx.
Méthode
Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives.
Déterminer une primitive de f.
Utiliser la définition : ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).
Solution
On définit la fonction f sur R par f(x)=x2+9x.
Par opérations de fonctions dérivables sur R, f est dérivable sur R, donc continue sur R. f admet donc des primitives sur R.
On a f=2uu′, avec u(x)=x2+9 et u′(x)=2x. Donc F=u.
Pour tout réel x, F(x)=x2+9.
Ainsi, ∫−13x2+9xdx=[x2+9]−13=32+9−(−1)2+9=32−10.
Soit f la fonction définie sur R\{−2} par f(x)=(x+2)21.
1. Calculer la valeur moyenne de f sur [−1;3].
2. Interpréter graphiquement ce résultat.
Méthode
1. Démontrer la continuité de la fonction pour justifier l'existence de primitives. Calculer la valeur moyenne à l'aide de sa définition b−a1∫abf(x)dx.
2. Pour l'interprétation graphique, justifier que f est positive sur [a;b], puis interpréter avec la largeur du rectangle de même aire que le domaine D.
Solution
1. Par opérations de fonctions dérivables sur [−1;3], f est dérivable sur [−1;3] donc f est continue sur [−1;3]. f admet donc des primitives sur [−1;3].
On a f=u2u′, avec u(x)=x+2 et u′(x)=1. Donc F=−u1 est une primitive de f.
Pour tout réel x∈[−1;3], F(x)=−x+21.
La valeur moyenne de f sur [−1;3] est égale à
2.f est positive sur [−1;3]. On note D le domaine délimité par Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation respective x=−1 et x=3.
La valeur moyenne de f sur [−1;3] est 51.
Le rectangle de longueur 3−(−1)=4 et de largeur 51 a la même aire que D.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Alors, pour tous réels a∈I et b∈I :
∫aaf(x)dx=0 et ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx.
Remarque
Ces propriétés découlent de ∫abf(x)dx=F(b)−F(a).
Propriété : Linéarité de l'intégrale
Soient f et g sont deux fonctions continues sur I et λ un réel. Alors :
∫ab(λf+g)(x)dx=λ∫abf(x)dx+∫abg(x)dx.
Démonstration
Soient f et g deux fonctions continues sur I. On note F et G des primitives respectives de f et g sur I. Une primitive de λf+g est donc λF+G. On a : ∫ab(λf+g)(x)dx =[(λF+G)(x)]ab =(λF+G)(b)−(λF+G)(a) =λF(b)+G(b)−λF(a)−G(a) =λ[F(b)−F(a)]+G(b)−G(a) =λ[F(x)]ab+[G(x)]ab =λ∫abf(x)dx+∫abg(x)dx.
Exemple
Soit φ la fonction définie sur R par φ(x)=3ex+2x.
Alors ∫02φ(x)dx=3∫02exdx+∫022xdx=3[ex]02+[x2]02=3e2−3+4−0=3e2+1.
Propriété : Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur I. Pour tout réel c∈I, ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.
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Remarque
Lorsque f est positive et a⩽c⩽b, cette relation correspond à la somme des aires des domaines.
Démonstration
Soit F une primitive de f sur I. On a :
∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a) =F(b)−F(c)+F(c)−F(a) =F(c)−F(a)+F(b)−F(c) =[F(x)]ac+[F(x)]cb =∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx.
Si f est une fonction continue sur [a;b], positive sur [a;c] et négative sur [c;b](a<c<b), alors ∫abf(x)dx=aire(D1)−aire(D2) où D1 est le domaine compris entre sa courbe représentative Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=c et D2 est celui délimité par Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=c et x=b.
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Remarque
Dans le cas général d'une fonction de signe non constant, pour calculer ∫abf(x)dx, on additionne les aires des domaines où f est positive et on retranche les aires des domaines où f est négative.
Démonstration
Sur [a;c], f est positive. Donc : aire(D1)=∫acf(x)dx.
Sur [c;b], f est négative. Donc : aire(D2)=∫cb−f(x)dx, soit ∫cbf(x)dx=−aire(D2), par linéarité de l'intégrale. Ainsi, d'après la relation de Chasles, ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx=aire(D1)−aire(D2).
Propriété
Soient f et g deux fonctions continues sur I telles que, pour tout x∈I, f(x)⩾g(x). D est le domaine délimité par les courbes représentatives de f et g sur [a;b].
Alors l'aire de D, en u.a., est égale à :
∫ab(f−g)(x)dx.
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Remarque
Par translation, le domaine entre les deux courbes ne change pas donc son aire non plus.
Si f et g ne sont pas positives, il suffit d'appliquer une translation de vecteur ∣k∣j, où k est le minimum de g sur [a;b].
Démonstration
On considère ici uniquement le cas où les fonctions f et g sont positives sur [a;b].
Sachant que, pour tout x∈I, f(x)⩾g(x), l'aire du domaine D est la différence entre l'aire du domaine sous la courbe de f et celle du domaine sous la courbe g.
Ainsi, d'après la linéarité de l'intégrale, l'aire de D est égale à :
∫abf(x)dx−∫abg(x)dx=∫ab[f(x)−g(x)]dx=∫ab(f−g)(x)dx.
Application et méthode - 4
Énoncé
f et g sont respectivement définies sur R par f(x)=x2 et g(x)=x.
On se place dans un repère orthogonal d'unité 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.
1. Déterminer l'aire, en u.a., du domaine délimité par les courbes représentatives de f et g et par les droites d'équation x=0 et x=1.
2. En déduire l'aire du domaine en cm2.
Méthode
Étudier le signe de f−g pour connaître la position relative de Cf et Cg sur [a;b].
Selon le résultat obtenu, calculer ∫ab(f−g)(x)dx ou ∫ab(g−f)(x)dx.
Si besoin, penser à utiliser l'unité du graphique pour calculer l'aire dans l'unité demandée.
Solution
1. Pour tout réel x, on a : f(x)−g(x)=x2−x.
Sur [0;1], on sait que x2⩽x donc f−g est négative sur [0;1].
L'aire du domaine cherchée, en u.a., est donc ∫ab(g−f)(x)dx=∫ab(x−x2)dx=[2x2−3x3]01=61.
2. Une unité d'aire correspond à 2×3=6 cm2.
L'aire du domaine est donc 6×61=1 cm2.
Soient f et g deux fonctions continues sur I.
a et b sont deux réels de I tels que a⩽b.
1. Si f(x)⩾0 pour tout x∈I, alors ∫abf(x)dx⩾0.
2. Si f(x)⩽g(x) pour tout x∈I, alors ∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx.
Remarque
Il est important de vérifier la condition a⩽b.
Remarque
La première propriété est appelée positivité de l'intégrale.
Démonstration
1. Si f(x)⩾0 pour tout x∈I, alors ∫abf(x)dx est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b. Cette aire est positive donc ∫abf(x)dx⩾0.
2. Si f(x)⩽g(x) pour tout x∈I, alors (g−f)(x)⩾0.
D'après la propriété 1., on a ∫ab(g−f)(x)dx⩾0.
Par linéarité de l'intégrale, on obtient ∫abg(x)dx−∫abf(x)dx⩾0, soit ∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx.
Exemple
Soit f une fonction définie et continue sur R qui admet pour minimum −1 et pour maximum 3 sur R. Autrement dit, pour tout réel x, −1⩽f(x)⩽3.
En intégrant les inégalités précédentes sur [0;2], on obtient ∫02−1dx⩽∫02f(x)dx⩽∫023dx soit −2⩽∫02f(x)dx⩽6.
Application et méthode - 5
Énoncé
Démontrer que 98⩽∫081+x1dx⩽8.
Méthode
Pour démontrer une inégalité ou un encadrement d'une intégrale, on doit :
déterminer une inégalité ou un encadrement vérifié par la fonction intégrée sur l'intervalle [a;b] ;
intégrer l'inégalité ou l'encadrement obtenu ;
calculer les intégrales pour conclure.
Solution
Pour tout réel x∈[0;8], on a 0⩽x⩽8⇔1⩽1+x⩽9⇔1⩾1+x1⩾91 puisque la fonction inverse est décroissante sur [1;9].
La fonction x↦1+x1 est continue sur [0;8], on peut donc intégrer les inégalités précédentes sur [0;8]. ∫081dx⩾∫081+x1dx⩾∫0891dx donc 8⩾∫081+x1dx⩾98 soit 98⩽∫081+x1dx⩽8.
Remarque
x↦ln(1+x) est une primitive de x↦1+x1 sur [0;8] donc ∫081+x1dx=[ln(1+x)]08=ln(9)≈2,2. On a donc bien 98⩽∫081+x1dx⩽8.