Calcul intégral

1. Définir l'intégrale d'une fonction continue positive définie sur un intervalle $[a;b]$ comme aire sous la courbe représentative de $f$.
2. Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive.
3. Calculer une intégrale à l'aide d'une intégration par parties.
4. Calculer l'aire entre deux courbes.
5. Estimer graphiquement une intégrale et une valeur moyenne.
6. Majorer, minorer, encadrer une intégrale.
7. Étudier une suite d'intégrales.

1. Connaître les formules de calcul d'aire.
2. Connaître les fonctions de référence.
3. Étudier la continuité d'une fonction.
4. Savoir dériver une fonction.
5. Déterminer une primitive d'une fonction continue.

Le symbole $\int$ est dérivé du « s long » employé depuis le Moyen‑Âge et fut publié dans un article fondateur de 1686 par Leibniz pour désigner le signe des sommes (s), inverse du signe des différences (d).

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Lier primitive et dérivée

On définit les fonctions $\text{F}$ et $f$ sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(x)=\frac{4x^2+1}{3x^2+1}$ et $f(x)=\frac{2x}{{\left(3x^2+1\right)}^2}$. Démontrer que $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

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Démontrer la continuité d'une fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : Démontrer que $f$ est continue sur $[0;+\infty [$.

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Déterminer des dérivées

Dériver les fonctions suivantes sur l'intervalle $\text{I}$ donné. 1. $f:x\mapsto 5x^3-\sqrt{x}-\frac{1}{x}$, avec $\mathrm{I}=]0;+\infty [$.

2. $g:x\mapsto \sqrt{5x-10}$, avec $\mathrm{I}=]2;+\infty [$.

3. $h:x\mapsto {\mathrm{e}}^{2-9x^4}$, avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

4. $\ell :x\mapsto \frac{1}{3x^2+1}$, avec $\mathrm{I}=\mathbb{R}$.

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Déterminer une primitive avec une condition initiale

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : 1. Déterminer les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. Déterminer la primitive de $f$ s'annulant en $-1$.

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Problème

Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-3;4]$.


Quelles informations peut‑on déduire de ce graphique concernant la fonction dérivée $f^{\prime }$ et une primitive $\text{F}$ de $f$ sur $[-3;4]$ ?