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Calcul intégral
P.310-311

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Chapitre 11


Calcul intégral





Calcul intégral pont

On sait calculer l’aire de figures géométriques classiques : triangle, carré, trapèze, disque, etc., ainsi que le volume d’un cube, d’une boule, etc.
Peut‑on calculer l’aire du domaine se situant entre la surface de l’eau et le pont ?
Le calcul intégral permet de répondre à ce problème, ainsi que de calculer des volumes de solides plus complexes.

Capacités attendues - chapitre 11

1. Définir l’intégrale d’une fonction continue positive définie sur un intervalle [a ;b][a~; b] comme aire sous la courbe représentative de ff.

2. Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.

3. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties.

4. Calculer l’aire entre deux courbes.

5. Estimer graphiquement une intégrale et une valeur moyenne.

6. Majorer, minorer, encadrer une intégrale.

7. Étudier une suite d’intégrales.

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître les formules de calcul d’aire.
2. Connaître les fonctions de référence.
3. Étudier la continuité d’une fonction.
4. Savoir dériver une fonction.
5. Déterminer une primitive d’une fonction continue.

1
Déterminer l’aire d’un triangle

Soit ff la fonction définie sur [2 ;6][-2~; 6] par :
f(x)={32x+3 si 2x0312x si 0<x6f(x)=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{3}{2} x+3 \text { si }-2 \leqslant x \leqslant 0 \\ 3-\dfrac{1}{2} x \text { si } 0\lt x \leqslant 6\end{array}\right..

On définit les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} de la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé d’abscisses respectives 2-2, 00 et 66.
Représenter la fonction ff sur [2 ;6][-2~; 6] puis déterminer l’aire du triangle ABC\text{ABC}.

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2
Déterminer l’aire d’un quadrilatère

Dans un repère orthonormé du plan (O;i,j)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}), on considère les points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D}, comme indiqué sur la figure ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 2

Calculer l’aire du trapèze ABCD\text{ABCD}.
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3
Démontrer la continuité d’une fonction

Soit ff la fonction définie sur [0 ;+[[0~;+\infty[ par :
f(x)={x si 0x12x26x5 si x>1f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} \text { si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \dfrac{2-x^{2}}{6 x-5} \text { si } x>1\end{array}\right..

Démontrer que ff est continue sur [0 ;+[[0~;+\infty[.
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4
Déterminer des dérivées

Dériver les fonctions suivantes sur l’intervalle I\text{I} donné.

1. f:x5x3x1xf: x \mapsto 5 x^{3}-\sqrt{x}-\dfrac{1}{x}, avec I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0~;+\infty[.


2. g:x5x10g: x \mapsto \sqrt{5 x-10}, avec I=]2 ;+[\mathrm{I}=]2~;+\infty[.


3. h:xe29x4h: x \mapsto \mathrm{e}^{2-9 x^{4}}, avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


4. :x13x2+1\ell: x \mapsto \dfrac{1}{3 x^{2}+1}, avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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5
Lier primitive et dérivée

On définit les fonctions F\text{F} et ff sur R\R par F(x)=4x2+13x2+1\mathrm{F}(x)=\dfrac{4 x^{2}+1}{3 x^{2}+1} et f(x)=2x(3x2+1)2f(x)=\dfrac{2 x}{\left(3 x^{2}+1\right)^{2}}.
Démontrer que F\text{F} est une primitive de ff sur R\R.
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6
Déterminer des primitives

Déterminer une primitive des fonctions suivantes définies sur I\text{I}.

1. f:x3ex(ex2)2f: x \mapsto 3 \mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-2\right)^{2}, avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


2. g:xe5x+2g: x \mapsto \mathrm{e}^{5 x+2}, avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


3. h:x6x(3x26)2h: x \mapsto \dfrac{6 x}{\left(3 x^{2}-6\right)^{2}}, avec I=R\{2 ;2}\mathrm{I}=\mathbb{R} \backslash\{-\sqrt{2}~; \sqrt{2}\}.


4. k:xx(x2+7)4k: x \mapsto \dfrac{x}{\left(x^{2}+7\right)^{4}}, avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.


5. :xxx2+4\ell: x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}, avec I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}.
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7
Déterminer une primitive avec une condition initiale

Soit ff la fonction définie sur R\R par :
f(x)=3x2x+7 f(x)=3 x^{2}-x+7.

1. Déterminer les primitives de ff sur R\R.


2. Déterminer la primitive de ff s’annulant en 1-1.
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8
Problème

Voici la courbe représentative d’une fonction ff définie sur [3 ;4][-3~; 4].

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 8

Quelles informations peut‑on déduire de ce graphique concernant la fonction dérivée ff' et une primitive F\text{F} de ff sur [3 ;4][-3~; 4] ?
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Anecdote

Le symbole \int est dérivé du « s long » employé depuis le Moyen‑Âge et fut publié dans un article fondateur de 1686 par Leibniz pour désigner le signe des sommes (s), inverse du signe des différences (d).
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