On sait calculer l’aire de figures géométriques classiques : triangle, carré, trapèze, disque, etc., ainsi que le volume d’un cube, d’une boule, etc.
Peut‑on calculer l’aire du domaine se situant entre la surface de l’eau et le pont ?
Le calcul intégral permet de répondre à ce problème, ainsi que de calculer des volumes de solides plus complexes.
Capacités attendues - chapitre 11
1. Définir l’intégrale d’une fonction continue positive définie sur un intervalle [a;b] comme aire sous la courbe représentative de f.
2. Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
3. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties.
4. Calculer l’aire entre deux courbes.
5. Estimer graphiquement une intégrale et une valeur moyenne.
6. Majorer, minorer, encadrer une intégrale.
7. Étudier une suite d’intégrales.
Avant de commencer
Prérequis
1. Connaître les formules de calcul d’aire.
2. Connaître les fonctions de référence.
3. Étudier la continuité d’une fonction.
4. Savoir dériver une fonction.
5. Déterminer une primitive d’une fonction continue.
1
Déterminer l’aire d’un triangle
Soit f la fonction définie sur [−2;6] par :
f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧23x+3 si −2⩽x⩽03−21x si 0<x⩽6.
On définit les points A, B et C de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d’abscisses respectives −2, 0 et 6.
Représenter la fonction f sur [−2;6] puis déterminer l’aire du triangle ABC.
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2
Déterminer l’aire d’un quadrilatère
Dans un repère orthonormé du plan (O;i,j), on considère les points A, B, C et D, comme indiqué sur la figure ci‑dessous.
Calculer l’aire du trapèze ABCD.
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3
Démontrer la continuité d’une fonction
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par :
f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x si 0⩽x⩽16x−52−x2 si x>1.
Démontrer que f est continue sur [0;+∞[.
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4
Déterminer des dérivées
Dériver les fonctions suivantes sur l’intervalle I donné.
1.f:x↦5x3−x−x1, avec I=]0;+∞[.
2.g:x↦5x−10, avec I=]2;+∞[.
3.h:x↦e2−9x4, avec I=R.
4.ℓ:x↦3x2+11, avec I=R.
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5
Lier primitive et dérivée
On définit les fonctions F et f sur R par F(x)=3x2+14x2+1 et f(x)=(3x2+1)22x.
Démontrer que F est une primitive de f sur R.
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6
Déterminer des primitives
Déterminer une primitive des fonctions suivantes définies sur I.
1.f:x↦3ex(ex−2)2, avec I=R.
2.g:x↦e5x+2, avec I=R.
3.h:x↦(3x2−6)26x, avec I=R\{−2;2}.
4.k:x↦(x2+7)4x, avec I=R.
5.ℓ:x↦x2+4x, avec I=R.
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7
Déterminer une primitive avec une condition initiale
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=3x2−x+7.
1. Déterminer les primitives de f sur R.
2. Déterminer la primitive de f s’annulant en −1.
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8
Problème
Voici la courbe représentative d’une fonction f définie sur [−3;4].
Quelles informations peut‑on déduire de ce graphique concernant la fonction dérivée f′ et une primitive F de f sur [−3;4] ?
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Anecdote
Le symbole ∫ est dérivé du « s long » employé depuis le Moyen‑Âge et fut publié dans un article fondateur de 1686 par Leibniz pour désigner le signe des sommes (s), inverse du signe des différences (d).
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