Calcul intégral
P.310-311
Chapitre 11
Calcul intégral
On sait calculer l’aire de figures géométriques classiques : triangle, carré, trapèze, disque, etc., ainsi que le volume d’un cube, d’une boule, etc.
Peut‑on calculer l’aire du domaine se situant entre la surface de l’eau et le pont ?
Le calcul intégral permet de répondre à ce problème, ainsi que de calculer des volumes de solides plus complexes.
Peut‑on calculer l’aire du domaine se situant entre la surface de l’eau et le pont ?
Le calcul intégral permet de répondre à ce problème, ainsi que de calculer des volumes de solides plus complexes.
Capacités attendues - chapitre 11
1. Définir l’intégrale d’une fonction continue positive définie sur un intervalle comme aire sous la courbe représentative de .
2. Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
3. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties.
4. Calculer l’aire entre deux courbes.
5. Estimer graphiquement une intégrale et une valeur moyenne.
6. Majorer, minorer, encadrer une intégrale.
7. Étudier une suite d’intégrales.
2. Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.
3. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties.
4. Calculer l’aire entre deux courbes.
5. Estimer graphiquement une intégrale et une valeur moyenne.
6. Majorer, minorer, encadrer une intégrale.
7. Étudier une suite d’intégrales.
Avant de commencer
Prérequis
1. Connaître les formules de calcul d’aire.
2. Connaître les fonctions de référence.
3. Étudier la continuité d’une fonction.
4. Savoir dériver une fonction.
5. Déterminer une primitive d’une fonction continue.
2. Connaître les fonctions de référence.
3. Étudier la continuité d’une fonction.
4. Savoir dériver une fonction.
5. Déterminer une primitive d’une fonction continue.
1Déterminer l’aire d’un triangle
Soit la fonction définie sur par :
1
.
On définit les points , et de la courbe représentative de dans un repère orthonormé d’abscisses respectives , et .
Représenter la fonction sur puis déterminer l’aire du triangle .
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2Déterminer l’aire d’un quadrilatère
Dans un repère orthonormé du plan , on considère les points , , et , comme indiqué sur la figure ci‑dessous.
2
Calculer l’aire du trapèze .
3Démontrer la continuité d’une fonction
Soit la fonction définie sur par :
3
.
Démontrer que est continue sur .
4Déterminer des dérivées
Dériver les fonctions suivantes sur l’intervalle donné.
4
1. , avec .
2. , avec .
3. , avec .
4. , avec .
5Lier primitive et dérivée
On définit les fonctions et sur par et .
5
Démontrer que est une primitive de sur .
6Déterminer des primitives
Déterminer une primitive des fonctions suivantes définies sur .
6
1. , avec .
2. , avec .
3. , avec .
4. , avec .
5. , avec .
7Déterminer une primitive avec une condition initiale
Soit la fonction définie sur par :
7
.
1. Déterminer les primitives de sur .
2. Déterminer la primitive de s’annulant en .
8Problème
Voici la courbe représentative d’une fonction définie sur .
8
Quelles informations peut‑on déduire de ce graphique concernant la fonction dérivée et une primitive de sur ?
Anecdote
Le symbole est dérivé du « s long » employé depuis le Moyen‑Âge et fut publié dans un article fondateur de 1686 par Leibniz pour désigner le signe des sommes (s), inverse du signe des différences (d).