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Suites adjacentes
P.344

TRAVAILLER ENSEMBLE


Suites adjacentes





Soit la fonction définie sur par .
On définit les suites et respectivement par et, pour tout , et et, pour tout , . On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que est strictement croissante sur .

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. On a tracé la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir , et sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout , .


b. En déduire que converge vers un réel , compris entre et .

PARTIE 2 ★★

1. On a tracé la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge , et sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout , .


b. En déduire que converge vers un réel , compris entre et .

PARTIE 3 ★★

Soit la suite définie par : .

1. Montrer que, pour tout , .


2. On admet la proposition suivante : pour tout , et . Démontrer que, pour tout ,


3. Démontrer par récurrence que, pour tout , .


4. En déduire la limite de .

Mise en commun

On dit que deux suites et sont adjacentes lorsque l’une est croissante, que l’autre est décroissante et que la suite converge vers .
Montrer que les suites et définies dans l’énoncé sont adjacentes et convergent vers le même réel à déterminer.
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