Soit $f$ la fonction définie sur $[1;2]$ par $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$.
On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ respectivement par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$et $v_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$. On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1;2]$.

1. On a tracé la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir $u_0$, $u_1$ et $u_2$ sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de $(u_n)$ ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1⩽u_n<u_{n+1}⩽2$.


b. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, compris entre $1$ et $2$.

1. On a tracé la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de $f$ dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge $v_0$, $v_1$ et $v_2$ sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de $(v_n)$ ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1⩽v_{n+1}<v_n⩽2$.


b. En déduire que $(v_n)$ converge vers un réel ${\ell }^{\prime }$, compris entre $1$ et $2$.

Soit $(w_n)$ la suite définie par : $w_n=v_n-u_n$.

1. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_{n+1}=\frac{w_n}{\left(v_n+1\right)\left(u_n+1\right)}$.


2. On admet la proposition suivante : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1⩽u_n⩽2$ et $1⩽v_n⩽2$. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<w_{n+1}⩽0,25w_n$


3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<w_n⩽0,25^n$.


4. En déduire la limite de $(w_n)$.