Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Travailler ensemble

Suites adjacentes

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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Soit f la fonction définie sur [1 \:; 2] par f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}.
On définit les suites (u_n) et (v_n) respectivement par u_{0}=1 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)et v_{0}=2 et, pour tout n \in \mathbb{N}, v_{n+1}=f\left(v_{n}\right). On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que f est strictement croissante sur [1 \:; 2].
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TRAVAILLER ENSEMBLE - Suites adjacentes
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Partie 1

1. On a tracé la courbe représentative \mathcal{C}_f de f dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir u_0, u_1 et u_2 sur l'axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de (u_n) ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, 1 \leqslant u_{n} \lt u_{n+1} \leqslant 2.

b. En déduire que (u_n) converge vers un réel \ell, compris entre 1 et 2.
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Partie 2

1. On a tracé la courbe représentative \mathcal{C}_f de f dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge v_0, v_1 et v_2 sur l'axe des abscisses.


b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de (v_n) ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout n \in \mathbb{N}, 1 \leqslant v_{n+1} \lt v_{n}\leqslant 2.

b. En déduire que (v_n) converge vers un réel \ell^\prime, compris entre 1 et 2.
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Partie 3

Soit (w_n) la suite définie par : w_{n}=v_{n}-u_{n}.

1. Montrer que, pour tout n \in \N, w_{n+1}=\frac{w_{n}}{\left(v_{n}+1\right)\left(u_{n}+1\right)}.

2. On admet la proposition suivante : pour tout n \in \N, 1 \leqslant u_{n} \leqslant 2 et 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2. Démontrer que, pour tout n \in \N, 0 \lt w_{n+1} \leqslant 0,25 w_{n}

3. Démontrer par récurrence que, pour tout n \in \N, 0 \lt w_{n} \leqslant 0,25^{n}.

4. En déduire la limite de (w_n).
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Mise en commun
On dit que deux suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, que l'autre est décroissante et que la suite (a_n - b_n) converge vers 0.
Montrer que les suites (u_n) et (v_n) définies dans l'énoncé sont adjacentes et convergent vers le même réel à déterminer.
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