Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Travailler ensemble

Suites adjacentes

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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Soit la fonction définie sur par .
On définit les suites et respectivement par et, pour tout , et et, pour tout , . On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que est strictement croissante sur .
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TRAVAILLER ENSEMBLE - Suites adjacentes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

.
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Partie 1

1. On a tracé la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir , et sur l'axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout , .

b. En déduire que converge vers un réel , compris entre et .
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Partie 2

1. On a tracé la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge , et sur l'axe des abscisses.


b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout , .

b. En déduire que converge vers un réel , compris entre et .
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Partie 3

Soit la suite définie par : .

1. Montrer que, pour tout , .

2. On admet la proposition suivante : pour tout , et . Démontrer que, pour tout ,

3. Démontrer par récurrence que, pour tout , .

4. En déduire la limite de .
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Mise en commun
On dit que deux suites et sont adjacentes lorsque l'une est croissante, que l'autre est décroissante et que la suite converge vers .
Montrer que les suites et définies dans l'énoncé sont adjacentes et convergent vers le même réel à déterminer.

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