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Suites adjacentes
P.344

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Suites adjacentes





Soit ff la fonction définie sur [1;2][1 \:; 2] par f(x)=2x+1x+1f(x)=\dfrac{2 x+1}{x+1}.
On définit les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) respectivement par u0=1u_{0}=1 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)et v0=2v_{0}=2 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, vn+1=f(vn)v_{n+1}=f\left(v_{n}\right). On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que ff est strictement croissante sur [1;2][1 \:; 2].
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. On a tracé la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de ff dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir u0u_0, u1u_1 et u2u_2 sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de (un)(u_n) ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, 1un<un+121 \leqslant u_{n} \lt u_{n+1} \leqslant 2.


b. En déduire que (un)(u_n) converge vers un réel \ell, compris entre 11 et 22.
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PARTIE 2 ★★

1. On a tracé la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de ff dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge v0v_0, v1v_1 et v2v_2 sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de (vn)(v_n) ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, 1vn+1<vn21 \leqslant v_{n+1} \lt v_{n}\leqslant 2.


b. En déduire que (vn)(v_n) converge vers un réel \ell^\prime, compris entre 11 et 22.
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PARTIE 3 ★★

Soit (wn)(w_n) la suite définie par : wn=vnunw_{n}=v_{n}-u_{n}.

1. Montrer que, pour tout nNn \in \N, wn+1=wn(vn+1)(un+1)w_{n+1}=\dfrac{w_{n}}{\left(v_{n}+1\right)\left(u_{n}+1\right)}.


2. On admet la proposition suivante : pour tout nNn \in \N, 1un21 \leqslant u_{n} \leqslant 2 et 1vn2 1 \leqslant v_{n} \leqslant 2. Démontrer que, pour tout nNn \in \N, 0<wn+10,25wn0 \lt w_{n+1} \leqslant 0,25 w_{n}


3. Démontrer par récurrence que, pour tout nNn \in \N, 0<wn0,25n0 \lt w_{n} \leqslant 0,25^{n}.


4. En déduire la limite de (wn)(w_n).
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Mise en commun

On dit que deux suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, que l’autre est décroissante et que la suite (anbn)(a_n - b_n) converge vers 00.
Montrer que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies dans l’énoncé sont adjacentes et convergent vers le même réel à déterminer.
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