Suites adjacentes

Soit $f$ la fonction définie sur $[1 \:; 2]$ par $f(x)=\dfrac{2 x+1}{x+1}$.
On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ respectivement par $u_{0}=1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$et $v_{0}=2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)$. On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1 \:; 2]$.

1. On a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir $u_0$, $u_1$ et $u_2$ sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de $(u_n)$ ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \leqslant u_{n} \lt u_{n+1} \leqslant 2$.


b. En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, compris entre $1$ et $2$.

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1. On a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge $v_0$, $v_1$ et $v_2$ sur l’axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de $(v_n)$ ?


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 \leqslant v_{n+1} \lt v_{n}\leqslant 2$.


b. En déduire que $(v_n)$ converge vers un réel $\ell^\prime$, compris entre $1$ et $2$.

Soit $(w_n)$ la suite définie par : $w_{n}=v_{n}-u_{n}$.

1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $w_{n+1}=\dfrac{w_{n}}{\left(v_{n}+1\right)\left(u_{n}+1\right)}$.


2. On admet la proposition suivante : pour tout $n \in \N$, $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$ et $1 \leqslant v_{n} \leqslant 2$. Démontrer que, pour tout $n \in \N$, $0 \lt w_{n+1} \leqslant 0,25 w_{n}$


3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $0 \lt w_{n} \leqslant 0,25^{n}$.


4. En déduire la limite de $(w_n)$.