Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Travailler ensemble

Suites adjacentes

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
Énoncé
Soit la fonction définie sur par .
On définit les suites et respectivement par et, pour tout , et et, pour tout , . On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.

Questions préliminaires :
Montrer que est strictement croissante sur .
TRAVAILLER ENSEMBLE - Suites adjacentes
Le zoom est accessible dans la version Premium.

.

Partie 1

1. On a tracé la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir , et sur l'axe des abscisses.

b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout , .

b. En déduire que converge vers un réel , compris entre et .

Partie 2

1. On a tracé la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge , et sur l'axe des abscisses.


b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de ?

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout , .

b. En déduire que converge vers un réel , compris entre et .

Partie 3

Soit la suite définie par : .

1. Montrer que, pour tout , .

2. On admet la proposition suivante : pour tout , et . Démontrer que, pour tout ,

3. Démontrer par récurrence que, pour tout , .

4. En déduire la limite de .
Mise en commun
On dit que deux suites et sont adjacentes lorsque l'une est croissante, que l'autre est décroissante et que la suite converge vers .
Montrer que les suites et définies dans l'énoncé sont adjacentes et convergent vers le même réel à déterminer.

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