Soit f la fonction définie sur [1;2] par f(x)=x+12x+1.
On définit les suites (un) et (vn) respectivement par u0=1 et, pour tout n∈N, un+1=f(un)et v0=2 et, pour tout
n∈N, vn+1=f(vn).
On souhaite étudier la convergence éventuelle de chacune de ces deux suites.
Questions préliminaires :
Montrer que f est strictement croissante sur [1;2].
Voir les réponses
Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
PARTIE 1 ★★☆
1. On a tracé la courbe représentative Cf de f dans un repère orthonormé.
a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en noir u0, u1 et u2 sur l’axe des abscisses.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de (un) ?
2.a. Démontrer par récurrence que, pour
tout n∈N, 1⩽un<un+1⩽2.
b. En déduire que (un) converge vers un réel ℓ, compris entre 1 et 2.
1. On a tracé la courbe représentative Cf de f dans un repère orthonormé.
a. En laissant apparaître les traits de construction, construire en rouge v0, v1 et v2 sur l’axe des abscisses.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur la monotonie et la convergence de (vn) ?
2.a. Démontrer par récurrence que, pour
tout n∈N, 1⩽vn+1<vn⩽2.
b. En déduire que (vn) converge vers un réel ℓ′, compris entre 1 et 2.
Voir les réponses
PARTIE 3 ★★☆
Soit (wn) la suite définie par : wn=vn−un.
1. Montrer que, pour tout n∈N, wn+1=(vn+1)(un+1)wn.
2. On admet la proposition suivante : pour tout n∈N, 1⩽un⩽2 et 1⩽vn⩽2.
Démontrer que, pour tout n∈N, 0<wn+1⩽0,25wn
3. Démontrer par récurrence que, pour tout n∈N, 0<wn⩽0,25n.
4. En déduire la limite de (wn).
Voir les réponses
Mise en commun
On dit que deux suites (an) et (bn) sont adjacentes
lorsque l’une est croissante, que l’autre est décroissante
et que la suite (an−bn) converge vers 0.
Montrer que les suites (un) et (vn) définies dans l’énoncé sont adjacentes et convergent vers le même réel à déterminer.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.