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Chapitre 11
Travailler ensemble
Convergence ou divergence ?
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
On cherche à étudier la convergence éventuelle des suites et définies pour tout entier par :
et .
et .
Questions préliminaires :
1. Calculer à la main ; ; ; ; ; ; et . On donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
2. Les suites et semblent-elles convergentes ou divergentes ?
1. Calculer à la main ; ; ; ; ; ; et . On donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
2. Les suites et semblent-elles convergentes ou divergentes ?
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Partie 1
1. Compléter le programme en Python ci-dessous
permettant, pour un entier donné, de déterminer et .
def ST(n): S = 0 T = 0 for i in range (..., ...): S = S + ... T = T + ... return(S, T)
2. Quelles valeurs sont alors affichées lorsque ? ?
? ? ?
3. Conjecturer la convergence des suites et .
4. Compléter le programme pour obtenir l'écart entre et . Quelle conjecture peut-on faire sur cet écart ?
3. Conjecturer la convergence des suites et .
4. Compléter le programme pour obtenir l'écart entre et . Quelle conjecture peut-on faire sur cet écart ?
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Partie 2
1. Montrer que est strictement croissante.
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative de la fonction définie sur par ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que .
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative de la fonction définie sur par ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que .
b. Par un raisonnement analogue, démontrer que :
c. La suite converge-t-elle ? Justifier.
c. La suite converge-t-elle ? Justifier.
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Partie 3
1. Montrer que est strictement croissante.
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative de la fonction définie sur par ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que .
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative de la fonction définie sur par ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que .
b. Par un raisonnement analogue, démontrer que :
.
c. La suite converge-t-elle ? Justifier.
c. La suite converge-t-elle ? Justifier.
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Mise en commun
Les suites et sont-elles convergentes ou divergentes ? Ce résultat était-il prévisible ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
