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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Travailler ensemble
Convergence ou divergence ?
16 professeurs ont participé à cette page
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
On cherche à étudier la convergence éventuelle des suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) définies pour tout entier n \geqslant 1 par :
\mathrm{S}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} et \mathrm{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}.
\mathrm{S}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} et \mathrm{T}_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}.
Questions préliminaires :
1. Calculer à la main \text{S}_1 ; \text{S}_2 ; \text{S}_3 ; \text{S}_4 ; \text{T}_1 ; \text{T}_2 ; \text{T}_3 et \text{T}_4. On donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
2. Les suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) semblent-elles convergentes ou divergentes ?
1. Calculer à la main \text{S}_1 ; \text{S}_2 ; \text{S}_3 ; \text{S}_4 ; \text{T}_1 ; \text{T}_2 ; \text{T}_3 et \text{T}_4. On donnera les résultats sous forme d'une fraction irréductible.
2. Les suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) semblent-elles convergentes ou divergentes ?
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Partie 1
1. Compléter le programme en Python ci-dessous
permettant, pour un entier n donné, de déterminer \text{S}_n et \text{T}_n.
def ST(n): S = 0 T = 0 for i in range (..., ...): S = S + ... T = T + ... return(S, T)
2. Quelles valeurs sont alors affichées lorsque n = 10 ? n = 100 ?
n = 10\:000 ? n = 1\:000\:000 ? n = 10\:000\:000 ?
3. Conjecturer la convergence des suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n).
4. Compléter le programme pour obtenir l'écart entre \text{S}_n et \text{T}_n. Quelle conjecture peut-on faire sur cet écart ?
3. Conjecturer la convergence des suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n).
4. Compléter le programme pour obtenir l'écart entre \text{S}_n et \text{T}_n. Quelle conjecture peut-on faire sur cet écart ?
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Partie 2
1. Montrer que (\text{S}_n) est strictement croissante.
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_{f} de la fonction f définie sur ] 0\: ;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x} ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que \mathrm{S}_{n} \lt 1+\displaystyle\int_{1}^{n} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_{f} de la fonction f définie sur ] 0\: ;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x} ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que \mathrm{S}_{n} \lt 1+\displaystyle\int_{1}^{n} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
b. Par un raisonnement analogue, démontrer que :
\mathrm{S}_{n} \gt \displaystyle\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
c. La suite (\text{S}_n) converge-t-elle ? Justifier.
c. La suite (\text{S}_n) converge-t-elle ? Justifier.
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Partie 3
1. Montrer que (\text{T}_n) est strictement croissante.
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_{g} de la fonction f définie sur ] 0\: ;+\infty[ par g(x)=\frac{1}{x^2} ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que \mathrm{T}_{n} \lt 1+\displaystyle\int_{1}^{n} \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x.
2. On a tracé ci-dessus la courbe représentative \mathcal{C}_{g} de la fonction f définie sur ] 0\: ;+\infty[ par g(x)=\frac{1}{x^2} ainsi que plusieurs rectangles.
a. À partir d'un raisonnement portant sur les aires, montrer que \mathrm{T}_{n} \lt 1+\displaystyle\int_{1}^{n} \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x.
b. Par un raisonnement analogue, démontrer que :
\mathrm{T}_{n} \gt \displaystyle\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x.
c. La suite (\text{T}_n) converge-t-elle ? Justifier.
c. La suite (\text{T}_n) converge-t-elle ? Justifier.
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Mise en commun
Les suites (\text{S}_n) et (\text{T}_n) sont-elles convergentes ou divergentes ? Ce résultat était-il prévisible ?
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