3

Intégration par parties

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

À l’aide d’une intégration par parties, calculer ${\int }_{-1}^{1}3x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$. On posera $u^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}$ et $v(x)=3x$.

Calculer ${\int }_0^{6}4x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$.

Calculer ${\int }_{-1}^2\frac{x}{(2+x{)}^3}\mathrm{d}x$.
On posera $u^{\prime }(x)=\frac{1}{(2+x{)}^3}$ et $v(x)=x$.

Pour les exercices

79

à 

83

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données.

79

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{I}={\int }_{-2}^{2}4x{\mathrm{e}}^{3x-1}\mathrm{d}x$


2. $\mathrm{J}={\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{4+5x}\mathrm{d}x$

80

[Calculer.]
$\mathrm{I}={\int }_{-1}^{1}2x^3{\mathrm{e}}^{x^2-1}\mathrm{d}x$

81

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{I}={\int }_0^1\frac{x}{(5x+3{)}^3}\mathrm{d}x$


2. $\mathrm{J}={\int }_{-1}^0\frac{5x}{(3x-9{)}^3}\mathrm{d}x$

82

[Calculer.]
1. $\mathrm{I}={\int }_{-1}^{1}2x(8x+2{)}^2\mathrm{d}x$


2. $\mathrm{J}={\int }_{-2}^1-x(8x+2{)}^5\mathrm{d}x$

83

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{I}={\int }_{-1}^{3}3x^3{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$


2. $\mathrm{J}={\int }_0^{2}4(2x+1{)}^3{\mathrm{e}}^{x^2+x-1}\mathrm{d}x$

Pour les exercices

84

et 

85

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données, puis vérifier éventuellement le résultat avec le calcul formel de GeoGebra.

84

GEOGEBRA

[Calculer.]
1. $\mathrm{I}={\int }_0^1\frac{5x^3}{{\left(3x^2-9\right)}^3}\mathrm{d}x$


2. $\text{J}={\int }_{-1}^0\frac{5x^3}{{\left(3x^2-9\right)}^3}\mathrm{d}x$

85

GEOGEBRA

[Calculer.]
1. $\mathrm{I}={\int }_{-1}^{1}3x^3{\left(x^2-1\right)}^2\mathrm{d}x$


2. $\text{J}={\int }_{-2}^{1}2x^5{\left(x^3+5\right)}^3\mathrm{d}x$

86

[Chercher.] ◉◉◉
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ${\int }_1^4\sqrt{x}\mathrm{d}x$.




2. Calculer ${\int }_{-1}^4\sqrt{x+5}\mathrm{d}x$.

87

[Calculer.]
On souhaite calculer l’intégrale suivante : $\mathrm{I}={\int }_0^1{x}^2{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$.

1. On pose $\mathrm{J}={\int }_0^{1}x\times {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que $\mathrm{J}=1$.


2. a. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer l’intégrale $\text{I}$ en fonction de l’intégrale $\text{J}$.


b. En déduire alors la valeur de $\text{I}$. Pour calculer $\text{I}$, on a donc réalisé une double intégration par parties.

Pour les exercices

88

à 

90

◉◉◉
Calculer les intégrales données à l’aide d’une double intégration par parties.

88

[Chercher.]
1. ${\int }_{-1}^2\frac{3}{2}{x}^5{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$


2. ${\int }_{-1}^0{x}^5{\mathrm{e}}^{x^2-1}\mathrm{d}x$

89

[Chercher.]
1. ${\int }_{-1}^2{x}^5{\left(x^2-4\right)}^3\mathrm{d}x$


2. ${\int }_0^1-x^8{\left(2x^3+1\right)}^4\mathrm{d}x$

90

[Chercher.]
1. ${\int }_0^3\frac{x^2}{(x+1{)}^4}\mathrm{d}x$


2. ${\int }_1^3\frac{36x^5}{{\left(2-3x^2\right)}^4}\mathrm{d}x$