3

Intégration par parties

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{-1}^{1} 3 x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x$. On posera $u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $v(x)=3 x$.

Calculer $\displaystyle\int_{0}^{6} 4 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$.

Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{2} \dfrac{x}{(2+x)^{3}} \mathrm{d} x$.
On posera $u^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(2+x)^{3}}$ et $v(x)=x$.

Pour les exercices

79

à 

83

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données.

79

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-2}^{2} 4 x \mathrm{e}^{3 x-1} \mathrm{d} x$


2. $\mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{4+5 x} \mathrm{d} x$

80

[Calculer.]
$\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{1} 2 x^{3} \mathrm{e}^{x^{2}-1} \mathrm{d} x$

81

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x}{(5 x+3)^{3}} \mathrm{d} x$


2. $\mathrm{J}=\displaystyle\int_{-1}^{0} \dfrac{5 x}{(3 x-9)^{3}} \mathrm{d} x$

82

[Calculer.]
1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{1} 2 x(8 x+2)^{2} \mathrm{d} x$


2. $\mathrm{J}=\displaystyle\int_{-2}^{1}-x(8 x+2)^{5} \mathrm{d} x$

83

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{3} 3 x^{3} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x$


2. $\mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{2} 4(2 x+1)^{3} \mathrm{e}^{x^{2}+x-1} \mathrm{d} x$

Pour les exercices

84

et 

85

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données, puis vérifier éventuellement le résultat avec le calcul formel de GeoGebra.

84

GEOGEBRA

[Calculer.]
1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{5 x^{3}}{\left(3 x^{2}-9\right)^{3}} \mathrm{d} x$


2. $\text{J} = \displaystyle\int_{-1}^{0} \dfrac{5 x^{3}}{\left(3 x^{2}-9\right)^{3}} \mathrm{d} x$

Lancer le module Geogebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

85

GEOGEBRA

[Calculer.]
1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{1} 3 x^{3}\left(x^{2}-1\right)^{2} \mathrm{d} x$


2. $\text{J} =\displaystyle\int_{-2}^{1} 2 x^{5}\left(x^{3}+5\right)^{3} \mathrm{d} x$

Lancer le module Geogebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

86

[Chercher.] ◉◉◉
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x} \mathrm{d} x$.




2. Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{4} \sqrt{x+5} \mathrm{d} x$.

87

[Calculer.]
On souhaite calculer l’intégrale suivante : $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$.

1. On pose $\mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{1} x \times \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que $\mathrm{J} = 1$.


2. a. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer l’intégrale $\text{I}$ en fonction de l’intégrale $\text{J}$.


b. En déduire alors la valeur de $\text{I}$. Pour calculer $\text{I}$, on a donc réalisé une double intégration par parties.

Pour les exercices

88

à 

90

◉◉◉
Calculer les intégrales données à l’aide d’une double intégration par parties.

88

[Chercher.]
1. $\displaystyle\int_{-1}^{2} \dfrac{3}{2} x^{5} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{-1}^{0} x^{5} \mathrm{e}^{x^{2}-1} \mathrm{d} x$

89

[Chercher.]
1. $\displaystyle\int_{-1}^{2} x^{5}\left(x^{2}-4\right)^{3} \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{8}\left(2 x^{3}+1\right)^{4} \mathrm{d} x$

90

[Chercher.]
1. $\displaystyle\int_{0}^{3} \dfrac{x^{2}}{(x+1)^{4}} \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{36 x^{5}}{\left(2-3 x^{2}\right)^{4}} \mathrm{d} x$