Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Entraînement 3

Intégration par parties

18 professeurs ont participé à cette page
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Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et
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Rappel

Pour des intégrations par parties utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien, consulter les
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76
Flash

À l'aide d'une intégration par parties, calculer \displaystyle\int_{-1}^{1} 3 x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x. On posera u^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x} et v(x)=3 x.
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77
Flash

Calculer \displaystyle\int_{0}^{6} 4 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x.
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78
Flash

Calculer \displaystyle\int_{-1}^{2} \frac{x}{(2+x)^{3}} \mathrm{d} x.
On posera u^{\prime}(x)=\frac{1}{(2+x)^{3}} et v(x)=x.
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Pour les exercices
79
à
83

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données.
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79
[Calculer.]

1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-2}^{2} 4 x \mathrm{e}^{3 x-1} \mathrm{d} x

2. \mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{4+5 x} \mathrm{d} x
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80
[Calculer.]
\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{1} 2 x^{3} \mathrm{e}^{x^{2}-1} \mathrm{d} x

Aide
u^{\prime}(x)=2 x \mathrm{e}^{x^{2}-1} et v(x)=x^{2}.
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81
[Calculer.]

1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x}{(5 x+3)^{3}} \mathrm{d} x

2. \mathrm{J}=\displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{5 x}{(3 x-9)^{3}} \mathrm{d} x
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82
[Calculer.]
1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{1} 2 x(8 x+2)^{2} \mathrm{d} x

2. \mathrm{J}=\displaystyle\int_{-2}^{1}-x(8 x+2)^{5} \mathrm{d} x
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83
[Calculer.]

1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{3} 3 x^{3} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x

2. \mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{2} 4(2 x+1)^{3} \mathrm{e}^{x^{2}+x-1} \mathrm{d} x
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Pour les exercices
84
à
85

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales données, puis vérifier éventuellement le résultat avec le calcul formel de GeoGebra.
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84
GeoGebra
[Calculer.]
1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{5 x^{3}}{\left(3 x^{2}-9\right)^{3}} \mathrm{d} x

2. \text{J} = \displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{5 x^{3}}{\left(3 x^{2}-9\right)^{3}} \mathrm{d} x

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85
GeoGebra
[Calculer.]
1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-1}^{1} 3 x^{3}\left(x^{2}-1\right)^{2} \mathrm{d} x

2. \text{J} =\displaystyle\int_{-2}^{1} 2 x^{5}\left(x^{3}+5\right)^{3} \mathrm{d} x


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86
[Chercher.]
1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer \displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x} \mathrm{d} x.

Aide
On posera u^{\prime}(x)=1 et v(x)=\sqrt{x}.

2. Calculer \displaystyle\int_{-1}^{4} \sqrt{x+5} \mathrm{d} x.
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87
[Calculer.]
On souhaite calculer l'intégrale suivante : \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x.

1. On pose \mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{1} x \times \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que \mathrm{J} = 1.

2. a. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer l'intégrale \text{I} en fonction de l'intégrale \text{J}.

b. En déduire alors la valeur de \text{I}. Pour calculer \text{I}, on a donc réalisé une double intégration par parties.
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Pour les exercices
88
à
90

Calculer les intégrales données à l'aide d'une double intégration par parties.
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88
[Chercher.]
1. \displaystyle\int_{-1}^{2} \frac{3}{2} x^{5} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{-1}^{0} x^{5} \mathrm{e}^{x^{2}-1} \mathrm{d} x
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89
[Chercher.]
1. \displaystyle\int_{-1}^{2} x^{5}\left(x^{2}-4\right)^{3} \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{0}^{1}-x^{8}\left(2 x^{3}+1\right)^{4} \mathrm{d} x
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90
[Chercher.]
1. \displaystyle\int_{0}^{3} \frac{x^{2}}{(x+1)^{4}} \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{1}^{3} \frac{36 x^{5}}{\left(2-3 x^{2}\right)^{4}} \mathrm{d} x
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