Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
TP INFO 2

Approximation de par la formule de Taylor

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Énoncé
Brook Taylor, mathématicien anglais du début du XVIIIe siècle, a joué un grand rôle dans la recherche sur le calcul intégral. On lui doit la formule de Taylor avec reste intégral qui donne, en l'appliquant à la fonction exponentielle : , où est un réel différent de , est un entier naturel et (par convention ). On admet que est une valeur approchée de lorsque est suffisamment grand.

Question préliminaire :

Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour , puis et enfin .
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Objectif
Obtenir des valeurs approchées de en utilisant une des trois méthodes.
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Méthode 1
Tableur

1. Reproduire la feuille de calcul suivante.

Approximation de e par la formule de Taylor
Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. a. Comment obtenir la valeur affichée en B5 ?

b. Quelle formule faut‑il écrire en C5 pour obtenir  ?

3. a. Quelle formule à étirer faut‑il écrire en C6 pour obtenir  ?

b. Jusqu'à quelle ligne doit‑on étirer les formules pour obtenir une valeur approchée de à près.

4. a. Obtenir une valeur approchée de à près.
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Méthode 2
Python

On considère l'algorithme suivant.


1. a. Déterminer par le calcul la valeur de .

b. Expliquer la 2e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin d'obtenir pour des valeurs de et données.

2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de avec .
En déduire une valeur approchée de à près.



3. Obtenir une valeur approchée de à près.
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Méthode 3
Calculatrice

1. a. À l'aide d'une calculatrice, calculer pour , puis et enfin .

b. En déduire des valeurs approchées de à près.

2. De la même manière, obtenir une valeur approchée de à près.
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