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TP2. Approximation de e par la formule de Taylor
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2
Approximation de par la formule de Taylor




Énoncé

Brook Taylor, mathématicien anglais du début du XVIIIe siècle, a joué un grand rôle dans la recherche sur le calcul intégral. On lui doit la formule de Taylor avec reste intégral qui donne, en l’appliquant à la fonction exponentielle :
,
est un réel différent de , est un entier naturel et (par convention ).
On admet que est une valeur approchée de lorsque est suffisamment grand.

Question préliminaire :

Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour , puis et enfin .
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Objectif

Obtenir des valeurs approchées de en utilisant une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Reproduire la feuille de calcul suivante.

Approximation de e par la formule de Taylor

2. a. Comment obtenir la valeur affichée en B5 ?


b. Quelle formule faut‑il écrire en C5 pour obtenir  ?


3. a. Quelle formule à étirer faut‑il écrire en C6 pour obtenir  ?


b. Jusqu’à quelle ligne doit‑on étirer les formules pour obtenir une valeur approchée de à 10^{-4} près.


4. a. Obtenir une valeur approchée de à 10^-{4} près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère l’algorithme suivant.


1. a. Déterminer par le calcul la valeur de .


b. Expliquer la 2e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin d’obtenir pour des valeurs de et données.


2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de avec .
En déduire une valeur approchée de à près.




3. Obtenir une valeur approchée de à près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
CALCULATRICE

1. a. À l’aide d’une calculatrice, calculer pour , puis et enfin .


b. En déduire des valeurs approchées de à près.


2. De la même manière, obtenir une valeur approchée de à près.
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Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Brook Taylor

Histoire des maths

Brook Taylor (1685‑1731) a fait partie des arbitres de la querelle Newton-Leibniz concernant l’antériorité du calcul infinitésimal. Il est avant tout reconnu pour les séries de Taylor, très importantes en analyse.
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