Approximation de $\mathrm{e}$ par la formule de Taylor

Brook Taylor, mathématicien anglais du début du XVIII^e siècle, a joué un grand rôle dans la recherche sur le calcul intégral. On lui doit la formule de Taylor avec reste intégral qui donne, en l'appliquant à la fonction exponentielle : ${\mathrm{e}}^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+{\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n{\mathrm{e}}^t}{n!}\mathrm{d}t$, où $x$ est un réel différent de $0$, $n$ est un entier naturel et $n!=1\times 2\times \dots \times n$ (par convention $0!=1$). On admet que ${\mathrm{E}}_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$ est une valeur approchée de ${\mathrm{e}}^x$ lorsque $n$ est suffisamment grand. Question préliminaire :

Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour $n=1$, puis $n=2$ et enfin $n=3$.

Obtenir des valeurs approchées de $\mathbf{e}$ en utilisant une des trois méthodes.