Brook Taylor, mathématicien anglais du début du XVIIIe siècle, a joué un grand rôle dans la recherche sur le calcul intégral. On lui doit la formule de Taylor avec reste intégral qui donne, en l’appliquant à la fonction exponentielle :
ex=k=0∑nk!xk+∫0xn!(x−t)netdt,
où x est un réel différent de 0, n est un entier naturel et n!=1×2×…×n (par convention 0!=1).
On admet que En(x)=k=0∑nk!xk est une valeur approchée de ex lorsque n est suffisamment grand.
Question préliminaire :
Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour n=1, puis n=2 et enfin n=3.
Objectif
Obtenir des valeurs approchées de e en utilisant une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
1. Reproduire la feuille de calcul suivante.
2.a. Comment obtenir la valeur affichée en B5 ?
b. Quelle formule faut‑il écrire en C5 pour obtenir E0 ?
3.a. Quelle formule à étirer faut‑il écrire en C6 pour obtenir E1 ?
b. Jusqu’à quelle ligne doit‑on étirer les formules pour obtenir une valeur approchée de e à 10^{-4} près.
4.a. Obtenir une valeur approchée de e3 à 10^-{4} près.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On considère l’algorithme suivant.
Fonction Exp(x, n) :E←1Pour k allant de …aˋ…E←…Fin Pour Retourner EFonction
1.a. Déterminer par le calcul la valeur de E0.
b. Expliquer la 2e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin d’obtenir En(x) pour des valeurs de n et x données.
2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de e avec n=10.
En déduire une valeur approchée de e à 10−4 près.
3. Obtenir une valeur approchée de e3 à 10−4 près.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
CALCULATRICE
1.a. À l’aide d’une calculatrice, calculer ∫01n!(1−t)netdt pour n=1, puis n=2 et enfin n=3.
b. En déduire des valeurs approchées de e à 10−4 près.
2. De la même manière, obtenir une valeur approchée de e3 à 10−4 près.
Histoire des maths
Brook Taylor (1685‑1731) a fait partie des arbitres de la querelle Newton-Leibniz concernant l’antériorité du calcul infinitésimal. Il est avant tout reconnu pour les séries de Taylor, très importantes en analyse.
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.