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TP2. Approximation de e par la formule de Taylor
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2
Approximation de e\mathrm{e} par la formule de Taylor




Énoncé

Brook Taylor, mathématicien anglais du début du XVIIIe siècle, a joué un grand rôle dans la recherche sur le calcul intégral. On lui doit la formule de Taylor avec reste intégral qui donne, en l’appliquant à la fonction exponentielle :
ex=k=0nxkk!+0x(xt)netn!dt\mathrm{e}^{x}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{x^{k}}{k !}+\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n} \mathrm{e}^{t}}{n !} \mathrm{d} t,
xx est un réel différent de 00, nn est un entier naturel et n!=1×2××nn !=1 \times 2 \times \ldots \times n (par convention 0!=10! = 1).
On admet que En(x)=k=0nxkk!\mathrm{E}_{n}(x)=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{x^{k}}{k !} est une valeur approchée de ex\mathrm{e}^x lorsque nn est suffisamment grand.

Question préliminaire :

Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour n=1n=1, puis n=2n=2 et enfin n=3n=3.
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Objectif

Obtenir des valeurs approchées de e \mathbf{e} en utilisant une des trois méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Reproduire la feuille de calcul suivante.

Approximation de e par la formule de Taylor

2. a. Comment obtenir la valeur affichée en B5 ?


b. Quelle formule faut‑il écrire en C5 pour obtenir E0\mathrm{E}_0 ?


3. a. Quelle formule à étirer faut‑il écrire en C6 pour obtenir E1\mathrm{E}_1 ?


b. Jusqu’à quelle ligne doit‑on étirer les formules pour obtenir une valeur approchée de e\mathrm{e} à 10^{-4} près.


4. a. Obtenir une valeur approchée de e3\mathrm{e}^3 à 10^-{4} près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère l’algorithme suivant.

Fonction Exp(x, n) :E1Pour k allant de  aˋ EFin Pour Retourner EFonction \boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Exp(x, n) :}\\ \quad {\mathrm{E}} \leftarrow {1} \\ \quad \quad \text {Pour } k \text { allant de … à …} \\ \quad \quad \quad {\mathrm{E}} \leftarrow … \\ \quad \quad \text {Fin Pour } \\ \quad \text {Retourner } \mathrm{E}\\ \text {Fonction} \\ \end{array} }

1. a. Déterminer par le calcul la valeur de E0\mathrm{E}_0.


b. Expliquer la 2e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin d’obtenir En(x)\mathrm{E}_{n}(x) pour des valeurs de nn et xx données.


2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de e\mathrm{e} avec n=10n=10.
En déduire une valeur approchée de e\mathrm{e} à 10410^{-4} près.




3. Obtenir une valeur approchée de e3\mathrm{e}^3 à 10410^{-4} près.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
CALCULATRICE

1. a. À l’aide d’une calculatrice, calculer 01(1t)netn!dt\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{(1-t)^{n} \mathrm{e}^{t}}{n !} \mathrm{d} t pour n=1n=1, puis n=2n=2 et enfin n=3n=3.


b. En déduire des valeurs approchées de e\mathrm{e} à 10410^{-4} près.


2. De la même manière, obtenir une valeur approchée de e3\mathrm{e}^3 à 10410^{-4} près.
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Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Brook Taylor

Histoire des maths

Brook Taylor (1685‑1731) a fait partie des arbitres de la querelle Newton-Leibniz concernant l’antériorité du calcul infinitésimal. Il est avant tout reconnu pour les séries de Taylor, très importantes en analyse.
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