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2. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
P.329-330

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Entraînement


2
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque





Informations : Consulter les exercices transversaux p. 432 pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d’intégrales.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

52
FLASH

Soit la fonction définie sur par . Calculer .
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53
FLASH

Soit la fonction définie sur par . Calculer .
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54
FLASH

Soit la fonction définie sur par .
Calculer la valeur moyenne de sur l’intervalle .
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55
FLASH

1. Pour tout , donner un encadrement de .


2. En déduire un encadrement de .
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56
FLASH

Pour tout réel positif, on sait que . Utiliser cette inégalité pour en déduire un encadrement de l’intégrale .
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57
[Chercher.]
Voici la courbe représentative d’une fonction .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 57

D’après le graphique, nous savons que l’aire du triangle bleu est de  u.a. et que celle du triangle vert est de  u.a. Déterminer graphiquement .
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58
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit une fonction continue sur l’intervalle fermé borné . On admet que, dans ces conditions, admet nécessairement un minimum, noté .
L’objectif de cet exercice est de démontrer que admet des primitives sur .
Pour toute fonction continue et positive sur , la fonction , définie sur par , est la primitive de qui s’annule en .

1. On définit la fonction sur par .
Justifier que admet une primitive sur , dont on donnera alors une expression.


2. En déduire que admet une primitive sur et en donner une expression.
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59
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction définie sur par .
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Pour les exercices
60
à 
62

Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale.

60
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.
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61
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.
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62
[Calculer.] ◉◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.
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63
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Calculer .


2. En déduire la valeur moyenne de sur .
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64
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la valeur moyenne de sur l’intervalle donné.

1. , avec .


2. , avec .


3. , avec .


4. , avec .


5. , avec .
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65
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Donner une primitive de sur .


2. En déduire .


3. Déterminer alors la valeur moyenne de sur approchée à près.
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66
[Calculer.] ◉◉
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l’intervalle donné.

1. , avec .


2. , avec .


3. , avec .


4. , avec .
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67
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Issa doit pousser un objet de manière rectiligne sur une distance de  m.
La force nécessaire pour pousser cet objet, en N, s’exprime en fonction de la distance parcourue , exprimée en m.
Dans cet exercice, est une fonction affine. Au départ, la force est de N pour s’annuler au bout de 4 m.

1. Exprimer en fonction de .


2. Le travail en joule de cette force est égal à . Calculer le travail de cette force.
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68
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Lors d’un voyage de heures, Charline roule à une vitesse , exprimée en km·h—1, en fonction du temps , exprimé en heure. est définie par .

Calculer la vitesse moyenne de Charline sur son trajet, c’est‑à‑dire la valeur moyenne de sur .


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 68 - Route
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69
[Calculer.]
Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.


3.
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70
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

est une fonction continue sur et périodique de période .

1. On considère la fonction , définie sur par .
a. Démontrer que est dérivable sur et démontrer que, pour tout réel , .


b. Que peut‑on en déduire pour  ?


2. Justifier alors que .
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71
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit une fonction continue et paire définie sur .

1. a. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel , .


b. Démontrer que .


2. Utiliser les résultats précédents pour calculer .
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72
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit une fonction continue et impaire définie sur .

1. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel , .


2. En déduire alors la valeur de .
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73
[Calculer.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par :
.


1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de .


2. a. Démontrer que, pour tout réel , .


b. Calculer alors .
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74
[Calculer.] ◉◉
1. Démontrer que, pour tout réel , on a :
.


2. En déduire un encadrement de .
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75
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel , on a :
.



2. En déduire un encadrement de .
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