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2. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
P.329-330

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Entraînement


2
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque





Informations : Consulter les exercices transversaux p. 432 pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d’intégrales.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

52
FLASH

Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ par f(x)=1x2+3x1f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}+3 x-1. Calculer 12f(x)dx\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
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53
FLASH

Soit gg la fonction définie sur R\R par g(x)=2x23x6g(x)=2 x^{2}-3 x-6. Calculer 24g(x)dx\displaystyle\int_{-2}^{4} g(x) \mathrm{d} x.
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54
FLASH

Soit hh la fonction définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ par h(x)=1xh(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Calculer la valeur moyenne de hh sur l’intervalle [1 ;4][1~; 4].
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55
FLASH

1. Pour tout x[4 ;10]x \in[4~; 10], donner un encadrement de 1x\dfrac{1}{x}.


2. En déduire un encadrement de 4101xdx\displaystyle\int_{4}^{10} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x.
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56
FLASH

Pour tout réel xx positif, on sait que xxsin(x)x-x \leqslant x \sin (x) \leqslant x. Utiliser cette inégalité pour en déduire un encadrement de l’intégrale 02xsin(x)dx\displaystyle\int_{0}^{2} x \sin (x) \mathrm{d} x.
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57
[Chercher.]
Voici la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f d’une fonction ff.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 57

D’après le graphique, nous savons que l’aire du triangle bleu est de 0,50{,}5 u.a. et que celle du triangle vert est de 4,54{,}5 u.a. Déterminer graphiquement 15f(x)dx\displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \mathrm{d} x.
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58
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit ff une fonction continue sur l’intervalle fermé borné I=[a ;b]\mathrm{I} = [a~; b]. On admet que, dans ces conditions, ff admet nécessairement un minimum, noté mm.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que ff admet des primitives sur I\text{I}.
Pour toute fonction hh continue et positive sur [a ;b][a~; b], la fonction Ha\mathrm{H}_a, définie sur [a ;b][a~; b] par Ha(x)=axh(t)dt\mathrm{H}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} h(t) \mathrm{d} t, est la primitive de hh qui s’annule en aa.

1. On définit la fonction gg sur I\text{I} par g(x)=f(x)mg(x)=f(x)-m.
Justifier que gg admet une primitive sur I\text{I}, dont on donnera alors une expression.


2. En déduire que ff admet une primitive sur I\text{I} et en donner une expression.
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59
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction ff définie sur [5 ;+[[-5~;+\infty[ par f(x)=5x(t2+2t5)dtf(x)=\displaystyle\int_{-5}^{x}\left(t^{2}+2 t-5\right) \mathrm{d} t.
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Pour les exercices
60
à 
62

Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale.

60
[Calculer.] ◉◉
1. 14(x24x1)dx\displaystyle\int_{-1}^{4}\left(x^{2}-4 x-1\right) \mathrm{d} x


2. 225dx\displaystyle\int_{-2}^{2} 5 \mathrm{d} x


3. 03(17t+2)dt\displaystyle\int_{0}^{3}\left(\dfrac{1}{7} t+2\right) \mathrm{d} t


4. 12(x42x2+9)dx\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(x^{4}-2 x^{2}+9\right) \mathrm{d} x


5. 11(3t3+3t25t+1)dt\displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 t^{3}+3 t^{2}-5 t+1\right) \mathrm{d} t


6. 131dx\displaystyle\int_{1}^{3} 1 \mathrm{d} x
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61
[Calculer.] ◉◉
1. 214x2dx\displaystyle\int_{-2}^{-1} \dfrac{4}{x^{2}} \mathrm{d} x


2. 51exdx\displaystyle\int_{5}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x


3. 2493xdx\displaystyle\int_{2}^{49} \dfrac{3}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x


4. 21(ex+3x31x2)dx\displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(\mathrm{e}^{x}+3 x^{3}-\dfrac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x
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62
[Calculer.] ◉◉◉
1. 123x2(5x31)2dx\displaystyle\int_{-1}^{2} 3 x^{2}\left(5 x^{3}-1\right)^{2} \mathrm{d} x


2. 21e5x1dx\displaystyle\int_{-2}^{1} \mathrm{e}^{5 x-1} \mathrm{d} x


3. 233x2x2+1dx\displaystyle\int_{-2}^{3} \dfrac{3 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} \mathrm{d} x


4. 02ex(5ex+3)2dx\displaystyle\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x}\left(5 \mathrm{e}^{x}+3\right)^{2} \mathrm{d} x


5. 122(35x)2dx\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{2}{(3-5 x)^{2}} \mathrm{d} x


6. 12e1xx2dx\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}}{x^{2}} \mathrm{d} x
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63
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=23x2f(x)=2-3 x^{2}.

1. Calculer 02f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x.


2. En déduire la valeur moyenne de ff sur [0 ;2][0~; 2].
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64
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la valeur moyenne de ff sur l’intervalle I\text{I} donné.

1. f:x15x2f: x \mapsto 1-5 x^{2}, avec I=[2 ;5]\mathrm{I}=[-2~; 5].


2. f:x3x32x2+x1f: x \mapsto 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1, avec I=[1 ;3]\mathrm{I}=[-1~; 3].


3. f:x53x2f: x \mapsto \dfrac{5}{3 x^{2}}, avec I=[4;1]\mathrm{I}=[-4 ;-1].


4. f:x35xf: x \mapsto \dfrac{3}{5 \sqrt{x}}, avec I=[1 ;4]\mathrm{I}=[1~; 4].


5. f:x2exf: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}, avec I=[12 ;1]\mathrm{I}=\left[\dfrac{1}{2}~; 1\right].
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65
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=10x(x2+3)4f(x)=10 x\left(x^{2}+3\right)^{4}.

1. Donner une primitive F\text{F} de ff sur R\R.


2. En déduire 0,51f(x)dx\displaystyle\int_{-0,5}^{1} f(x) \mathrm{d} x.


3. Déterminer alors la valeur moyenne de ff sur [0,5 ;1][-0{,}5~; 1] approchée à 10210^{-2} près.
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66
[Calculer.] ◉◉
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l’intervalle I\text{I} donné.

1. f:xx(3x21)2f: x \mapsto x\left(3 x^{2}-1\right)^{2}, avec I=[1 ;2]\mathrm{I}=[-1~; 2].


2. f:x3xex22f: x \mapsto-3 x \mathrm{e}^{x^{2}-2}, avec I=[1 ;3]\mathrm{I}=[-1~; 3].


3. f:xx2(8x3)2f: x \mapsto \dfrac{x^{2}}{\left(8-x^{3}\right)^{2}}, avec I=[0 ;1]\mathrm{I}=[0~; 1].


4. f:x3x35x4+2f: x \mapsto \dfrac{3 x^{3}}{5 \sqrt{x^{4}+2}}, avec I=[1 ;4]\mathrm{I}=[1~; 4].
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67
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Issa doit pousser un objet de manière rectiligne sur une distance de 44 m.
La force F\text{F} nécessaire pour pousser cet objet, en N, s’exprime en fonction de la distance parcourue xx, exprimée en m.
Dans cet exercice, F\text{F} est une fonction affine. Au départ, la force est de 400400 N pour s’annuler au bout de 4 m.

1. Exprimer F(x)\mathrm{F}(x) en fonction de xx.


2. Le travail W\text{W} en joule de cette force est égal à 04F(x)dx\displaystyle\int_{0}^{4} \mathrm{F}(x) \mathrm{d} x. Calculer le travail W\text{W} de cette force.
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68
EN PHYSIQUE
[Modéliser.]
Lors d’un voyage de 88 heures, Charline roule à une vitesse vv, exprimée en km·h—1, en fonction du temps tt, exprimé en heure. vv est définie par v(t)=6t(t8)v(t)=-6 t(t-8).

Calculer la vitesse moyenne de Charline sur son trajet, c’est‑à‑dire la valeur moyenne de vv sur [0 ;8][0~; 8].


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 68 - Route
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69
[Calculer.]
Calculer les intégrales suivantes.

1. 23(3x6)dx+323(2x)dx\displaystyle\int_{-2}^{3}(3 x-6) \mathrm{d} x+3 \displaystyle\int_{-2}^{3}(2-x) \mathrm{d} x


2. 11xexdx+11xexdx\displaystyle\int_{-1}^{1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{1}^{-1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x


3. 102x(x2+1)2dx220x(x2+1)2dx\displaystyle\int_{-1}^{0} \dfrac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x-2 \displaystyle\int_{2}^{0} \dfrac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x
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70
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

ff est une fonction continue sur R\R et périodique de période T>0\mathrm{T}>0.

1. On considère la fonction , définie sur R\R par (a)=aa+Tf(x)dx\ell(a)=\displaystyle\int_{a}^{a+\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x.
a. Démontrer que \ell est dérivable sur R\R et démontrer que, pour tout réel aa, (a)=0\ell^{\prime}(a)=0.


b. Que peut‑on en déduire pour \ell ?


2. Justifier alors que aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{a+\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x.
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71
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit ff une fonction continue et paire définie sur R\R.

1. a. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel aa, a0f(x)dx=0af(x)dx\displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.


b. Démontrer que aaf(x)dx=20af(x)dx\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.


2. Utiliser les résultats précédents pour calculer ππxdx\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|x| \mathrm{d} x.
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72
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit ff une fonction continue et impaire définie sur R\R.

1. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel aa, a0f(x)dx=0af(x)dx\displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=-\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.


2. En déduire alors la valeur de aaf(x)dx\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
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73
[Calculer.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\{2}\mathbb{R} \backslash\{-2\} par :
f(x)=3x2+12x+11(x+2)2f(x)=\dfrac{3 x^{2}+12 x+11}{(x+2)^{2}}.


1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de 14f(x)dx\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.


2. a. Démontrer que, pour tout réel x2x \neq -2, f(x)=31(x+2)2f(x)=3-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}.


b. Calculer alors 14f(x)dx\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.
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74
[Calculer.] ◉◉
1. Démontrer que, pour tout réel x[1 ;6]x \in[1~; 6], on a :
161x1\dfrac{1}{6} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 1.


2. En déduire un encadrement de 161xdx\displaystyle\int_{1}^{6} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x.
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75
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x[0 ;2]x \in[0~; 2], on a :
x35x31+x2x3\dfrac{x^{3}}{5} \leqslant \dfrac{x^{3}}{1+x^{2}} \leqslant x^{3}.



2. En déduire un encadrement de 02x31+x2dx\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x^{3}}{1+x^{2}} \mathrm{d} x.
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