Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Entraînement 2
Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque
9 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Consulter les pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d'intégrales.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
52
Flash
Soit f la fonction définie sur ]0~;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x^{2}}+3 x-1. Calculer \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
53
Flash
Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=2 x^{2}-3 x-6. Calculer \displaystyle\int_{-2}^{4} g(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
54
Flash
Soit h la fonction définie sur ]0~;+\infty[ par h(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}. Calculer la valeur moyenne de h sur l'intervalle [1~; 4].
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
55
Flash
1. Pour tout x \in[4~; 10], donner un encadrement de \frac{1}{x}.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{4}^{10} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
56
Flash
Pour tout réel x positif, on sait que -x \leqslant x \sin (x) \leqslant x. Utiliser cette inégalité pour en déduire un encadrement de l'intégrale \displaystyle\int_{0}^{2} x \sin (x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
57
[Chercher.]
Voici la courbe représentative \mathcal{C}_f d'une fonction f.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
D'après le graphique, nous savons que l'aire du triangle bleu est de 0{,}5 u.a et que celle du triangle vert est de 4{,}5 u.a. Déterminer graphiquement \displaystyle\int_{1}^{5} f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
58
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé borné \mathrm{I} = [a~; b]. On admet que, dans ces conditions, f admet nécessairement un minimum, noté m.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f admet des primitives sur \text{I}.
Pour toute fonction h continue et positive sur [a~; b], la fonction \mathrm{H}_a, définie sur [a~; b] par \mathrm{H}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} h(t) \mathrm{d} t, est la primitive de h qui s'annule en a. 1. On définit la fonction g sur \text{I} par g(x)=f(x)-m.
Justifier que g admet une primitive sur \text{I}, dont on donnera alors une expression.
2. En déduire que f admet une primitive sur \text{I} et en donner une expression.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
59
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie sur [-5~;+\infty[ par f(x)=\displaystyle\int_{-5}^{x}\left(t^{2}+2 t-5\right) \mathrm{d} t.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
60
[Calculer.]
1. \displaystyle\int_{-1}^{4}\left(x^{2}-4 x-1\right) \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-2}^{2} 5 \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{7} t+2\right) \mathrm{d} t
2. \displaystyle\int_{-2}^{2} 5 \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{7} t+2\right) \mathrm{d} t
4. \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}\left(x^{4}-2 x^{2}+9\right) \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 t^{3}+3 t^{2}-5 t+1\right) \mathrm{d} t
6. \displaystyle\int_{1}^{3} 1 \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(3 t^{3}+3 t^{2}-5 t+1\right) \mathrm{d} t
6. \displaystyle\int_{1}^{3} 1 \mathrm{d} x
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
61
[Calculer.]
1. \displaystyle\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^{2}} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{5}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{5}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{2}^{49} \frac{3}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x
4. \displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(\mathrm{e}^{x}+3 x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x
4. \displaystyle\int_{-2}^{-1}\left(\mathrm{e}^{x}+3 x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right) \mathrm{d} x
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
62
[Calculer.]
1. \displaystyle\int_{-1}^{2} 3 x^{2}\left(5 x^{3}-1\right)^{2} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-2}^{1} \mathrm{e}^{5 x-1} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-2}^{3} \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-2}^{1} \mathrm{e}^{5 x-1} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-2}^{3} \frac{3 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} \mathrm{d} x
4. \displaystyle\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{x}\left(5 \mathrm{e}^{x}+3\right)^{2} \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{2}{(3-5 x)^{2}} \mathrm{d} x
6. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}}{x^{2}} \mathrm{d} x
5. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{2}{(3-5 x)^{2}} \mathrm{d} x
6. \displaystyle\int_{1}^{2} \frac{\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}}{x^{2}} \mathrm{d} x
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
63
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=2-3 x^{2}.
1. Calculer \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x.
2. En déduire la valeur moyenne de f sur [0~; 2].
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
64
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle \text{I} donné.
1. f: x \mapsto 1-5 x^{2}, avec \mathrm{I}=[-2~; 5].
2. f: x \mapsto 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1, avec \mathrm{I}=[-1~; 3].
3. f: x \mapsto \frac{5}{3 x^{2}}, avec \mathrm{I}=[-4 ;-1].
2. f: x \mapsto 3 x^{3}-2 x^{2}+x-1, avec \mathrm{I}=[-1~; 3].
3. f: x \mapsto \frac{5}{3 x^{2}}, avec \mathrm{I}=[-4 ;-1].
4. f: x \mapsto \frac{3}{5 \sqrt{x}}, avec \mathrm{I}=[1~; 4].
5. f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}, avec \mathrm{I}=\left[\frac{1}{2}~; 1\right].
5. f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}, avec \mathrm{I}=\left[\frac{1}{2}~; 1\right].
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
65
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=10 x\left(x^{2}+3\right)^{4}. 1. Donner une primitive \text{F} de f sur \R.
2. En déduire \displaystyle\int_{-0,5}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
3. Déterminer alors la valeur moyenne de f sur [-0{,}5~; 1] approchée à 10^{-2} près.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
66
[Calculer.]
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle \text{I} donné. 1. f: x \mapsto x\left(3 x^{2}-1\right)^{2}, avec \mathrm{I}=[-1~; 2].
2. f: x \mapsto-3 x \mathrm{e}^{x^{2}-2}, avec \mathrm{I}=[-1~; 3].
3. f: x \mapsto \frac{x^{2}}{\left(8-x^{3}\right)^{2}}, avec \mathrm{I}=[0~; 1].
4. f: x \mapsto \frac{3 x^{3}}{5 \sqrt{x^{4}+2}}, avec \mathrm{I}=[1~; 4].
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
67
En physique
[Modéliser.]
Issa doit pousser un objet de manière rectiligne sur une distance de 4 m.
La force \text{F} nécessaire pour pousser cet objet, en N, s'exprime en fonction de la distance parcourue x, exprimée en m.
Dans cet exercice, \text{F} est une fonction affine. Au départ, la force est de 400 N pour s'annuler au bout de 4 m. 1. Exprimer \mathrm{F}(x) en fonction de x.
2. Le travail \text{W} en joule de cette force est égal à \displaystyle\int_{0}^{4} \mathrm{F}(x) \mathrm{d} x. Calculer le travail \text{W} de cette force.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
68
En physique
[Modéliser.]
Lors d'un voyage de 8 heures, Charline roule à une vitesse v, exprimée en km·h—1, en fonction du temps t, exprimé en heure. v est définie par v(t)=-6 t(t-8). Calculer la vitesse moyenne de Charline sur son trajet, c'est‑à‑dire la valeur moyenne de v sur [0~; 8].
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
69
[Calculer.]
Calculer les intégrales suivantes. 1. \displaystyle\int_{-2}^{3}(3 x-6) \mathrm{d} x+3 \displaystyle\int_{-2}^{3}(2-x) \mathrm{d} x
2. \displaystyle\int_{-1}^{1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{1}^{-1} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x-2 \displaystyle\int_{2}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x
3. \displaystyle\int_{-1}^{0} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x-2 \displaystyle\int_{2}^{0} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
70
Démo
[Raisonner.]
f est une fonction continue sur \R et périodique de période \mathrm{T}>0. 1. On considère la fonction , définie sur \R par \ell(a)=\displaystyle\int_{a}^{a+\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x.
a. Démontrer que \ell est dérivable sur \R et démontrer que, pour tout réel a, \ell^{\prime}(a)=0.
b. Que peut‑on en déduire pour \ell ?
2. Justifier alors que \displaystyle\int_{a}^{a+\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{\mathrm{T}} f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
71
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue et paire définie sur \R. 1. a. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel a, \displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
b. Démontrer que \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
2. Utiliser les résultats précédents pour calculer \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|x| \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
72
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue et impaire définie sur \R. 1. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel a, \displaystyle\int_{-a}^{0} f(x) \mathrm{d} x=-\displaystyle\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
2. En déduire alors la valeur de \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
73
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} \backslash\{-2\} par :
f(x)=\frac{3 x^{2}+12 x+11}{(x+2)^{2}}.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de \displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.2. a. Démontrer que, pour tout réel x \neq -2, f(x)=3-\frac{1}{(x+2)^{2}}.
b. Calculer alors \displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
74
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x \in[1~; 6], on a :
\frac{1}{6} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant 1.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{1}^{6} \frac{1}{x} \mathrm{d} x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
75
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x \in[0~; 2], on a :
\frac{x^{3}}{5} \leqslant \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \leqslant x^{3}.
2. En déduire un encadrement de \displaystyle\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{1+x^{2}} \mathrm{d} x.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah