Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 11

Entraînement 2

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

Informations

Consulter les

exercices transversaux p. 432

pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d'intégrales.

Flash

Soit

f

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

f (x) = \frac{1}{x ^{2}} + 3 x - 1

. Calculer

\int_{1}^{2} f (x) d x

Flash

Soit

g

la fonction définie sur

R

par

g (x) = 2 x^{2} - 3 x - 6

. Calculer

\int_{- 2}^{4} g (x) d x

Flash

Soit

h

la fonction définie sur

] 0; + \infty [

par

h (x) = \frac{1}{x}

Calculer la valeur moyenne de

h

sur l'intervalle

[1; 4]

Flash

1. Pour tout

x \in [4; 10]

, donner un encadrement de

\frac{1}{x}

2. En déduire un encadrement de

\int_{4}^{10} \frac{1}{x} d x

Flash

Pour tout réel

x

positif, on sait que

- x ⩽ x sin (x) ⩽ x

. Utiliser cette inégalité pour en déduire un encadrement de l'intégrale

\int_{0}^{2} x sin (x) d x

57
[Chercher.]
Voici la courbe représentative

C_{f}

d'une fonction

f

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 57

Le zoom est accessible dans la version Premium.

D'après le graphique, nous savons que l'aire du triangle bleu est de

0, 5

u.a et que celle du triangle vert est de

4, 5

u.a. Déterminer graphiquement

\int_{1}^{5} f (x) d x

Démo

[Raisonner.]
Soit

f

une fonction continue sur l'intervalle fermé borné

I = [a; b]

. On admet que, dans ces conditions,

f

admet nécessairement un minimum, noté

m

.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que

f

admet des primitives sur

I

.
Pour toute fonction

h

continue et positive sur

[a; b]

, la fonction

H_{a}

, définie sur

[a; b]

par

H_{a} (x) = \int_{a}^{x} h (t) d t

, est la primitive de

h

qui s'annule en

a

1. On définit la fonction

g

sur

I

par

g (x) = f (x) - m

.
Justifier que

g

admet une primitive sur

I

, dont on donnera alors une expression.

2. En déduire que

f

admet une primitive sur

I

et en donner une expression.

59
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction

f

définie sur

[- 5; + \infty [

par

f (x) = \int_{- 5}^{x} (t^{2} + 2 t - 5) d t

Pour les exercices
60
à
62

Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale.

60
[Calculer.]

\int_{- 1}^{4} (x^{2} - 4 x - 1) d x

\int_{- 2}^{2} 5 d x

\int_{0}^{3} (\frac{1}{7} t + 2) d t

\int_{1}^{2} (x^{4} - 2 x^{2} + 9) d x

\int_{- 1}^{1} (3 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t + 1) d t

\int_{1}^{3} 1 d x

61
[Calculer.]

\int_{- 2}^{- 1} \frac{4}{x ^{2}} d x

\int_{5}^{1} e^{x} d x

\int_{2}^{49} \frac{3}{x} d x

\int_{- 2}^{- 1} (e^{x} + 3 x^{3} - \frac{1}{x ^{2}}) d x

62
[Calculer.]

\int_{- 1}^{2} 3 x^{2} (5 x^{3} - 1)^{2} d x

\int_{- 2}^{1} e^{5 x - 1} d x

\int_{- 2}^{3} \frac{3 x}{2 x ^{2} + 1} d x

\int_{0}^{2} e^{x} (5 e^{x} + 3)^{2} d x

\int_{1}^{2} \frac{2}{( 3 - 5 x ) ^{2}} d x

\int_{1}^{2} \frac{e ^{\frac{1}{x}}}{x ^{2}} d x

63
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = 2 - 3 x^{2}

1. Calculer

\int_{0}^{2} f (x) d x

2. En déduire la valeur moyenne de

f

sur

[0; 2]

64
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la valeur moyenne de

f

sur l'intervalle

I

donné.

f : x \mapsto 1 - 5 x^{2}

, avec

I = [- 2; 5]

f : x \mapsto 3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1

, avec

I = [- 1; 3]

f : x \mapsto \frac{5}{3 x ^{2}}

, avec

I = [- 4; - 1]

f : x \mapsto \frac{3}{5 x}

, avec

I = [1; 4]

f : x \mapsto 2 e^{x}

, avec

I = [\frac{1}{2}; 1]

65
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = 10 x (x^{2} + 3)^{4}

1. Donner une primitive

F

f

sur

R

2. En déduire

\int_{- 0, 5}^{1} f (x) d x

3. Déterminer alors la valeur moyenne de

f

sur

[- 0, 5; 1]

approchée à

1 0^{- 2}

près.

66
[Calculer.]

Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle

I

donné.

f : x \mapsto x (3 x^{2} - 1)^{2}

, avec

I = [- 1; 2]

f : x \mapsto - 3 x e^{x^{2} - 2}

, avec

I = [- 1; 3]

f : x \mapsto \frac{x ^{2}}{( 8 - x ^{3} ) ^{2}}

, avec

I = [0; 1]

f : x \mapsto \frac{3 x ^{3}}{5 x ^{4} + 2}

, avec

I = [1; 4]

En physique

[Modéliser.]
Issa doit pousser un objet de manière rectiligne sur une distance de

4

m.
La force

F

nécessaire pour pousser cet objet, en N, s'exprime en fonction de la distance parcourue

x

, exprimée en m.
Dans cet exercice,

F

est une fonction affine. Au départ, la force est de

400

N pour s'annuler au bout de 4 m.

1. Exprimer

F (x)

en fonction de

x

2. Le travail

W

en joule de cette force est égal à

\int_{0}^{4} F (x) d x

. Calculer le travail

W

de cette force.

En physique

[Modéliser.]
Lors d'un voyage de

8

heures, Charline roule à une vitesse

v

, exprimée en km·h^—1, en fonction du temps

t

, exprimé en heure.

v

est définie par

v (t) = - 6 t (t - 8)

Calculer la vitesse moyenne de Charline sur son trajet, c'est‑à‑dire la valeur moyenne de

v

sur

[0; 8]

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 68 - Route

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Calin Stan / Shutterstock

69
[Calculer.]
Calculer les intégrales suivantes.

\int_{- 2}^{3} (3 x - 6) d x + 3 \int_{- 2}^{3} (2 - x) d x

\int_{- 1}^{1} x e^{x} d x + \int_{1}^{- 1} x e^{x} d x

\int_{- 1}^{0} \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x - 2 \int_{2}^{0} \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Démo

[Raisonner.]

f

est une fonction continue sur

R

et périodique de période

T > 0

1. On considère la fonction , définie sur

R

par

ℓ (a) = \int_{a}^{a + T} f (x) d x

.
a. Démontrer que

ℓ

est dérivable sur

R

et démontrer que, pour tout réel

a

ℓ^{'} (a) = 0

b. Que peut‑on en déduire pour

ℓ

2. Justifier alors que

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x

Démo

[Raisonner.]
Soit

f

une fonction continue et paire définie sur

R

1. a. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel

a

\int_{- a}^{0} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (x) d x

b. Démontrer que

\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x .

2. Utiliser les résultats précédents pour calculer

\int_{- π}^{π} ∣ x ∣ d x

Démo

[Raisonner.]
Soit

f

une fonction continue et impaire définie sur

R

1. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel

a

\int_{- a}^{0} f (x) d x = - \int_{0}^{a} f (x) d x

2. En déduire alors la valeur de

\int_{- a}^{a} f (x) d x

[Calculer.]

Soit

f

la fonction définie sur

R \ {- 2}

par :

f (x) = \frac{3 x ^{2} + 1 2 x + 1 1}{( x + 2 ) ^{2}}

1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de

\int_{- 1}^{4} f (x) d x

2. a. Démontrer que, pour tout réel

x \neq = - 2

f (x) = 3 - \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}

b. Calculer alors

\int_{- 1}^{4} f (x) d x

[Calculer.]

1. Démontrer que, pour tout réel

x \in [1; 6]

, on a :

\frac{1}{6} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ 1

2. En déduire un encadrement de

\int_{1}^{6} \frac{1}{x} d x

[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel

x \in [0; 2]

, on a :

\frac{x ^{3}}{5} ⩽ \frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} ⩽ x^{3} .

2. En déduire un encadrement de

\int_{0}^{2} \frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} d x .

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Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

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