pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d'intégrales.
52
Flash
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x21+3x−1. Calculer ∫12f(x)dx.
53
Flash
Soit g la fonction définie sur R par g(x)=2x2−3x−6. Calculer ∫−24g(x)dx.
54
Flash
Soit h la fonction définie sur ]0;+∞[ par h(x)=x1.
Calculer la valeur moyenne de h sur l'intervalle [1;4].
55
Flash
1. Pour tout x∈[4;10], donner un encadrement de x1.
2. En déduire un encadrement de ∫410x1dx.
56
Flash
Pour tout réel x positif, on sait que −x⩽xsin(x)⩽x. Utiliser cette inégalité pour en déduire un encadrement de l'intégrale ∫02xsin(x)dx.
57
[Chercher.]
Voici la courbe représentative Cf d'une fonction f.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
D'après le graphique, nous savons que l'aire du triangle bleu est de 0,5 u.a et que celle du triangle vert est de 4,5 u.a. Déterminer graphiquement ∫15f(x)dx.
58
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue sur l'intervalle fermé borné I=[a;b]. On admet que, dans ces conditions, f admet nécessairement un minimum, noté m.
L'objectif de cet exercice est de démontrer que f admet des primitives sur I.
Pour toute fonction h continue et positive sur [a;b], la fonction Ha, définie sur [a;b] par Ha(x)=∫axh(t)dt, est la primitive de h qui s'annule en a.
1. On définit la fonction g sur I par g(x)=f(x)−m.
Justifier que g admet une primitive sur I, dont on donnera alors une expression.
2. En déduire que f admet une primitive sur I et en donner une expression.
59
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie sur [−5;+∞[ par f(x)=∫−5x(t2+2t−5)dt.
Pour les exercices
60
à
62
Déterminer la valeur exacte de chaque intégrale.
60
[Calculer.]
1.∫−14(x2−4x−1)dx
2.∫−225dx
3.∫03(71t+2)dt
4.∫12(x4−2x2+9)dx
5.∫−11(3t3+3t2−5t+1)dt
6.∫131dx
61
[Calculer.]
1.∫−2−1x24dx
2.∫51exdx
3.∫249x3dx
4.∫−2−1(ex+3x3−x21)dx
62
[Calculer.]
1.∫−123x2(5x3−1)2dx
2.∫−21e5x−1dx
3.∫−232x2+13xdx
4.∫02ex(5ex+3)2dx
5.∫12(3−5x)22dx
6.∫12x2ex1dx
63
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2−3x2.
1. Calculer ∫02f(x)dx.
2. En déduire la valeur moyenne de f sur [0;2].
64
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle I donné.
1.f:x↦1−5x2, avec I=[−2;5].
2.f:x↦3x3−2x2+x−1, avec I=[−1;3].
3.f:x↦3x25, avec I=[−4;−1].
4.f:x↦5x3, avec I=[1;4].
5.f:x↦2ex, avec I=[21;1].
65
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=10x(x2+3)4.
1. Donner une primitive F de f sur R.
2. En déduire ∫−0,51f(x)dx.
3. Déterminer alors la valeur moyenne de f sur [−0,5;1] approchée à 10−2 près.
66
[Calculer.]
Calculer la valeur moyenne des fonctions suivantes sur l'intervalle I donné.
1.f:x↦x(3x2−1)2, avec I=[−1;2].
2.f:x↦−3xex2−2, avec I=[−1;3].
3.f:x↦(8−x3)2x2, avec I=[0;1].
4.f:x↦5x4+23x3, avec I=[1;4].
67
En physique
[Modéliser.]
Issa doit pousser un objet de manière rectiligne sur une distance de 4 m.
La force F nécessaire pour pousser cet objet, en N, s'exprime en fonction de la distance parcourue x, exprimée en m.
Dans cet exercice, F est une fonction affine. Au départ, la force est de 400 N pour s'annuler au bout de 4 m.
1. Exprimer F(x) en fonction de x.
2. Le travail W en joule de cette force est égal à ∫04F(x)dx. Calculer le travail W de cette force.
68
En physique
[Modéliser.]
Lors d'un voyage de 8 heures, Charline roule à une vitesse v, exprimée en km·h—1, en fonction du temps t, exprimé en heure. v est définie par v(t)=−6t(t−8).
Calculer la vitesse moyenne de Charline sur son trajet, c'est‑à‑dire la valeur moyenne de v sur [0;8].
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Crédits : Calin Stan / Shutterstock
69
[Calculer.]
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫−23(3x−6)dx+3∫−23(2−x)dx
2.∫−11xexdx+∫1−1xexdx
3.∫−10(x2+1)22xdx−2∫20(x2+1)2xdx
70
Démo
[Raisonner.]
f est une fonction continue sur R et périodique de période T>0.
1. On considère la fonction , définie sur R par ℓ(a)=∫aa+Tf(x)dx.
a. Démontrer que ℓ est dérivable sur R et démontrer que, pour tout réel a, ℓ′(a)=0.
b. Que peut‑on en déduire pour ℓ ?
2. Justifier alors que ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx.
71
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue et paire définie sur R.
1.a. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel a, ∫−a0f(x)dx=∫0af(x)dx.
b. Démontrer que ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.
2. Utiliser les résultats précédents pour calculer ∫−ππ∣x∣dx.
72
Démo
[Raisonner.]
Soit f une fonction continue et impaire définie sur R.
1. Par des considérations géométriques, justifier que, pour tout réel a, ∫−a0f(x)dx=−∫0af(x)dx.
2. En déduire alors la valeur de ∫−aaf(x)dx.
73
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur R\{−2} par :
f(x)=(x+2)23x2+12x+11.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de ∫−14f(x)dx.
2.a. Démontrer que, pour tout réel x=−2, f(x)=3−(x+2)21.
b. Calculer alors ∫−14f(x)dx.
74
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x∈[1;6], on a :
61⩽x1⩽1.
2. En déduire un encadrement de ∫16x1dx.
75
[Calculer.]
1. Démontrer que, pour tout réel x∈[0;2], on a :
5x3⩽1+x2x3⩽x3.
2. En déduire un encadrement de ∫021+x2x3dx.
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