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1. Intégrale d’une fonction continue de signe constant
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Entraînement


1
Intégrale d’une fonction continue de signe constant





Informations : Consulter les exercices transversaux p. 432 pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d’intégrales.

DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

44
FLASH

On donne les représentations graphiques de trois fonctions ff, gg et hh. Pour chaque fonction, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x=1 et x=5x=5 puis les calculer.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 44

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45
FLASH

À l’aide du graphique, estimer 23f(x)dx\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \mathrm{d} x et 13g(t)dt\displaystyle\int_{1}^{3} g(t) \mathrm{d} t.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 45

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46
FLASH

Donner la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur I\text{I}.

1. f:x0xt2dtf: x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{d} t avec I=[0 ;+[\mathrm{I}=[0~;+\infty[.


2. g:x3xe2t+4dtg: x \mapsto \displaystyle\int_{-3}^{x} \mathrm{e}^{2 t+4} \mathrm{d} t avec I=[3 ;+[\mathrm{I}=[-3~;+\infty[.

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47
[Calculer.] ◉◉
ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=0,40,2xf(x)=0{,}4-0{,}2 x.

1. Tracer la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.

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2. a. Calculer l’aire du domaine, en u.a., délimité par Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=2x=-2 et x=3x=3.


b. Déterminer l’aire de ce domaine en cm2.
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48
[Représenter.]
ff est la fonction définie sur R\R par :
f(x)={3x+8 si x12x+3 si x>1f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x+8 \text { si } x \leqslant-1 \\ -2 x+3 \text { si } x>-1\end{array}\right..
Tracer la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff dans un repère orthogonal puis calculer 21f(x)dx\displaystyle\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x.

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49
[Chercher.]
Le logo d’une entreprise est modélisé par le domaine bleu délimité par la courbe représentative d’une fonction ff dans le repère orthonormé ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 49

On admet que 05f(x)dx=503\displaystyle\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{50}{3}.

1. Quelle est l’aire de ce logo en unité d’aire ?


2. Pour la participation à un événement, le logo est imprimé. L’unité du graphique correspond à 10\text{10} cm. Déterminer l’aire du logo à imprimer en m2 ?
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50
[Calculer.] ◉◉◉
Calculer 15(2x+1)dx\displaystyle\int_{-1}^{5}(2 x+1) \mathrm{d} x et 31x+2dx\displaystyle\int_{-3}^{1}|x+2| \mathrm{d} x.
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51
VRAI / FAUX
[Raisonner.] ◉◉
Dans chaque cas, préciser en justifiant, si l’affirmation est vraie ou fausse. Si l’affirmation est fausse, la rectifier pour qu’elle soit vraie.

1. Soit ff la fonction définie sur [0 ;+[[0~;+\infty[ par f(x)=0xtdtf(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{d} t.
Sa dérivée est la fonction définie par f(x)=12xf^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}.


2. Soit ff la fonction définie sur [2 ;+[[2~;+\infty[ par f(t)=et21f(t)=\mathrm{e}^{t^{2}-1}.
La fonction définie sur [2 ;+[[2~;+\infty[ par F(x)=2xet21dt\mathrm{F}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-1} \mathrm{d} t est la primitive de ff s’annulant en 22.
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