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Intégrale d’une fonction continue de signe constant

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

On donne les représentations graphiques de trois fonctions $f$, $g$ et $h$. Pour chaque fonction, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=5$ puis les calculer.

À l’aide du graphique, estimer ${\int }_{-2}^{3}f(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_1^{3}g(t)\mathrm{d}t$.

Donner la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur $\text{I}$.

1. $f:x\mapsto {\int }_0^x{t}^2\mathrm{d}t$ avec $\mathrm{I}=[0;+\infty [$.


2. $g:x\mapsto {\int }_{-3}^x{\mathrm{e}}^{2t+4}\mathrm{d}t$ avec $\mathrm{I}=[-3;+\infty [$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0,4-0,2x$.

1. Tracer la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.

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2. a. Calculer l’aire du domaine, en u.a., délimité par ${\mathcal{C}}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-2$ et $x=3$.


b. Déterminer l’aire de ce domaine en cm².

48

[Représenter.]
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\{\begin{array}{c}3x+8\text{ si }x⩽-1\\ -2x+3\text{ si }x>-1\end{array}$. Tracer la courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal puis calculer ${\int }_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

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49

[Chercher.]
Le logo d’une entreprise est modélisé par le domaine bleu délimité par la courbe représentative d’une fonction $f$ dans le repère orthonormé ci‑dessous.

On admet que ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x=\frac{50}{3}$.

1. Quelle est l’aire de ce logo en unité d’aire ?


2. Pour la participation à un événement, le logo est imprimé. L’unité du graphique correspond à $\text{10}$ cm. Déterminer l’aire du logo à imprimer en m² ?

50

[Calculer.] ◉◉◉
Calculer ${\int }_{-1}^5(2x+1)\mathrm{d}x$ et ${\int }_{-3}^1|x+2|\mathrm{d}x$.

51

VRAI / FAUX

[Raisonner.] ◉◉◉
Dans chaque cas, préciser en justifiant, si l’affirmation est vraie ou fausse. Si l’affirmation est fausse, la rectifier pour qu’elle soit vraie.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(x)={\int }_0^x\sqrt{t}\mathrm{d}t$.
Sa dérivée est la fonction définie par $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.


2. Soit $f$ la fonction définie sur $[2;+\infty [$ par $f(t)={\mathrm{e}}^{t^2-1}$.
La fonction définie sur $[2;+\infty [$ par $\mathrm{F}(x)={\int }_2^x{\mathrm{e}}^{t^2-1}\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ s’annulant en $2$.