Intégrale d'une fonction continue de signe constant

Parcours 1 : exercices

47

 ;

60

 ;

74

et

79

Parcours 2 : exercices

51

 ;

61

 ;

66

 ;

73

 ;

81

et

86

Parcours 3 : exercices

50

 ;

62

 ;

70

 ;

83

 ;

88

 ;

89

et

90

Consulter les

exercices transversaux p. 432

pour calculer des intégrales utilisant les fonctions trigonométriques ou la fonction logarithme népérien ainsi que des suites d'intégrales.

On donne les représentations graphiques de trois fonctions f, g et h. Pour chaque fonction, traduire sous forme d'intégrale l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=5 puis les calculer.

À l'aide du graphique, estimer \displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{1}^{3} g(t) \mathrm{d} t.

[Chercher.]
Le logo d'une entreprise est modélisé par le domaine bleu délimité par la courbe représentative d'une fonction f dans le repère orthonormé ci‑dessous.


On admet que \displaystyle\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x=\frac{50}{3}. 1. Quelle est l'aire de ce logo en unité d'aire ?

2. Pour la participation à un événement, le logo est imprimé. L'unité du graphique correspond à \text{10} cm. Déterminer l'aire du logo à imprimer en m² ?

[Raisonner.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant, si l'affirmation est vraie ou fausse. Si l'affirmation est fausse, la rectifier pour qu'elle soit vraie. 1. Soit f la fonction définie sur [0~;+\infty[ par f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{d} t.
Sa dérivée est la fonction définie par f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}.

2. Soit f la fonction définie sur [2~;+\infty[ par f(t)=\mathrm{e}^{t^{2}-1}.
La fonction définie sur [2~;+\infty[ par \mathrm{F}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-1} \mathrm{d} t est la primitive de f s'annulant en 2.