1

Intégrale d’une fonction continue de signe constant

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 47 ; 60 ; 74 et 79
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 51 ; 61 ; 66 ; 73 ; 81 et 86
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 50 ; 62 ; 70 ; 83 ; 88 ; 89 et 90

On donne les représentations graphiques de trois fonctions $f$, $g$ et $h$. Pour chaque fonction, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=5$ puis les calculer.

À l’aide du graphique, estimer $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ et $\displaystyle\int_{1}^{3} g(t) \mathrm{d} t$.

Donner la fonction dérivée des fonctions suivantes définies sur $\text{I}$.

1. $f: x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{d} t$ avec $\mathrm{I}=[0~;+\infty[$.


2. $g: x \mapsto \displaystyle\int_{-3}^{x} \mathrm{e}^{2 t+4} \mathrm{d} t$ avec $\mathrm{I}=[-3~;+\infty[$.

47

[Calculer.] ◉◉◉
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=0{,}4-0{,}2 x$.

1. Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.

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2. a. Calculer l’aire du domaine, en u.a., délimité par $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-2$ et $x=3$.


b. Déterminer l’aire de ce domaine en cm².

48

[Représenter.]
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x+8 \text { si } x \leqslant-1 \\ -2 x+3 \text { si } x>-1\end{array}\right.$. Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal puis calculer $\displaystyle\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x$.

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49

[Chercher.]
Le logo d’une entreprise est modélisé par le domaine bleu délimité par la courbe représentative d’une fonction $f$ dans le repère orthonormé ci‑dessous.

On admet que $\displaystyle\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x=\dfrac{50}{3}$.

1. Quelle est l’aire de ce logo en unité d’aire ?


2. Pour la participation à un événement, le logo est imprimé. L’unité du graphique correspond à $\text{10}$ cm. Déterminer l’aire du logo à imprimer en m² ?

50

[Calculer.] ◉◉◉
Calculer $\displaystyle\int_{-1}^{5}(2 x+1) \mathrm{d} x$ et $\displaystyle\int_{-3}^{1}|x+2| \mathrm{d} x$.

51

VRAI / FAUX

[Raisonner.] ◉◉◉
Dans chaque cas, préciser en justifiant, si l’affirmation est vraie ou fausse. Si l’affirmation est fausse, la rectifier pour qu’elle soit vraie.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;+\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \sqrt{t} \mathrm{d} t$.
Sa dérivée est la fonction définie par $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$.


2. Soit $f$ la fonction définie sur $[2~;+\infty[$ par $f(t)=\mathrm{e}^{t^{2}-1}$.
La fonction définie sur $[2~;+\infty[$ par $\mathrm{F}(x)=\displaystyle\int_{2}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}-1} \mathrm{d} t$ est la primitive de $f$ s’annulant en $2$.