D'après le graphique ci‑dessous, on peut écrire que la valeur moyenne de $f$ sur $[2;7]$ est environ égale à :

${\int }_{-2}^1\left(-x^3+2x^2-1\right)\mathrm{d}x$ est égale à :

a. $-15$

b. $-\frac{27}{4}$

c. $15$

d. $\frac{27}{4}$

Parmi les affirmations suivantes, déterminer celle qui est correcte.

a. ${\int }_{-2}^{-1}3x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x={\int }_{-2}^{-1}3x\mathrm{d}x\times {\int }_{-2}^{-1}{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$

b. ${\int }_{-2}^{-1}\left(3x+{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x=3{\int }_{-2}^{-1}x\mathrm{d}x+{\int }_{-2}^{-1}{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$

c. ${\int }_{-2}^{-1}3x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x⩾0$

d. ${\int }_{-2}^{-1}\left(3x+{\mathrm{e}}^x\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{-2}3x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x+{\int }_0^{-1}3x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$

Soit $f$ la fonction définie sur $[1;+\infty [$ par : $f(x)={\int }_1^x(t-1){\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$.

a. $f$ est dérivable sur $[1;+\infty [$ et $f^{\prime }(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$.

b. $f$ est dérivable sur $[1;+\infty [$ et $f^{\prime }(x)=x{\mathrm{e}}^x$.

c. $f$ admet pour primitive sur $[1;+\infty [$ : $\mathrm{F}:x\mapsto (x-1){\mathrm{e}}^x$.

d. $f$ admet pour primitive sur $[1;+\infty [$ : $\mathrm{F}:x\mapsto \left(\frac{x^2}{2}-x\right){\mathrm{e}}^x$.

Si $f$ est une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant, pour tout réel $x$, $-5⩽f(x)⩽-2$, alors on peut affirmer que :

a. ${\int }_0^{-2}f(x)\mathrm{d}x⩾0$

b. ${\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x⩾0$

c. $-5⩽{\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x⩽-2$

d. $-10⩽{\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x⩽-4$

Soit $f$ la fonction carré, de courbe représentative ${\mathcal{C}}_f$ dans un repère orthogonal d'unité $2$ cm en abscisse et $1$ cm en ordonnée. L'aire du domaine compris entre ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$ est égale à :

a. 3 u.a.

b. 6 u.a.

c. 3 cm²

d. 6 cm²

$f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et impaire. Alors, on peut affirmer que :

a. ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.

b. l'on ne peut pas connaître la valeur de ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

c. ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.

d. ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x⩾0$.

$f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3$ et $g(x)=x^2$. L'aire du domaine situé entre les courbes représentatives de $f$ et $g$ sur $[0;1]$ est égale à :

a. ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$

b. ${\int }_0^1[g(x)-f(x)]\mathrm{d}x$

c. $\frac{1}{12}$ u.a.

d. $-\frac{1}{12}$ u.a.

17

Montrer que $2⩽{\int }_1^3\frac{{\mathrm{e}}^{x-1}}{x}\mathrm{d}x⩽\frac{2{\mathrm{e}}^2}{3}$.

A

Vrai ou faux ? $f$ est une fonction continue sur $\text{I}=\left[a;b\right]$. Si ${\int }_b^{a}f(t)\mathrm{d}t$ est positive, alors $f$ est positive sur $\text{I}$.

a. Vrai

b. Faux

B

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4-5x^3+4x^2$ et $g(x)=4x^2-20x+16$. L'aire du domaine compris entre les courbes représentatives de $f$et $g$ et les droites d'équation $x=1$ et $x=5$ est égale à ...

a. ${\int }_1^5\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ u.a..

b. ${\int }_1^5\left[g(x)-f(x)\right]\mathrm{d}x$ u.a..

c. Ni l'un ni l'autre.

C

Combien vaut ${\int }_1^2{x}^2\text{ln}\left(x^2\right)\text{d}x$ ?

a. $\text{ln}\left(4\right)$

b. $\frac{16}{3}\text{ln}\left(2\right)-\frac{14}{9}$

c. $8\text{ln}\left(2\right)$

d. $\frac{8}{3}\text{ln}\left(2\right)-\frac{14}{9}$

D

$f$ est une fonction continue et positive sur $\left[a;b\right]$. Alors :

a. ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ correspond à l'aire en u.a. d'un domaine.

b. ${\int }_a^b-f(x)\mathrm{d}x$ correspond à l'aire en u.a. d'un domaine.

c. $\text{F}:x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ est dérivable sur $\left[a;b\right]$ et ${\text{F}}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$.

d. $\text{F}:x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ est croissante sur $\left[a;b\right]$.

E

$f$ est une fonction dont voici une représentation graphique sur $\left[-3;6\right]$. Quelles égalités sont exactes ?

F

Quelles égalités sont correctes ?

a. ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=1$

b. ${\int }_0^1{x}^4\mathrm{d}x=\frac{1}{5}$

c. ${\int }_1^0{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=1-\mathrm{e}$

d. ${\int }_{-2}^0{\mathrm{e}}^{3x}\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{e}}^6-1}{3{\mathrm{e}}^6}$

G

$({\text{I}}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite d'intégrales définies par ${\text{I}}_n={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x$. Alors :

a. $({\text{I}}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite dont tous les termes sont positifs.

b. $({\text{I}}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite dont tous les termes sont négatifs.

c. $({\text{I}}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite décroissante.

d. $({\text{I}}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite croissante.

H

Pour calculer ${\int }_1^{6}x{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$, par intégration par parties, on pose :