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L'épreuve finale
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Exercice guidé

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1
[D’après bac S, Amérique du sud, novembre 2019]
On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier n0n \geqslant 0 par {u0=5un+1=310un+4\left\{\begin{array}{c} u_{0}=5 \\ u_{n+1}=3-\dfrac{10}{u_{n}+4} \end{array}\right..

Partie A

1. Déterminer la valeur exacte de u1u_1 et de u2u_2.


Aide
Il suffit d’utiliser la définition de la suite (un)(u_n).

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un1u_{n} \geqslant 1.


Aide
On pourra s’aider de la méthode de la page 26 pour rédiger convenablement le raisonnement par récurrence.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un+1un=(1un)(un+2)un+4u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(1-u_{n}\right)\left(u_{n}+2\right)}{u_{n}+4}.


Aide
Il faut repartir de l’expression de un+1u_{n+1} et effectuer les calculs fractionnaires consciencieusement.

4. En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n).


Aide
Il faut déterminer le lien entre le sens de variation de (un)(u_n) et la question précédente.
5. Justifier que la suite (un)(u_n) converge.


Aide
Un théorème permet de répondre convenablement en s’appuyant sur certains résultats démontrés précédemment.

Partie B

On considère la suite (vn)(v_n) définie pour tout entier naturel nn par vn=un1un+2v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+2}.

1. a. Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0v_0.


Aide
Il faut essayer de retrouver l’expression d’une suite géométrique à partir de vn+1v_{n+1}.

b. Exprimer vnv_n en fonction de nn et en déduire que, pour tout entier naturel n,n, vn1v_{n} \neq 1.


Aide
Pour la première partie de la question, on utilisera une propriété des suites géométriques. Pour la seconde partie, on pourra, par exemple, démontrer que vn<1v_n \lt 1, pour tout nNn \in \N.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, un=2vn+11vnu_{n}=\dfrac{2 v_{n}+1}{1-v_{n}}.


Aide
Il suffit de repartir de la définition de vnv_n et d’effectuer consciencieusement les calculs fractionnaires.

3. En déduire la limite de la suite (un)(u_n).


Aide
On pourra commencer par calculer la limite de (vn)(v_n).
Partie C

On considère l’algorithme ci-dessous.

u5n0Tant que u1,01, faire :nn+1u310u+4Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } u \leftarrow 5 \\ n \leftarrow 0 \\ \text {Tant que } u \geqslant 1,01 \text {, faire } : \\ \quad \quad n \leftarrow n+1 \\ \quad \quad u \leftarrow 3-\dfrac{10}{u+4} \\ \text {Fin tant que} \end{array} }


1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable nn ?


Aide
Il n’est pas utile de programmer l’algorithme mais la calculatrice est utile pour répondre à cette question.

2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.


Aide
Quel est le lien entre cet algorithme et l’étude de la suite (un)(u_n) dans les parties A et B ?
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2
[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
Partie A : Établir une égalité

Sur l’intervalle [0;+][0 \:;+\infty], on définit la fonction ff par f(x)=xln(x+1).f(x)=x-\ln (x+1).

1. Étudier le sens de variation de la fonction ff sur l’intervalle [0;+][0 \:;+\infty].


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2. En déduire que, pour tout x[0;+]x \in [0 \:;+\infty], ln(x+1)x\ln (x+1) \leqslant x.


Partie B : Application à l’étude d’une suite

On pose u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=unln(1+un)u_{n+1}=u_{n}-\ln \left(1+u_{n}\right).
On admet que la suite de terme général unu_n est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à 10310^{-3} près de u2u_2.


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un0u_{n} \geqslant 0.


b. Démontrer que la suite (un)(u_n) est décroissante et en déduire que, pour tout entier naturel nn, un1u_{n} \leqslant 1.


c. Montrer que la suite (un)(u_n) est convergente.


3. On note \ell, la limite de la suite (un)(u_n). Justifier que \ell vérifie =f()\ell = f(\ell) puis déterminer sa valeur.


4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel pp donné, permet de déterminer le plus petit rang N\text{N} à partir duquel tous les termes de la suite (un)(u_n) sont inférieurs à 10p10^{-p}.



b. Déterminer le plus petit entier naturel nn à partir duquel tous les termes de la suite (un)(u_n) sont inférieurs à 101510^{-15}.
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3
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2019]
On considère la fonction ff définie sur [0;+[[0 \:;+\infty[ par : f(x)=ln(3x+1x+1)f(x)=\ln \left(\dfrac{3 x+1}{x+1}\right).
On admet que la fonction ff est dérivable sur [0;+[[0 \:;+\infty[ et on note ff^\prime sa fonction dérivée.
On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthogonal.

L’épreuve finale - Analyse

Partie A

1. Déterminer limx+f(x)\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x) et en donner une interprétation graphique.


2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel xx positif ou nul, f(x)=2(x+1)(3x+1)f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{(x+1)(3 x+1)}.


b. En déduire que la fonction ff est strictement croissante sur [0;+[[0 \:;+\infty[.


Partie B

Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=3u_0 = 3 et, pour tout entier naturel nn, un+1=f(un)u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, 12un+1un\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}.


2. Démontrer que la suite (un)(u_n) converge vers une limite strictement positive.


Partie C

On note \ell la limite de la suite (un)(u_n).
On admet que f()=f(\ell)=\ell.
L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de \ell.
On introduit pour cela la fonction gg définie sur [0;+[[0 \:;+\infty[ par g(x)=f(x)xg(x) = f(x) - x.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction gg sur [0;+[[0 \:;+\infty[x0=2+730,215x_{0}=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3} \approx 0,215 et g(x0)0,088g\left(x_{0}\right) \approx 0,088, en arrondissant à 10310^{-3} près.

tableau de variation - L’épreuve finale - Analyse

1. Démontrer que l’équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution strictement positive. On la note α\alpha.


2. a. Compléter l’algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable xx soit une valeur approchée de α\alpha par excès à 0,010{,}01 près.

x0,22Tant que ... faire :xx+0,01Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } x \leftarrow 0{,}22 \\ \text {Tant que } ... \text { faire } : \\ \quad \quad x \leftarrow x+0{,}01 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }

b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable xx lors de l’exécution de l’algorithme.


3. En déduire une valeur approchée à 0,010{,}01 près de la limite \ell de la suite (un)(u_n).
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4
[D’après bac S, Métropole, juin 2016]]
Partie A

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=xln(x2+1)f(x)=x-\ln \left(x^{2}+1\right).

1. Résoudre dans R\R l’équation f(x)=xf(x) = x.


2. Déterminer la limite de la fonction ff en -\infty. Pour la suite, on admet que la limite de ff en ++\infty est ++\infty.


3. a. Dresser le tableau de variations de la fonction ff sur R\R.

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b. Montrer que, pour tout réel xx appartenant à l’intervalle [0;1][0 \:; 1], f(x)f(x) appartient à [0;1][0 \:; 1].


4. On considère l’algorithme suivant.

A100N0Tant que Nln(N2+1)<A:NN+1Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } \text{A} \leftarrow 100 \\ \text{N} \leftarrow 0 \\ \text {Tant que } \mathrm{N}-\ln \left(\mathrm{N}^{2}+1\right) \lt \mathrm{A} : \\ \quad \quad \text{N} \leftarrow \text{N}+1 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }

Quelle valeur contient la variable N\text{N} à la fin de l’algorithme ?


Partie B

Soit (un)(u_n) la suite définie par u0=1u_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=unln(un2+1)u_{n+1}=u_{n}-\ln \left(u_{n}^{2}+1\right).

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, un appartient à [0;1][0 \:; 1].


2. Étudier les variations de la suite (un)(u_n).


3. Montrer que la suite (un)(u_n) est convergente.


4. On note \ell la limite de la suite (un)(u_n). Justifier que \ell vérifie f()=f(\ell)=\ell puis déterminer sa valeur.
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5
[D’après bac S, Centres étrangers, juin 2019]]
Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un)(u_n) définie par la donnée de son premier terme u1u_1 et, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, un+1=(n+1)un1u_{n+1}=(n+1) u_{n}-1.

Partie A

1. En détaillant le calcul, vérifier que si u1=0u_1 = 0, alors u4=17u_4 = -17.


2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans U\text{U} une valeur de u1u_1, il calcule les termes de la suite (un)(u_n) de u2u_2 à u13u_{13}.

Pour N allant de 1 aˋ 12 : U...Fin tant que \boxed{ \begin{array} { l } \text {Pour N allant de 1 à 12 : }\\ \quad \quad \text{U} \leftarrow ...\\ \text {Fin tant que} \end{array} }


3. On a exécuté cet algorithme pour u1=0,7u_1 = 0{,}7 puis pour u1=0,8u_1 = 0{,}8. Voici les valeurs obtenues :

Pour u1=0,7\boldsymbol{u_{1}=0{,}7} Pour u1=0,8\boldsymbol{u_{1}=0{,}8}
0,40{,}4 0,60{,}6
0,20{,}2 0,80{,}8
0,2-0{,}2 2,22{,}2
2-2 1010
13-13 5959
92-92 412412
737-737 32953\:295
6634-6\:634 2965429\:654
66341-66\:341 296539296\:539
729752-729\:752 32619283\:261\:928
8757025-8\:757\:025 3914313539\:143\:135
113841326-113\:841\:326 508860754508\:860\:754

Quelle semble être la limite de cette suite si u1=0,7u_1 = 0{,}7 ? Et si u1=0,8u_1 = 0{,}8 ?


Partie B

On considère la suite (In)(\text{I}_n), définie pour tout entier naturel nn, supérieur ou égal à 11, par : In=01xne1xdx\mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{1-x} \mathrm{d} x.
On considère également la fonction F\text{F} définie sur l’intervalle [0;1][0\: ; 1] par F(x)=(1x)e1x\mathrm{F}(x)=(-1-x) \mathrm{e}^{1-x} et la fonction ff définie sur l’intervalle [0;1][0\: ; 1] par f(x)=xe1xf(x)=x \mathrm{e}^{1-x}.

1. Prouver que la fonction F\text{F} est une primitive sur l’intervalle [0;1][0\: ; 1] de la fonction ff.


2. En déduire que I1=e2\text{I}_{1}=\mathrm{e}-2.


3. a. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on a : In+1=(n+1)In1\mathrm{I}_{n+1}=(n+1) \mathrm{I}_{n}-1.


b. En déduire la valeur de I2\text{I}_2.


4. a. Justifier que, pour tout nombre réel xx de l’intervalle [0;1][0 \:; 1] et pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on a : 0xne1xxne0 \leqslant x^{n} \mathrm{e}^{1-x} \leqslant x^{n} \mathrm{e}.


b. En déduire que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on a : 0Inen+10 \leqslant \mathrm{I}_{n} \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}.


c. Déterminer la limite de la suite (In)(\mathrm{I}_{n}).


Partie C

Dans cette partie, on note n!n! le nombre défini pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, par : 1!=11! = 1 ; 2!=2×12 !=2 \times 1 ; et sin3:n!=n×(n1)××1\sin \geqslant 3: n !=n \times(n-1) \times \ldots \times 1.
Plus généralement, on a, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11 : (n+1)!=(n+1)×n!(n+1) !=(n+1) \times n !.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on a : un=n!(u1e+2)+Inu_{n}=n !\left(u_{1}-\mathrm{e}+2\right)+\mathrm{I}_{n}.


2. On admet que limn+n!=+\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n !=+\infty.

a. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) lorsque u1=0,7u_{1}=0,7.


b. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n) lorsque u1=0,8u_{1}=0,8.
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6
[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2017]
Partie A

Soit ff la fonction définie et dérivable sur [1;+[[1 \:;+\infty[ telle que, pour tout nombre réel xx supérieur ou égal à 11 : f(x)=1xln(x)f(x)=\dfrac{1}{x} \ln (x). On note C\mathcal{C} la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe C\mathcal{C} admet une asymptote horizontale.


2. Déterminer la fonction dérivée ff^\prime de la fonction ff sur l’intervalle [1;+[[1 \:;+\infty[.


3. Étudier les variations de la fonction ff sur [1;+[[1 \:;+\infty[.

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Partie B

On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout entier naturel nn par un=121xn+1ln(x)dxu_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \mathrm{d} x.

1. Démontrer que u0=12[ln(2)]2u_{0}=\dfrac{1}{2}[\ln (2)]^{2}. Interpréter graphiquement ce résultat.


2. Prouver que, pour tout entier naturel nn et pour tout nombre réel xx de l’intervalle [1;2][1 \:; 2], on a : 01xn+1ln(x)1xn+1ln(2)0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2).


3. En déduire que, pour tout entier naturel nn, on a : 0unln(2)n(112n)0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right).


4. Déterminer la limite de la suite (un)(u_n).
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7
[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
Partie A

On considère la fonction ff définie sur [2;10][2 \:; 10] par : f(x)=x2+2ln(2x)f(x)=x-2+2 \ln \left(\dfrac{2}{x}\right).

1. Justifier que la fonction ff est dérivable sur [2;10][2 \:; 10] et déterminer l’expression de sa dérivée ff^\prime.


2. Dresser le tableau de variations de ff sur [2;10][2 \:; 10].

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3. Montrer qu’il existe un unique réel α\alpha dans l’intervalle [2;10][2 \:; 10] tel que f(α)=1,6f(\alpha) = 1{,}6.


4. Donner une valeur approchée à 10210^{-2} près de α\alpha.


Partie B

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir θ\theta par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,61{,}6 mètre.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction ff définie sur l’intervalle [0;1[[0 \:; 1[ par g(x)=bx+2ln(1x)g(x)=b x+2 \ln (1-x), où bb est un paramètre réel supérieur ou égal à 22, xx est l’abscisse du projectile, et g(x)g(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.

L’épreuve finale - Analyse


1. La fonction gg est dérivable sur l’intervalle [0;1[[0 \:; 1[. On note gg^\prime sa dérivée. Montrer que, pour tout réel xx de l’intervalle [0;1[[0 \:; 1[, on a g(x)=bx+b21xg^{\prime}(x)=\dfrac{-b x+b-2}{1-x}.


2. On admet que la fonction gg possède un maximum sur l’intervalle [0;1[[0 \:; 1[. Montrer que ce maximum est égal à b2+2ln(2b)b-2+2 \ln \left(\dfrac{2}{b}\right).


3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre bb la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1,61{,}6 mètre.


4. Dans cette question, on choisit b=5,69b = 5{,}69. L’angle de tir θ\theta correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction gg au point d’abscisse 00. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle θ\theta.
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8
[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt.
matspebacinf08-v1-plan-de-travail-1

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions ff et gg définies sur R\R par :
f(x)=ex(cos(x)+sin(x)+1)f(x)=\mathrm{e}^{-x}(-\cos (x)+\sin (x)+1) et g(x)=excos(x)g(x)=-\mathrm{e}^{-x} \cos (x).

Partie A

1. Justifier que, pour tout xR:exf(x)3exx \in \mathbb{R}:-\mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3 \mathrm{e}^{-x}.


2. En déduire la limite de ff en ++\infty.


3. a. Justifier que la fonction ff est dérivable sur R\R.


b. On note ff^\prime la fonction dérivée de ff. Montrer que, pour tout xRx \in \R : f(x)=ex(2cos(x)1)f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}(2 \cos (x)-1).


4. Dans cette question, on étudie la fonction ff sur l’intervalle [π;π][-\pi \: ; \pi].

a. Déterminer le signe de f(x)f^{\prime}(x), pour xx appartenant à l’intervalle[π;π][-\pi \: ; \pi].


b. En déduire les variations de ff sur [π;π][-\pi \: ; \pi].

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Partie B

On note Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g les représentations graphiques des fonctions ff et gg dans un repère orthonormé (O;i,j)(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}). L’unité graphique est de 22 centimètres.

L’épreuve finale - Analyse

1. Étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f par rapport à la courbe Cg\mathcal{C}_g sur R\R.


2. Soit H\text{H} la fonction définie sur R\R par : H(x)=(cos(x)2sin(x)21)ex\text{H}(x)=\left(-\dfrac{\cos (x)}{2}-\dfrac{\sin (x)}{2}-1\right) \text{e}^{-x}.
Montrer que H\text{H} est une primitive de la fonction x(sinx+1)exx \mapsto(\sin x+1) e^{-x} sur R\R.


3. On note D\mathcal{D} le domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, la courbe Cg\mathcal{C}_g et les droites d’équation x=π2x=-\dfrac{\pi}{2} et x=3π2x=\dfrac{3 \pi}{2}. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D\mathcal{D}, puis en donner une valeur approchée à 10210^{-2} près en cm2.
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9
[D’après bac S, Métropole, juin 2005]
Partie A
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=3ex42+ex4f(x)=\dfrac{3 \text{e}^{\normalsize\tfrac{x}{4}}}{2+\text{e}^{\normalsize\tfrac{x}{4}}}.

1. Démontrer que f(x)=31+2ex4f(x)=\dfrac{3}{1+2\text{e}^{\normalsize-\tfrac{x}{4}}}.


2. Étudier les limites de la fonction ff en ++\infty et -\infty.


3. Étudier les variations de la fonction ff sur R\R.

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Partie B

1. On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps tt, est notée g(t)g(t). On définit ainsi une fonction gg sur [0;+[[0 \:;+\infty[ à valeurs dans R\R.
La variable tt désigne le temps, exprimé en année.
L’unité choisie pour g(t)g(t) est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour gg une solution, sur l’intervalle [0;+[[0 \:;+\infty[, de l’équation différentielle (E1):y=14y.\left(\mathrm{E}_{1}\right) \, : \, y^{\prime}=\dfrac{1}{4} y.

a. Résoudre l’équation différentielle (E1)(\text{E}_1).


b. Déterminer l’expression de g(t)g(t) lorsque, à la date t=0t = 0, la population comprend 100100 rongeurs.


c. Après combien d’années la population dépassera-telle 300300 rongeurs pour la première fois ?


2. En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant un certain nombre de rongeurs. On note u(t)u(t) le nombre de rongeur encore vivants au temps tt (exprimé en année) dans cette région, et on admet que la fonction uu, ainsi définie, vérifie (E2):u(0)=1(\text{E}_2) : u(0) = 1 et pour tout nombre réel tt positif ou nul, u(t)=14u(t)112u(t)2.u^{\prime}(t)=\dfrac{1}{4} u(t)-\dfrac{1}{12} u(t)^{2}.

a. On suppose que, pour tout réel positif tt, on a u(t)>0u(t)\gt0. On considère, sur l’intervalle [0;+][0 \:;+\infty], la fonction hh définie par h=1u.h =\dfrac{1}{u}.
Démontrer que la fonction uu est solution de (E2)\left(\mathrm{E}_{2}\right) si, et seulement si, la fonction hh est solution de (E3):h(0)=1\left(\mathrm{E}_{3}\right): h(0)=1 et pour tout nombre réel tt positif ou nul, h(t)=14h(t)+112.h^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{4} h(t)+\dfrac{1}{12}.


b. Donner les solutions de l’équation différentielle y=14y+112y^{\prime}=-\dfrac{1}{4} y+\dfrac{1}{12} et en déduire l’expression de la fonction h,h, puis celle de la fonction uu.


c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque tt tend vers ++\infty ? Justifier.
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10
[D’après bac S, Pondichéry, mai 2018]
Dans une usine, un four cuit des céramiques à une température de 1 0001 000 °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et refroidit.
On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 7070 °C. On note tt le temps (en heure) écoulé depuis l’instant correspondant à l’extinction du four.
On admet que la température du four à l’instant t est donnée par la fonction ff définie sur l’intervalle [0;+[[0\: ;+\infty[ et solution de l’équation différentielle (E):y=15y+4.(\text{E}) : y^{\prime}=-\dfrac{1}{5} y+4.

1. a. Résoudre l’équation différentielle (E)\text{(E)}.


b. En déduire l’expression de la fonction ff.


2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel tt positif : f(t)=980et5+20.f(t)=980 \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{t}{5}}+20.

a. Déterminer la limite de ff lorsque tt tend vers ++\infty.


b. Étudier les variations de la fonction ff sur [0;+[.[0\: ;+\infty[. En déduire son tableau de variations complet.

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c. Après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?


3. Dans cette question, on s’intéresse à la baisse de la température du four au cours d’une heure, soit entre deux instants tt et t+1.t + 1.
Elle est donnée par la fonction dd définie pour tout nombre réel tt positif par : d(t)=f(t)f(t+1).d(t)=f(t)-f(t+1).

a. Vérifier que, pour tout nombre réel tt positif : d(t)=980(1e15)et5.d(t)=980\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{1}{5}}\right) \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{t}{5}}.


b. Déterminer la limite de d(t)d(t) lorsque tt tend vers +.+\infty. Quelle interprétation peut-on en donner ?
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[D’après bac S, Métropole, juin 2010]
Partie A

On considère l’équation différentielle (E):y+y=ex.(\mathrm{E}): y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}.

1. Montrer que la fonction uu définie pour tout nombre réel xx par u(x)=xexu(x)=x \mathrm{e}^{-x} est une solution de l’équation différentielle (E).(\mathrm{E}).


2. On considère l’équation différentielle (E):y+y=0.\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}+y=0. Résoudre l’équation différentielle (E).\left(\mathrm{E}^{\prime}\right).


3. Soit vv une fonction définie et dérivable sur R.\R. Montrer que la fonction vv est une solution de l’équation différentielle (E)\left(\mathrm{E}\right) si, et seulement si, la fonction vuv - u est solution de l’équation différentielle (E).\left(\mathrm{E}^{\prime}\right).


4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).\left(\mathrm{E}\right).


5. Déterminer l’unique solution gg de l’équation différentielle (E)\text{(E)} telle que g(0)=2.g(0) = 2.


Partie B

On considère la fonction fkf_k définie pour tout nombre réel xx par fk(x)=(x+k)ex,f_{k}(x)=(x+k) \mathrm{e}^{-x},kk est un nombre réel donné. On note Ck\mathcal{C}_k la courbe représentative de la fonction fkf_k dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction fkf_k admet un maximum en x0=1k.x_{0}=1-k.


2. On note Mk\text{M}_k le point de la courbe Ck\mathcal{C}_k d’abscisse 1k.1 - k. Montrer que le point Mk\text{M}_k appartient à la courbe C\mathcal{C} d’équation y=ex.y=\text{e}^{-x}.


3. Sur le graphique ci-dessous, le repère (O;i,j)(\text{O} \: ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) est orthogonal et deux courbes sont tracées :
  • La courbe Γ\Gamma d’équation y=exy=\text{e}^{-x} ;
  • La courbe Ck\mathcal{C}_k d’équation y=(x+k)exy=(x+k) \mathrm{e}^{-x}, pour un certain nombre réel kk donné.

L’épreuve finale - Analyse

a. Identifier les courbes en justifiant.


b. À l’aide du graphique, déterminer la valeur du nombre réel k.k.
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[D’après bac S, Pondichéry, avril 2006]
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition. Durant l’année 2000, une étude a été réalisée sur un échantillon de cette population, dont l’effectif initial s’élevait à 1000.1\:000.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en millier d’individus, est approché par une fonction ff du temps tt (exprimé en année à partir de l’origine 2000).
D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction ff est dérivable, strictement positive sur [0;+[,[0 \:;+\infty[, et satisfait l’équation différentielle (E):y=120y(3ln(y)).(\mathrm{E}): y^{\prime}=-\dfrac{1}{20} y(3-\ln (y)).

1. Démontrer l’équivalence suivante : « une fonction ff, dérivable et strictement positive sur [0;+[,[0 \:;+\infty[, vérifie pour tout tt de [0;+[,[0 \:;+\infty[, f(t)=120f(t)[3lnf(t)]f^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{20} f(t)[3-\ln f(t)] si, et seulement si, la fonction g=ln(f)g=\ln (f) vérifie, pour tout tt de [0;+[,[0 \:;+\infty[, g(t)=120g(t)320g^{\prime}(t)=\dfrac{1}{20} g(t)-\dfrac{3}{20}. »


2. a. Donner la solution générale de l’équation différentielle z=120z320.z^{\prime}=\dfrac{1}{20} z-\dfrac{3}{20}.


b. En déduire qu’il existe un réel C\text{C} tel que, pour tout tt de [0;+[,[0 \:;+\infty[, f(t)=exp[3+Cexp(t20)].f(t)=\exp\left[3+\operatorname{Cexp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].


c. En déduire la valeur de C\text{C}.


3. Pour la suite, on admet que la fonction ff est définie par f(t)=exp[33exp(t20)]f(t)=\exp \left[3-3 \exp \left(\dfrac{t}{20}\right)\right].

a. Déterminer la limite de la fonction ff en +.+\infty.


b. Déterminer le sens de variation de ff sur [0;+[.[0 \:;+\infty[.

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c. Résoudre dans [0;+[[0 \:;+\infty[ l’inéquation f(t)<0,02.f(t)\lt0{,}02. Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
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13
[D’après bac ES, Asie, juin 2019]
On a représenté ci-dessous, la courbe C\mathcal{C} représentative d’une fonction ff définie et dérivable sur [0,5;12][0{,}5 \:; 12], la tangente T1\text{T}_1 à C\mathcal{C} au point A\text{A} d’abscisse 11 et la tangente T2\text{T}_2 à C\mathcal{C} au point B\text{B} d’abscisse 22. La tangente T1\text{T}_1 est parallèle à l’axe des abscisses.

L’épreuve finale - Analyse


1. a. Par lecture graphique, déterminer f(1)f^{\prime}(1) et les éventuels points d’inflexion de C.\mathcal{C}.


b. Encadrer 68f(x)dx\displaystyle\int_{6}^{8} f(x) \mathrm{d} x par deux entiers consécutifs.


2. On admet que la fonction ff est définie sur [0,5;12][0{,}5\: ; 12] par : f(x)=ln(x)+1x. f(x)=\ln (x)+\dfrac{1}{x}.

a. Montrer que, pour tout x[0,5;12],x \in[0{,}5\: ; 12], f(x)=x1x2.f^{\prime}(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}}.


b. Déterminer le signe de f(x)f^{\prime}(x) et en déduire le tableau de variations de f.f.


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3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l’on pourra admettre :

L’épreuve finale - Analyse - GeoGebra

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel ff est concave.


4. Soit F\text{F} la fonction définie sur [0,5;12][0{,}5\: ; 12] par : F(x)=(x+1)ln(x)x.\mathrm{F}(x)=(x+1) \ln (x)-x.

a. Vérifier que F\text{F} est une primitive de ff sur [0,5;12].[0{,}5\: ; 12].


b. En déduire la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de ff sur l’intervalle [0,5;12].[0{,}5\: ; 12].


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