L'épreuve finale

1

[D’après bac S, Amérique du sud, novembre 2019]
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n⩾0$ par $\{\begin{array}{c}{u}_0=5\\ u_{n+1}=3-\frac{10}{u_n+4}\end{array}$.

Partie A

1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.



2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾1$.



3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.



4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.


5. Justifier que la suite $(u_n)$ converge.



Partie B

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}$.

1. a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.



b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n,$ $v_n\ne 1$.



2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\frac{2v_n+1}{1-v_n}$.



3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.


Partie C

On considère l’algorithme ci-dessous.



1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?



2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.

2

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
Partie A : Établir une égalité

Sur l’intervalle $[0;+\infty ]$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=x-\ln (x+1).$

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty ]$.



2. En déduire que, pour tout $x\in [0;+\infty ]$, $\ln (x+1)⩽x$.


Partie B : Application à l’étude d’une suite

On pose $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\ln \left(1+u_n\right)$.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾0$.


b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩽1$.


c. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.


3. On note $\ell$, la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\ell$ vérifie $\ell =f(\ell )$ puis déterminer sa valeur.


4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $\text{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.

b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.

3

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2019]
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $f(x)=\ln \left(\frac{3x+1}{x+1}\right)$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.


Partie A

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et en donner une interprétation graphique.


2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1)(3x+1)}$.


b. En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$.


Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{2}⩽u_{n+1}⩽u_n$.


2. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite strictement positive.


Partie C

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
On admet que $f(\ell )=\ell$.
L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.
On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)=f(x)-x$.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0;+\infty [$ où $x_0=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}\approx 0,215$ et $g\left(x_0\right)\approx 0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$ près.


1. Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.


2. a. Compléter l’algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.


b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme.


3. En déduire une valeur approchée à $0,01$ près de la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

4

[D’après bac S, Métropole, juin 2016]]
Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-\ln \left(x^2+1\right)$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $f(x)=x$.


2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Pour la suite, on admet que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.


3. a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.


b. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $f(x)$ appartient à $[0;1]$.


4. On considère l’algorithme suivant.


Quelle valeur contient la variable $\text{N}$ à la fin de l’algorithme ?

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\ln \left(u_n^2+1\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, un appartient à $[0;1]$.


2. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.


3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.


4. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\ell$ vérifie $f(\ell )=\ell$ puis déterminer sa valeur.

5

[D’après bac S, Centres étrangers, juin 2019]]
Le but de cet exercice est d’étudier la suite $(u_n)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_{n+1}=(n+1)u_n-1$.

Partie A

1. En détaillant le calcul, vérifier que si $u_1=0$, alors $u_4=-17$.


2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans $\text{U}$ une valeur de $u_1$, il calcule les termes de la suite $(u_n)$ de $u_2$ à $u_{13}$.



3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1=0,7$ puis pour $u_1=0,8$. Voici les valeurs obtenues :


Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1=0,7$ ? Et si $u_1=0,8$ ?


Partie B

On considère la suite $({\text{I}}_n)$, définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$, par : ${\mathrm{I}}_n={\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{1-x}\mathrm{d}x$.
On considère également la fonction $\text{F}$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $\mathrm{F}(x)=(-1-x){\mathrm{e}}^{1-x}$ et la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^{1-x}$.

1. Prouver que la fonction $\text{F}$ est une primitive sur l’intervalle $[0;1]$ de la fonction $f$.


2. En déduire que ${\text{I}}_1=\mathrm{e}-2$.


3. a. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : ${\mathrm{I}}_{n+1}=(n+1){\mathrm{I}}_n-1$.


b. En déduire la valeur de ${\text{I}}_2$.


4. a. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0⩽x^n{\mathrm{e}}^{1-x}⩽x^n\mathrm{e}$.


b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0⩽{\mathrm{I}}_n⩽\frac{\mathrm{e}}{n+1}$.


c. Déterminer la limite de la suite $({\mathrm{I}}_n)$.


Partie C

Dans cette partie, on note $n!$ le nombre défini pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, par : $1!=1$ ; $2!=2\times 1$ ; et $\sin ⩾3:n!=n\times (n-1)\times \dots \times 1$.
Plus généralement, on a, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ : $(n+1)!=(n+1)\times n!$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $u_n=n!\left(u_1-\mathrm{e}+2\right)+{\mathrm{I}}_n$.


2. On admet que $\underset{n\to +\infty }{\lim }n!=+\infty$.

a. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $u_1=0,7$.


b. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $u_1=0,8$.

6

[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2017]
Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $[1;+\infty [$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$ : $f(x)=\frac{1}{x}\ln (x)$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.


2. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;+\infty [$.


3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1;+\infty [$.


Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n={\int }_1^2\frac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\mathrm{d}x$.

1. Démontrer que $u_0=\frac{1}{2}[\ln (2){]}^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.


2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1;2]$, on a : $0⩽\frac{1}{x^{n+1}}\ln (x)⩽\frac{1}{x^{n+1}}\ln (2)$.


3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0⩽u_n⩽\frac{\ln (2)}{n}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$.


4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

7

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2;10]$ par : $f(x)=x-2+2\ln \left(\frac{2}{x}\right)$.

1. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $[2;10]$ et déterminer l’expression de sa dérivée $f^{\prime }$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[2;10]$.


3. Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ dans l’intervalle $[2;10]$ tel que $f(\alpha )=1,6$.


4. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.


Partie B

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;1[$ par $g(x)=bx+2\ln (1-x)$, où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l’abscisse du projectile, et $g(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.



1. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0;1[$. On note $g^{\prime }$ sa dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1[$, on a $g^{\prime }(x)=\frac{-bx+b-2}{1-x}$.


2. On admet que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle $[0;1[$. Montrer que ce maximum est égal à $b-2+2\ln \left(\frac{2}{b}\right)$.


3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.


4. Dans cette question, on choisit $b=5,69$. L’angle de tir $\theta$ correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $0$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\theta$.

8

[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt.

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)={\mathrm{e}}^{-x}(-\cos (x)+\sin (x)+1)$ et $g(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)$.

Partie A

1. Justifier que, pour tout $x\in \mathbb{R}:-{\mathrm{e}}^{-x}⩽f(x)⩽3{\mathrm{e}}^{-x}$.


2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.


3. a. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.


b. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}(2\cos (x)-1)$.


4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l’intervalle $[-\pi ;\pi ]$.

a. Déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$, pour $x$ appartenant à l’intervalle$[-\pi ;\pi ]$.


b. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi ;\pi ]$.



Partie B

On note ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. L’unité graphique est de $2$ centimètres.


1. Étudier la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à la courbe ${\mathcal{C}}_g$ sur $\mathbb{R}$.


2. Soit $\text{H}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\text{H}(x)=\left(-\frac{\cos (x)}{2}-\frac{\sin (x)}{2}-1\right){\text{e}}^{-x}$.
Montrer que $\text{H}$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

3. On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, la courbe ${\mathcal{C}}_g$ et les droites d’équation $x=-\frac{\pi }{2}$ et $x=\frac{3\pi }{2}$. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm².

9

[D’après bac S, Métropole, juin 2005]
Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{3{\text{e}}^{\frac{x}{4}}}{2+{\text{e}}^{\frac{x}{4}}}$.

1. Démontrer que $f(x)=\frac{3}{1+2{\text{e}}^{-\frac{x}{4}}}$.


2. Étudier les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.


3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.


Partie B

1. On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est notée $g(t)$. On définit ainsi une fonction $g$ sur $[0;+\infty [$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
La variable $t$ désigne le temps, exprimé en année.
L’unité choisie pour $g(t)$ est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour $g$ une solution, sur l’intervalle $[0;+\infty [$, de l’équation différentielle $\left({\mathrm{E}}_1\right):$