Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Exercice guidé
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
1
[D'après bac S, Amérique du sud, novembre 2019]
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier n \geqslant 0 par \left\{\begin{array}{c}
u_{0}=5 \\
u_{n+1}=3-\frac{10}{u_{n}+4}
\end{array}\right..
Partie A
1. Déterminer la valeur exacte de u_1 et de u_2.
Aide
Il suffit d'utiliser la définition de la suite (u_n).
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n} \geqslant 1.
pour rédiger convenablement le raisonnement par récurrence.
3. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n}=\frac{\left(1-u_{n}\right)\left(u_{n}+2\right)}{u_{n}+4}.
Aide
Il faut repartir de l'expression de u_{n+1} et effectuer les
calculs fractionnaires consciencieusement.
4. En déduire le sens de variation de la suite (u_n).
Aide
Il faut déterminer le lien entre le sens de variation de
(u_n) et la question précédente.
5. Justifier que la suite (u_n) converge.
Aide
Un théorème permet de répondre convenablement en
s'appuyant sur certains résultats démontrés précédemment.
Partie B
On considère la suite (v_n) définie pour tout entier
naturel n par v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+2}.
1.a. Démontrer que (v_n) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v_0.
Aide
Il faut essayer de retrouver l'expression d'une suite
géométrique à partir de v_{n+1}.
b. Exprimer v_n en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n,v_{n} \neq 1.
Aide
Pour la première partie de la question, on utilisera une
propriété des suites géométriques. Pour la seconde partie,
on pourra, par exemple, démontrer que v_n \lt 1, pour tout
n \in \N.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_{n}=\frac{2 v_{n}+1}{1-v_{n}}.
Aide
Il suffit de repartir de la définition de v_n et d'effectuer
consciencieusement les calculs fractionnaires.
3. En déduire la limite de la suite (u_n).
Aide
On pourra commencer par calculer la limite de (v_n).
Partie C
On considère l'algorithme ci-dessous.
\boxed{
\begin{array} { l }
u \leftarrow 5 \\
n \leftarrow 0 \\
\text {Tant que } u \geqslant 1,01 \text {, faire } : \\
\quad \quad n \leftarrow n+1 \\
\quad \quad u \leftarrow 3-\frac{10}{u+4} \\
\text {Fin tant que}
\end{array}
}
1. Après exécution de l'algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable n ?
Aide
Il n'est pas utile de programmer l'algorithme mais la
calculatrice est utile pour répondre à cette question.
2. À l'aide des parties A et B, interpréter cette valeur.
Aide
Quel est le lien entre cet algorithme et l'étude de la
suite (u_n) dans les parties A et B ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Exercices
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
2
[D'après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
Partie A : Établir une égalité
Sur l'intervalle [0 \:;+\infty], on définit la fonction f par f(x)=x-\ln (x+1).
1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 \:;+\infty].
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
2. En déduire que, pour tout x \in [0 \:;+\infty], \ln (x+1) \leqslant x.
Partie B : Application à l'étude d'une suite
On pose u_0 = 1 et, pour tout entier naturel n,
u_{n+1}=u_{n}-\ln \left(1+u_{n}\right).
On admet que la suite de terme général u_n est bien définie.
1. Calculer une valeur approchée à 10^{-3} près de u_2.
2.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_{n} \geqslant 0.
b. Démontrer que la suite (u_n) est décroissante et en
déduire que, pour tout entier naturel n, u_{n} \leqslant 1.
c. Montrer que la suite (u_n) est convergente.
3. On note \ell, la limite de la suite (u_n). Justifier que \ell vérifie \ell = f(\ell) puis déterminer sa valeur.
4.a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel p donné, permet de déterminer le plus petit rang \text{N} à partir duquel tous les termes de la suite (u_n) sont inférieurs à 10^{-p}.
b. Déterminer le plus petit entier naturel n à partir duquel tous les termes de la suite (u_n) sont inférieurs à 10^{-15}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
3
[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2019]
On considère la fonction f définie sur [0 \:;+\infty[ par :
f(x)=\ln \left(\frac{3 x+1}{x+1}\right).
On admet que la fonction f est dérivable sur [0 \:;+\infty[ et on note f^\prime sa fonction dérivée.
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Partie A
1. Déterminer \lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x) et en donner une interprétation graphique.
2.a. Démontrer que, pour tout nombre réel x positif ou nul, f^{\prime}(x)=\frac{2}{(x+1)(3 x+1)}.
b. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur [0 \:;+\infty[.
Partie B
Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 3 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right).
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier
naturel n, \frac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}.
2. Démontrer que la suite (u_n) converge vers une limite strictement positive.
Partie C
On note \ell la limite de la suite (u_n).
On admet que f(\ell)=\ell.
L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de \ell.
On introduit pour cela la fonction g définie sur [0 \:;+\infty[ par g(x) = f(x) - x.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction g sur [0 \:;+\infty[ où x_{0}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3} \approx 0,215 et g\left(x_{0}\right) \approx 0,088, en arrondissant à 10^{-3} près.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution strictement positive. On la note \alpha.
2.a. Compléter l'algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable x soit une valeur approchée de \alpha par excès à 0{,}01 près.
\boxed{
\begin{array} { l }
x \leftarrow 0{,}22 \\
\text {Tant que } ... \text { faire } : \\
\quad \quad x \leftarrow x+0{,}01 \\
\text {Fin tant que}
\end{array}
}
b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme.
3. En déduire une valeur approchée à 0{,}01 près de la limite \ell de la suite (u_n).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
4
[D'après bac S, Métropole, juin 2016]]
Partie A
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x-\ln \left(x^{2}+1\right).
1. Résoudre dans \R l'équation f(x) = x.
2. Déterminer la limite de la fonction f en -\infty.
Pour la suite, on admet que la limite de f en +\infty est +\infty.
3.a. Dresser le tableau de variations de la fonction f
sur \R.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
b. Montrer que, pour tout réel x appartenant à
l'intervalle [0 \:; 1], f(x) appartient à [0 \:; 1].
Quelle valeur contient la variable \text{N} à la fin de
l'algorithme ?
Partie B
Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et, pour tout entier
naturel n, u_{n+1}=u_{n}-\ln \left(u_{n}^{2}+1\right).
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 \:; 1].
2. Étudier les variations de la suite (u_n).
3. Montrer que la suite (u_n) est convergente.
4. On note \ell la limite de la suite (u_n). Justifier que \ell vérifie f(\ell)=\ell puis déterminer sa valeur.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
5
[D'après bac S, Centres étrangers, juin 2019]]
Le but de cet exercice est d'étudier la suite (u_n) définie par la donnée de son premier terme u_1 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, u_{n+1}=(n+1) u_{n}-1.
Partie A
1. En détaillant le calcul, vérifier que si u_1 = 0, alors u_4 = -17.
2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans \text{U} une valeur de u_1, il calcule les termes de la suite (u_n) de u_2 à u_{13}.
\boxed{
\begin{array} { l }
\text {Pour N allant de 1 à 12 : }\\
\quad \quad \text{U} \leftarrow ...\\
\text {Fin tant que}
\end{array}
}
3. On a exécuté cet algorithme pour u_1 = 0{,}7 puis pour u_1 = 0{,}8. Voici les valeurs obtenues :
Pour \boldsymbol{u_{1}=0{,}7}
Pour \boldsymbol{u_{1}=0{,}8}
0{,}4
0{,}6
0{,}2
0{,}8
-0{,}2
2{,}2
-2
10
-13
59
-92
412
-737
3\:295
-6\:634
29\:654
-66\:341
296\:539
-729\:752
3\:261\:928
-8\:757\:025
39\:143\:135
-113\:841\:326
508\:860\:754
Quelle semble être la limite de cette suite si u_1 = 0{,}7 ?
Et si u_1 = 0{,}8 ?
Partie B
On considère la suite (\text{I}_n), définie pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, par : \mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{1-x} \mathrm{d} x.
On considère également la fonction \text{F} définie sur l'intervalle
[0\: ; 1] par \mathrm{F}(x)=(-1-x) \mathrm{e}^{1-x} et la fonction f définie sur l'intervalle [0\: ; 1] par f(x)=x \mathrm{e}^{1-x}.
1. Prouver que la fonction \text{F} est une primitive sur l'intervalle [0\: ; 1] de la fonction f.
2. En déduire que \text{I}_{1}=\mathrm{e}-2.
3.a. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a : \mathrm{I}_{n+1}=(n+1) \mathrm{I}_{n}-1.
b. En déduire la valeur de \text{I}_2.
4.a. Justifier que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0 \:; 1] et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a : 0 \leqslant x^{n} \mathrm{e}^{1-x} \leqslant x^{n} \mathrm{e}.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur
ou égal à 1, on a : 0 \leqslant \mathrm{I}_{n} \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n+1}.
c. Déterminer la limite de la suite (\mathrm{I}_{n}).
Partie C
Dans cette partie, on note n! le nombre défini pour
tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par : 1! = 1 ;
2 !=2 \times 1 ; et \sin \geqslant 3: n !=n \times(n-1) \times \ldots \times 1.
Plus généralement, on a, pour tout entier naturel n
supérieur ou égal à 1 : (n+1) !=(n+1) \times n !.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a : u_{n}=n !\left(u_{1}-\mathrm{e}+2\right)+\mathrm{I}_{n}.
2. On admet que \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n !=+\infty.
a. Déterminer la limite de la suite (u_n) lorsque u_{1}=0,7.
b. Déterminer la limite de la suite (u_n) lorsque u_{1}=0,8.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
6
[D'après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2017]
Partie A
Soit f la fonction définie et dérivable sur [1 \:;+\infty[ telle
que, pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1 :
f(x)=\frac{1}{x} \ln (x).
On note \mathcal{C} la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé.
1. Démontrer que la courbe \mathcal{C} admet une asymptote horizontale.
2. Déterminer la fonction dérivée f^\prime de la fonction f sur l'intervalle [1 \:;+\infty[.
3. Étudier les variations de la fonction f sur [1 \:;+\infty[.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
Partie B
On considère la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \mathrm{d} x.
1. Démontrer que u_{0}=\frac{1}{2}[\ln (2)]^{2}. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. Prouver que, pour tout entier naturel n et pour
tout nombre réel x de l'intervalle [1 \:; 2], on a : 0 \leqslant \frac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \frac{1}{x^{n+1}} \ln (2).
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 0 \leqslant u_{n} \leqslant \frac{\ln (2)}{n}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right).
4. Déterminer la limite de la suite (u_n).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
7
[D'après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
Partie A
On considère la fonction f définie sur [2 \:; 10] par : f(x)=x-2+2 \ln \left(\frac{2}{x}\right).
1. Justifier que la fonction f est dérivable sur [2 \:; 10] et déterminer l'expression de sa dérivée f^\prime.
2. Dresser le tableau de variations de f sur [2 \:; 10].
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
3. Montrer qu'il existe un unique réel \alpha dans l'intervalle [2 \:; 10] tel que f(\alpha) = 1{,}6.
4. Donner une valeur approchée à 10^{-2} près de \alpha.
Partie B
Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir \theta par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1{,}6 mètre.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [0 \:; 1[ par
g(x)=b x+2 \ln (1-x), où b est un paramètre réel supérieur
ou égal à 2, x est l'abscisse du projectile, et g(x)
son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. La fonction g est dérivable sur l'intervalle [0 \:; 1[.
On note g^\prime sa dérivée. Montrer que, pour tout réel x de
l'intervalle [0 \:; 1[, on a g^{\prime}(x)=\frac{-b x+b-2}{1-x}.
2. On admet que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle [0 \:; 1[.
Montrer que ce maximum est égal à b-2+2 \ln \left(\frac{2}{b}\right).
3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre b la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas 1{,}6 mètre.
4. Dans cette question, on choisit b = 5{,}69. L'angle de tir \theta correspond à l'angle entre l'axe des abscisses
et la tangente à la courbe de la fonction g au point
d'abscisse 0. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle \theta.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
8
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur
un T-shirt.
Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions f et g définies sur \R par : f(x)=\mathrm{e}^{-x}(-\cos (x)+\sin (x)+1) et g(x)=-\mathrm{e}^{-x} \cos (x).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Partie A
1. Justifier que, pour tout x \in \mathbb{R}:-\mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3 \mathrm{e}^{-x}.
2. En déduire la limite de f en +\infty.
3.a. Justifier que la fonction f est dérivable sur \R.
b. On note f^\prime la fonction dérivée de f. Montrer que, pour tout x \in \R : f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}(2 \cos (x)-1).
4. Dans cette question, on étudie la fonction f sur l'intervalle [-\pi \: ; \pi].
a. Déterminer le signe de f^{\prime}(x), pour x appartenant à l'intervalle[-\pi \: ; \pi].
b. En déduire les variations de f sur [-\pi \: ; \pi].
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
Partie B
On note \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g les représentations graphiques des
fonctions f et g dans un repère orthonormé (\text{O} \:; \vec{i}, \vec{j}).
L'unité graphique est de 2 centimètres.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Étudier la position relative de la courbe \mathcal{C}_f par rapport à la courbe \mathcal{C}_g sur \R.
2. Soit \text{H} la fonction définie sur \R par : \text{H}(x)=\left(-\frac{\cos (x)}{2}-\frac{\sin (x)}{2}-1\right) \text{e}^{-x}. Montrer que \text{H} est une primitive de la fonction
x \mapsto(\sin x+1) e^{-x} sur \R.
3. On note \mathcal{D} le domaine délimité par la courbe \mathcal{C}_f, la courbe \mathcal{C}_g et les droites d'équation x=-\frac{\pi}{2} et x=\frac{3 \pi}{2}.
Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine \mathcal{D}, puis en
donner une valeur approchée à 10^{-2} près en cm2.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
9
[D'après bac S, Métropole, juin 2005]
Partie A
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\frac{3 \text{e}^{\normalsize\tfrac{x}{4}}}{2+\text{e}^{\normalsize\tfrac{x}{4}}}.
1. Démontrer que f(x)=\frac{3}{1+2\text{e}^{\normalsize-\tfrac{x}{4}}}.
2. Étudier les limites de la fonction f en +\infty et -\infty.
3. Étudier les variations de la fonction f sur \R.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.
Partie B
1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g sur [0 \:;+\infty[ à valeurs dans \R.
La variable t désigne le temps, exprimé en année.
L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le
modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à
prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0 \:;+\infty[,
de l'