L'épreuve finale

Partie A

1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾1$.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(1-u_n\right)\left(u_n+2\right)}{u_n+4}$.

4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

5. Justifier que la suite $(u_n)$ converge.

Partie B

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}$.

1. a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n,$ $v_n\ne 1$.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\frac{2v_n+1}{1-v_n}$.

3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

On considère l'algorithme ci-dessous.

1. Après exécution de l'algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?

2. À l'aide des parties A et B, interpréter cette valeur.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩾0$.

b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n⩽1$.

c. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. On note $\ell$, la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\ell$ vérifie $\ell =f(\ell )$ puis déterminer sa valeur.

4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $\text{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.

b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty [$ par : $f(x)=\ln \left(\frac{3x+1}{x+1}\right)$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et en donner une interprétation graphique.

2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1)(3x+1)}$.

b. En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$.

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{2}⩽u_{n+1}⩽u_n$.

2. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite strictement positive.

Partie C

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
On admet que $f(\ell )=\ell$.
L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.
On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty [$ par $g(x)=f(x)-x$.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0;+\infty [$ où $x_0=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}\approx 0,215$ et $g\left(x_0\right)\approx 0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$ près.


1. Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.

2. a. Compléter l'algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.

b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l'exécution de l'algorithme.

3. En déduire une valeur approchée à $0,01$ près de la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=x$.

2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Pour la suite, on admet que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, un appartient à $[0;1]$.

2. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.

3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

4. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\ell$ vérifie $f(\ell )=\ell$ puis déterminer sa valeur.

Partie A

1. En détaillant le calcul, vérifier que si $u_1=0$, alors $u_4=-17$.

2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en saisissant préalablement dans $\text{U}$ une valeur de $u_1$, il calcule les termes de la suite $(u_n)$ de $u_2$ à $u_{13}$.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{Pour N allant de 1 aˋ 12 : }\\ \text{U}\leftarrow ...\\ \text{Fin tant que}\end{array}}$

3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1=0,7$ puis pour $u_1=0,8$. Voici les valeurs obtenues :


Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1=0,7$ ? Et si $u_1=0,8$ ?

Partie B

On considère la suite $({\text{I}}_n)$, définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$, par : ${\mathrm{I}}_n={\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{1-x}\mathrm{d}x$.
On considère également la fonction $\text{F}$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par $\mathrm{F}(x)=(-1-x){\mathrm{e}}^{1-x}$ et la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par $f(x)=x{\mathrm{e}}^{1-x}$.

1. Prouver que la fonction $\text{F}$ est une primitive sur l'intervalle $[0;1]$ de la fonction $f$.

2. En déduire que ${\text{I}}_1=\mathrm{e}-2$.

3. a. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : ${\mathrm{I}}_{n+1}=(n+1){\mathrm{I}}_n-1$.

b. En déduire la valeur de ${\text{I}}_2$.

4. a. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0⩽x^n{\mathrm{e}}^{1-x}⩽x^n\mathrm{e}$.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0⩽{\mathrm{I}}_n⩽\frac{\mathrm{e}}{n+1}$.

c. Déterminer la limite de la suite $({\mathrm{I}}_n)$.

a. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $u_1=0,7$.

b. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $u_1=0,8$.

Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $[1;+\infty [$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$ : $f(x)=\frac{1}{x}\ln (x)$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.

2. Déterminer la fonction dérivée $f^{\prime }$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1;+\infty [$.

3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1;+\infty [$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n={\int }_1^2\frac{1}{x^{n+1}}\ln (x)\mathrm{d}x$.

1. Démontrer que $u_0=\frac{1}{2}[\ln (2){]}^2$. Interpréter graphiquement ce résultat.

2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1;2]$, on a : $0⩽\frac{1}{x^{n+1}}\ln (x)⩽\frac{1}{x^{n+1}}\ln (2)$.

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0⩽u_n⩽\frac{\ln (2)}{n}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$.

4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;1[$ par $g(x)=bx+2\ln (1-x)$, où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse du projectile, et $g(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.

1. La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0;1[$. On note $g^{\prime }$ sa dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1[$, on a $g^{\prime }(x)=\frac{-bx+b-2}{1-x}$.

2. On admet que la fonction $g$ possède un maximum sur l'intervalle $[0;1[$. Montrer que ce maximum est égal à $b-2+2\ln \left(\frac{2}{b}\right)$.

3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1,6$ mètre.

4. Dans cette question, on choisit $b=5,69$. L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d'abscisse $0$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.

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Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)={\mathrm{e}}^{-x}(-\cos (x)+\sin (x)+1)$ et $g(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)$.

Partie A

1. Justifier que, pour tout $x\in \mathbb{R}:-{\mathrm{e}}^{-x}⩽f(x)⩽3{\mathrm{e}}^{-x}$.

2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

3. a. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

b. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x}(2\cos (x)-1)$.

4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$.

a. Déterminer le signe de $f^{\prime }(x)$, pour $x$ appartenant à l'intervalle$[-\pi ;\pi ]$.

b. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi ;\pi ]$.