Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Analyse
P.338-343

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




L'épreuve finale
ANG_picto_bac




Exercice guidé

Voir les réponses
1
[D’après bac S, Amérique du sud, novembre 2019]
On considère la suite définie pour tout entier par .

Partie A

1. Déterminer la valeur exacte de et de .


Aide
Il suffit d’utiliser la définition de la suite .

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


Aide
On pourra s’aider de la méthode de la page 26 pour rédiger convenablement le raisonnement par récurrence.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel , .


Aide
Il faut repartir de l’expression de et effectuer les calculs fractionnaires consciencieusement.

4. En déduire le sens de variation de la suite .


Aide
Il faut déterminer le lien entre le sens de variation de et la question précédente.
5. Justifier que la suite converge.


Aide
Un théorème permet de répondre convenablement en s’appuyant sur certains résultats démontrés précédemment.

Partie B

On considère la suite définie pour tout entier naturel par .

1. a. Démontrer que est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme .


Aide
Il faut essayer de retrouver l’expression d’une suite géométrique à partir de .

b. Exprimer en fonction de et en déduire que, pour tout entier naturel .


Aide
Pour la première partie de la question, on utilisera une propriété des suites géométriques. Pour la seconde partie, on pourra, par exemple, démontrer que , pour tout .

2. Démontrer que, pour tout entier naturel , .


Aide
Il suffit de repartir de la définition de et d’effectuer consciencieusement les calculs fractionnaires.

3. En déduire la limite de la suite .


Aide
On pourra commencer par calculer la limite de .
Partie C

On considère l’algorithme ci-dessous.



1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable ?


Aide
Il n’est pas utile de programmer l’algorithme mais la calculatrice est utile pour répondre à cette question.

2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.


Aide
Quel est le lien entre cet algorithme et l’étude de la suite dans les parties A et B ?
Voir les réponses

2
[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
Partie A : Établir une égalité

Sur l’intervalle , on définit la fonction par

1. Étudier le sens de variation de la fonction sur l’intervalle .


Dessinez ici

2. En déduire que, pour tout , .


Partie B : Application à l’étude d’une suite

On pose et, pour tout entier naturel , .
On admet que la suite de terme général est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à près de .


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


b. Démontrer que la suite est décroissante et en déduire que, pour tout entier naturel , .


c. Montrer que la suite est convergente.


3. On note , la limite de la suite . Justifier que vérifie puis déterminer sa valeur.


4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel donné, permet de déterminer le plus petit rang à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à .



b. Déterminer le plus petit entier naturel à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à .
Voir les réponses

3
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2019]
On considère la fonction définie sur par : .
On admet que la fonction est dérivable sur et on note sa fonction dérivée.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.

L’épreuve finale - Analyse

Partie A

1. Déterminer et en donner une interprétation graphique.


2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel positif ou nul, .


b. En déduire que la fonction est strictement croissante sur .


Partie B

Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


2. Démontrer que la suite converge vers une limite strictement positive.


Partie C

On note la limite de la suite .
On admet que .
L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de .
On introduit pour cela la fonction définie sur par .
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction sur et , en arrondissant à près.

tableau de variation - L’épreuve finale - Analyse

1. Démontrer que l’équation admet une unique solution strictement positive. On la note .


2. a. Compléter l’algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable soit une valeur approchée de par excès à près.


b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable lors de l’exécution de l’algorithme.


3. En déduire une valeur approchée à près de la limite de la suite .
Voir les réponses

4
[D’après bac S, Métropole, juin 2016]]
Partie A

Soit la fonction définie sur par .

1. Résoudre dans l’équation .


2. Déterminer la limite de la fonction en . Pour la suite, on admet que la limite de en est .


3. a. Dresser le tableau de variations de la fonction sur .

Dessinez ici

b. Montrer que, pour tout réel appartenant à l’intervalle , appartient à .


4. On considère l’algorithme suivant.


Quelle valeur contient la variable à la fin de l’algorithme ?


Partie B

Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , un appartient à .


2. Étudier les variations de la suite .


3. Montrer que la suite est convergente.


4. On note la limite de la suite . Justifier que vérifie puis déterminer sa valeur.
Voir les réponses

5
[D’après bac S, Centres étrangers, juin 2019]]
Le but de cet exercice est d’étudier la suite définie par la donnée de son premier terme et, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , .

Partie A

1. En détaillant le calcul, vérifier que si , alors .


2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans une valeur de , il calcule les termes de la suite de à .



3. On a exécuté cet algorithme pour puis pour . Voici les valeurs obtenues :

Pour Pour

Quelle semble être la limite de cette suite si ? Et si ?


Partie B

On considère la suite , définie pour tout entier naturel , supérieur ou égal à , par : .
On considère également la fonction définie sur l’intervalle par et la fonction définie sur l’intervalle par .

1. Prouver que la fonction est une primitive sur l’intervalle de la fonction .


2. En déduire que .


3. a. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a : .


b. En déduire la valeur de .


4. a. Justifier que, pour tout nombre réel de l’intervalle et pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a : .


b. En déduire que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a : .


c. Déterminer la limite de la suite .


Partie C

Dans cette partie, on note le nombre défini pour tout entier naturel supérieur ou égal à , par : ; ; et .
Plus généralement, on a, pour tout entier naturel supérieur ou égal à : .

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a : .


2. On admet que .

a. Déterminer la limite de la suite lorsque .


b. Déterminer la limite de la suite lorsque .
Voir les réponses

6
[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2017]
Partie A

Soit la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout nombre réel supérieur ou égal à : . On note la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.


2. Déterminer la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle .


3. Étudier les variations de la fonction sur .

Dessinez ici

Partie B

On considère la suite définie pour tout entier naturel par .

1. Démontrer que . Interpréter graphiquement ce résultat.


2. Prouver que, pour tout entier naturel et pour tout nombre réel de l’intervalle , on a : .


3. En déduire que, pour tout entier naturel , on a : .


4. Déterminer la limite de la suite .
Voir les réponses

7
[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
Partie A

On considère la fonction définie sur par : .

1. Justifier que la fonction est dérivable sur et déterminer l’expression de sa dérivée .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Dessinez ici

3. Montrer qu’il existe un unique réel dans l’intervalle tel que .


4. Donner une valeur approchée à près de .


Partie B

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas mètre.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction définie sur l’intervalle par , où est un paramètre réel supérieur ou égal à , est l’abscisse du projectile, et son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.

L’épreuve finale - Analyse


1. La fonction est dérivable sur l’intervalle . On note sa dérivée. Montrer que, pour tout réel de l’intervalle , on a .


2. On admet que la fonction possède un maximum sur l’intervalle . Montrer que ce maximum est égal à .


3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas mètre.


4. Dans cette question, on choisit . L’angle de tir correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction au point d’abscisse . Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle .
Voir les réponses

8
[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt.
matspebacinf08-v1-plan-de-travail-1

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions et définies sur par :
et .

Partie A

1. Justifier que, pour tout .


2. En déduire la limite de en .


3. a. Justifier que la fonction est dérivable sur .


b. On note la fonction dérivée de . Montrer que, pour tout : .


4. Dans cette question, on étudie la fonction sur l’intervalle .

a. Déterminer le signe de , pour appartenant à l’intervalle.


b. En déduire les variations de sur .

Dessinez ici


Partie B

On note et les représentations graphiques des fonctions et dans un repère orthonormé . L’unité graphique est de centimètres.

L’épreuve finale - Analyse

1. Étudier la position relative de la courbe par rapport à la courbe sur .


2. Soit la fonction définie sur par : .
Montrer que est une primitive de la fonction sur .


3. On note le domaine délimité par la courbe , la courbe et les droites d’équation et . Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine , puis en donner une valeur approchée à près en cm2.
Voir les réponses

9
[D’après bac S, Métropole, juin 2005]
Partie A
Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que .


2. Étudier les limites de la fonction en et .


3. Étudier les variations de la fonction sur .

Dessinez ici

Partie B

1. On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps , est notée . On définit ainsi une fonction sur à valeurs dans .
La variable désigne le temps, exprimé en année.
L’unité choisie pour est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour une solution, sur l’intervalle , de l’équation différentielle

a. Résoudre l’équation différentielle .


b. Déterminer l’expression de lorsque, à la date , la population comprend rongeurs.


c. Après combien d’années la population dépassera-telle rongeurs pour la première fois ?


2. En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant un certain nombre de rongeurs. On note le nombre de rongeur encore vivants au temps (exprimé en année) dans cette région, et on admet que la fonction , ainsi définie, vérifie et pour tout nombre réel positif ou nul,

a. On suppose que, pour tout réel positif , on a . On considère, sur l’intervalle , la fonction définie par
Démontrer que la fonction est solution de si, et seulement si, la fonction est solution de et pour tout nombre réel positif ou nul,


b. Donner les solutions de l’équation différentielle et en déduire l’expression de la fonction puis celle de la fonction .


c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque tend vers ? Justifier.
Voir les réponses

10
[D’après bac S, Pondichéry, mai 2018]
Dans une usine, un four cuit des céramiques à une température de  °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et refroidit.
On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à  °C. On note le temps (en heure) écoulé depuis l’instant correspondant à l’extinction du four.
On admet que la température du four à l’instant t est donnée par la fonction définie sur l’intervalle et solution de l’équation différentielle

1. a. Résoudre l’équation différentielle .


b. En déduire l’expression de la fonction .


2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel positif :

a. Déterminer la limite de lorsque tend vers .


b. Étudier les variations de la fonction sur En déduire son tableau de variations complet.

Dessinez ici

c. Après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?


3. Dans cette question, on s’intéresse à la baisse de la température du four au cours d’une heure, soit entre deux instants et
Elle est donnée par la fonction définie pour tout nombre réel positif par :

a. Vérifier que, pour tout nombre réel positif :


b. Déterminer la limite de lorsque tend vers Quelle interprétation peut-on en donner ?
Voir les réponses

11
[D’après bac S, Métropole, juin 2010]
Partie A

On considère l’équation différentielle

1. Montrer que la fonction définie pour tout nombre réel par est une solution de l’équation différentielle


2. On considère l’équation différentielle Résoudre l’équation différentielle


3. Soit une fonction définie et dérivable sur Montrer que la fonction est une solution de l’équation différentielle si, et seulement si, la fonction est solution de l’équation différentielle


4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle


5. Déterminer l’unique solution de l’équation différentielle telle que


Partie B

On considère la fonction définie pour tout nombre réel par est un nombre réel donné. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction admet un maximum en


2. On note le point de la courbe d’abscisse Montrer que le point appartient à la courbe d’équation


3. Sur le graphique ci-dessous, le repère est orthogonal et deux courbes sont tracées :
  • La courbe d’équation ;
  • La courbe d’équation , pour un certain nombre réel donné.

L’épreuve finale - Analyse

a. Identifier les courbes en justifiant.


b. À l’aide du graphique, déterminer la valeur du nombre réel
Voir les réponses

12
[D’après bac S, Pondichéry, avril 2006]
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition. Durant l’année 2000, une étude a été réalisée sur un échantillon de cette population, dont l’effectif initial s’élevait à
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en millier d’individus, est approché par une fonction du temps (exprimé en année à partir de l’origine 2000).
D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction est dérivable, strictement positive sur et satisfait l’équation différentielle

1. Démontrer l’équivalence suivante : « une fonction , dérivable et strictement positive sur vérifie pour tout de si, et seulement si, la fonction vérifie, pour tout de . »


2. a. Donner la solution générale de l’équation différentielle


b. En déduire qu’il existe un réel tel que, pour tout de


c. En déduire la valeur de .


3. Pour la suite, on admet que la fonction est définie par .

a. Déterminer la limite de la fonction en


b. Déterminer le sens de variation de sur

Dessinez ici

c. Résoudre dans l’inéquation Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?
Voir les réponses

13
[D’après bac ES, Asie, juin 2019]
On a représenté ci-dessous, la courbe représentative d’une fonction définie et dérivable sur , la tangente à au point d’abscisse et la tangente à au point d’abscisse . La tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

L’épreuve finale - Analyse


1. a. Par lecture graphique, déterminer et les éventuels points d’inflexion de


b. Encadrer par deux entiers consécutifs.


2. On admet que la fonction est définie sur par :

a. Montrer que, pour tout


b. Déterminer le signe de et en déduire le tableau de variations de


Dessinez ici


3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants que l’on pourra admettre :

L’épreuve finale - Analyse - GeoGebra

Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel est concave.


4. Soit la fonction définie sur par :

a. Vérifier que est une primitive de sur


b. En déduire la valeur arrondie au centième de la valeur moyenne de sur l’intervalle


Voir les réponses