[D’après bac S, Métropole, juin 2005]
Partie A
Soit
f la fonction définie sur
R par
f(x)=2+e4x3e4x.
1. Démontrer que
f(x)=1+2e−4x3.
2. Étudier les limites de la fonction
f en
+∞ et
−∞.
3. Étudier les variations de la fonction
f sur
R.
Partie B
1. On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps
t, est notée
g(t). On définit ainsi une fonction
g sur
[0;+∞[ à valeurs dans
R.
La variable
t désigne le temps, exprimé en année.
L’unité choisie pour
g(t) est la centaine d’individus. Le
modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à
prendre pour
g une solution, sur l’intervalle
[0;+∞[,
de l’équation différentielle
(E1):y′=41y.
a. Résoudre l’équation différentielle
(E1).
b. Déterminer l’expression de
g(t) lorsque, à la date
t=0, la population comprend
100 rongeurs.
c. Après combien d’années la population dépassera-telle
300 rongeurs pour la première fois ?
2. En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant un certain nombre de rongeurs. On note
u(t) le nombre de rongeur encore vivants au temps
t (exprimé en année) dans cette région, et on admet que la fonction
u, ainsi définie, vérifie
(E2):u(0)=1 et pour tout nombre réel
t positif ou nul,
u′(t)=41u(t)−121u(t)2.
a. On suppose que, pour tout réel positif
t, on a
u(t)>0. On considère, sur l’intervalle
[0;+∞], la
fonction
h définie par
h=u1.
Démontrer que la fonction
u est solution de
(E2) si,
et seulement si, la fonction
h est solution de
(E3):h(0)=1 et pour tout nombre réel
t positif ou nul,
h′(t)=−41h(t)+121.
b. Donner les solutions de l’équation différentielle
y′=−41y+121 et en déduire l’expression de la fonction
h, puis celle de la fonction
u.
c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la
population étudiée lorsque
t tend vers
+∞ ? Justifier.