L'épreuve finale

1

[D’après bac S, Amérique du sud, novembre 2019]
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $\left\{\begin{array}{c} u_{0}=5 \\ u_{n+1}=3-\dfrac{10}{u_{n}+4} \end{array}\right.$.

Partie A

1. Déterminer la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.

Aide

Il suffit d’utiliser la définition de la suite $(u_n)$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} \geqslant 1$.

Aide

On pourra s’aider de la méthode de la page 26 pour rédiger convenablement le raisonnement par récurrence.

3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{\left(1-u_{n}\right)\left(u_{n}+2\right)}{u_{n}+4}$.

Aide

Il faut repartir de l’expression de $u_{n+1}$ et effectuer les calculs fractionnaires consciencieusement.

4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Aide

Il faut déterminer le lien entre le sens de variation de $(u_n)$ et la question précédente.

5. Justifier que la suite $(u_n)$ converge.

Aide

Un théorème permet de répondre convenablement en s’appuyant sur certains résultats démontrés précédemment.

Partie B

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\dfrac{u_{n}-1}{u_{n}+2}$.

1. a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_0$.

Aide

Il faut essayer de retrouver l’expression d’une suite géométrique à partir de $v_{n+1}$.

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et en déduire que, pour tout entier naturel $n,$ $v_{n} \neq 1$.

Aide

Pour la première partie de la question, on utilisera une propriété des suites géométriques. Pour la seconde partie, on pourra, par exemple, démontrer que $v_n \lt 1$, pour tout $n \in \N$.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\dfrac{2 v_{n}+1}{1-v_{n}}$.

Aide

Il suffit de repartir de la définition de $v_n$ et d’effectuer consciencieusement les calculs fractionnaires.

3. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Aide

On pourra commencer par calculer la limite de $(v_n)$.

Partie C

On considère l’algorithme ci-dessous.

$\boxed{ \begin{array} { l } u \leftarrow 5 \\ n \leftarrow 0 \\ \text {Tant que } u \geqslant 1,01 \text {, faire } : \\ \quad \quad n \leftarrow n+1 \\ \quad \quad u \leftarrow 3-\dfrac{10}{u+4} \\ \text {Fin tant que} \end{array} }$

1. Après exécution de l’algorithme, quelle valeur est contenue dans la variable $n$ ?

Aide

Il n’est pas utile de programmer l’algorithme mais la calculatrice est utile pour répondre à cette question.

2. À l’aide des parties A et B, interpréter cette valeur.

Aide

Quel est le lien entre cet algorithme et l’étude de la suite $(u_n)$ dans les parties A et B ?

2

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2019]
Partie A : Établir une égalité

Sur l’intervalle $[0 \:;+\infty]$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=x-\ln (x+1).$

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 \:;+\infty]$.

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2. En déduire que, pour tout $x \in [0 \:;+\infty]$, $\ln (x+1) \leqslant x$.


Partie B : Application à l’étude d’une suite

On pose $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}-\ln \left(1+u_{n}\right)$.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

1. Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.


2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} \geqslant 0$.


b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n} \leqslant 1$.


c. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.


3. On note $\ell$, la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ puis déterminer sa valeur.


4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $\text{N}$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.

b. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs à $10^{-15}$.

3

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2019]
On considère la fonction $f$ définie sur $[0 \:;+\infty[$ par : $f(x)=\ln \left(\dfrac{3 x+1}{x+1}\right)$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0 \:;+\infty[$ et on note $f^\prime$ sa fonction dérivée.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Déterminer $\lim\limits _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ et en donner une interprétation graphique.


2. a. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, $f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{(x+1)(3 x+1)}$.


b. En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0 \:;+\infty[$.


Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.


2. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite strictement positive.


Partie C

On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$.
On admet que $f(\ell)=\ell$.
L’objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.
On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0 \:;+\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0 \:;+\infty[$ où $x_{0}=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3} \approx 0,215$ et $g\left(x_{0}\right) \approx 0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$ près.

1. Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.


2. a. Compléter l’algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0{,}01$ près.

$\boxed{ \begin{array} { l } x \leftarrow 0{,}22 \\ \text {Tant que } ... \text { faire } : \\ \quad \quad x \leftarrow x+0{,}01 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }$

b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l’exécution de l’algorithme.


3. En déduire une valeur approchée à $0{,}01$ près de la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

4

[D’après bac S, Métropole, juin 2016]]
Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-\ln \left(x^{2}+1\right)$.

1. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x) = x$.


2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. Pour la suite, on admet que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.


3. a. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.


b. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 \:; 1]$, $f(x)$ appartient à $[0 \:; 1]$.


4. On considère l’algorithme suivant.

$\boxed{ \begin{array} { l } \text{A} \leftarrow 100 \\ \text{N} \leftarrow 0 \\ \text {Tant que } \mathrm{N}-\ln \left(\mathrm{N}^{2}+1\right) \lt \mathrm{A} : \\ \quad \quad \text{N} \leftarrow \text{N}+1 \\ \text {Fin tant que} \end{array} }$

Quelle valeur contient la variable $\text{N}$ à la fin de l’algorithme ?

Partie B

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_{n}-\ln \left(u_{n}^{2}+1\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, un appartient à $[0 \:; 1]$.


2. Étudier les variations de la suite $(u_n)$.


3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.


4. On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$ puis déterminer sa valeur.

5

[D’après bac S, Centres étrangers, juin 2019]]
Le but de cet exercice est d’étudier la suite $(u_n)$ définie par la donnée de son premier terme $u_1$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_{n+1}=(n+1) u_{n}-1$.

Partie A

1. En détaillant le calcul, vérifier que si $u_1 = 0$, alors $u_4 = -17$.


2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans $\text{U}$ une valeur de $u_1$, il calcule les termes de la suite $(u_n)$ de $u_2$ à $u_{13}$.

$\boxed{ \begin{array} { l } \text {Pour N allant de 1 à 12 : }\\ \quad \quad \text{U} \leftarrow ...\\ \text {Fin tant que} \end{array} }$

3. On a exécuté cet algorithme pour $u_1 = 0{,}7$ puis pour $u_1 = 0{,}8$. Voici les valeurs obtenues :

Pour $\boldsymbol{u_{1}=0{,}7}$	Pour $\boldsymbol{u_{1}=0{,}8}$
$0{,}4$	$0{,}6$
$0{,}2$	$0{,}8$
$-0{,}2$	$2{,}2$
$-2$	$10$
$-13$	$59$
$-92$	$412$
$-737$	$3\:295$
$-6\:634$	$29\:654$
$-66\:341$	$296\:539$
$-729\:752$	$3\:261\:928$
$-8\:757\:025$	$39\:143\:135$
$-113\:841\:326$	$508\:860\:754$

Quelle semble être la limite de cette suite si $u_1 = 0{,}7$ ? Et si $u_1 = 0{,}8$ ?


Partie B

On considère la suite $(\text{I}_n)$, définie pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à $1$, par : $\mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{1-x} \mathrm{d} x$.
On considère également la fonction $\text{F}$ définie sur l’intervalle $[0\: ; 1]$ par $\mathrm{F}(x)=(-1-x) \mathrm{e}^{1-x}$ et la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0\: ; 1]$ par $f(x)=x \mathrm{e}^{1-x}$.

1. Prouver que la fonction $\text{F}$ est une primitive sur l’intervalle $[0\: ; 1]$ de la fonction $f$.


2. En déduire que $\text{I}_{1}=\mathrm{e}-2$.


3. a. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $\mathrm{I}_{n+1}=(n+1) \mathrm{I}_{n}-1$.


b. En déduire la valeur de $\text{I}_2$.


4. a. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 \:; 1]$ et pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0 \leqslant x^{n} \mathrm{e}^{1-x} \leqslant x^{n} \mathrm{e}$.


b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $0 \leqslant \mathrm{I}_{n} \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{n+1}$.


c. Déterminer la limite de la suite $(\mathrm{I}_{n})$.


Partie C

Dans cette partie, on note $n!$ le nombre défini pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, par : $1! = 1$ ; $2 !=2 \times 1$ ; et $\sin \geqslant 3: n !=n \times(n-1) \times \ldots \times 1$.
Plus généralement, on a, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$ : $(n+1) !=(n+1) \times n !$.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $u_{n}=n !\left(u_{1}-\mathrm{e}+2\right)+\mathrm{I}_{n}$.


2. On admet que $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} n !=+\infty$.

a. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $u_{1}=0,7$.


b. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ lorsque $u_{1}=0,8$.

6

[D’après bac S, Antilles-Guyane, septembre 2017]
Partie A

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $[1 \:;+\infty[$ telle que, pour tout nombre réel $x$ supérieur ou égal à $1$ : $f(x)=\dfrac{1}{x} \ln (x)$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote horizontale.


2. Déterminer la fonction dérivée $f^\prime$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[1 \:;+\infty[$.


3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[1 \:;+\infty[$.


Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \mathrm{d} x$.

1. Démontrer que $u_{0}=\dfrac{1}{2}[\ln (2)]^{2}$. Interpréter graphiquement ce résultat.


2. Prouver que, pour tout entier naturel $n$ et pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[1 \:; 2]$, on a : $0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (x) \leqslant \dfrac{1}{x^{n+1}} \ln (2)$.


3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 \leqslant u_{n} \leqslant \dfrac{\ln (2)}{n}\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right)$.


4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

7

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2018]
Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $[2 \:; 10]$ par : $f(x)=x-2+2 \ln \left(\dfrac{2}{x}\right)$.

1. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $[2 \:; 10]$ et déterminer l’expression de sa dérivée $f^\prime$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[2 \:; 10]$.


3. Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ dans l’intervalle $[2 \:; 10]$ tel que $f(\alpha) = 1{,}6$.


4. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\alpha$.


Partie B

Lors d’une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L’objectif est de déterminer pour quel angle de tir $\theta$ par rapport à l’horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas $1{,}6$ mètre.
On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 \:; 1[$ par $g(x)=b x+2 \ln (1-x)$, où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l’abscisse du projectile, et $g(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.

1. La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $[0 \:; 1[$. On note $g^\prime$ sa dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 \:; 1[$, on a $g^{\prime}(x)=\dfrac{-b x+b-2}{1-x}$.


2. On admet que la fonction $g$ possède un maximum sur l’intervalle $[0 \:; 1[$. Montrer que ce maximum est égal à $b-2+2 \ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.


3. Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse pas $1{,}6$ mètre.


4. Dans cette question, on choisit $b = 5{,}69$. L’angle de tir $\theta$ correspond à l’angle entre l’axe des abscisses et la tangente à la courbe de la fonction $g$ au point d’abscisse $0$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l’angle $\theta$.

8

[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2018]
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt.

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :
$f(x)=\mathrm{e}^{-x}(-\cos (x)+\sin (x)+1)$ et $g(x)=-\mathrm{e}^{-x} \cos (x)$.

Partie A

1. Justifier que, pour tout $x \in \mathbb{R}:-\mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3 \mathrm{e}^{-x}$.


2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.


3. a. Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.


b. On note $f^\prime$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x \in \R$ : $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}(2 \cos (x)-1)$.


4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l’intervalle $[-\pi \: ; \pi]$.

a. Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$, pour $x$ appartenant à l’intervalle$[-\pi \: ; \pi]$.


b. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi \: ; \pi]$.



Partie B

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $(\text{O} \:; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$. L’unité graphique est de $2$ centimètres.

1. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_g$ sur $\R$.


2. Soit $\text{H}$ la fonction définie sur $\R$ par : $\text{H}(x)=\left(-\dfrac{\cos (x)}{2}-\dfrac{\sin (x)}{2}-1\right) \text{e}^{-x}$.
Montrer que $\text{H}$ est une primitive de la fonction $x \mapsto(\sin x+1) e^{-x}$ sur $\R$.

3. On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ et les droites d’équation $x=-\dfrac{\pi}{2}$ et $x=\dfrac{3 \pi}{2}$. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm².

9

[D’après bac S, Métropole, juin 2005]
Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{3 \text{e}^{\normalsize\tfrac{x}{4}}}{2+\text{e}^{\normalsize\tfrac{x}{4}}}$.

1. Démontrer que $f(x)=\dfrac{3}{1+2\text{e}^{\normalsize-\tfrac{x}{4}}}$.


2. Étudier les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.


3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.


Partie B

1. On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est notée $g(t)$. On définit ainsi une fonction $g$ sur $[0 \:;+\infty[$ à valeurs dans $\R$.
La variable $t$ désigne le temps, exprimé en année.
L’unité choisie pour $g(t)$ est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour $g$ une solution, sur l’intervalle $[0 \:;+\infty[$, de l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}_{1}\right) \, : \, y^{\prime}=\dfrac{1}{4} y.$

a. Résoudre l’équation différentielle $(\text{E}_1)$.


b. Déterminer l’expression de $g(t)$ lorsque, à la date $t = 0$, la population comprend $100$ rongeurs.


c. Après combien d’années la population dépassera-telle $300$ rongeurs pour la première fois ?


2. En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant un certain nombre de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre de rongeur encore vivants au temps $t$ (exprimé en année) dans cette région, et on admet que la fonction $u$, ainsi définie, vérifie $(\text{E}_2) : u(0) = 1$ et pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, $u^{\prime}(t)=\dfrac{1}{4} u(t)-\dfrac{1}{12} u(t)^{2}.$

a. On suppose que, pour tout réel positif $t$, on a $u(t)\gt0$. On considère, sur l’intervalle $[0 \:;+\infty]$, la fonction $h$ définie par $h =\dfrac{1}{u}.$
Démontrer que la fonction $u$ est solution de $\left(\mathrm{E}_{2}\right)$ si, et seulement si, la fonction $h$ est solution de $\left(\mathrm{E}_{3}\right): h(0)=1$ et pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, $h^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{4} h(t)+\dfrac{1}{12}.$


b. Donner les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=-\dfrac{1}{4} y+\dfrac{1}{12}$ et en déduire l’expression de la fonction $h,$ puis celle de la fonction $u$.


c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$ tend vers $+\infty$ ? Justifier.

10

[D’après bac S, Pondichéry, mai 2018]
Dans une usine, un four cuit des céramiques à une température de $1 000$ °C. À la fin de la cuisson, il est éteint et refroidit.
On s’intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute dès l’instant où il est éteint. La température du four est exprimée en degré Celsius (°C).
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$ °C. On note $t$ le temps (en heure) écoulé depuis l’instant correspondant à l’extinction du four.
On admet que la température du four à l’instant t est donnée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0\: ;+\infty[$ et solution de l’équation différentielle $(\text{E}) : y^{\prime}=-\dfrac{1}{5} y+4.$

1. a. Résoudre l’équation différentielle $\text{(E)}$.


b. En déduire l’expression de la fonction $f$.


2. Pour la suite, on admet que, pour tout nombre réel $t$ positif : $f(t)=980 \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{t}{5}}+20.$

a. Déterminer la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.


b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0\: ;+\infty[.$ En déduire son tableau de variations complet.


c. Après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?


3. Dans cette question, on s’intéresse à la baisse de la température du four au cours d’une heure, soit entre deux instants $t$ et $t + 1.$
Elle est donnée par la fonction $d$ définie pour tout nombre réel $t$ positif par : $d(t)=f(t)-f(t+1).$

a. Vérifier que, pour tout nombre réel $t$ positif : $d(t)=980\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{1}{5}}\right) \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{t}{5}}.$


b. Déterminer la limite de $d(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty.$ Quelle interprétation peut-on en donner ?

11

[D’après bac S, Métropole, juin 2010]
Partie A

On considère l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}.$

1. Montrer que la fonction $u$ définie pour tout nombre réel $x$ par $u(x)=x \mathrm{e}^{-x}$ est une solution de l’équation différentielle $(\mathrm{E}).$


2. On considère l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}+y=0.$ Résoudre l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right).$


3. Soit $v$ une fonction définie et dérivable sur $\R.$ Montrer que la fonction $v$ est une solution de l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}\right)$ si, et seulement si, la fonction $v - u$ est solution de l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right).$


4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}\right).$


5. Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $\text{(E)}$ telle que $g(0) = 2.$


Partie B

On considère la fonction $f_k$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{k}(x)=(x+k) \mathrm{e}^{-x},$ où $k$ est un nombre réel donné. On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction $f_k$ admet un maximum en $x_{0}=1-k.$


2. On note $\text{M}_k$ le point de la courbe $\mathcal{C}_k$ d’abscisse $1 - k.$ Montrer que le point $\text{M}_k$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ d’équation $y=\text{e}^{-x}.$


3. Sur le graphique ci-dessous, le repère $(\text{O} \: ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ est orthogonal et deux courbes sont tracées :

• La courbe $\Gamma$ d’équation $y=\text{e}^{-x}$ ;
• La courbe $\mathcal{C}_k$ d’équation $y=(x+k) \mathrm{e}^{-x}$, pour un certain nombre réel $k$ donné.

a. Identifier les courbes en justifiant.


b. À l’aide du graphique, déterminer la valeur du nombre réel $k.$

12

[D’après bac S, Pondichéry, avril 2006]
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition. Durant l’année 2000, une étude a été réalisée sur un échantillon de cette population, dont l’effectif initial s’élevait à $1\:000.$
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en millier d’individus, est approché par une fonction $f$ du temps $t$ (exprimé en année à partir de l’origine 2000).
D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction $f$ est dérivable, strictement positive sur $[0 \:;+\infty[,$ et satisfait l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}=-\dfrac{1}{20} y(3-\ln (y)).$

1. Démontrer l’équivalence suivante : « une fonction $f$, dérivable et strictement positive sur $[0 \:;+\infty[,$ vérifie pour tout $t$ de $[0 \:;+\infty[,$ $f^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{20} f(t)[3-\ln f(t)]$ si, et seulement si, la fonction $g=\ln (f)$ vérifie, pour tout $t$ de $[0 \:;+\infty[,$ $g^{\prime}(t)=\dfrac{1}{20} g(t)-\dfrac{3}{20}$. »


2. a. Donner la solution générale de l’équation différentielle $z^{\prime}=\dfrac{1}{20} z-\dfrac{3}{20}.$


b. En déduire qu’il existe un réel $\text{C}$ tel que, pour tout $t$ de $[0 \:;+\infty[,$ $f(t)=\exp\left[3+\operatorname{Cexp}\left(\dfrac{t}{20}\right)\right].$


c. En déduire la valeur de $\text{C}$.


3. Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie par $f(t)=\exp \left[3-3 \exp \left(\dfrac{t}{20}\right)\right]$.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty.$


b. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $[0 \:;+\infty[.$


c. Résoudre dans $[0 \:;+\infty[$ l’inéquation $f(t)\lt0{,}02.$ Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?