Exercices de synthèse

Vrai / Faux

[Chercher, Communiquer.]

Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse. 1. f est une fonction définie sur ]0~;+\infty[ dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

L'aire \mathcal{A}, en u.a., du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=\frac{1}{2} et x=5, vérifie 6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 12.

2. D'après le graphique ci‑dessous, {\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x) \mathrm{d} x \approx-\frac{3}{2}}.

3. Pour tout réel x \geqslant 1, \displaystyle\int_{1}^{x}(1-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{d} t est négatif.

4. Si deux fonctions h et k continues vérifient \displaystyle\int_{1}^{9} h(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{1}^{9} k(x) \mathrm{d} x, alors, pour tout réel x tel que 1 \leqslant x \leqslant 9, on a h(x)=k(x).

[Modéliser, Chercher.]

D'après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d'ouvrir un nouveau centre, équipé d'une piscine bordée de sable.
Il dispose d'un espace rectangulaire de 25 m de longueur sur 14 m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l'espace comme indiqué ci‑dessous.

La bordure de la piscine est modélisée par la fonction f définie sur [0~; 25] par f(x)=(5 x+7) \mathrm{e}^{-0,2 x}.

1. Quelle est l'aire, en m², de la zone représentant la piscine ?

2. L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25 m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?

En économie

[Modéliser, Communiquer.]

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~; 20] par la fonction f définie par : f(x) représente le nombre d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

1. a. Étudier le sens de variation de f sur [0~; 20].

b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

2. a. Calculer \displaystyle\int_{5}^{15} f(x) \mathrm{d} x.

b. Déterminer la valeur moyenne de f sur [5~; 15]. Interpréter ce résultat.

Devoir maison

[Chercher, Raisonner.]

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t.

1. Étudier la parité de f.

2. a. Justifier que f est dérivable sur \R et déterminer sa fonction dérivée.

b. Étudier les variations de f sur \R.

3. a. Démontrer que, pour tout x \geqslant 1, 1-\frac{1}{x}=\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}} \mathrm{d} t.

b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout x \geqslant 1, f(x)+1-\frac{1}{x}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1+2 t^{2}}{t^{2}\left(1+t^{2}\right)} \mathrm{d} t.

c. Démontrer que, pour tout réel x \geqslant 1, f(x) \geqslant \frac{1}{x}-1.

[Représenter, Chercher.]
D'après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions f, g et h définies sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{-x}, g(x)=-x+1 et h(x)=f(x)-g(x).
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f et \Delta la droite représentant la fonction g dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de \boldsymbol{\mathcal{C}_f} et de l'une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 0 est la droite \Delta.

2. a. Montrer que, pour tout x \in \R, h^{\prime}(x)=1-\mathrm{e}^{-x}.

b. Étudier le signe de h'(x) selon les valeurs de x.

c. En déduire les variations de la fonction h sur \R.

3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe \mathcal{C}_f et de sa tangente au point d'abscisse 0.

Partie B : Calcul d'aire

1. Montrer que \displaystyle\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}-\frac{1}{\mathrm{e}}.

2. Soit a un nombre réel vérifiant a > 1.
On appelle \mathcal{D} le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.


On note \mathcal{A} l'aire, exprimée en u.a., du domaine \mathcal{D}.

a. Déterminer, en fonction de a, la valeur de \mathcal{A}.

b. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de \mathcal{A} lorsque a tend vers +\infty.

Devoir maison

[Calculer, Communiquer.]
D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre \text{I} défini par \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x.
Soit f la fonction définie sur [0~; 1] par f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}.

1. Étudier les variations de f sur [0~; 1].

2. On pose, pour tout entier naturel n, \mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} f\left(\frac{k}{5}\right).
a. Justifier que, pour tout entier k compris entre 0 et 4, on a \frac{1}{5} f\left(\frac{k}{5}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{k}{5}}}^{\normalsize{\tfrac{k+1}{5}}} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{5} f\left(\frac{k+1}{5}\right).

b. Interpréter graphiquement, à l'aide de rectangles, les inégalités précédentes.

c. En déduire que \frac{1}{5} \mathrm{S}_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{ \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{5}\left( \mathrm{S}_{5}-1\right).

d. Donner des valeurs approchées à 10^{-4} près de \mathrm{S}_4 et de \mathrm{S}_5 respectivement.

e. En déduire l'encadrement : 1,091 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 1,164.

3. a. Démontrer que, pour tout réel x de [0~; 1], on a :

\frac{1}{1+x}=1-x+\frac{x^{2}}{1+x}.

b. Justifier l'égalité \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\mathrm{I}.

c. Calculer \displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x.

d. En déduire un encadrement de \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x d'amplitude strictement inférieure à 10^{-1}.

[Modéliser, Calculer.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite \left(\mathrm{I}_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n non nul, par \mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x

1. a. Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=x \mathrm{e}^{x^{2}}.
Démontrer que la fonction \text{G} définie sur \R par \mathrm{G}(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x^{2}} est une primitive sur \R de la fonction g.

b. En déduire la valeur de \mathrm{I}_1.

c. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :

\mathrm{I}_{n+2}=\frac{1}{2} \mathrm{e}-\frac{n+1}{2} \mathrm{I}_{n}.

d. Calculer \mathrm{I}_3 et \mathrm{I}_5.

2. On considère l'algorithme suivant.


Quel terme de la suite (\mathrm{I}_n) obtient‑on en sortie de cet algorithme ?

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, \mathrm{I}_{n} \geqslant 0.

b. Montrer que la suite (\mathrm{I}_n) est décroissante.

c. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de la suite (\mathrm{I}_n).

[Raisonner, Calculer.]
D'après bac S, Asie, juin 2010

Partie A

On note f la fonction définie sur l'intervalle ]0~;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}. On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j})

1. a. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0.

b. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +\infty.

c. Quelles conséquences pour la courbe \mathcal{C} peut‑on déduire de ces deux résultats ?

2. a. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction f s'exprime, pour tout réel x strictement positif, par :

f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{4}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}(2 x+1).

b. Déterminer le signe de f' et en déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0~;+\infty[.

c. Démontrer que l'équation f(x)=2 a une unique solution notée \alpha appartenant à l'intervalle ]0~;+\infty[.
Donner une valeur approchée de a arrondie à 10^{-2} près.

Partie B : Étude d'une suite d'intégrales

Pour tout entier naturel n \geqslant 2, on considère l'intégrale \mathrm{I}_n définie par \mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \mathrm{d} x.

1. Calculer \mathrm{I}_2.

2. a. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel n \geqslant 2 :

\mathrm{I}_{n+1}=\mathrm{e}-\frac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2^{n-1}}+(1-n) \mathrm{I}_{n}.

Aide

Poser u^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{n}} et v(x)=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} dans \mathrm{I}_{n}.

b. Calculer \mathrm{I}_3.

3. a. Établir que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [1~; 2], on a :

0 \leqslant \frac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \leqslant \frac{\mathrm{e}}{x^{n}}.

Aide

Montrer, dans un premier temps, que 0 \leqslant \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \leqslant \mathrm{e}.

b. En déduire un encadrement de \mathrm{I}_n puis étudier la limite éventuelle de la suite (\mathrm{I}_n).

[Calculer, Communiquer.]

D'après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2018

On donne ci‑dessous la courbe \mathcal{C}_f représentative dans un repère donné d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0~; 5] ainsi que les courbes représentatives \mathcal{C}_{f'} et \mathcal{C}_{f''} respectivement de la dérivée f' et de la dérivée seconde f'' de la fonction f.

1. On note \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x, où f' est la fonction dérivée de f. Comment interpréter graphiquement ce nombre \text{I} ?

2. La fonction f représentée ci‑dessus est définie sur l'intervalle [0~; 5] par f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-x}.
a. Montrer que la dérivée f' de f est définie par f^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{-x}, pour tout réel x de [0~; 5].

b. Déterminer les variations de f sur [0~; 5] et préciser l'abscisse de son maximum.

c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de f.

3. Avec un outil de calcul on obtient, pour \displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x et f(1), la même valeur approchée 1{,}10364.
Ces deux valeurs sont‑elles égales ?

4. Déterminer le lien existant entre f^{\prime}(1) et \displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x. Justifier.

[Calculer, Représenter.]
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0{,}01 près.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0~; 4] par f(x)=(3{,}6 x+2{,}4) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4.

Partie A

On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0~; 4] et on note f' sa fonction dérivée.

1. Justifier que, pour tout nombre réel x de l'intervalle [0~; 4], on a f^{\prime}(x)=(-2{,}16 x+2{,}16) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}.

2. a. Étudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [0~; 4].

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée.


3. On admet que la fonction \text{F} définie par \mathrm{F}(x)=(-6 x-14) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 x est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0~; 4]. Calculer la valeur exacte de \displaystyle\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x, puis en donner une valeur numérique approchée.

Partie B

On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0~; 4]. On considère la fonction g définie par g(x)=4 x^{2}-4 x+1. On note \mathcal{C}_g la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0~; 0{,}5].
On a tracé ci‑dessous les courbes \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g dans un repère d'origine \text{O} et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de \mathcal{C}_f et \mathcal{C}_g par rapport à l'axe des abscisses :


1. Montrer que \displaystyle\int_{0}^{0,5} g(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{6}.

2. On considère le domaine du plan délimité par les courbes \mathcal{C}_f, \mathcal{C}_g, leurs courbes symétriques (en pointillés), ainsi que la droite d'équation x=4.
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci‑dessus.
Calculer une valeur approchée de l'aire, en unité d'aire, de ce domaine.

[Chercher, Calculer.]
1. a. Dans cette question y est un réel fixé.
Démontrer que \displaystyle\int_{-1}^{2} 2 x y \mathrm{d} x=3 y.

b. Calculer \displaystyle\int_{0}^{1} 3 y \mathrm{d} y.

Ce résultat est appelé intégrale double sur le rectangle \mathcal{D}=[-1~; 2] \times[0~; 1] et est noté \iint_{\mathcal{D}} 2 x y \mathrm{d} x \mathrm{d} y.

2. Calculer \iint_{\mathcal{D}} x y \mathrm{e}^{x+2 y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y avec \mathcal{D}=[0~; 1] \times[-2~; 3].

Approfondissement

Python

f est définie sur \R par f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
On note \mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
\mathcal{D} est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 1.
On subdivise l'intervalle [0~; 1] en n intervalles de la forme \left[\frac{k}{n}~; \frac{k+1}{n}\right], où n et k sont des entiers tels que n \neq 0 et 0 \leqslant k \leqslant n-1.

On note \mathrm{T}_k, avec 0 \leqslant k \leqslant n-1, l'aire respective de chaque trapèze vert, puis \mathrm{I}_{n}=\mathrm{T}_{0}+\mathrm{T}_{1}+\ldots+\mathrm{T}_{n-1}.
La méthode dite des trapèzes montre que \mathrm{I}_{n} est une valeur approchée de \mathcal{D}. 1. Exprimer, pour tout k \in\{0, \ldots, n-1\}, \mathrm{T}_k en fonction de n, f\left(\frac{k}{n}\right) et f\left(\frac{k+1}{n}\right).

2. Écrire un algorithme permettant, pour un entier n donné, de calculer \mathrm{I}_{n}.

3. Programmer et tester l'algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de \mathcal{D} avec n=30.

4. Que faut‑il modifier dans l'algorithme pour obtenir une valeur approchée de \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{d} x ?

Approfondissement

La loi de probabilité nommée loi normale centrée réduite utilise l'intégrale de f avec f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-x^{2}}.
f est une fonction continue sur \R mais ses primitives ne peuvent s'exprimer à l'aide de fonctions de référence.
L'objectif est ici d'estimer l'intégrale \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x à l'aide de la méthode de Monte‑Carlo.

1. On place un point \mathrm{M}(x~; y) aléatoirement dans un carré de côté 1 où les réels x et y appartiennent à l'intervalle [0~; 1].
Quelles inégalités doit‑on avoir sur x et y pour que le point \text{M} appartienne au domaine hachuré ?

2. Voici un algorithme pour un entier \text{N} donné :


a. Que calcule cet algorithme ?

b. Programmer cet algorithme avec Python et interpréter le résultat obtenu pour \mathrm{N}=1~000.

Méthode

❯ Le jour du Grand Oral, vous devez parler sans notes. Vous devez maîtriser parfaitement votre exposé, et pour cela, il n'existe pas de solution miracle : il faut répéter, répéter et encore répéter !

❯ Tout au long de l'année, prenez l'habitude de prendre la parole pendant le cours. Si vous êtes timide, vous verrez : c'est le meilleur antidote ! C'est un très bon moyen de vous mettre en confiance.

❯ Vous pouvez aussi écrire votre exposé dans son intégralité, en faisant attention à votre registre de langage (on ne s'exprime pas devant un jury comme devant ses amis), à la précision du vocabulaire mathématique que vous employez et à l'efficacité de vos arguments.
Surlignez les étapes‑clés de votre exposé pour bien faire ressortir le plan ; entourez les éléments importants et/ou difficiles à retenir (les formules pour la méthode des rectangles par exemple).

❯ Répéter plusieurs fois votre présentation vous permet de travailler la voix, les intonations, le rythme de votre prise de parole.

❯ La clé d'un oral réussi tient enfin dans la maîtrise du temps. Lorsque vous vous entraînez, et le jour de l'épreuve, chronométrez‑vous pour respecter le temps imparti.

❯ Quelques conseils :

• Pour vous entraîner, pensez aux outils numériques ! Sur
  LLS.fr/GrandOralMaths
  , vous pourrez vous enregistrer et retrouver des conseils spécifiques pour progresser à l'oral.
  Vous pouvez aussi vous enregistrer ou vous filmer avec un smartphone.
• Avant de démarrer, pensez à mettre en application le
  travail sur le corps et la voix (p. 17)
  .
• Écoutez‑vous pour repérer vos faiblesses (répétitions, hésitations « euh », débit trop rapide ou trop lent, etc.) et les corriger ;
• À chaque essai, notez sur une fiche ou dans un carnet des indications sur le temps que vous avez mis, ainsi que des remarques sur votre débit, vos hésitations, l'intensité de votre voix, les pauses… Au fil des essais, vous constaterez que vous progressez !
• Apprenez par cœur les premières et dernières phrases de votre exposé : en cas de stress, cela vous sera d'une grande aide !

❯ Le jour J :

• sur une feuille de brouillon, remémorez‑vous la structure de votre présentation (en écrivant les grands titres par exemple, ainsi que les titres des sous‑parties), les éléments importants sous forme de mots‑clés, et les éléments difficiles à retenir (formules, dates, chiffres, etc.).
• Vous pouvez, si vous le souhaitez, distribuer un support au jury, sur lequel vous pouvez dessiner un schéma, un graphique, etc.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14