Exercices de synthèse

[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur $[0;3]$ par $f(x)=(5x-2){\mathrm{e}}^{-2x}$. 1. Calculer ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x$.

2. En déduire la valeur moyenne de $f$ sur $[0;3]$.

[Raisonner, Calculer.]
1. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathrm{I}=[a;b]$ telle que, pour tout réel $x\in \mathrm{I}$, $m⩽f(x)⩽\mathrm{M}$, où $m$ et $\text{M}$ sont des réels. Déterminer un encadrement de ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ en fonction de $m$, $\text{M}$, $a$ et $b$.

2. Application
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$.
a. Déterminer un encadrement de ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x$.

b. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de $f$ sur $[1;4]$.

[Chercher, Calculer.]
1. $f$ est définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-2\}$ par $f(x)=\frac{x^3+6x^2+12x-1}{(x+2{)}^2}$.
a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\frac{c}{(x+2{)}^2}$.

b. En déduire ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x$.

2. Calculer ${\int }_0^3\frac{-x^3+x^2+5x+8}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x$.

Démo

[Raisonner, Chercher.]  
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\mathrm{I}=[a;b]$. 1. Justifier que pour tout réel $x\in \mathrm{I}$ :

$-|f(x)|⩽f(x)⩽|f(x)|$.

2. En déduire que pour tout réel $x\in \mathrm{I}$ :

$|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$.

[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre $\mathbf{\lambda }>0$ de la façon suivante : si $\text{X}$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels $a>0$ et $b>0$ vérifiant $a⩽b$, on a : 1. a. Démontrer que $\mathrm{P}(a⩽\mathrm{X}⩽b)={\mathrm{e}}^{-\lambda a}-{\mathrm{e}}^{-\lambda b}$.

b. Démontrer que $\mathrm{P}(0⩽\mathrm{X}⩽b)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda b}$.

2. La durée de vie (en mois) d'une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,05$. Quelle est la probabilité qu'une telle montre ait une durée de vie comprise entre $6$ mois et $2$ ans ?

[Calculer, Chercher.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+3{\mathrm{e}}^x+1}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}$.
Calculer ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}\mathrm{d}x$ et en déduire $\mathrm{I}={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

[Chercher, Communiquer.]
1. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ et soient $a$ et $b$ deux réels distincts.
Démontrer que la fonction $g$ définie par
$g(x)=f(a)\times \frac{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)(x-b)}{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)(a-b)}+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\times \frac{(x-a)(x-b)}{\left(\frac{a+b}{2}-a\right)\left(\frac{a+b}{2}-b\right)}+f(b)\times \frac{(x-a)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}{(b-a)\left(b-\frac{a+b}{2}\right)}$ est une fonction polynôme de degré au plus $2$ vérifiant $f(a)=g(a)$, $f(b)=g(b)$ et $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=g\left(\frac{a+b}{2}\right)$.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-1$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé et $\mathcal{D}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l'intervalle $[0;1]$ en quatre intervalles de la forme $\left[\frac{k}{4};\frac{k+1}{4}\right]$, avec $0⩽k⩽3$.
Pour $0⩽k⩽3$, on note $g_k$ les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $2$ telles que $f\left(\frac{k}{4}\right)=g_k\left(\frac{k}{4}\right)$, $f\left(\frac{k+1}{4}\right)=g_k\left(\frac{k+1}{4}\right)$ et $f\left(\frac{2k+1}{8}\right)=g_k\left(\frac{2k+1}{8}\right)$.
La méthode Simpson consiste, pour déterminer une valeur approchée de ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$, à sommer les aires ${\mathrm{S}}_k$ des domaines se situant entre les courbes représentatives de $g_k$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\frac{k}{4}$ et $x=\frac{k+1}{4}$.
Déterminer une valeur approchée de ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ par cette méthode.