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91
VRAI / FAUX
[Chercher, Communiquer.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l’affirmation est vraie ou fausse.

1. est une fonction définie sur dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91

L’aire , en u.a., du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et , vérifie .


2. D’après le graphique ci‑dessous, .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91


3. Pour tout réel , est négatif.


4. Si deux fonctions et continues vérifient , alors, pour tout réel tel que , on a .
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92
[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur par .

1. Calculer .


2. En déduire la valeur moyenne de sur .
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93
[Raisonner, Calculer.]
1. Soit une fonction définie et continue sur telle que, pour tout réel , , où et sont des réels. Déterminer un encadrement de en fonction de , , et .


2. Application
Soit la fonction définie sur par .
a. Déterminer un encadrement de .


b. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de sur .
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94
[Modéliser, Chercher.]
D’après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d’ouvrir un nouveau centre, équipé d’une piscine bordée de sable.
Il dispose d’un espace rectangulaire de  m de longueur sur  m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l’espace comme indiqué ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 94

La bordure de la piscine est modélisée par la fonction définie sur par .

1. Quelle est l’aire, en m2, de la zone représentant la piscine ?


2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de  m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?
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95
EN ÉCONOMIE
[Modéliser, Communiquer.]
La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle par la fonction définie par :
.
représente le nombre d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à euros.

1. a. Étudier le sens de variation de sur .


b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.


2. a. Calculer .


b. Déterminer la valeur moyenne de sur . Interpréter ce résultat.
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96
[Chercher, Calculer.]
1. est définie sur par .
a. Déterminer les réels , et tels que .


b. En déduire .


2. Calculer .
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97
DEVOIR MAISON
[Chercher, Raisonner.]
Soit la fonction définie sur par .

1. Étudier la parité de .


2. a. Justifier que est dérivable sur et déterminer sa fonction dérivée.


b. Étudier les variations de sur .


3. a. Démontrer que, pour tout , .


b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout , .


c. Démontrer que, pour tout réel , .
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98
[Représenter, Chercher.]
D’après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions , et définies sur par , et .
On note la courbe représentative de la fonction et la droite représentant la fonction dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de et de l’une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à au point d’abscisse est la droite .


2. a. Montrer que, pour tout , .


b. Étudier le signe de ) selon les valeurs de .


c. En déduire les variations de la fonction sur .


3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe et de sa tangente au point d’abscisse .


Partie B : Calcul d’aire

1. Montrer que .


2. Soit un nombre réel vérifiant .
On appelle le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 98

On note l’aire, exprimée en u.a., du domaine .

a. Déterminer, en fonction de , la valeur de .


b. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de lorsque tend vers .
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99
[Raisonner, Chercher.]
[DÉMO]

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle .

1. Justifier que pour tout réel  :
.


2. En déduire que pour tout réel  :
.
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100
DEVOIR MAISON
[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre défini par .
Soit la fonction définie sur par .

1. Étudier les variations de sur .


2. On pose, pour tout entier naturel , .
a. Justifier que, pour tout entier compris entre et , on a .


b. Interpréter graphiquement, à l’aide de rectangles, les inégalités précédentes.


c. En déduire que .


d. Donner des valeurs approchées à près de et de respectivement.


e. En déduire l’encadrement : .


3. a. Démontrer que, pour tout réel de , on a :
.


b. Justifier l’égalité .


c. Calculer .


d. En déduire un encadrement de d’amplitude strictement inférieure à .
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101
[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre de la façon suivante : si est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels et vérifiant , on a :
.

1. a. Démontrer que .


b. Démontrer que .


2. La durée de vie (en mois) d’une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre . Quelle est la probabilité qu’une telle montre ait une durée de vie comprise entre  mois et  ans ?
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102
[[Modéliser, Calculer.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par

1. a. Soit la fonction définie sur par .
Démontrer que la fonction définie sur par est une primitive sur de la fonction .


b. En déduire la valeur de .


c. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a :
.


d. Calculer et .


2. On considère l’algorithme suivant.



Quel terme de la suite obtient‑on en sortie de cet algorithme ?


3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , .


b. Montrer que la suite est décroissante.


c. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de la suite .
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103
[Calculer, Chercher.]
Soit la fonction définie sur par .
Calculer et en déduire .
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104
[Chercher, Communiquer.]
1. Soit une fonction définie et continue sur et soient et deux réels distincts.
Démontrer que la fonction définie par
est une fonction polynôme de degré au plus vérifiant , et .


2. Soit la fonction définie sur par .
On note sa représentation graphique dans un repère orthonormé et l’aire du domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .
On subdivise l’intervalle en quatre intervalles de la forme , avec .
Pour , on note les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à telles que , et .
La méthode Simpson consiste, pour déterminer une valeur approchée de , à sommer les aires des domaines se situant entre les courbes représentatives de , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .
Déterminer une valeur approchée de par cette méthode.
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105
[Raisonner, Calculer.]
D’après bac S, Asie, juin 2010

Partie A
On note la fonction définie sur l’intervalle par . On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé

1. a. Déterminer la limite de la fonction quand tend vers .


b. Déterminer la limite de la fonction quand tend vers .


c. Quelles conséquences pour la courbe peut‑on déduire de ces deux résultats ?


2. a. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction s’exprime, pour tout réel strictement positif, par :
.


b. Déterminer le signe de et en déduire le tableau de variations de sur l’intervalle .


Couleurs
Formes
Dessinez ici

c. Démontrer que l’équation a une unique solution notée appartenant à l’intervalle .
Donner une valeur approchée de a arrondie à près.


Partie B : Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout entier naturel , on considère l’intégrale définie par .

1. Calculer .


2. a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel  :
.


Aide
Poser et dans .


b. Calculer .


3. a. Établir que, pour tout nombre réel appartenant à l’intervalle , on a :
.


Aide
Montrer, dans un premier temps, que .


b. En déduire un encadrement de puis étudier la limite éventuelle de la suite .
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106
[Calculer, Communiquer.]
D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2018

On donne ci‑dessous la courbe représentative dans un repère donné d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle ainsi que les courbes représentatives et respectivement de la dérivée et de la dérivée seconde de la fonction .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 106

1. On note , où est la fonction dérivée de . Comment interpréter graphiquement ce nombre  ?


2. La fonction représentée ci‑dessus est définie sur l’intervalle par .
a. Montrer que la dérivée de est définie par , pour tout réel de .


b. Déterminer les variations de sur et préciser l’abscisse de son maximum.


c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de .


3. Avec un outil de calcul on obtient, pour et , la même valeur approchée .
Ces deux valeurs sont‑elles égales ?


4. Déterminer le lien existant entre et . Justifier.
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107
[Calculer, Représenter.]
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à près.
On considère la fonction définie sur l’intervalle par .

Partie A
On admet que la fonction est dérivable sur l’intervalle et on note sa fonction dérivée.

1. Justifier que, pour tout nombre réel de l’intervalle , on a .


2. a. Étudier le signe de sur l’intervalle .


b. Dresser le tableau de variations de la fonction sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. On admet que la fonction définie par est une primitive de la fonction sur l’intervalle . Calculer la valeur exacte de , puis en donner une valeur numérique approchée.


Partie B
On note la courbe représentative de la fonction sur l’intervalle . On considère la fonction définie par . On note la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle .
On a tracé ci‑dessous les courbes et dans un repère d’origine et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de et par rapport à l’axe des abscisses :

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 107

1. Montrer que .


2. On considère le domaine du plan délimité par les courbes , , leurs courbes symétriques (en pointillés), ainsi que la droite d’équation .
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci‑dessus.
Calculer une valeur approchée de l’aire, en unité d’aire, de ce domaine.
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108
[Chercher, Calculer.]
1. a. Dans cette question est un réel fixé.
Démontrer que .


b. Calculer .


Ce résultat est appelé intégrale double sur le rectangle et est noté .

2. Calculer avec .
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Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Guido Fubini (1879‑1943)

Histoire des maths

Les intégrales doubles et triples ont d’abord été introduites par L. Euler en 1768 et ont ensuite fait l’objet de nombreuses recherches sur leur définition, les fonctions et domaines qu’on pouvait leur appliquer, ou sur les différentes manières de les calculer.
Le calcul utilisé ici repose sur un théorème démontré généralement par Guido Fubini (1879‑1943) et permet de les réduire à des calculs d’intégrales simples. On peut, par ce moyen, retrouver les formules de l’aire du disque et du volume de la sphère.

109
APPROFONDISSEMENT
PYTHON

est définie sur par .
On note sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .
On subdivise l’intervalle en intervalles de la forme , où et sont des entiers tels que et .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 109

On note , avec , l’aire respective de chaque trapèze vert, puis .
La méthode dite des trapèzes montre que est une valeur approchée de .

1. Exprimer, pour tout , en fonction de , et .


2. Écrire un algorithme permettant, pour un entier donné, de calculer .



3. Programmer et tester l’algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de avec .

4. Que faut‑il modifier dans l’algorithme pour obtenir une valeur approchée de  ?
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110
APPROFONDISSEMENT

La loi de probabilité nommée loi normale centrée réduite utilise l’intégrale de avec .
est une fonction continue sur mais ses primitives ne peuvent s’exprimer à l’aide de fonctions de référence.
L’objectif est ici d’estimer l’intégrale à l’aide de la méthode de Monte‑Carlo.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 110

1. On place un point aléatoirement dans un carré de côté où les réels et appartiennent à l’intervalle .
Quelles inégalités doit‑on avoir sur et pour que le point appartienne au domaine hachuré ?


2. Voici un algorithme pour un entier donné :


a. Que calcule cet algorithme ?


b. Programmer cet algorithme avec Python et interpréter le résultat obtenu pour .



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111
[Chercher, Raisonner.]
L’objectif de cet exercice est de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral (voir TP 2 p. 325) pour la fonction exponentielle.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , , où (avec et, par convention, ).
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ;  à  ;  à  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  et   p. 432

Le Grand Oral

S’entraîner pour la présentation orale

Exemple de sujet : Les méthodes numériques de calcul intégral

Méthode

Le jour du Grand Oral, vous devez parler sans notes. Vous devez maîtriser parfaitement votre exposé, et pour cela, il n’existe pas de solution miracle : il faut répéter, répéter et encore répéter !

Tout au long de l’année, prenez l’habitude de prendre la parole pendant le cours. Si vous êtes timide, vous verrez : c’est le meilleur antidote ! C’est un très bon moyen de vous mettre en confiance.

Vous pouvez aussi écrire votre exposé dans son intégralité, en faisant attention à votre registre de langage (on ne s’exprime pas devant un jury comme devant ses amis), à la précision du vocabulaire mathématique que vous employez et à l’efficacité de vos arguments.
Surlignez les étapes‑clés de votre exposé pour bien faire ressortir le plan ; entourez les éléments importants et/ou difficiles à retenir (les formules pour la méthode des rectangles par exemple).

Répéter plusieurs fois votre présentation vous permet de travailler la voix, les intonations, le rythme de votre prise de parole.

La clé d’un oral réussi tient enfin dans la maîtrise du temps. Lorsque vous vous entraînez, et le jour de l’épreuve, chronométrez‑vous pour respecter le temps imparti.

Quelques conseils :
  • Pour vous entraîner, pensez aux outils numériques ! Sur LLS.fr/GrandOralMaths, vous pourrez vous enregistrer et retrouver des conseils spécifiques pour progresser à l’oral.
    Vous pouvez aussi vous enregistrer ou vous filmer avec un smartphone.
  • Avant de démarrer, pensez à mettre en application le travail sur le corps et la voix (p. 17).
  • Écoutez‑vous pour repérer vos faiblesses (répétitions, hésitations « euh », débit trop rapide ou trop lent, etc.) et les corriger ;
  • À chaque essai, notez sur une fiche ou dans un carnet des indications sur le temps que vous avez mis, ainsi que des remarques sur votre débit, vos hésitations, l’intensité de votre voix, les pauses… Au fil des essais, vous constaterez que vous progressez !
  • Apprenez par cœur les premières et dernières phrases de votre exposé : en cas de stress, cela vous sera d’une grande aide !

Le jour J :
  • sur une feuille de brouillon, remémorez‑vous la structure de votre présentation (en écrivant les grands titres par exemple, ainsi que les titres des sous‑parties), les éléments importants sous forme de mots‑clés, et les éléments difficiles à retenir (formules, dates, chiffres, etc.).
  • Vous pouvez, si vous le souhaitez, distribuer un support au jury, sur lequel vous pouvez dessiner un schéma, un graphique, etc.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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