Synthèse

VRAI / FAUX

[Chercher, Communiquer.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l’affirmation est vraie ou fausse.

1. $f$ est une fonction définie sur $]0;+\infty [$ dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.


L’aire $\mathcal{A}$, en u.a., du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=\frac{1}{2}$ et $x=5$, vérifie $6⩽\mathcal{A}⩽12$.


2. D’après le graphique ci‑dessous, ${\int }_{-1}^{1}g(x)\mathrm{d}x\approx -\frac{3}{2}$.



3. Pour tout réel $x⩾1$, ${\int }_1^x(1-t){\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$ est négatif.


4. Si deux fonctions $h$ et $k$ continues vérifient ${\int }_1^{9}h(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{9}k(x)\mathrm{d}x$, alors, pour tout réel $x$ tel que $1⩽x⩽9$, on a $h(x)=k(x)$.

[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur $[0;3]$ par $f(x)=(5x-2){\mathrm{e}}^{-2x}$.

1. Calculer ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x$.


2. En déduire la valeur moyenne de $f$ sur $[0;3]$.

[Raisonner, Calculer.]
1. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathrm{I}=[a;b]$ telle que, pour tout réel $x\in \mathrm{I}$, $m⩽f(x)⩽\mathrm{M}$, où $m$ et $\text{M}$ sont des réels. Déterminer un encadrement de ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ en fonction de $m$, $\text{M}$, $a$ et $b$.


2. Application
Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$.
a. Déterminer un encadrement de ${\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x$.


b. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de $f$ sur $[1;4]$.

[Modéliser, Chercher.]
D’après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d’ouvrir un nouveau centre, équipé d’une piscine bordée de sable.
Il dispose d’un espace rectangulaire de $25$ m de longueur sur $14$ m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l’espace comme indiqué ci‑dessous.


La bordure de la piscine est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;25]$ par $f(x)=(5x+7){\mathrm{e}}^{-0,2x}$.

1. Quelle est l’aire, en m², de la zone représentant la piscine ?


2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de $25$ m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?

EN ÉCONOMIE

[Modéliser, Communiquer.]
La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[0;20]$ par la fonction $f$ définie par : $f(x)$ représente le nombre d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

1. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;20]$.


b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.


2. a. Calculer ${\int }_5^{15}f(x)\mathrm{d}x$.


b. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[5;15]$. Interpréter ce résultat.

[Chercher, Calculer.]
1. $f$ est définie sur $\mathbb{R}\backslash \{-2\}$ par $f(x)=\frac{x^3+6x^2+12x-1}{(x+2{)}^2}$.
a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\frac{c}{(x+2{)}^2}$.


b. En déduire ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x$.


2. Calculer ${\int }_0^3\frac{-x^3+x^2+5x+8}{(x+1{)}^2}\mathrm{d}x$.

DEVOIR MAISON

[Chercher, Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t$.

1. Étudier la parité de $f$.


2. a. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée.


b. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.


3. a. Démontrer que, pour tout $x⩾1$, $1-\frac{1}{x}={\int }_1^x\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t$.


b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout $x⩾1$, $f(x)+1-\frac{1}{x}={\int }_0^1\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t+{\int }_1^x\frac{1+2t^2}{t^2\left(1+t^2\right)}\mathrm{d}t$.


c. Démontrer que, pour tout réel $x⩾1$, $f(x)⩾\frac{1}{x}-1$.

[Représenter, Chercher.]
D’après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$, $g(x)=-x+1$ et $h(x)=f(x)-g(x)$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant la fonction $g$ dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{f}}$ et de l’une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $0$ est la droite $\Delta$.


2. a. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $h^{\prime }(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.


b. Étudier le signe de $h^{\prime }(x$) selon les valeurs de $x$.


c. En déduire les variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.


3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et de sa tangente au point d’abscisse $0$.


Partie B : Calcul d’aire

1. Montrer que ${\int }_0^{1}h(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{\mathrm{e}}$.


2. Soit $a$ un nombre réel vérifiant $a>1$.
On appelle $\mathcal{D}$ le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.


On note $\mathcal{A}$ l’aire, exprimée en u.a., du domaine $\mathcal{D}$.

a. Déterminer, en fonction de $a$, la valeur de $\mathcal{A}$.


b. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de $\mathcal{A}$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.

[Raisonner, Chercher.]  

[DÉMO]

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\mathrm{I}=[a;b]$.

1. Justifier que pour tout réel $x\in \mathrm{I}$ :

2. En déduire que pour tout réel $x\in \mathrm{I}$ :

DEVOIR MAISON

[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre $\text{I}$ défini par $\mathrm{I}={\int }_0^1\frac{x^2{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;1]$.


2. On pose, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{S}}_n=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{5}\right)$.
a. Justifier que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $4$, on a $\frac{1}{5}f\left(\frac{k}{5}\right)⩽{\int }_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x⩽\frac{1}{5}f\left(\frac{k+1}{5}\right)$.


b. Interpréter graphiquement, à l’aide de rectangles, les inégalités précédentes.


c. En déduire que $\frac{1}{5}{\mathrm{S}}_4⩽{\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x⩽\frac{1}{5}\left({\mathrm{S}}_5-1\right)$.


d. Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de ${\mathrm{S}}_4$ et de ${\mathrm{S}}_5$ respectivement.


e. En déduire l’encadrement : $1,091⩽{\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x⩽1,164$.


3. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de $[0;1]$, on a :

b. Justifier l’égalité ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-x){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x+\mathrm{I}$.


c. Calculer ${\int }_0^1(1-x){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$.


d. En déduire un encadrement de $\mathrm{I}={\int }_0^1\frac{x^2{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x$ d’amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$.

[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre $\mathbf{\lambda }>0$ de la façon suivante : si $\text{X}$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels $a>0$ et $b>0$ vérifiant $a⩽b$, on a :
1. a. Démontrer que $\mathrm{P}(a⩽\mathrm{X}⩽b)={\mathrm{e}}^{-\lambda a}-{\mathrm{e}}^{-\lambda b}$.


b. Démontrer que $\mathrm{P}(0⩽\mathrm{X}⩽b)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda b}$.


2. La durée de vie (en mois) d’une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,05$. Quelle est la probabilité qu’une telle montre ait une durée de vie comprise entre $6$ mois et $2$ ans ?

[[Modéliser, Calculer.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite $\left({\mathrm{I}}_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par ${\mathrm{I}}_n={\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$

1. a. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{\mathrm{e}}^{x^2}$.
Démontrer que la fonction $\text{G}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{G}(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.


b. En déduire la valeur de ${\mathrm{I}}_1$.


c. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a :

d. Calculer ${\mathrm{I}}_3$ et ${\mathrm{I}}_5$.


2. On considère l’algorithme suivant.



Quel terme de la suite $({\mathrm{I}}_n)$ obtient‑on en sortie de cet algorithme ?


3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, ${\mathrm{I}}_n⩾0$.


b. Montrer que la suite $({\mathrm{I}}_n)$ est décroissante.


c. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de la suite $({\mathrm{I}}_n)$.

[Calculer, Chercher.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}+3{\mathrm{e}}^x+1}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}$.
Calculer ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}\mathrm{d}x$ et en déduire $\mathrm{I}={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

[Chercher, Communiquer.]
1. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ et soient $a$ et $b$ deux réels distincts.
Démontrer que la fonction $g$ définie par
$g(x)=f(a)\times \frac{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)(x-b)}{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)(a-b)}+f\left(\frac{a+b}{2}\right)\times \frac{(x-a)(x-b)}{\left(\frac{a+b}{2}-a\right)\left(\frac{a+b}{2}-b\right)}+f(b)\times \frac{(x-a)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}{(b-a)\left(b-\frac{a+b}{2}\right)}$ est une fonction polynôme de degré au plus $2$ vérifiant $f(a)=g(a)$, $f(b)=g(b)$ et $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=g\left(\frac{a+b}{2}\right)$.


2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+x-1$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé et $\mathcal{D}$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l’intervalle $[0;1]$ en quatre intervalles de la forme $\left[\frac{k}{4};\frac{k+1}{4}\right]$, avec $0⩽k⩽3$.
Pour $0⩽k⩽3$, on note $g_k$ les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $2$ telles que $f\left(\frac{k}{4}\right)=g_k\left(\frac{k}{4}\right)$, $f\left(\frac{k+1}{4}\right)=g_k\left(\frac{k+1}{4}\right)$ et $f\left(\frac{2k+1}{8}\right)=g_k\left(\frac{2k+1}{8}\right)$.
La méthode Simpson consiste, pour déterminer une valeur approchée de ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$, à sommer les aires ${\mathrm{S}}_k$ des domaines se situant entre les courbes représentatives de $g_k$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=\frac{k}{4}$ et $x=\frac{k+1}{4}$.
Déterminer une valeur approchée de ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ par cette méthode.

[Raisonner, Calculer.]
D’après bac S, Asie, juin 2010

Partie A
On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$

1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$.


b. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.


c. Quelles conséquences pour la courbe $\mathcal{C}$ peut‑on déduire de ces deux résultats ?


2. a. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ s’exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par :

b. Déterminer le signe de $f^{\prime }$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty [$.



c. Démontrer que l’équation $f(x)=2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l’intervalle $]0;+\infty [$.
Donner une valeur approchée de a arrondie à $10^{-2}$ près.


Partie B : Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout entier naturel $n⩾2$, on considère l’intégrale ${\mathrm{I}}_n$ définie par ${\mathrm{I}}_n={\int }_1^2\frac{1}{x^n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$.

1. Calculer ${\mathrm{I}}_2$.


2. a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n⩾2$ :



b. Calculer ${\mathrm{I}}_3$.


3. a. Établir que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1;2]$, on a :



b. En déduire un encadrement de ${\mathrm{I}}_n$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $({\mathrm{I}}_n)$.

[Calculer, Communiquer.]
D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2018

On donne ci‑dessous la courbe ${\mathcal{C}}_f$ représentative dans un repère donné d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;5]$ ainsi que les courbes représentatives ${\mathcal{C}}_{f^{\prime }}$ et ${\mathcal{C}}_{f^{\prime \prime }}$ respectivement de la dérivée $f^{\prime }$ et de la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de la fonction $f$.


1. On note $\mathrm{I}={\int }_0^1{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$, où $f^{\prime }$ est la fonction dérivée de $f$. Comment interpréter graphiquement ce nombre $\text{I}$ ?


2. La fonction $f$ représentée ci‑dessus est définie sur l’intervalle $[0;5]$ par $f(x)=\left(x^2+2x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.
a. Montrer que la dérivée $f^{\prime }$ de $f$ est définie par $f^{\prime }(x)=\left(-x^2+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$, pour tout réel $x$ de $[0;5]$.


b. Déterminer les variations de $f$ sur $[0;5]$ et préciser l’abscisse de son maximum.


c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$.


3. Avec un outil de calcul on obtient, pour ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ et $f(1)$, la même valeur approchée $1,10364$.
Ces deux valeurs sont‑elles égales ?


4. Déterminer le lien existant entre $f^{\prime }(1)$ et ${\int }_0^1{f}^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x$. Justifier.

[Calculer, Représenter.]
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0,01$ près.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=(3,6x+2,4){\mathrm{e}}^{-0,6x}-1,4$.

Partie A
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$ et on note $f^{\prime }$ sa fonction dérivée.

1. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$, on a $f^{\prime }(x)=(-2,16x+2,16){\mathrm{e}}^{-0,6x}$.


2. a. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur l’intervalle $[0;4]$.


b. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée.


3. On admet que la fonction $\text{F}$ définie par $\mathrm{F}(x)=(-6x-14){\mathrm{e}}^{-0,6x}-1,4x$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$. Calculer la valeur exacte de ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$, puis en donner une valeur numérique approchée.


Partie B
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;4]$. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=4x^2-4x+1$. On note ${\mathcal{C}}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle $[0;0,5]$.
On a tracé ci‑dessous les courbes ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ dans un repère d’origine $\text{O}$ et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_g$ par rapport à l’axe des abscisses :


1. Montrer que ${\int }_0^{0,5}g(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{6}$.


2. On considère le domaine du plan délimité par les courbes ${\mathcal{C}}_f$, ${\mathcal{C}}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés), ainsi que la droite d’équation $x=4$.
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci‑dessus.
Calculer une valeur approchée de l’aire, en unité d’aire, de ce domaine.

[Chercher, Calculer.]
1. a. Dans cette question $y$ est un réel fixé.
Démontrer que ${\int }_{-1}^{2}2xy\mathrm{d}x=3y$.


b. Calculer ${\int }_0^{1}3y\mathrm{d}y$.


Ce résultat est appelé intégrale double sur le rectangle $\mathcal{D}=[-1;2]\times [0;1]$ et est noté ${\iint }_{\mathcal{D}}2xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

2. Calculer ${\iint }_{\mathcal{D}}xy{\mathrm{e}}^{x+2y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ avec $\mathcal{D}=[0;1]\times [-2;3]$.

APPROFONDISSEMENT

PYTHON

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
$\mathcal{D}$ est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l’intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $n\ne 0$ et $0⩽k⩽n-1$.


On note ${\mathrm{T}}_k$, avec $0⩽k⩽n-1$, l’aire respective de chaque trapèze vert, puis ${\mathrm{I}}_n={\mathrm{T}}_0+{\mathrm{T}}_1+\dots +{\mathrm{T}}_{n-1}$.
La méthode dite des trapèzes montre que ${\mathrm{I}}_n$ est une valeur approchée de $\mathcal{D}$.

1. Exprimer, pour tout $k\in \{0,\dots ,n-1\}$, ${\mathrm{T}}_k$ en fonction de $n$, $f\left(\frac{k}{n}\right)$ et $f\left(\frac{k+1}{n}\right)$.


2. Écrire un algorithme permettant, pour un entier $n$ donné, de calculer ${\mathrm{I}}_n$.

3. Programmer et tester l’algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de $\mathcal{D}$ avec $n=30$.

4. Que faut‑il modifier dans l’algorithme pour obtenir une valeur approchée de ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x$ ?

APPROFONDISSEMENT

La loi de probabilité nommée loi normale centrée réduite utilise l’intégrale de $f$ avec $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2}$.
$f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ mais ses primitives ne peuvent s’exprimer à l’aide de fonctions de référence.
L’objectif est ici d’estimer l’intégrale ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ à l’aide de la méthode de Monte‑Carlo.


1. On place un point $\mathrm{M}(x;y)$ aléatoirement dans un carré de côté $1$ où les réels $x$ et $y$ appartiennent à l’intervalle $[0;1]$.
Quelles inégalités doit‑on avoir sur $x$ et $y$ pour que le point $\text{M}$ appartienne au domaine hachuré ?


2. Voici un algorithme pour un entier $\text{N}$ donné :