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91
VRAI / FAUX
[Chercher, Communiquer.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l’affirmation est vraie ou fausse.

1. ff est une fonction définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91

L’aire A\mathcal{A}, en u.a., du domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=12x=\dfrac{1}{2} et x=5x=5, vérifie 6A126 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 12.


2. D’après le graphique ci‑dessous, 11g(x)dx32\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x) \mathrm{d} x \approx-\dfrac{3}{2}.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91


3. Pour tout réel x1x \geqslant 1, 1x(1t)etdt\displaystyle\int_{1}^{x}(1-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{d} t est négatif.


4. Si deux fonctions hh et kk continues vérifient 19h(x)dx=19k(x)dx\displaystyle\int_{1}^{9} h(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{1}^{9} k(x) \mathrm{d} x, alors, pour tout réel xx tel que 1x91 \leqslant x \leqslant 9, on a h(x)=k(x)h(x)=k(x).
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92
[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur [0 ;3][0~; 3] par f(x)=(5x2)e2xf(x)=(5 x-2) \mathrm{e}^{-2 x}.

1. Calculer 03f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x.


2. En déduire la valeur moyenne de ff sur [0 ;3][0~; 3].
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93
[Raisonner, Calculer.]
1. Soit ff une fonction définie et continue sur I=[a ;b]\mathrm{I}=[a~; b] telle que, pour tout réel xIx \in \mathrm{I}, mf(x)Mm \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{M}, où mm et M\text{M} sont des réels. Déterminer un encadrement de abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x en fonction de mm, M\text{M}, aa et bb.


2. Application
Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ par f(x)=x21+x2f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}.
a. Déterminer un encadrement de 14f(x)dx\displaystyle\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.


b. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de ff sur [1 ;4][1~; 4].
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94
[Modéliser, Chercher.]
D’après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d’ouvrir un nouveau centre, équipé d’une piscine bordée de sable.
Il dispose d’un espace rectangulaire de 2525 m de longueur sur 1414 m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l’espace comme indiqué ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 94

La bordure de la piscine est modélisée par la fonction ff définie sur [0 ;25][0~; 25] par f(x)=(5x+7)e0,2xf(x)=(5 x+7) \mathrm{e}^{-0,2 x}.

1. Quelle est l’aire, en m2, de la zone représentant la piscine ?


2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 2525 m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?
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95
EN ÉCONOMIE
[Modéliser, Communiquer.]
La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle [0 ;20][0~; 20] par la fonction ff définie par :
f(x)=1 000(x+5)e0,2xf(x)=1~000(x+5) \mathrm{e}^{-0,2 x}.
f(x)f(x) représente le nombre d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à xx euros.

1. a. Étudier le sens de variation de ff sur [0 ;20][0~; 20].


b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.


2. a. Calculer 515f(x)dx\displaystyle\int_{5}^{15} f(x) \mathrm{d} x.


b. Déterminer la valeur moyenne de ff sur [5 ;15][5~; 15]. Interpréter ce résultat.
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96
[Chercher, Calculer.]
1. ff est définie sur R\{2}\mathbb{R} \backslash\{-2\} par f(x)=x3+6x2+12x1(x+2)2f(x)=\dfrac{x^{3}+6 x^{2}+12 x-1}{(x+2)^{2}}.
a. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que f(x)=ax+b+c(x+2)2f(x)=a x+b+\dfrac{c}{(x+2)^{2}}.


b. En déduire 14f(x)dx\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.


2. Calculer 03x3+x2+5x+8(x+1)2dx\displaystyle\int_{0}^{3} \dfrac{-x^{3}+x^{2}+5 x+8}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x.
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97
DEVOIR MAISON
[Chercher, Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=0x11+t2dtf(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t.

1. Étudier la parité de ff.


2. a. Justifier que ff est dérivable sur R\R et déterminer sa fonction dérivée.


b. Étudier les variations de ff sur R\R.


3. a. Démontrer que, pour tout x1x \geqslant 1, 11x=1x1t2dt1-\dfrac{1}{x}=\displaystyle\int_{1}^{x} \dfrac{1}{t^{2}} \mathrm{d} t.


b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout x1x \geqslant 1, f(x)+11x=0111+t2dt+1x1+2t2t2(1+t2)dtf(x)+1-\dfrac{1}{x}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{x} \dfrac{1+2 t^{2}}{t^{2}\left(1+t^{2}\right)} \mathrm{d} t.


c. Démontrer que, pour tout réel x1x \geqslant 1, f(x)1x1f(x) \geqslant \dfrac{1}{x}-1.
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98
[Représenter, Chercher.]
D’après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions ff, gg et hh définies sur R\R par f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{-x}, g(x)=x+1g(x)=-x+1 et h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)-g(x).
On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff et Δ\Delta la droite représentant la fonction gg dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de Cf\boldsymbol{\mathcal{C}_f} et de l’une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 00 est la droite Δ\Delta.


2. a. Montrer que, pour tout xRx \in \R, h(x)=1exh^{\prime}(x)=1-\mathrm{e}^{-x}.


b. Étudier le signe de h(xh'(x) selon les valeurs de xx.


c. En déduire les variations de la fonction hh sur R\R.


3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f et de sa tangente au point d’abscisse 00.


Partie B : Calcul d’aire

1. Montrer que 01h(x)dx=121e\displaystyle\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\mathrm{e}}.


2. Soit aa un nombre réel vérifiant a>1a > 1.
On appelle D\mathcal{D} le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 98

On note A\mathcal{A} l’aire, exprimée en u.a., du domaine D\mathcal{D}.

a. Déterminer, en fonction de aa, la valeur de A\mathcal{A}.


b. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de A\mathcal{A} lorsque aa tend vers ++\infty.
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99
[Raisonner, Chercher.]
[DÉMO]

Soit ff une fonction définie et continue sur un intervalle I=[a ;b]\mathrm{I}=[a~; b].

1. Justifier que pour tout réel xIx \in \mathrm{I} :
f(x)f(x)f(x)-|f(x)| \leqslant f(x) \leqslant|f(x)|.


2. En déduire que pour tout réel xIx \in \mathrm{I} :
abf(x)dxabf(x)dx|\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x | \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d} x .
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100
DEVOIR MAISON
[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre I\text{I} défini par I=01x2ex1+xdx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x.
Soit ff la fonction définie sur [0 ;1][0~; 1] par f(x)=ex1+xf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}.

1. Étudier les variations de ff sur [0 ;1][0~; 1].


2. On pose, pour tout entier naturel nn, Sn=k=0nf(k5)\mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} f\left(\dfrac{k}{5}\right).
a. Justifier que, pour tout entier kk compris entre 00 et 44, on a 15f(k5)k5k+15ex1+xdx15f(k+15)\dfrac{1}{5} f\left(\dfrac{k}{5}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{k}{5}}}^{\normalsize{\tfrac{k+1}{5}}} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \dfrac{1}{5} f\left(\dfrac{k+1}{5}\right).


b. Interpréter graphiquement, à l’aide de rectangles, les inégalités précédentes.


c. En déduire que 15S401ex1+xdx15(S51)\dfrac{1}{5} \mathrm{S}_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{ \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \dfrac{1}{5}\left( \mathrm{S}_{5}-1\right).


d. Donner des valeurs approchées à 10410^{-4} près de S4\mathrm{S}_4 et de S5\mathrm{S}_5 respectivement.


e. En déduire l’encadrement : 1,09101ex1+xdx1,1641,091 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 1,164.


3. a. Démontrer que, pour tout réel xx de [0 ;1][0~; 1], on a :
11+x=1x+x21+x\dfrac{1}{1+x}=1-x+\dfrac{x^{2}}{1+x}.


b. Justifier l’égalité 01ex1+xdx=01(1x)exdx+I\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\mathrm{I}.


c. Calculer 01(1x)exdx\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x.


d. En déduire un encadrement de I=01x2ex1+xdx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x d’amplitude strictement inférieure à 10110^{-1}.
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101
[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre λ>0\boldsymbol{\lambda > 0} de la façon suivante : si X\text{X} est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels a>0a > 0 et b>0b > 0 vérifiant aba \leqslant b, on a :
P(aXb)=abλeλxdx\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\displaystyle\int_{a}^{b} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d} x.

1. a. Démontrer que P(aXb)=eλaeλb\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\mathrm{e}^{-\lambda a}-\mathrm{e}^{-\lambda b}.


b. Démontrer que P(0Xb)=1eλb\mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=1-\mathrm{e}^{-\lambda b}.


2. La durée de vie (en mois) d’une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,05\lambda = 0{,}05. Quelle est la probabilité qu’une telle montre ait une durée de vie comprise entre 66 mois et 22 ans ?
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102
[[Modéliser, Calculer.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite (In)\left(\mathrm{I}_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn non nul, par In=01xnex2dx\mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x

1. a. Soit gg la fonction définie sur R\R par g(x)=xex2g(x)=x \mathrm{e}^{x^{2}}.
Démontrer que la fonction G\text{G} définie sur R\R par G(x)=12ex2\mathrm{G}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x^{2}} est une primitive sur R\R de la fonction gg.


b. En déduire la valeur de I1\mathrm{I}_1.


c. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, on a :
In+2=12en+12In\mathrm{I}_{n+2}=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2} \mathrm{I}_{n}.


d. Calculer I3\mathrm{I}_3 et I5\mathrm{I}_5.


2. On considère l’algorithme suivant.

n1u12e12Tant que n<21:u12en+12unn+2Retourner u \boxed{ \begin{array} { l } {n} \leftarrow {1} \\ {u} \leftarrow {\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-\dfrac{1}{2}} \\ \text {Tant que } n \lt 21 : \\ \quad {u} \leftarrow {\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2} u} \\ \quad {n} \leftarrow {n + 2} \\ \text {Retourner } u \\ \end{array} }


Quel terme de la suite (In)(\mathrm{I}_n) obtient‑on en sortie de cet algorithme ?


3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul nn, In0\mathrm{I}_{n} \geqslant 0.


b. Montrer que la suite (In)(\mathrm{I}_n) est décroissante.


c. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de la suite (In)(\mathrm{I}_n).
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103
[Calculer, Chercher.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=e2x+3ex+1(ex+1)2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x}+3 \mathrm{e}^{x}+1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}.
Calculer 01ex(ex+1)2dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x et en déduire I=01f(x)dx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
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104
[Chercher, Communiquer.]
1. Soit ff une fonction définie et continue sur R\R et soient aa et bb deux réels distincts.
Démontrer que la fonction gg définie par
g(x)=f(a)×(xa+b2)(xb)(aa+b2)(ab)+f(a+b2)×(xa)(xb)(a+b2a)(a+b2b)+f(b)×(xa)(xa+b2)(ba)(ba+b2)g(x)=f(a) \times \dfrac{\left(x-\dfrac{a+b}{2}\right)(x-b)}{\left(a-\dfrac{a+b}{2}\right)(a-b)}+f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \times \dfrac{(x-a)(x-b)}{\left(\dfrac{a+b}{2}-a\right)\left(\dfrac{a+b}{2}-b\right)}+f(b) \times \dfrac{(x-a)\left(x-\dfrac{a+b}{2}\right)}{(b-a)\left(b-\dfrac{a+b}{2}\right)} est une fonction polynôme de degré au plus 22 vérifiant f(a)=g(a)f(a)=g(a), f(b)=g(b)f(b)=g(b) et f(a+b2)=g(a+b2)f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=g\left(\dfrac{a+b}{2}\right).


2. Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x3+x1f(x)=x^{3}+x-1.
On note C\mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé et D\mathcal{D} l’aire du domaine compris entre la courbe C\mathcal{C}, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0x=0 et x=1x=1.
On subdivise l’intervalle [0 ;1][0~; 1] en quatre intervalles de la forme [k4 ;k+14]\left[\dfrac{k}{4}~; \dfrac{k+1}{4}\right], avec 0k30 \leqslant k \leqslant 3.
Pour 0k30 \leqslant k \leqslant 3, on note gkg_k les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 22 telles que f(k4)=gk(k4)f\left(\dfrac{k}{4}\right)=g_{k}\left(\dfrac{k}{4}\right), f(k+14)=gk(k+14)f\left(\dfrac{k+1}{4}\right)=g_{k}\left(\dfrac{k+1}{4}\right) et f(2k+18)=gk(2k+18)f\left(\dfrac{2 k+1}{8}\right)=g_{k}\left(\dfrac{2 k+1}{8}\right).
La méthode Simpson consiste, pour déterminer une valeur approchée de 01f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x, à sommer les aires Sk\mathrm{S}_k des domaines se situant entre les courbes représentatives de gkg_k, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=k4x=\dfrac{k}{4} et x=k+14x=\dfrac{k+1}{4}.
Déterminer une valeur approchée de 01f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x par cette méthode.
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105
[Raisonner, Calculer.]
D’après bac S, Asie, juin 2010

Partie A
On note ff la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+[]0~;+\infty[ par f(x)=1x2e1xf(x)=\dfrac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}. On note C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ;i ,j)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j})

1. a. Déterminer la limite de la fonction ff quand xx tend vers 00.


b. Déterminer la limite de la fonction ff quand xx tend vers ++\infty.


c. Quelles conséquences pour la courbe C\mathcal{C} peut‑on déduire de ces deux résultats ?


2. a. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction ff s’exprime, pour tout réel xx strictement positif, par :
f(x)=1x4e1x(2x+1)f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^{4}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}(2 x+1).


b. Déterminer le signe de ff' et en déduire le tableau de variations de ff sur l’intervalle ]0 ;+[]0~;+\infty[.


Couleurs
Formes
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c. Démontrer que l’équation f(x)=2f(x)=2 a une unique solution notée α\alpha appartenant à l’intervalle ]0 ;+[]0~;+\infty[.
Donner une valeur approchée de a arrondie à 10210^{-2} près.


Partie B : Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout entier naturel n2n \geqslant 2, on considère l’intégrale In\mathrm{I}_n définie par In=121xne1xdx\mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \mathrm{d} x.

1. Calculer I2\mathrm{I}_2.


2. a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel n2n \geqslant 2 :
In+1=ee2n1+(1n)In\mathrm{I}_{n+1}=\mathrm{e}-\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2^{n-1}}+(1-n) \mathrm{I}_{n}.


Aide
Poser u(x)=1xnu^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^{n}} et v(x)=e1xv(x)=\mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} dans In\mathrm{I}_{n}.


b. Calculer I3\mathrm{I}_3.


3. a. Établir que, pour tout nombre réel xx appartenant à l’intervalle [1 ;2][1~; 2], on a :
01xne1xexn0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{x^{n}}.


Aide
Montrer, dans un premier temps, que 0e1xe0 \leqslant \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \leqslant \mathrm{e}.


b. En déduire un encadrement de In\mathrm{I}_n puis étudier la limite éventuelle de la suite (In)(\mathrm{I}_n).
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106
[Calculer, Communiquer.]
D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2018

On donne ci‑dessous la courbe Cf\mathcal{C}_f représentative dans un repère donné d’une fonction ff définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;5][0~; 5] ainsi que les courbes représentatives Cf\mathcal{C}_{f'} et Cf\mathcal{C}_{f''} respectivement de la dérivée ff' et de la dérivée seconde ff'' de la fonction ff.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 106

1. On note I=01f(x)dx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x, où ff' est la fonction dérivée de ff. Comment interpréter graphiquement ce nombre I\text{I} ?


2. La fonction ff représentée ci‑dessus est définie sur l’intervalle [0 ;5][0~; 5] par f(x)=(x2+2x)exf(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-x}.
a. Montrer que la dérivée ff' de ff est définie par f(x)=(x2+2)exf^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{-x}, pour tout réel xx de [0 ;5][0~; 5].


b. Déterminer les variations de ff sur [0 ;5][0~; 5] et préciser l’abscisse de son maximum.


c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de ff.


3. Avec un outil de calcul on obtient, pour 01f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x et f(1)f(1), la même valeur approchée 1,103641{,}10364.
Ces deux valeurs sont‑elles égales ?


4. Déterminer le lien existant entre f(1)f^{\prime}(1) et 01f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x. Justifier.
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107
[Calculer, Représenter.]
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,010{,}01 près.
On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [0 ;4][0~; 4] par f(x)=(3,6x+2,4)e0,6x1,4f(x)=(3{,}6 x+2{,}4) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4.

Partie A
On admet que la fonction ff est dérivable sur l’intervalle [0 ;4][0~; 4] et on note ff' sa fonction dérivée.

1. Justifier que, pour tout nombre réel xx de l’intervalle [0 ;4][0~; 4], on a f(x)=(2,16x+2,16)e0,6xf^{\prime}(x)=(-2{,}16 x+2{,}16) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}.


2. a. Étudier le signe de f(x)f'(x) sur l’intervalle [0 ;4][0~; 4].


b. Dresser le tableau de variations de la fonction ff sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée.

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3. On admet que la fonction F\text{F} définie par F(x)=(6x14)e0,6x1,4x\mathrm{F}(x)=(-6 x-14) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 x est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;4][0~; 4]. Calculer la valeur exacte de 04f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x, puis en donner une valeur numérique approchée.


Partie B
On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;4][0~; 4]. On considère la fonction gg définie par g(x)=4x24x+1g(x)=4 x^{2}-4 x+1. On note Cg\mathcal{C}_g la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle [0 ;0,5][0~; 0{,}5].
On a tracé ci‑dessous les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g dans un repère d’origine O\text{O} et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g par rapport à l’axe des abscisses :

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 107

1. Montrer que 00,5g(x)dx=16\displaystyle\int_{0}^{0,5} g(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{6}.


2. On considère le domaine du plan délimité par les courbes Cf\mathcal{C}_f, Cg\mathcal{C}_g, leurs courbes symétriques (en pointillés), ainsi que la droite d’équation x=4x=4.
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci‑dessus.
Calculer une valeur approchée de l’aire, en unité d’aire, de ce domaine.
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108
[Chercher, Calculer.]
1. a. Dans cette question yy est un réel fixé.
Démontrer que 122xydx=3y\displaystyle\int_{-1}^{2} 2 x y \mathrm{d} x=3 y.


b. Calculer 013ydy\displaystyle\int_{0}^{1} 3 y \mathrm{d} y.


Ce résultat est appelé intégrale double sur le rectangle D=[1 ;2]×[0 ;1]\mathcal{D}=[-1~; 2] \times[0~; 1] et est noté D2xydxdy\iint_{\mathcal{D}} 2 x y \mathrm{d} x \mathrm{d} y.

2. Calculer Dxyex+2ydxdy\iint_{\mathcal{D}} x y \mathrm{e}^{x+2 y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y avec D=[0 ;1]×[2 ;3]\mathcal{D}=[0~; 1] \times[-2~; 3].
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Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Guido Fubini (1879‑1943)

Histoire des maths

Les intégrales doubles et triples ont d’abord été introduites par L. Euler en 1768 et ont ensuite fait l’objet de nombreuses recherches sur leur définition, les fonctions et domaines qu’on pouvait leur appliquer, ou sur les différentes manières de les calculer.
Le calcul utilisé ici repose sur un théorème démontré généralement par Guido Fubini (1879‑1943) et permet de les réduire à des calculs d’intégrales simples. On peut, par ce moyen, retrouver les formules de l’aire du disque et du volume de la sphère.

109
APPROFONDISSEMENT
PYTHON

ff est définie sur R\R par f(x)=11+x2f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
On note C\mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
D\mathcal{D} est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de ff, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0x = 0 et x=1x = 1.
On subdivise l’intervalle [0 ;1][0~; 1] en nn intervalles de la forme [kn ;k+1n]\left[\dfrac{k}{n}~; \dfrac{k+1}{n}\right], où nn et kk sont des entiers tels que n0n \neq 0 et 0kn10 \leqslant k \leqslant n-1.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 109

On note Tk\mathrm{T}_k, avec 0kn10 \leqslant k \leqslant n-1, l’aire respective de chaque trapèze vert, puis In=T0+T1++Tn1\mathrm{I}_{n}=\mathrm{T}_{0}+\mathrm{T}_{1}+\ldots+\mathrm{T}_{n-1}.
La méthode dite des trapèzes montre que In\mathrm{I}_{n} est une valeur approchée de D\mathcal{D}.

1. Exprimer, pour tout k{0,,n1}k \in\{0, \ldots, n-1\}, Tk\mathrm{T}_k en fonction de nn, f(kn)f\left(\dfrac{k}{n}\right) et f(k+1n)f\left(\dfrac{k+1}{n}\right).


2. Écrire un algorithme permettant, pour un entier nn donné, de calculer In\mathrm{I}_{n}.



3. Programmer et tester l’algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de D\mathcal{D} avec n=30n=30.

4. Que faut‑il modifier dans l’algorithme pour obtenir une valeur approchée de 0111+x2dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{d} x ?
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110
APPROFONDISSEMENT

La loi de probabilité nommée loi normale centrée réduite utilise l’intégrale de ff avec f(x)=12πex2f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-x^{2}}.
ff est une fonction continue sur R\R mais ses primitives ne peuvent s’exprimer à l’aide de fonctions de référence.
L’objectif est ici d’estimer l’intégrale 01f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x à l’aide de la méthode de Monte‑Carlo.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 110

1. On place un point M(x ;y)\mathrm{M}(x~; y) aléatoirement dans un carré de côté 11 où les réels xx et yy appartiennent à l’intervalle [0 ;1][0~; 1].
Quelles inégalités doit‑on avoir sur xx et yy pour que le point M\text{M} appartienne au domaine hachuré ?


2. Voici un algorithme pour un entier N\text{N} donné :

S0Pour k allant de 1 aˋ N :Xnombre aleˊatoire entre 0 et 1Ynombre aleˊatoire entre 0 et 1Si Y12π×exp(X2):SS+1Fin Si Fin Pour PSNRetourner P  \boxed{ \begin{array} { l } {\mathrm{S}} \leftarrow {0} \\ \text {Pour } k \text { allant de 1 à N :} \\ \quad {\mathrm{X}} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} \\ \quad {\mathrm{Y}} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} \\ \quad \text{Si } \mathrm{Y} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \times \exp \left(-\mathrm{X}^{2}\right) : \\ \quad \quad {\mathrm{S}} \leftarrow {\mathrm{S}+1} \\ \quad \text {Fin Si } \\ \text {Fin Pour } \\ \mathrm{P} \leftarrow \dfrac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}} \\ \text {Retourner P } \\ \end{array} }

a. Que calcule cet algorithme ?


b. Programmer cet algorithme avec Python et interpréter le résultat obtenu pour N=1 000\mathrm{N}=1~000.



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111
[Chercher, Raisonner.]
L’objectif de cet exercice est de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral (voir TP 2 p. 325) pour la fonction exponentielle.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, ex=k=0nxkk!+0x(xt)netn!dt\mathrm{e}^{x}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{x^{k}}{k !}+\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n} \mathrm{e}^{t}}{n !} \mathrm{d} t, où n!=1×2××nn !=1 \times 2 \times \ldots \times n (avec x0x \neq 0 et, par convention, 0!=10! = 1).
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ;  à  ;  à  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  et   p. 432

Le Grand Oral

S’entraîner pour la présentation orale

Exemple de sujet : Les méthodes numériques de calcul intégral

Méthode

Le jour du Grand Oral, vous devez parler sans notes. Vous devez maîtriser parfaitement votre exposé, et pour cela, il n’existe pas de solution miracle : il faut répéter, répéter et encore répéter !

Tout au long de l’année, prenez l’habitude de prendre la parole pendant le cours. Si vous êtes timide, vous verrez : c’est le meilleur antidote ! C’est un très bon moyen de vous mettre en confiance.

Vous pouvez aussi écrire votre exposé dans son intégralité, en faisant attention à votre registre de langage (on ne s’exprime pas devant un jury comme devant ses amis), à la précision du vocabulaire mathématique que vous employez et à l’efficacité de vos arguments.
Surlignez les étapes‑clés de votre exposé pour bien faire ressortir le plan ; entourez les éléments importants et/ou difficiles à retenir (les formules pour la méthode des rectangles par exemple).

Répéter plusieurs fois votre présentation vous permet de travailler la voix, les intonations, le rythme de votre prise de parole.

La clé d’un oral réussi tient enfin dans la maîtrise du temps. Lorsque vous vous entraînez, et le jour de l’épreuve, chronométrez‑vous pour respecter le temps imparti.

Quelques conseils :
  • Pour vous entraîner, pensez aux outils numériques ! Sur LLS.fr/GrandOralMaths, vous pourrez vous enregistrer et retrouver des conseils spécifiques pour progresser à l’oral.
    Vous pouvez aussi vous enregistrer ou vous filmer avec un smartphone.
  • Avant de démarrer, pensez à mettre en application le travail sur le corps et la voix (p. 17).
  • Écoutez‑vous pour repérer vos faiblesses (répétitions, hésitations « euh », débit trop rapide ou trop lent, etc.) et les corriger ;
  • À chaque essai, notez sur une fiche ou dans un carnet des indications sur le temps que vous avez mis, ainsi que des remarques sur votre débit, vos hésitations, l’intensité de votre voix, les pauses… Au fil des essais, vous constaterez que vous progressez !
  • Apprenez par cœur les premières et dernières phrases de votre exposé : en cas de stress, cela vous sera d’une grande aide !

Le jour J :
  • sur une feuille de brouillon, remémorez‑vous la structure de votre présentation (en écrivant les grands titres par exemple, ainsi que les titres des sous‑parties), les éléments importants sous forme de mots‑clés, et les éléments difficiles à retenir (formules, dates, chiffres, etc.).
  • Vous pouvez, si vous le souhaitez, distribuer un support au jury, sur lequel vous pouvez dessiner un schéma, un graphique, etc.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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