Exercices de synthèse

Vrai / Faux

[Chercher, Communiquer.]

Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse. 1. $f$ est une fonction définie sur $]0;+\infty [$ dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

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L'aire $\mathcal{A}$, en u.a., du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=\frac{1}{2}$ et $x=5$, vérifie $6⩽\mathcal{A}⩽12$.

2. D'après le graphique ci‑dessous, ${\int }_{-1}^{1}g(x)\mathrm{d}x\approx -\frac{3}{2}$.

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3. Pour tout réel $x⩾1$, ${\int }_1^x(1-t){\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t$ est négatif.

4. Si deux fonctions $h$ et $k$ continues vérifient ${\int }_1^{9}h(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{9}k(x)\mathrm{d}x$, alors, pour tout réel $x$ tel que $1⩽x⩽9$, on a $h(x)=k(x)$.

[Modéliser, Chercher.]

D'après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d'ouvrir un nouveau centre, équipé d'une piscine bordée de sable.
Il dispose d'un espace rectangulaire de $25$ m de longueur sur $14$ m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l'espace comme indiqué ci‑dessous.

La bordure de la piscine est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0;25]$ par $f(x)=(5x+7){\mathrm{e}}^{-0,2x}$.

1. Quelle est l'aire, en m², de la zone représentant la piscine ?

2. L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de $25$ m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?

En économie

[Modéliser, Communiquer.]

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $[0;20]$ par la fonction $f$ définie par : $f(x)$ représente le nombre d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

1. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0;20]$.

b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

2. a. Calculer ${\int }_5^{15}f(x)\mathrm{d}x$.

b. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[5;15]$. Interpréter ce résultat.

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[Chercher, Raisonner.]

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t$.

1. Étudier la parité de $f$.

2. a. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa fonction dérivée.

b. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. a. Démontrer que, pour tout $x⩾1$, $1-\frac{1}{x}={\int }_1^x\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t$.

b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout $x⩾1$, $f(x)+1-\frac{1}{x}={\int }_0^1\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t+{\int }_1^x\frac{1+2t^2}{t^2\left(1+t^2\right)}\mathrm{d}t$.

c. Démontrer que, pour tout réel $x⩾1$, $f(x)⩾\frac{1}{x}-1$.

[Représenter, Chercher.]
D'après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}$, $g(x)=-x+1$ et $h(x)=f(x)-g(x)$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant la fonction $g$ dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{f}}$ et de l'une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$ est la droite $\Delta$.

2. a. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $h^{\prime }(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x}$.

b. Étudier le signe de $h^{\prime }(x$) selon les valeurs de $x$.

c. En déduire les variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.

3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ et de sa tangente au point d'abscisse $0$.

Partie B : Calcul d'aire

1. Montrer que ${\int }_0^{1}h(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{\mathrm{e}}$.

2. Soit $a$ un nombre réel vérifiant $a>1$.
On appelle $\mathcal{D}$ le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.


On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en u.a., du domaine $\mathcal{D}$.

a. Déterminer, en fonction de $a$, la valeur de $\mathcal{A}$.

b. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de $\mathcal{A}$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.

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[Calculer, Communiquer.]
D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre $\text{I}$ défini par $\mathrm{I}={\int }_0^1\frac{x^2{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;1]$.

2. On pose, pour tout entier naturel $n$, ${\mathrm{S}}_n=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{5}\right)$.
a. Justifier que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $4$, on a $\frac{1}{5}f\left(\frac{k}{5}\right)⩽{\int }_{\frac{k}{5}}^{\frac{k+1}{5}}\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x⩽\frac{1}{5}f\left(\frac{k+1}{5}\right)$.

b. Interpréter graphiquement, à l'aide de rectangles, les inégalités précédentes.

c. En déduire que $\frac{1}{5}{\mathrm{S}}_4⩽{\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x⩽\frac{1}{5}\left({\mathrm{S}}_5-1\right)$.

d. Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de ${\mathrm{S}}_4$ et de ${\mathrm{S}}_5$ respectivement.

e. En déduire l'encadrement : $1,091⩽{\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x⩽1,164$.

3. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de $[0;1]$, on a :

$\frac{1}{1+x}=1-x+\frac{x^2}{1+x}$.

b. Justifier l'égalité ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-x){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x+\mathrm{I}$.

c. Calculer ${\int }_0^1(1-x){\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$.

d. En déduire un encadrement de $\mathrm{I}={\int }_0^1\frac{x^2{\mathrm{e}}^x}{1+x}\mathrm{d}x$ d'amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$.

[Modéliser, Calculer.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite $\left({\mathrm{I}}_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par ${\mathrm{I}}_n={\int }_0^1{x}^n{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x$

1. a. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{\mathrm{e}}^{x^2}$.
Démontrer que la fonction $\text{G}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{G}(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.

b. En déduire la valeur de ${\mathrm{I}}_1$.

c. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a :

${\mathrm{I}}_{n+2}=\frac{1}{2}\mathrm{e}-\frac{n+1}{2}{\mathrm{I}}_n$.

d. Calculer ${\mathrm{I}}_3$ et ${\mathrm{I}}_5$.

2. On considère l'algorithme suivant.


Quel terme de la suite $({\mathrm{I}}_n)$ obtient‑on en sortie de cet algorithme ?

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, ${\mathrm{I}}_n⩾0$.

b. Montrer que la suite $({\mathrm{I}}_n)$ est décroissante.

c. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de la suite $({\mathrm{I}}_n)$.