Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Synthèse

Exercices de synthèse

91
Vrai / Faux
[Chercher, Communiquer.]

Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse.

1. est une fonction définie sur dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91
Le zoom est accessible dans la version Premium.

L'aire , en u.a., du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équation et , vérifie .

2. D'après le graphique ci‑dessous, .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91
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3. Pour tout réel , est négatif.

4. Si deux fonctions et continues vérifient , alors, pour tout réel tel que , on a .
92
[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur par .

1. Calculer .

2. En déduire la valeur moyenne de sur .
93
[Raisonner, Calculer.]
1. Soit une fonction définie et continue sur telle que, pour tout réel , , où et sont des réels. Déterminer un encadrement de en fonction de , , et .

2. Application
Soit la fonction définie sur par .
a. Déterminer un encadrement de .

b. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de sur .
94
[Modéliser, Chercher.]
D'après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d'ouvrir un nouveau centre, équipé d'une piscine bordée de sable.
Il dispose d'un espace rectangulaire de  m de longueur sur  m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l'espace comme indiqué ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 94
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La bordure de la piscine est modélisée par la fonction définie sur par .

1. Quelle est l'aire, en m2, de la zone représentant la piscine ?

2. L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de  m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?
95
En économie
[Modéliser, Communiquer.]

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle par la fonction définie par :
.
représente le nombre d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à euros.

1. a. Étudier le sens de variation de sur .

b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

2. a. Calculer .

b. Déterminer la valeur moyenne de sur . Interpréter ce résultat.
96
[Chercher, Calculer.]
1. est définie sur par .
a. Déterminer les réels , et tels que .

b. En déduire .

2. Calculer .
97
Devoir maison
[Chercher, Raisonner.]

Soit la fonction définie sur par .

1. Étudier la parité de .

2. a. Justifier que est dérivable sur et déterminer sa fonction dérivée.

b. Étudier les variations de sur .

3. a. Démontrer que, pour tout , .

b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout , .

c. Démontrer que, pour tout réel , .
98
[Représenter, Chercher.]
D'après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions , et définies sur par , et .
On note la courbe représentative de la fonction et la droite représentant la fonction dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de et de l'une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à au point d'abscisse est la droite .

2. a. Montrer que, pour tout , .

b. Étudier le signe de ) selon les valeurs de .

c. En déduire les variations de la fonction sur .

3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe et de sa tangente au point d'abscisse .


Partie B : Calcul d'aire

1. Montrer que .

2. Soit un nombre réel vérifiant .
On appelle le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 98
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On note l'aire, exprimée en u.a., du domaine .

a. Déterminer, en fonction de , la valeur de .

b. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de lorsque tend vers .
99
Démo
[Raisonner, Chercher.]
Soit une fonction définie et continue sur un intervalle .

1. Justifier que pour tout réel  :
.

2. En déduire que pour tout réel  :
.
100
Devoir maison
[Calculer, Communiquer.]
D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre défini par .
Soit la fonction définie sur par .

1. Étudier les variations de sur .

2. On pose, pour tout entier naturel , .
a. Justifier que, pour tout entier compris entre et , on a .

b. Interpréter graphiquement, à l'aide de rectangles, les inégalités précédentes.

c. En déduire que .

d. Donner des valeurs approchées à près de et de respectivement.

e. En déduire l'encadrement : .

3. a. Démontrer que, pour tout réel de , on a :
.

b. Justifier l'égalité .

c. Calculer .

d. En déduire un encadrement de d'amplitude strictement inférieure à .
101
[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre de la façon suivante : si est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels et vérifiant , on a :
.

1. a. Démontrer que .

b. Démontrer que .

2. La durée de vie (en mois) d'une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre . Quelle est la probabilité qu'une telle montre ait une durée de vie comprise entre  mois et  ans ?
102
[Modéliser, Calculer.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite définie, pour tout entier naturel non nul, par

1. a. Soit la fonction définie sur par .
Démontrer que la fonction définie sur par est une primitive sur de la fonction .

b. En déduire la valeur de .

c. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à , on a :
.

d. Calculer et .

2. On considère l'algorithme suivant.


Quel terme de la suite obtient‑on en sortie de cet algorithme ?

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , .

b. Montrer que la suite est décroissante.

c. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de la suite .
103
[Calculer, Chercher.]
Soit la fonction définie sur par .
Calculer et en déduire .
104
[Chercher, Communiquer.]
1. Soit une fonction définie et continue sur et soient et deux réels distincts.
Démontrer que la fonction définie par
est une fonction polynôme de degré au plus vérifiant ,