Synthèse

VRAI / FAUX

[Chercher, Communiquer.]
Dans chaque cas, préciser en justifiant si l’affirmation est vraie ou fausse.

1. $f$ est une fonction définie sur $]0~;+\infty[$ dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

L’aire $\mathcal{A}$, en u.a., du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=\dfrac{1}{2}$ et $x=5$, vérifie $6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 12$.


2. D’après le graphique ci‑dessous, $\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x) \mathrm{d} x \approx-\dfrac{3}{2}$.

3. Pour tout réel $x \geqslant 1$, $\displaystyle\int_{1}^{x}(1-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{d} t$ est négatif.


4. Si deux fonctions $h$ et $k$ continues vérifient $\displaystyle\int_{1}^{9} h(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{1}^{9} k(x) \mathrm{d} x$, alors, pour tout réel $x$ tel que $1 \leqslant x \leqslant 9$, on a $h(x)=k(x)$.

[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur $[0~; 3]$ par $f(x)=(5 x-2) \mathrm{e}^{-2 x}$.

1. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x$.


2. En déduire la valeur moyenne de $f$ sur $[0~; 3]$.

[Raisonner, Calculer.]
1. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathrm{I}=[a~; b]$ telle que, pour tout réel $x \in \mathrm{I}$, $m \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{M}$, où $m$ et $\text{M}$ sont des réels. Déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ en fonction de $m$, $\text{M}$, $a$ et $b$.


2. Application
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}$.
a. Déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x$.


b. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de $f$ sur $[1~; 4]$.

[Modéliser, Chercher.]
D’après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d’ouvrir un nouveau centre, équipé d’une piscine bordée de sable.
Il dispose d’un espace rectangulaire de $25$ m de longueur sur $14$ m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l’espace comme indiqué ci‑dessous.

La bordure de la piscine est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~; 25]$ par $f(x)=(5 x+7) \mathrm{e}^{-0,2 x}$.

1. Quelle est l’aire, en m², de la zone représentant la piscine ?


2. L’organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de $25$ m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?

EN ÉCONOMIE

[Modéliser, Communiquer.]
La fonction de demande d’un produit est modélisée sur l’intervalle $[0~; 20]$ par la fonction $f$ définie par : $f(x)=1~000(x+5) \mathrm{e}^{-0,2 x}$. $f(x)$ représente le nombre d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

1. a. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0~; 20]$.


b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.


2. a. Calculer $\displaystyle\int_{5}^{15} f(x) \mathrm{d} x$.


b. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[5~; 15]$. Interpréter ce résultat.

[Chercher, Calculer.]
1. $f$ est définie sur $\mathbb{R} \backslash\{-2\}$ par $f(x)=\dfrac{x^{3}+6 x^{2}+12 x-1}{(x+2)^{2}}$.
a. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=a x+b+\dfrac{c}{(x+2)^{2}}$.


b. En déduire $\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x$.


2. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{3} \dfrac{-x^{3}+x^{2}+5 x+8}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x$.

DEVOIR MAISON

[Chercher, Raisonner.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t$.

1. Étudier la parité de $f$.


2. a. Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$ et déterminer sa fonction dérivée.


b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.


3. a. Démontrer que, pour tout $x \geqslant 1$, $1-\dfrac{1}{x}=\displaystyle\int_{1}^{x} \dfrac{1}{t^{2}} \mathrm{d} t$.


b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout $x \geqslant 1$, $f(x)+1-\dfrac{1}{x}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{x} \dfrac{1+2 t^{2}}{t^{2}\left(1+t^{2}\right)} \mathrm{d} t$.


c. Démontrer que, pour tout réel $x \geqslant 1$, $f(x) \geqslant \dfrac{1}{x}-1$.

[Représenter, Chercher.]
D’après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\R$ par $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$, $g(x)=-x+1$ et $h(x)=f(x)-g(x)$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Delta$ la droite représentant la fonction $g$ dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de $\boldsymbol{\mathcal{C}_f}$ et de l’une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$ est la droite $\Delta$.


2. a. Montrer que, pour tout $x \in \R$, $h^{\prime}(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$.


b. Étudier le signe de $h'(x$) selon les valeurs de $x$.


c. En déduire les variations de la fonction $h$ sur $\R$.


3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de sa tangente au point d’abscisse $0$.


Partie B : Calcul d’aire

1. Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.


2. Soit $a$ un nombre réel vérifiant $a > 1$.
On appelle $\mathcal{D}$ le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.

On note $\mathcal{A}$ l’aire, exprimée en u.a., du domaine $\mathcal{D}$.

a. Déterminer, en fonction de $a$, la valeur de $\mathcal{A}$.


b. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de $\mathcal{A}$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.

[Raisonner, Chercher.]  

[DÉMO]

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\mathrm{I}=[a~; b]$.

1. Justifier que pour tout réel $x \in \mathrm{I}$ : $-|f(x)| \leqslant f(x) \leqslant|f(x)|$.

2. En déduire que pour tout réel $x \in \mathrm{I}$ : $|\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x | \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d} x$.

DEVOIR MAISON

[Calculer, Communiquer.]
D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre $\text{I}$ défini par $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x$.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~; 1]$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0~; 1]$.


2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} f\left(\dfrac{k}{5}\right)$.
a. Justifier que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $4$, on a $\dfrac{1}{5} f\left(\dfrac{k}{5}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{k}{5}}}^{\normalsize{\tfrac{k+1}{5}}} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \dfrac{1}{5} f\left(\dfrac{k+1}{5}\right)$.


b. Interpréter graphiquement, à l’aide de rectangles, les inégalités précédentes.


c. En déduire que $\dfrac{1}{5} \mathrm{S}_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{ \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \dfrac{1}{5}\left( \mathrm{S}_{5}-1\right)$.


d. Donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $\mathrm{S}_4$ et de $\mathrm{S}_5$ respectivement.


e. En déduire l’encadrement : $1,091 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 1,164$.


3. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de $[0~; 1]$, on a : $\dfrac{1}{1+x}=1-x+\dfrac{x^{2}}{1+x}$.

b. Justifier l’égalité $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\mathrm{I}$.


c. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x$.


d. En déduire un encadrement de $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x$ d’amplitude strictement inférieure à $10^{-1}$.

[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre $\boldsymbol{\lambda > 0}$ de la façon suivante : si $\text{X}$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ vérifiant $a \leqslant b$, on a : $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\displaystyle\int_{a}^{b} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d} x$.
1. a. Démontrer que $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\mathrm{e}^{-\lambda a}-\mathrm{e}^{-\lambda b}$.


b. Démontrer que $\mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=1-\mathrm{e}^{-\lambda b}$.


2. La durée de vie (en mois) d’une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}05$. Quelle est la probabilité qu’une telle montre ait une durée de vie comprise entre $6$ mois et $2$ ans ?

[[Modéliser, Calculer.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite $\left(\mathrm{I}_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $\mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x$

1. a. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x \mathrm{e}^{x^{2}}$.
Démontrer que la fonction $\text{G}$ définie sur $\R$ par $\mathrm{G}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x^{2}}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $g$.


b. En déduire la valeur de $\mathrm{I}_1$.


c. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, on a : $\mathrm{I}_{n+2}=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2} \mathrm{I}_{n}$.

d. Calculer $\mathrm{I}_3$ et $\mathrm{I}_5$.


2. On considère l’algorithme suivant.

$\boxed{ \begin{array} { l } {n} \leftarrow {1} \\ {u} \leftarrow {\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-\dfrac{1}{2}} \\ \text {Tant que } n \lt 21 : \\ \quad {u} \leftarrow {\dfrac{1}{2} \mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2} u} \\ \quad {n} \leftarrow {n + 2} \\ \text {Retourner } u \\ \end{array} }$

Quel terme de la suite $(\mathrm{I}_n)$ obtient‑on en sortie de cet algorithme ?


3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\mathrm{I}_{n} \geqslant 0$.


b. Montrer que la suite $(\mathrm{I}_n)$ est décroissante.


c. À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de la suite $(\mathrm{I}_n)$.

[Calculer, Chercher.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x}+3 \mathrm{e}^{x}+1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$.
Calculer $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x$ et en déduire $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$.

[Chercher, Communiquer.]
1. Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ et soient $a$ et $b$ deux réels distincts.
Démontrer que la fonction $g$ définie par
$g(x)=f(a) \times \dfrac{\left(x-\dfrac{a+b}{2}\right)(x-b)}{\left(a-\dfrac{a+b}{2}\right)(a-b)}+f\left(\dfrac{a+b}{2}\right) \times \dfrac{(x-a)(x-b)}{\left(\dfrac{a+b}{2}-a\right)\left(\dfrac{a+b}{2}-b\right)}+f(b) \times \dfrac{(x-a)\left(x-\dfrac{a+b}{2}\right)}{(b-a)\left(b-\dfrac{a+b}{2}\right)}$ est une fonction polynôme de degré au plus $2$ vérifiant $f(a)=g(a)$, $f(b)=g(b)$ et $f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)=g\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$.


2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^{3}+x-1$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé et $\mathcal{D}$ l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l’intervalle $[0~; 1]$ en quatre intervalles de la forme $\left[\dfrac{k}{4}~; \dfrac{k+1}{4}\right]$, avec $0 \leqslant k \leqslant 3$.
Pour $0 \leqslant k \leqslant 3$, on note $g_k$ les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $2$ telles que $f\left(\dfrac{k}{4}\right)=g_{k}\left(\dfrac{k}{4}\right)$, $f\left(\dfrac{k+1}{4}\right)=g_{k}\left(\dfrac{k+1}{4}\right)$ et $f\left(\dfrac{2 k+1}{8}\right)=g_{k}\left(\dfrac{2 k+1}{8}\right)$.
La méthode Simpson consiste, pour déterminer une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$, à sommer les aires $\mathrm{S}_k$ des domaines se situant entre les courbes représentatives de $g_k$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=\dfrac{k}{4}$ et $x=\dfrac{k+1}{4}$.
Déterminer une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ par cette méthode.

[Raisonner, Calculer.]
D’après bac S, Asie, juin 2010

Partie A
On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\dfrac{1}{x}}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j})$

1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$.


b. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.


c. Quelles conséquences pour la courbe $\mathcal{C}$ peut‑on déduire de ces deux résultats ?


2. a. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ s’exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par : $f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^{4}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}(2 x+1)$.

b. Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $]0~;+\infty[$.

Effacer tout

Couleurs

Formes

Dessinez ici

c. Démontrer que l’équation $f(x)=2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l’intervalle $]0~;+\infty[$.
Donner une valeur approchée de a arrondie à $10^{-2}$ près.


Partie B : Étude d’une suite d’intégrales

Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$, on considère l’intégrale $\mathrm{I}_n$ définie par $\mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \mathrm{d} x$.

1. Calculer $\mathrm{I}_2$.


2. a. Démontrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ : $\mathrm{I}_{n+1}=\mathrm{e}-\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}}}{2^{n-1}}+(1-n) \mathrm{I}_{n}$.



b. Calculer $\mathrm{I}_3$.


3. a. Établir que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1~; 2]$, on a : $0 \leqslant \dfrac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \leqslant \dfrac{\mathrm{e}}{x^{n}}$.



b. En déduire un encadrement de $\mathrm{I}_n$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $(\mathrm{I}_n)$.

[Calculer, Communiquer.]
D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2018

On donne ci‑dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative dans un repère donné d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0~; 5]$ ainsi que les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f'}$ et $\mathcal{C}_{f''}$ respectivement de la dérivée $f'$ et de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$.

1. On note $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. Comment interpréter graphiquement ce nombre $\text{I}$ ?


2. La fonction $f$ représentée ci‑dessus est définie sur l’intervalle $[0~; 5]$ par $f(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-x}$.
a. Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par $f^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{-x}$, pour tout réel $x$ de $[0~; 5]$.


b. Déterminer les variations de $f$ sur $[0~; 5]$ et préciser l’abscisse de son maximum.


c. Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$.


3. Avec un outil de calcul on obtient, pour $\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ et $f(1)$, la même valeur approchée $1{,}10364$.
Ces deux valeurs sont‑elles égales ?


4. Déterminer le lien existant entre $f^{\prime}(1)$ et $\displaystyle\int_{0}^{1} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$. Justifier.

[Calculer, Représenter.]
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0{,}01$ près.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0~; 4]$ par $f(x)=(3{,}6 x+2{,}4) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4$.

Partie A
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0~; 4]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

1. Justifier que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0~; 4]$, on a $f^{\prime}(x)=(-2{,}16 x+2{,}16) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}$.


2. a. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0~; 4]$.


b. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée.

Effacer tout

Couleurs

Formes

Dessinez ici

3. On admet que la fonction $\text{F}$ définie par $\mathrm{F}(x)=(-6 x-14) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 x$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~; 4]$. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x$, puis en donner une valeur numérique approchée.


Partie B
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~; 4]$. On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=4 x^{2}-4 x+1$. On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle $[0~; 0{,}5]$.
On a tracé ci‑dessous les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère d’origine $\text{O}$ et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ par rapport à l’axe des abscisses :

1. Montrer que $\displaystyle\int_{0}^{0,5} g(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{6}$.


2. On considère le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés), ainsi que la droite d’équation $x=4$.
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci‑dessus.
Calculer une valeur approchée de l’aire, en unité d’aire, de ce domaine.

[Chercher, Calculer.]
1. a. Dans cette question $y$ est un réel fixé.
Démontrer que $\displaystyle\int_{-1}^{2} 2 x y \mathrm{d} x=3 y$.


b. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{1} 3 y \mathrm{d} y$.


Ce résultat est appelé intégrale double sur le rectangle $\mathcal{D}=[-1~; 2] \times[0~; 1]$ et est noté $\iint_{\mathcal{D}} 2 x y \mathrm{d} x \mathrm{d} y$.

2. Calculer $\iint_{\mathcal{D}} x y \mathrm{e}^{x+2 y} \mathrm{d} x \mathrm{d} y$ avec $\mathcal{D}=[0~; 1] \times[-2~; 3]$.

APPROFONDISSEMENT

PYTHON

$f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
$\mathcal{D}$ est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = 0$ et $x = 1$.
On subdivise l’intervalle $[0~; 1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\dfrac{k}{n}~; \dfrac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $n \neq 0$ et $0 \leqslant k \leqslant n-1$.

On note $\mathrm{T}_k$, avec $0 \leqslant k \leqslant n-1$, l’aire respective de chaque trapèze vert, puis $\mathrm{I}_{n}=\mathrm{T}_{0}+\mathrm{T}_{1}+\ldots+\mathrm{T}_{n-1}$.
La méthode dite des trapèzes montre que $\mathrm{I}_{n}$ est une valeur approchée de $\mathcal{D}$.

1. Exprimer, pour tout $k \in\{0, \ldots, n-1\}$, $\mathrm{T}_k$ en fonction de $n$, $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ et $f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$.


2. Écrire un algorithme permettant, pour un entier $n$ donné, de calculer $\mathrm{I}_{n}$.

3. Programmer et tester l’algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de $\mathcal{D}$ avec $n=30$.

4. Que faut‑il modifier dans l’algorithme pour obtenir une valeur approchée de $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{d} x$ ?

APPROFONDISSEMENT

La loi de probabilité nommée loi normale centrée réduite utilise l’intégrale de $f$ avec $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-x^{2}}$.
$f$ est une fonction continue sur $\R$ mais ses primitives ne peuvent s’exprimer à l’aide de fonctions de référence.
L’objectif est ici d’estimer l’intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ à l’aide de la méthode de Monte‑Carlo.

1. On place un point $\mathrm{M}(x~; y)$ aléatoirement dans un carré de côté $1$ où les réels $x$ et $y$ appartiennent à l’intervalle $[0~; 1]$.
Quelles inégalités doit‑on avoir sur $x$ et $y$ pour que le point $\text{M}$ appartienne au domaine hachuré ?


2. Voici un algorithme pour un entier $\text{N}$ donné :

$\boxed{ \begin{array} { l } {\mathrm{S}} \leftarrow {0} \\ \text {Pour } k \text { allant de 1 à N :} \\ \quad {\mathrm{X}} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} \\ \quad {\mathrm{Y}} \leftarrow \text {nombre aléatoire entre 0 et 1} \\ \quad \text{Si } \mathrm{Y} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \times \exp \left(-\mathrm{X}^{2}\right) : \\ \quad \quad {\mathrm{S}} \leftarrow {\mathrm{S}+1} \\ \quad \text {Fin Si } \\ \text {Fin Pour } \\ \mathrm{P} \leftarrow \dfrac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}} \\ \text {Retourner P } \\ \end{array} }$

a. Que calcule cet algorithme ?


b. Programmer cet algorithme avec Python et interpréter le résultat obtenu pour $\mathrm{N}=1~000$.

[Chercher, Raisonner.]
L’objectif de cet exercice est de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral (voir TP 2 p. 325) pour la fonction exponentielle.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\mathrm{e}^{x}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} \dfrac{x^{k}}{k !}+\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n} \mathrm{e}^{t}}{n !} \mathrm{d} t$, où $n !=1 \times 2 \times \ldots \times n$ (avec $x \neq 0$ et, par convention, $0! = 1$).