[Calculer, Représenter.
]
Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à
0,01 près.
On considère la fonction
f définie sur l’intervalle
[0 ;4] par
f(x)=(3,6x+2,4)e−0,6x−1,4.
Partie A
On admet que la fonction
f est dérivable sur l’intervalle
[0 ;4] et on note
f′ sa fonction dérivée.
1. Justifier que, pour tout nombre réel
x de l’intervalle
[0 ;4], on a
f′(x)=(−2,16x+2,16)e−0,6x.
2. a. Étudier le signe de
f′(x) sur l’intervalle
[0 ;4].
b. Dresser le tableau de variations de la fonction
f sur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations sous forme approchée.
3. On admet que la fonction
F définie par
F(x)=(−6x−14)e−0,6x−1,4x est une primitive de la fonction
f sur l’intervalle
[0 ;4]. Calculer la valeur exacte de
∫04f(x)dx, puis en donner une valeur numérique approchée.
Partie B
On note
Cf la courbe représentative de la fonction
f sur l’intervalle
[0 ;4]. On considère la fonction
g définie par
g(x)=4x2−4x+1. On note
Cg la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle
[0 ;0,5].
On a tracé ci‑dessous les courbes
Cf et
Cg dans un repère d’origine
O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de
Cf et
Cg par rapport à l’axe des abscisses :
1. Montrer que
∫00,5g(x)dx=61.
2. On considère le domaine du plan délimité par les courbes
Cf,
Cg, leurs courbes symétriques (en pointillés), ainsi que la droite d’équation
x=4.
Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci‑dessus.
Calculer une valeur approchée de l’aire, en unité d’aire, de ce domaine.