Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Synthèse

Exercices de synthèse

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91
Vrai / Faux
[Chercher, Communiquer.]

Dans chaque cas, préciser en justifiant si l'affirmation est vraie ou fausse.

1. f est une fonction définie sur ]0~;+\infty[ dont voici la courbe représentative dans un repère orthogonal.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91
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L'aire \mathcal{A}, en u.a., du domaine délimité par la courbe \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=\frac{1}{2} et x=5, vérifie 6 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 12.

2. D'après le graphique ci‑dessous, {\displaystyle\int_{-1}^{1} g(x) \mathrm{d} x \approx-\frac{3}{2}}.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 91
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3. Pour tout réel x \geqslant 1, \displaystyle\int_{1}^{x}(1-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{d} t est négatif.

4. Si deux fonctions h et k continues vérifient \displaystyle\int_{1}^{9} h(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{1}^{9} k(x) \mathrm{d} x, alors, pour tout réel x tel que 1 \leqslant x \leqslant 9, on a h(x)=k(x).
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92
[Chercher, Calculer.]
Soit f la fonction définie sur [0~; 3] par f(x)=(5 x-2) \mathrm{e}^{-2 x}.

1. Calculer \displaystyle\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x.

2. En déduire la valeur moyenne de f sur [0~; 3].
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93
[Raisonner, Calculer.]
1. Soit f une fonction définie et continue sur \mathrm{I}=[a~; b] telle que, pour tout réel x \in \mathrm{I}, m \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{M}, où m et \text{M} sont des réels. Déterminer un encadrement de \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x en fonction de m, \text{M}, a et b.

2. Application
Soit f la fonction définie sur ]0~;+\infty[ par f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}.
a. Déterminer un encadrement de \displaystyle\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.

b. À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de f sur [1~; 4].
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94
[Modéliser, Chercher.]
D'après bac L/ES, Asie, juin 2018

Un organisme de vacances envisage d'ouvrir un nouveau centre, équipé d'une piscine bordée de sable.
Il dispose d'un espace rectangulaire de 25 m de longueur sur 14 m de largeur et souhaite que la piscine et la « plage » se partagent l'espace comme indiqué ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 94
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La bordure de la piscine est modélisée par la fonction f définie sur [0~; 25] par f(x)=(5 x+7) \mathrm{e}^{-0,2 x}.

1. Quelle est l'aire, en m2, de la zone représentant la piscine ?

2. L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25 m de longueur et de même superficie.
Quelle en sera la largeur au dixième de mètre près ?
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95
En économie
[Modéliser, Communiquer.]

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~; 20] par la fonction f définie par :
f(x)=1~000(x+5) \mathrm{e}^{-0,2 x}.
f(x) représente le nombre d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à x euros.

1. a. Étudier le sens de variation de f sur [0~; 20].

b. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

2. a. Calculer \displaystyle\int_{5}^{15} f(x) \mathrm{d} x.

b. Déterminer la valeur moyenne de f sur [5~; 15]. Interpréter ce résultat.
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96
[Chercher, Calculer.]
1. f est définie sur \mathbb{R} \backslash\{-2\} par f(x)=\frac{x^{3}+6 x^{2}+12 x-1}{(x+2)^{2}}.
a. Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)=a x+b+\frac{c}{(x+2)^{2}}.

b. En déduire \displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.

2. Calculer \displaystyle\int_{0}^{3} \frac{-x^{3}+x^{2}+5 x+8}{(x+1)^{2}} \mathrm{d} x.
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97
Devoir maison
[Chercher, Raisonner.]

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t.

1. Étudier la parité de f.

2. a. Justifier que f est dérivable sur \R et déterminer sa fonction dérivée.

b. Étudier les variations de f sur \R.

3. a. Démontrer que, pour tout x \geqslant 1, 1-\frac{1}{x}=\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}} \mathrm{d} t.

b. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que, pour tout x \geqslant 1, f(x)+1-\frac{1}{x}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1+2 t^{2}}{t^{2}\left(1+t^{2}\right)} \mathrm{d} t.

c. Démontrer que, pour tout réel x \geqslant 1, f(x) \geqslant \frac{1}{x}-1.
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98
[Représenter, Chercher.]
D'après bac L/ES, Liban, mai 2011

On considère les fonctions f, g et h définies sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{-x}, g(x)=-x+1 et h(x)=f(x)-g(x).
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction f et \Delta la droite représentant la fonction g dans un repère orthogonal du plan.

Partie A : Position relative de \boldsymbol{\mathcal{C}_f} et de l'une de ses tangentes

1. Vérifier, par le calcul, que la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 0 est la droite \Delta.

2. a. Montrer que, pour tout x \in \R, h^{\prime}(x)=1-\mathrm{e}^{-x}.

b. Étudier le signe de h'(x) selon les valeurs de x.

c. En déduire les variations de la fonction h sur \R.

3. En utilisant les questions 1. et 2., étudier la position relative de la courbe \mathcal{C}_f et de sa tangente au point d'abscisse 0.


Partie B : Calcul d'aire

1. Montrer que \displaystyle\int_{0}^{1} h(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}-\frac{1}{\mathrm{e}}.

2. Soit a un nombre réel vérifiant a > 1.
On appelle \mathcal{D} le domaine hachuré sur le graphique ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 98
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On note \mathcal{A} l'aire, exprimée en u.a., du domaine \mathcal{D}.

a. Déterminer, en fonction de a, la valeur de \mathcal{A}.

b. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de \mathcal{A} lorsque a tend vers +\infty.
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99
Démo
[Raisonner, Chercher.]
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle \mathrm{I}=[a~; b].

1. Justifier que pour tout réel x \in \mathrm{I} :
-|f(x)| \leqslant f(x) \leqslant|f(x)|.

2. En déduire que pour tout réel x \in \mathrm{I} :
|\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x | \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x)| \mathrm{d} x .
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100
Devoir maison
[Calculer, Communiquer.]
D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2010

Le but de cet exercice est de donner un encadrement du nombre \text{I} défini par \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x.
Soit f la fonction définie sur [0~; 1] par f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}.

1. Étudier les variations de f sur [0~; 1].

2. On pose, pour tout entier naturel n, \mathrm{S}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} f\left(\frac{k}{5}\right).
a. Justifier que, pour tout entier k compris entre 0 et 4, on a \frac{1}{5} f\left(\frac{k}{5}\right) \leqslant \displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{k}{5}}}^{\normalsize{\tfrac{k+1}{5}}} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{5} f\left(\frac{k+1}{5}\right).

b. Interpréter graphiquement, à l'aide de rectangles, les inégalités précédentes.

c. En déduire que \frac{1}{5} \mathrm{S}_{4} \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{ \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{5}\left( \mathrm{S}_{5}-1\right).

d. Donner des valeurs approchées à 10^{-4} près de \mathrm{S}_4 et de \mathrm{S}_5 respectivement.

e. En déduire l'encadrement : 1,091 \leqslant \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x \leqslant 1,164.

3. a. Démontrer que, pour tout réel x de [0~; 1], on a :
\frac{1}{1+x}=1-x+\frac{x^{2}}{1+x}.

b. Justifier l'égalité \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x+\mathrm{I}.

c. Calculer \displaystyle\int_{0}^{1}(1-x) \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x.

d. En déduire un encadrement de \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{d} x d'amplitude strictement inférieure à 10^{-1}.
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101
[Modéliser, Calculer.]
En probabilité, on définit la loi exponentielle de paramètre \boldsymbol{\lambda > 0} de la façon suivante : si \text{X} est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle alors, pour tous réels a > 0 et b > 0 vérifiant a \leqslant b, on a :
\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\displaystyle\int_{a}^{b} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \mathrm{d} x.

1. a. Démontrer que \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\mathrm{e}^{-\lambda a}-\mathrm{e}^{-\lambda b}.

b. Démontrer que \mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=1-\mathrm{e}^{-\lambda b}.

2. La durée de vie (en mois) d'une montre connectée est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = 0{,}05. Quelle est la probabilité qu'une telle montre ait une durée de vie comprise entre 6 mois et 2 ans ?
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102
[Modéliser, Calculer.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2012

On considère la suite \left(\mathrm{I}_{n}\right) définie, pour tout entier naturel n non nul, par \mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{d} x

1. a. Soit g la fonction définie sur \R par g(x)=x \mathrm{e}^{x^{2}}.
Démontrer que la fonction \text{G} définie sur \R par \mathrm{G}(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x^{2}} est une primitive sur \R de la fonction g.

b. En déduire la valeur de \mathrm{I}_1.

c. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
\mathrm{I}_{n+2}=\frac{1}{2} \mathrm{e}-\frac{n+1}{2} \mathrm{I}_{n}.

d. Calculer \mathrm{I}_3 et \mathrm{I}_5.

2. On considère l'algorithme suivant.

\boxed{ \begin{array} { l } {n} \leftarrow {1} \\ {u} \leftarrow {\frac{1}{2} \mathrm{e}-\frac{1}{2}} \\ \text {Tant que } n \lt 21 : \\ \quad {u} \leftarrow {\frac{1}{2} \mathrm{e}-\frac{n+1}{2} u} \\ \quad {n} \leftarrow {n + 2} \\ \text {Retourner } u \\ \end{array} }

Quel terme de la suite (\mathrm{I}_n) obtient‑on en sortie de cet algorithme ?

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, \mathrm{I}_{n} \geqslant 0.

b. Montrer que la suite (\mathrm{I}_n) est décroissante.

c. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite de la suite (\mathrm{I}_n).
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103
[Calculer, Chercher.]
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2 x}+3 \mathrm{e}^{x}+1}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}.
Calculer \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{d} x et en déduire \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
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104
[Chercher, Communiquer.]
1. Soit f une fonction définie et continue sur \R et soient a et b deux réels distincts.
Démontrer que la fonction g définie par
g(x)=f(a) \times \frac{\left(x-\frac{a+b}{2}\right)(x-b)}{\left(a-\frac{a+b}{2}\right)(a-b)}+f\left(\frac{a+b}{2}\right) \times \frac{(x-a)(x-b)}{\left(\frac{a+b}{2}-a\right)\left(\frac{a+b}{2}-b\right)}+f(b) \times \frac{(x-a)\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}{(b-a)\left(b-\frac{a+b}{2}\right)} est une fonction polynôme de degré au plus 2 vérifiant f(a)=g(a), f(b)=g(b) et f\left(\frac{a+b}{2}\right)=g\left(\frac{a+b}{2}\right).

2. Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}+x-1.
On note \mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé et \mathcal{D} l'aire du domaine compris entre la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.
On subdivise l'intervalle [0~; 1] en quatre intervalles de la forme \left[\frac{k}{4}~; \frac{k+1}{4}\right], avec 0 \leqslant k \leqslant 3.
Pour 0 \leqslant k \leqslant 3, on note g_k les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 telles que f\left(\frac{k}{4}\right)=g_{k}\left(\frac{k}{4}\right), f\left(\frac{k+1}{4}\right)=g_{k}\left(\frac{k+1}{4}\right) et f\left(\frac{2 k+1}{8}\right)=g_{k}\left(\frac{2 k+1}{8}\right).
La méthode Simpson consiste, pour déterminer une valeur approchée de \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x, à sommer les aires \mathrm{S}_k des domaines se situant entre les courbes représentatives de g_k, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=\frac{k}{4} et x=\frac{k+1}{4}.
Déterminer une valeur approchée de \displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x par cette méthode.
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105
[Raisonner, Calculer.]
D'après bac S, Asie, juin 2010

Partie A

On note f la fonction définie sur l'intervalle ]0~;+\infty[ par f(x)=\frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}. On note \mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthonormé (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j})

1. a. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0.

b. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +\infty.

c. Quelles conséquences pour la courbe \mathcal{C} peut‑on déduire de ces deux résultats ?

2. a. Démontrer que la fonction dérivée de la fonction f s'exprime, pour tout réel x strictement positif, par :
f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{4}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}}(2 x+1).

b. Déterminer le signe de f' et en déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0~;+\infty[.

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c. Démontrer que l'équation f(x)=2 a une unique solution notée \alpha appartenant à l'intervalle ]0~;+\infty[.
Donner une valeur approchée de a arrondie à 10^{-2} près.


Partie B : Étude d'une suite d'intégrales

Pour tout entier naturel n \geqslant 2, on considère l'intégrale \mathrm{I}_n définie par \mathrm{I}_{n}=\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{n}} \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{1}{x}}} \mathrm{d} x.

1. Calculer \mathrm{I}_2.

2. a. Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel n \geqslant 2 :