Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
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Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Activité

Calcul intégral

18 professeurs ont participé à cette page
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A
Encadrer l'aire sous une courbe par la méthode des rectangles


Objectif : Approcher l'aire sous la courbe d'une fonction continue et positive à l'aide d'une méthode numérique.

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Soit f la fonction définie sur [0~; 1] par f(x)=1-x^{2}.
On note \mathcal{C}_f sa représentation graphique. L'unité du graphique est le cm.
\mathcal{D} est l'aire du domaine hachuré en bleu ci‑dessous.
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A


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l'aire sous une courbe par la méthode des rectangles
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B


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l'aire sous une courbe par la méthode des rectangles
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1
À l'aide du quadrillage du graphique A, estimer en cm2, la valeur de \mathcal{D}, en donnant sa valeur approchée.

Pour la suite, on subdivise l'intervalle [0~; 1] en n intervalles de la forme \left[\frac{k}{n} ; \frac{k+1}{n}\right], où n et k sont des entiers tels que n \neq 0 et 0 \leqslant k \leqslant n-1 (sur le graphique B, on a représenté le cas n = 8).

2
On considère un entier k tel que 0 \leqslant k \leqslant n-1. On note \mathrm{A}_k et \mathrm{B}_k les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note : \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}_{0}+\mathrm{A}_{1}+\ldots+\mathrm{A}_{n-1} et \mathrm{J}_{n}=\mathrm{B}_{0}+\mathrm{B}_{1}+\ldots+\mathrm{B}_{n-1}.

a) Exprimer \mathrm{A}_k et \mathrm{B}_k en fonction de n, f\left(\frac{k}{n}\right) et f\left(\frac{k+1}{n}\right).

b) Pour n \in \N^*, on pose u_{n}=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\ldots+f(1)\right].
En déduire que u_{n} \leqslant \mathcal{D} \leqslant u_{n}+\frac{1}{n}.

c) La question précédente permet d'obtenir un encadrement de \mathcal{D}.
Déterminer l'amplitude de cet encadrement en fonction de n.

d) Lorsque n tend vers +\infty, que peut‑on dire de l'amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour \mathcal{D} ?

3
À l'aide d'un tableur, on va calculer les valeurs de \mathrm{I}_n et \mathrm{J}_n dans le cas n=10.
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a) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?

b) Dans les cellules C2 et C3 ont été saisies respectivement les formules =B2 et =C2+B3. La cellule C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu'en C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule C1 ?

c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules F2 et F3 ?

d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de \mathcal{D} d'amplitude 10^{-3}.
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Bilan
Décrire une méthode pour calculer une valeur approchée de l'aire d'un domaine délimité par la courbe d'une fonction positive et continue, l'axe des abscisses et les droites d'équation \boldsymbol{x=0} et \boldsymbol{x=1}.
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Notation

En mathématiques, on note aussi \Delta x_{i} l'écart entre deux valeurs de la subdivision x_i et x_{i+1}.
D'après ce qui précède, on a \mathcal{D} \approx \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{n} f\left(x_{i}\right) \times \Delta x_{i}.
Lorsque n tend vers +\infty, on note \mathcal{D}=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
On peut remarquer que \sum est devenu \displaystyle\int et que \Delta x_{i} est devenu dx.
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B
Lien entre primitive et intégrale


Objectif : Démontrer que, dans le cas où f est continue et positive sur [a~; b], la fonction \mathrm{F}_a, définie sur [a~; b] par \mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, est dérivable sur [a~; b] et que \mathrm{F}_{a}^{\prime}=f.

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Soient a, b et x_0 trois réels tels que a \lt b et x_{0} \in[a~; b].
On considère une fonction f continue et positive sur [a~; b] et on définit la fonction \mathrm{F}_a sur [a~; b] par \mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t. On suppose, sans perte de généralité, que f est croissante sur [a~; b].

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité B - Lien entre primitive et intégrale
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1
a) Pour tout réel h > 0 tel que x_{0}+h\lt b, interpréter graphiquement \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right) et \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right).

b) En déduire une interprétation graphique de \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right).

c) En utilisant les rectangles \text{ABCD} et \text{ABFE}, justifier que h f\left(x_{0}\right) \leqslant \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right) \leqslant h f\left(x_{0}+h\right), puis en déduire un encadrement de \frac{\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right)}{h}.

2
Recommencer la question précédente avec h \lt 0 tel que x_{0}+h>a. On fera notamment attention au sens de la double inégalité.

3
Quel argument permet de justifier que \lim \limits_{\substack{h \rightarrow 0}} f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right) ?
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Bilan
Déduire des questions précédentes que \mathbf{F}_{\boldsymbol{a}} est dérivable sur \boldsymbol{[a~; b]} et que \mathbf{F}_{\boldsymbol{a}}^{\prime}=\boldsymbol{f}.
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C
Un nouvel outil : l'intégration par parties


Objectif : Découvrir l'intégration par parties et calculer l'intégrale \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{3} x \mathrm{e}^{x} d x.

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1
En utilisant des primitives, calculer les intégrales \mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{3} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x et \mathrm{K}=\displaystyle\int_{0}^{3} 2 x \mathrm{e}^{x^{2}+1} \mathrm{d} x. Peut‑on calculer \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{3} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x en utilisant des primitives ?


2
Calcul de l'intégrale \mathbf{I}. On définit sur [0~; 3] deux fonctions u et v par u(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=x.
a) Déterminer la fonction dérivée de u \times v sur [0~; 3].


b) Intégrer l'égalité précédente sur [0~; 3] puis en déduire la valeur de l'intégrale \mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{3} u^{\prime}(x) v(x) d x.


c) Utiliser la même méthode pour calculer \displaystyle\int_{0}^{3} x^{2} \mathrm{e}^{x} d x.


3
Cas général. Soient a et b deux réels tels que a \lt b. On considère deux fonctions u et v dérivables sur [a~; b] telles que u' et v' soient continues sur [a~; b]. Dans le cours, on démontrera que :
[(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
En déduire une formule pour calculer \displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x.
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Histoire des maths

Nous devons l'exposition de l'intégration par parties sous cette forme à Augustin Louis Cauchy, dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, 27e leçon).
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Bilan

Expliquer le principe de l'intégration par parties.
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