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P.312-313

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A
Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles


Objectif

Approcher l’aire sous la courbe d’une fonction continue et positive à l’aide d’une méthode numérique.


A


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles

B


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles
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Soit la fonction définie sur par .
On note sa représentation graphique. L’unité du graphique est le cm.
est l’aire du domaine hachuré en bleu ci‑contre.

1
À l’aide du quadrillage du graphique A, estimer en cm2, la valeur de , en donnant sa valeur approchée.


Pour la suite, on subdivise l’intervalle en intervalles de la forme , où et sont des entiers tels que et (sur le graphique B, on a représenté le cas ).

2
On considère un entier tel que . On note et les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note : et .

a) Exprimer et en fonction de , et .


b) Pour , on pose .
En déduire que .


c) La question précédente permet d’obtenir un encadrement de .
Déterminer l’amplitude de cet encadrement en fonction de .


d) Lorsque tend vers , que peut‑on dire de l’amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour  ?


3
À l’aide d’un tableur, on va calculer les valeurs de et dans le cas .
Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles

a) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?


b) Dans les cellules C2 et C3 ont été saisies respectivement les formules =B2 et =C2+B3. La cellule C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu’en C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule C1 ?


c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules F2 et F3 ?


d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de d’amplitude .
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NOTATION

En mathématiques, on note aussi l’écart entre deux valeurs de la subdivision et .
D’après ce qui précède, on a .
Lorsque tend vers , on note .
On peut remarquer que est devenu et que est devenu .

Bilan

Décrire une méthode pour calculer une valeur approchée de l’aire d’un domaine délimité par la courbe d’une fonction positive et continue, l’axe des abscisses et les droites d’équation et .
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B
Lien entre primitive et intégrale


Objectif

Démontrer que, dans le cas où est continue et positive sur , la fonction , définie sur par , est dérivable sur et que .


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité B - Lien entre primitive et intégrale
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Soient , et trois réels tels que et .
On considère une fonction continue et positive sur et on définit la fonction sur par . On suppose, sans perte de généralité, que est croissante sur .

1
a) Pour tout réel tel que , interpréter graphiquement et .


b) En déduire une interprétation graphique de .


c) En utilisant les rectangles et , justifier que , puis en déduire un encadrement de .


2
Recommencer la question précédente avec tel que . On fera notamment attention au sens de la double inégalité.


3
Quel argument permet de justifier que  ?
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Bilan

Déduire des questions précédentes que est dérivable sur et que .
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C
Un nouvel outil : l’intégration par parties


Objectif

Découvrir l’intégration par parties et calculer l’intégrale .


Histoire des maths

Nous devons l’exposition de l’intégration par parties sous cette forme à Augustin Louis Cauchy, dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, 27e leçon).
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1
En utilisant des primitives, calculer les intégrales et . Peut‑on calculer en utilisant des primitives ?


2
Calcul de l’intégrale . On définit sur deux fonctions et par et .
a) Déterminer la fonction dérivée de sur .


b) Intégrer l’égalité précédente sur puis en déduire la valeur de l’intégrale .


c) Utiliser la même méthode pour calculer .


3
Cas général. Soient et deux réels tels que . On considère deux fonctions et dérivables sur telles que et soient continues sur . Dans le cours, on démontrera que :
.
En déduire une formule pour calculer .
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Bilan

Expliquer le principe de l’intégration par parties.
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