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P.312-313

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A
Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles


Objectif

Approcher l’aire sous la courbe d’une fonction continue et positive à l’aide d’une méthode numérique.


A


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles

B


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles
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Soit ff la fonction définie sur [0 ;1][0~; 1] par f(x)=1x2f(x)=1-x^{2}.
On note Cf\mathcal{C}_f sa représentation graphique. L’unité du graphique est le cm.
D\mathcal{D} est l’aire du domaine hachuré en bleu ci‑contre.

1
À l’aide du quadrillage du graphique A, estimer en cm2, la valeur de D\mathcal{D}, en donnant sa valeur approchée.


Pour la suite, on subdivise l’intervalle [0 ;1][0~; 1] en nn intervalles de la forme [kn;k+1n]\left[\dfrac{k}{n} ; \dfrac{k+1}{n}\right], où nn et kk sont des entiers tels que n0n \neq 0 et 0kn10 \leqslant k \leqslant n-1 (sur le graphique B, on a représenté le cas n=8n = 8).

2
On considère un entier kk tel que 0kn10 \leqslant k \leqslant n-1. On note Ak\mathrm{A}_k et Bk\mathrm{B}_k les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note : In=A0+A1++An1\mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}_{0}+\mathrm{A}_{1}+\ldots+\mathrm{A}_{n-1} et Jn=B0+B1++Bn1\mathrm{J}_{n}=\mathrm{B}_{0}+\mathrm{B}_{1}+\ldots+\mathrm{B}_{n-1}.

a) Exprimer Ak\mathrm{A}_k et Bk\mathrm{B}_k en fonction de nn, f(kn)f\left(\dfrac{k}{n}\right) et f(k+1n)f\left(\dfrac{k+1}{n}\right).


b) Pour nNn \in \N^*, on pose un=1n[f(1n)+f(2n)++f(1)]u_{n}=\dfrac{1}{n}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\ldots+f(1)\right].
En déduire que unDun+1nu_{n} \leqslant \mathcal{D} \leqslant u_{n}+\dfrac{1}{n}.


c) La question précédente permet d’obtenir un encadrement de D\mathcal{D}.
Déterminer l’amplitude de cet encadrement en fonction de nn.


d) Lorsque nn tend vers ++\infty, que peut‑on dire de l’amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour D\mathcal{D} ?


3
À l’aide d’un tableur, on va calculer les valeurs de In\mathrm{I}_n et Jn\mathrm{J}_n dans le cas n=10n=10.
Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité A - Encadrer l’aire sous une courbe par la méthode des rectangles

a) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?


b) Dans les cellules C2 et C3 ont été saisies respectivement les formules =B2 et =C2+B3. La cellule C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu’en C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule C1 ?


c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules F2 et F3 ?


d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de D\mathcal{D} d’amplitude 10310^{-3}.
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NOTATION

En mathématiques, on note aussi Δxi\Delta x_{i} l’écart entre deux valeurs de la subdivision xix_i et xi+1x_{i+1}.
D’après ce qui précède, on a Di=1nf(xi)×Δxi\mathcal{D} \approx \mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{n} f\left(x_{i}\right) \times \Delta x_{i}.
Lorsque nn tend vers ++\infty, on note D=01f(x)dx\mathcal{D}=\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
On peut remarquer que \sum est devenu \displaystyle\int et que Δxi\Delta x_{i} est devenu dxdx.

Bilan

Décrire une méthode pour calculer une valeur approchée de l’aire d’un domaine délimité par la courbe d’une fonction positive et continue, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0\boldsymbol{x=0} et x=1\boldsymbol{x=1}.
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B
Lien entre primitive et intégrale


Objectif

Démontrer que, dans le cas où ff est continue et positive sur [a ;b][a~; b], la fonction Fa\mathrm{F}_a, définie sur [a ;b][a~; b] par Fa(x)=axf(t)dt\mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, est dérivable sur [a ;b][a~; b] et que Fa=f\mathrm{F}_{a}^{\prime}=f.


Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Activité B - Lien entre primitive et intégrale
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Soient aa, bb et x0x_0 trois réels tels que a<ba \lt b et x0[a ;b]x_{0} \in[a~; b].
On considère une fonction ff continue et positive sur [a ;b][a~; b] et on définit la fonction Fa\mathrm{F}_a sur [a ;b][a~; b] par Fa(x)=axf(t)dt\mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t. On suppose, sans perte de généralité, que ff est croissante sur [a ;b][a~; b].

1
a) Pour tout réel h>0h > 0 tel que x0+h<bx_{0}+h\lt b, interpréter graphiquement Fa(x0+h)\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right) et Fa(x0)\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right).


b) En déduire une interprétation graphique de Fa(x0+h)Fa(x0)\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right).


c) En utilisant les rectangles ABCD\text{ABCD} et ABFE\text{ABFE}, justifier que hf(x0)Fa(x0+h)Fa(x0)hf(x0+h)h f\left(x_{0}\right) \leqslant \mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right) \leqslant h f\left(x_{0}+h\right), puis en déduire un encadrement de Fa(x0+h)Fa(x0)h\dfrac{\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}+h\right)-\mathrm{F}_{a}\left(x_{0}\right)}{h}.


2
Recommencer la question précédente avec h<0h \lt 0 tel que x0+h>ax_{0}+h>a. On fera notamment attention au sens de la double inégalité.


3
Quel argument permet de justifier que limh0f(x0+h)=f(x0)\lim \limits_{\substack{h \rightarrow 0}} f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right) ?
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Bilan

Déduire des questions précédentes que Fa\mathbf{F}_{\boldsymbol{a}} est dérivable sur [a ;b]\boldsymbol{[a~; b]} et que Fa=f\mathbf{F}_{\boldsymbol{a}}^{\prime}=\boldsymbol{f}.
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C
Un nouvel outil : l’intégration par parties


Objectif

Découvrir l’intégration par parties et calculer l’intégrale I=03xexdx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{3} x \mathrm{e}^{x} d x.


Histoire des maths

Nous devons l’exposition de l’intégration par parties sous cette forme à Augustin Louis Cauchy, dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, 27e leçon).
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1
En utilisant des primitives, calculer les intégrales J=03exdx\mathrm{J}=\displaystyle\int_{0}^{3} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x et K=032xex2+1dx\mathrm{K}=\displaystyle\int_{0}^{3} 2 x \mathrm{e}^{x^{2}+1} \mathrm{d} x. Peut‑on calculer I=03xexdx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{3} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x en utilisant des primitives ?


2
Calcul de l’intégrale I\mathbf{I}. On définit sur [0 ;3][0~; 3] deux fonctions uu et vv par u(x)=exu(x)=\mathrm{e}^{x} et v(x)=xv(x)=x.
a) Déterminer la fonction dérivée de u×vu \times v sur [0 ;3][0~; 3].


b) Intégrer l’égalité précédente sur [0 ;3][0~; 3] puis en déduire la valeur de l’intégrale I=03u(x)v(x)dx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{3} u^{\prime}(x) v(x) d x.


c) Utiliser la même méthode pour calculer 03x2exdx\displaystyle\int_{0}^{3} x^{2} \mathrm{e}^{x} d x.


3
Cas général. Soient aa et bb deux réels tels que a<ba \lt b. On considère deux fonctions uu et vv dérivables sur [a ;b][a~; b] telles que uu' et vv' soient continues sur [a ;b][a~; b]. Dans le cours, on démontrera que :
[(uv)(x)]ab=ab(uv)(x)dx+ab(uv)(x)dx[(u v)(x)]_{a}^{b}=\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u v^{\prime}\right)(x) \mathrm{d} x.
En déduire une formule pour calculer ab(uv)(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}\left(u^{\prime} v\right)(x) \mathrm{d} x.
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Bilan

Expliquer le principe de l’intégration par parties.
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