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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Activité
Calcul intégral
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A
Encadrer l'aire sous une courbe par la méthode des rectangles
Objectif : Approcher l'aire sous la courbe d'une fonction continue et positive à l'aide d'une méthode numérique.
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Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x)=1−x2.
On note Cf sa représentation graphique. L'unité du graphique est le cm. D est l'aire du domaine hachuré en bleu ci‑dessous.
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A
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B
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1
À l'aide du quadrillage du graphique A, estimer en cm2, la valeur de D, en donnant sa valeur approchée.
Pour la suite, on subdivise l'intervalle [0;1] en n intervalles de la forme [nk;nk+1], où n et k sont des entiers tels que n=0 et 0⩽k⩽n−1 (sur le graphique B, on a représenté le cas n=8).
2
On considère un entier k tel que 0⩽k⩽n−1. On note Ak et Bk les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note : In=A0+A1+…+An−1 et Jn=B0+B1+…+Bn−1.
a) Exprimer Ak et Bk en fonction de n, f(nk) et f(nk+1).
b) Pour n∈N∗, on pose un=n1[f(n1)+f(n2)+…+f(1)].
En déduire que un⩽D⩽un+n1.
c) La question précédente permet d'obtenir un encadrement de D.
Déterminer l'amplitude de cet encadrement en fonction de n.
d) Lorsque n tend vers +∞, que peut‑on dire de l'amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour D ?
3
À l'aide d'un tableur, on va calculer les valeurs de In et Jn dans le cas n=10.
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a) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?
b) Dans les cellules C2 et C3 ont été saisies respectivement les formules =B2 et =C2+B3. La cellule C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu'en C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule C1 ?
c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules F2 et F3 ?
d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de D d'amplitude 10−3.
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Bilan
Décrire une méthode pour calculer une valeur approchée de l'aire d'un domaine délimité par la courbe d'une fonction positive et continue, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=1.
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Notation
En mathématiques, on note aussi Δxi l'écart entre deux valeurs de la subdivision xi et xi+1.
D'après ce qui précède, on a D≈i=1∑nf(xi)×Δxi.
Lorsque n tend vers +∞, on note D=∫01f(x)dx.
On peut remarquer que ∑ est devenu ∫ et que Δxi est devenu dx.
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B
Lien entre primitive et intégrale
Objectif : Démontrer que, dans le cas où f est continue et positive sur [a;b], la fonction Fa, définie sur [a;b] par Fa(x)=∫axf(t)dt, est dérivable sur [a;b] et que Fa′=f.
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Soient a, b et x0 trois réels tels que a<b et x0∈[a;b].
On considère une fonction f continue et positive sur [a;b] et on définit la fonction Fa sur [a;b] par Fa(x)=∫axf(t)dt. On suppose, sans perte de généralité, que f est croissante sur [a;b].
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1
a)
Pour tout réel h>0 tel que x0+h<b, interpréter graphiquement Fa(x0+h) et Fa(x0).
b) En déduire une interprétation graphique de Fa(x0+h)−Fa(x0).
c) En utilisant les rectangles ABCD et ABFE, justifier que hf(x0)⩽Fa(x0+h)−Fa(x0)⩽hf(x0+h), puis en déduire un encadrement de hFa(x0+h)−Fa(x0).
2
Recommencer la question précédente avec h<0 tel que x0+h>a. On fera notamment attention au sens de la double inégalité.
3
Quel argument permet de justifier que h→0limf(x0+h)=f(x0) ?
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Bilan
Déduire des questions précédentes que Fa est dérivable sur [a;b] et que Fa′=f.
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C
Un nouvel outil : l'intégration par parties
Objectif : Découvrir l'intégration par parties et calculer l'intégrale I=∫03xexdx.
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1
En utilisant des primitives, calculer les intégrales J=∫03exdx et K=∫032xex2+1dx. Peut‑on calculer I=∫03xexdx en utilisant des primitives ?
2
Calcul de l'intégrale I. On définit sur [0;3] deux fonctions u et v par u(x)=ex et v(x)=x.
a) Déterminer la fonction dérivée de u×v sur [0;3].
b) Intégrer l'égalité précédente sur [0;3] puis en déduire la valeur de l'intégrale I=∫03u′(x)v(x)dx.
c) Utiliser la même méthode pour calculer ∫03x2exdx.
3
Cas général. Soient a et b deux réels tels que a<b. On considère deux fonctions u et v dérivables sur [a;b] telles que u′ et v′ soient continues sur [a;b]. Dans le cours, on démontrera que :
[(uv)(x)]ab=∫ab(u′v)(x)dx+∫ab(uv′)(x)dx.
En déduire une formule pour calculer ∫ab(u′v)(x)dx.
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Histoire des maths
Nous devons l'exposition de l'intégration par parties sous cette forme à
Augustin Louis Cauchy, dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal (1823, 27e leçon).
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Bilan
Expliquer le principe de l'intégration par parties.
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