Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=1-x^2$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa représentation graphique. L’unité du graphique est le cm.
$\mathcal{D}$ est l’aire du domaine hachuré en bleu ci‑contre.

À l’aide du quadrillage du graphique A, estimer en cm², la valeur de $\mathcal{D}$, en donnant sa valeur approchée.


Pour la suite, on subdivise l’intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $n\ne 0$ et $0⩽k⩽n-1$ (sur le graphique B, on a représenté le cas $n=8$).

On considère un entier $k$ tel que $0⩽k⩽n-1$. On note ${\mathrm{A}}_k$ et ${\mathrm{B}}_k$ les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note : ${\mathrm{I}}_n={\mathrm{A}}_0+{\mathrm{A}}_1+\dots +{\mathrm{A}}_{n-1}$ et ${\mathrm{J}}_n={\mathrm{B}}_0+{\mathrm{B}}_1+\dots +{\mathrm{B}}_{n-1}$.

a) Exprimer ${\mathrm{A}}_k$ et ${\mathrm{B}}_k$ en fonction de $n$, $f\left(\frac{k}{n}\right)$ et $f\left(\frac{k+1}{n}\right)$.


b) Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on pose $u_n=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\dots +f(1)\right]$.
En déduire que $u_n⩽\mathcal{D}⩽u_n+\frac{1}{n}$.


c) La question précédente permet d’obtenir un encadrement de $\mathcal{D}$.
Déterminer l’amplitude de cet encadrement en fonction de $n$.


d) Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, que peut‑on dire de l’amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour $\mathcal{D}$ ?


À l’aide d’un tableur, on va calculer les valeurs de ${\mathrm{I}}_n$ et ${\mathrm{J}}_n$ dans le cas $n=10$.

a) Quelle formule a été saisie dans la cellule B2 ?


b) Dans les cellules C2 et C3 ont été saisies respectivement les formules =B2 et =C2+B3. La cellule C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu’en C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule C1 ?


c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules F2 et F3 ?


d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de $\mathcal{D}$ d’amplitude $10^{-3}$.

Soient $a$, $b$ et $x_0$ trois réels tels que $a<b$ et $x_0\in [a;b]$.
On considère une fonction $f$ continue et positive sur $[a;b]$ et on définit la fonction ${\mathrm{F}}_a$ sur $[a;b]$ par ${\mathrm{F}}_a(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$. On suppose, sans perte de généralité, que $f$ est croissante sur $[a;b]$.

a) Pour tout réel $h>0$ tel que $x_0+h<b$, interpréter graphiquement ${\mathrm{F}}_a\left(x_0+h\right)$ et ${\mathrm{F}}_a\left(x_0\right)$.


b) En déduire une interprétation graphique de ${\mathrm{F}}_a\left(x_0+h\right)-{\mathrm{F}}_a\left(x_0\right)$.


c) En utilisant les rectangles $\text{ABCD}$ et $\text{ABFE}$, justifier que $hf\left(x_0\right)⩽{\mathrm{F}}_a\left(x_0+h\right)-{\mathrm{F}}_a\left(x_0\right)⩽hf\left(x_0+h\right)$, puis en déduire un encadrement de $\frac{{\mathrm{F}}_a\left(x_0+h\right)-{\mathrm{F}}_a\left(x_0\right)}{h}$.


Recommencer la question précédente avec $h<0$ tel que $x_0+h>a$. On fera notamment attention au sens de la double inégalité.


Quel argument permet de justifier que $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)$ ?

En utilisant des primitives, calculer les intégrales $\mathrm{J}={\int }_0^3{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$ et $\mathrm{K}={\int }_0^{3}2x{\mathrm{e}}^{x^2+1}\mathrm{d}x$. Peut‑on calculer $\mathrm{I}={\int }_0^{3}x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$ en utilisant des primitives ?


Calcul de l’intégrale $\mathbf{I}$. On définit sur $[0;3]$ deux fonctions $u$ et $v$ par $u(x)={\mathrm{e}}^x$ et $v(x)=x$.
a) Déterminer la fonction dérivée de $u\times v$ sur $[0;3]$.


b) Intégrer l’égalité précédente sur $[0;3]$ puis en déduire la valeur de l’intégrale $\mathrm{I}={\int }_0^3{u}^{\prime }(x)v(x)dx$.


c) Utiliser la même méthode pour calculer ${\int }_0^3{x}^2{\mathrm{e}}^{x}dx$.


Cas général. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $[a;b]$ telles que $u^{\prime }$ et $v^{\prime }$ soient continues sur $[a;b]$. Dans le cours, on démontrera que : En déduire une formule pour calculer ${\int }_a^b\left(u^{\prime }v\right)(x)\mathrm{d}x$.