Soit
f la fonction définie sur
[0 ;1] par
f(x)=1−x2.
On note
Cf sa représentation graphique. L’unité du graphique est le cm.
D est l’aire du domaine hachuré en bleu ci‑contre.
À l’aide du quadrillage du graphique
A, estimer en cm
2, la valeur de
D, en donnant sa valeur approchée.
Pour la suite, on subdivise l’intervalle
[0 ;1] en
n intervalles de la forme
[nk;nk+1], où
n et
k sont des entiers tels que
n=0 et
0⩽k⩽n−1 (sur le graphique
B, on a représenté le cas
n=8).
On considère un entier
k tel que
0⩽k⩽n−1. On note
Ak et
Bk les aires respectives de chaque rectangle rouge et vert.
On note :
In=A0+A1+…+An−1 et
Jn=B0+B1+…+Bn−1.
a) Exprimer
Ak et
Bk en fonction de
n,
f(nk) et
f(nk+1).
b) Pour
n∈N∗, on pose
un=n1[f(n1)+f(n2)+…+f(1)].
En déduire que
un⩽D⩽un+n1.
c) La question précédente permet d’obtenir un encadrement de
D.
Déterminer l’amplitude de cet encadrement en fonction de
n.
d) Lorsque
n tend vers
+∞, que peut‑on dire de l’amplitude de cet encadrement ? Que peut‑on en déduire pour
D ?
À l’aide d’un tableur, on va calculer les valeurs de
In et
Jn dans le cas
n=10.
a) Quelle formule a été saisie dans la cellule
B2 ?
b) Dans les cellules
C2 et
C3 ont été saisies respectivement les formules
=B2 et
=C2+B3. La cellule
C3 a ensuite été copiée‑glissée jusqu’en
C11. Quelle formule obtient‑on dans la cellule
C11 ? Que peut‑on mettre comme intitulé dans la cellule
C1 ?
c) Quelles formules ont été saisies dans les cellules
F2 et
F3 ?
d) Modifier la feuille de calcul pour déterminer un encadrement de
D d’amplitude
10−3.