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1. Intégrale d’une fonction continue de signe constant
P.314-315

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COURS 1


1
Intégrale d’une fonction continue de signe constant





On se place dans un repère orthogonal .
L’unité d’aire est définie par 1 u.a. .
On considère deux réels et tels que et une fonction continue et positive sur l’intervalle .
On note la courbe représentative de dans le repère .
On définit le domaine , comme indiqué ci‑contre, délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

L’aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur .

Définition

L’aire du domaine , en u.a., est appelée intégrale de sur l’intervalle .
On note : .

Remarque

se dit « intégrale de à de  ».

Exemple

On définit la fonction sur par .
Le domaine ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on obtient u.a..

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

est dite variable muette, c’est‑à‑dire que :



etc.

Propriété

Si est continue et négative sur , alors l’aire du domaine , en u.a., est :
.

DÉMONSTRATION

Si est continue et négative sur , alors la fonction est continue et positive sur .
On note le domaine délimité par .
On a : .
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, les aires des domaines et sont égales.
Donc .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

Si est continue et positive sur , alors .
Si est continue et négative sur , alors .

Application et méthode - 1

Énoncé

On définit la fonction sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité  cm.

1. Calculer l’aire du domaine délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équation et en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l’intégrale .

Solution

1. est une fonction dérivable, donc continue sur . Elle est positive sur . Ci‑contre, on donne la représentation graphique de .

Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Le domaine est un trapèze donc :



u.a.
u.a. correspond à l’aire d’un carré de côté  cm, soit u.a.  cm2. L’aire du domaine est donc égale à  cm2.

2. On en déduit que .

Pour s'entraîner : exercices 25 et 26 p. 326

Méthode

1. ● Justifier la continuité et la positivité de sur .
  ● Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction pour repérer la forme géométrique du domaine.
  ● Appliquer les formules de géométrie plane.
  ● Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.

2. Faire le lien entre l’aire du domaine en u.a. et l’intégrale cherchée. Si , utiliser .


Théorème

La fonction , définie sur par , est la primitive de qui s’annule en .

Remarque

, puisque le domaine est réduit à un point.

DÉMONSTRATION

Voir activité
B
p. 313
.

Propriété

Soient et deux fonctions telles que est une primitive de sur . On a :
.

NOTATION


DÉMONSTRATION

Considérons et deux primitives de . Il existe donc un réel tel que .
On écrit alors : .
Or : donc .
On en déduit alors : .

Remarque

Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n’est pas constant.

Application et méthode - 2

Énoncé

Calculer et interpréter graphiquement .

Solution

La fonction est continue et positive sur . Une primitive de sur est la fonction .
Donc .
L’aire du domaine délimité par la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation respective et , est égale à u.a.

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 326

Méthode

  • Justifier la continuité et le signe constant de sur .
  • Déterminer une primitive de , puis calculer l’intégrale.
  • Interpréter le résultat comme l’aire d’un domaine (attention au signe de ).

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