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1. Intégrale d’une fonction continue de signe constant
P.314-315
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COURS 1


1
Intégrale d’une fonction continue de signe constant





On se place dans un repère orthogonal (O ,I ,J)\mathrm{(O\:, I\:, J)}.
L’unité d’aire est définie par 1 u.a. =OI×OJ=\mathrm{OI} \times \mathrm{OJ}.
On considère deux réels aa et bb tels que a<ba \lt b et une fonction ff continue et positive sur l’intervalle [a ;b][a~; b].
On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans le repère (O ,I ,J)\mathrm{(O\:, I\:, J)}.
On définit le domaine D\mathcal{D}, comme indiqué ci‑contre, délimité par Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

L’aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur [a ;b][a~; b].

Définition
L’aire du domaine D\mathcal{D}, en u.a., est appelée intégrale de ff sur l’intervalle [a ;b][a~; b].
On note : ∫abf(x)dx=aire⁡(D)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}(\mathcal{D}).

Remarque

∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x se dit « intégrale de aa à bb de f(x)dxf(x) \mathrm{d}x ».

Exemple
On définit la fonction ff sur R\R par f(x)=2−xf(x)=2-x.
Le domaine D\mathcal{D} ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on obtient ∫−32f(x)dx=5×52=252=12,5\displaystyle\int_{-3}^{2} f(x) d x=\dfrac{5 \times 5}{2}=\dfrac{25}{2}=12{,}5 u.a..

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

xx est dite variable muette, c’est‑à‑dire que :
∫abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
=∫abf(t)dt=\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
=∫abf(u)du=\displaystyle\int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d} u
=∫abf(r)dr=\displaystyle\int_{a}^{b} f(r) \mathrm{d} r etc.

Propriété
Si ff est continue et négative sur [a ;b][a~; b], alors l’aire du domaine D\mathcal{D}, en u.a., est :
aire⁡(D)=∫ab−f(x)dx\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.

DÉMONSTRATION

Si ff est continue et négative sur [a ;b][a~; b], alors la fonction −f-f est continue et positive sur [a ;b][a~; b].
On note D′\mathcal{D}' le domaine délimité par C−f′\mathcal{C}_{-f^{\prime}}.
On a : aire⁡(D′)=∫ab−f(x)dx\operatorname{aire}\left(\mathcal{D}^{\prime}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, les aires des domaines D\mathcal{D} et D′\mathcal{D}' sont égales.
Donc aire⁡(D)=∫ab−f(x)dx\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

Si ff est continue et positive sur [a ;b][a~; b], alors ∫abf(x)dx⩾0\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.
Si ff est continue et négative sur [a ;b][a~; b], alors ∫abf(x)dx⩽0\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant 0.

Application et méthode - 1

Énoncé

On définit la fonction ff sur R\R par f(x)=5−2xf(x)=5-2x.
On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité 22 cm.

1. Calculer l’aire du domaine D\mathcal{D} délimité par Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−6x=-6 et x=1x=1 en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l’intégrale ∫−61f(x)dx\displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x.

Solution

1. ff est une fonction dérivable, donc continue sur [−6 ;1][-6~; 1]. Elle est positive sur [−6 ;1][-6~; 1]. Ci‑contre, on donne la représentation graphique de ff.

Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Le domaine D\mathcal{D} est un trapèze donc :
aire⁡(D)\operatorname{aire}(\mathcal{D})=(B+b)×h2=\dfrac{(\mathrm{B}+b) \times h}{2}
=(f(−6)+f(1))×(1−(−6))2=\dfrac{(f(-6)+f(1)) \times(1-(-6))}{2}
=(17+3)×72=\dfrac{(17+3) \times 7}{2}
=70= 70 u.a.
11 u.a. correspond à l’aire d’un carré de côté 22 cm, soit 11 u.a. =4=4 cm2. L’aire du domaine D\mathcal{D} est donc égale à 70×4=28070 \times 4 = 280 cm2.

2. On en déduit que ∫−61f(x)dx=70\displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x=70.

Pour s'entraîner : exercices 25 et 26 p. 326

Méthode

1. ● Justifier la continuité et la positivité de ff sur [a ;b][a~; b].
  ● Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction ff pour repérer la forme géométrique du domaine.
  ● Appliquer les formules de géométrie plane.
  ● Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.

2. Faire le lien entre l’aire du domaine en u.a. et l’intégrale cherchée. Si f⩽0f \leqslant 0, utiliser ∫ab−f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.


Théorème
La fonction Fa\mathrm{F}_a, définie sur [a ;b][a~; b] par Fa(x)=∫axf(t)dt\mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, est la primitive de ff qui s’annule en aa.

Remarque

Fa(a)=∫aaf(t)dt=0\mathrm{F}_{a}(a)=\displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0, puisque le domaine est réduit à un point.

DÉMONSTRATION

Voir activité
B
p. 313.

Propriété
Soient F\text{F} et ff deux fonctions telles que F\text{F} est une primitive de ff sur [a ;b][a~; b]. On a :
∫abf(t)dt=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).

NOTATION
∫abf(t)dt=[F(t)]ab=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=[\mathrm{F}(t)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)

DÉMONSTRATION

Considérons Fa\mathrm{F}_a et F\mathrm{F} deux primitives de ff. Il existe donc un réel kk tel que Fa=F+k\mathrm{F}_{a}=\mathrm{F}+\mathrm{k}.
On écrit alors : ∫abf(t)dt=Fa(b)=F(b)+k\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}_{a}(b)=\mathrm{F}(b)+k.
Or : ∫aaf(t)dt=0⇔Fa(a)=0⇔F(a)+k=0⇔k=−F(a)\displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}_{a}(a)=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}(a)+k=0 \Leftrightarrow k=-\mathrm{F}(a) donc F(b)+k=F(b)−F(a)\mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On en déduit alors : ∫abf(t)dt=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).

Remarque

Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n’est pas constant.

Application et méthode - 2

Énoncé

Calculer et interpréter graphiquement ∫3121x2dx\int_{3}^{12} \dfrac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x.

Solution

La fonction x↦1x2x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}} est continue et positive sur [3 ;12][3~; 12]. Une primitive de ff sur [3 ;12][3~; 12] est la fonction x↦−1xx \mapsto-\dfrac{1}{x}.
Donc ∫3121x2dx=[−1x]312=−112+13=14\displaystyle\int_{3}^{12} \dfrac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{3}^{12}=-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}.
L’aire du domaine délimité par la courbe représentative de ff, l’axe des abscisses et les droites d’équation respective x=3x=3 et x=12x=12, est égale à 14\dfrac{1}{4} u.a.

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 326

Méthode

  • Justifier la continuité et le signe constant de ff sur [a ;b][a~; b].
  • Déterminer une primitive de ff, puis calculer l’intégrale.
  • Interpréter le résultat comme l’aire d’un domaine (attention au signe de ff).

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