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Intégrale d’une fonction continue de signe constant

1. $f$ est une fonction dérivable, donc continue sur $[-6;1]$. Elle est positive sur $[-6;1]$. Ci‑contre, on donne la représentation graphique de $f$.

Le domaine $\mathcal{D}$ est un trapèze donc :
$\mathrm{aire}(\mathcal{D})$$=\frac{(\mathrm{B}+b)\times h}{2}$
$=\frac{(f(-6)+f(1))\times (1-(-6))}{2}$
$=\frac{(17+3)\times 7}{2}$
$=70$ u.a.
$1$ u.a. correspond à l’aire d’un carré de côté $2$ cm, soit $1$ u.a. $=4$ cm². L’aire du domaine $\mathcal{D}$ est donc égale à $70\times 4=280$ cm².

2. On en déduit que ${\int }_{-6}^{1}f(x)\mathrm{d}x=70$.

Pour s'entraîner : exercices 25 et 26 p. 326

1. ● Justifier la continuité et la positivité de $f$ sur $[a;b]$.
  ● Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction $f$ pour repérer la forme géométrique du domaine.
  ● Appliquer les formules de géométrie plane.
  ● Convertir 1 u.a. en cm², si nécessaire.

2. Faire le lien entre l’aire du domaine en u.a. et l’intégrale cherchée. Si $f⩽0$, utiliser ${\int }_a^b-f(x)\mathrm{d}x$.

La fonction $x\mapsto \frac{1}{x^2}$ est continue et positive sur $[3;12]$. Une primitive de $f$ sur $[3;12]$ est la fonction $x\mapsto -\frac{1}{x}$.
Donc ${\int }_3^{12}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x={\left[-\frac{1}{x}\right]}_3^{12}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$.
L’aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation respective $x=3$ et $x=12$, est égale à $\frac{1}{4}$ u.a.

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 326

• Justifier la continuité et le signe constant de $f$ sur $[a;b]$.
• Déterminer une primitive de $f$, puis calculer l’intégrale.
• Interpréter le résultat comme l’aire d’un domaine (attention au signe de $f$).