Intégrale d'une fonction continue de signe constant

L'aire du domaine $\mathcal{D}$, en u.a., est appelée intégrale de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$.
On note : ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\mathrm{aire}(\mathcal{D})$.

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ se dit « intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\mathrm{d}x$ ».

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5-2x$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité $2$ cm.

1. Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par ${\mathcal{C}}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-6$ et $x=1$ en u.a., puis en cm².
2. En déduire la valeur de l'intégrale ${\int }_{-6}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

1. • Justifier la continuité et la positivité de $f$ sur $[a;b]$.
• Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction $f$ pour repérer la forme géométrique du domaine.
• Appliquer les formules de géométrie plane.
• Convertir 1 u.a. en cm², si nécessaire.

2. Faire le lien entre l'aire du domaine en u.a. et l'intégrale cherchée. Si $f⩽0$, utiliser ${\int }_a^b-f(x)\mathrm{d}x$.

La fonction ${\mathrm{F}}_a$, définie sur $[a;b]$ par ${\mathrm{F}}_a(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$, est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.

Soient $\text{F}$ et $f$ deux fonctions telles que $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$. On a : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.

${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=[\mathrm{F}(t){]}_a^b=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$

Considérons ${\mathrm{F}}_a$ et $\mathrm{F}$ deux primitives de $f$. Il existe donc un réel $k$ tel que ${\mathrm{F}}_a=\mathrm{F}+\mathrm{k}$.
On écrit alors : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\mathrm{F}}_a(b)=\mathrm{F}(b)+k$.
Or : ${\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=0\iff {\mathrm{F}}_a(a)=0\iff \mathrm{F}(a)+k=0\iff k=-\mathrm{F}(a)$ donc $\mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.
On en déduit alors : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.

Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n'est pas constant.

Calculer et interpréter graphiquement ${\int }_3^{12}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$.

• Justifier la continuité et le signe constant de $f$ sur $[a;b]$.
• Déterminer une primitive de $f$, puis calculer l'intégrale.
• Interpréter le résultat comme l'aire d'un domaine (attention au signe de $f$).