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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 11
Cours 1
Intégrale d'une fonction continue de signe constant
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On se place dans un repère orthogonal \mathrm{(O\:, I\:, J)}.
L'unité d'aire est définie par 1 u.a. =\mathrm{OI} \times \mathrm{OJ}.
On considère deux réels a et b tels que a \lt b et une fonction f continue et positive sur l'intervalle [a~; b].
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans le repère \mathrm{(O\:, I\:, J)}.
On définit le domaine \mathcal{D}, comme indiqué ci‑contre, délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
L'unité d'aire est définie par 1 u.a. =\mathrm{OI} \times \mathrm{OJ}.
On considère deux réels a et b tels que a \lt b et une fonction f continue et positive sur l'intervalle [a~; b].
On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans le repère \mathrm{(O\:, I\:, J)}.
On définit le domaine \mathcal{D}, comme indiqué ci‑contre, délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
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L'aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur [a~; b].
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Définition
L'aire du domaine \mathcal{D}, en u.a., est appelée intégrale de f sur l'intervalle [a~; b].
On note : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}(\mathcal{D}).
On note : \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\operatorname{aire}(\mathcal{D}).
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\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x se dit « intégrale de a à b de f(x) \mathrm{d}x ».
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Exemple
Le domaine \mathcal{D} ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l'aire d'un triangle, on obtient \displaystyle\int_{-3}^{2} f(x) d x=\frac{5 \times 5}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5 u.a..
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x est dite variable muette, c'est‑à‑dire que :
\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d} u
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(r) \mathrm{d} r etc.
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(u) \mathrm{d} u
=\displaystyle\int_{a}^{b} f(r) \mathrm{d} r etc.
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Propriété
Si f est continue et négative sur [a~; b], alors l'aire du domaine \mathcal{D}, en u.a., est :
\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
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Démonstration
On note \mathcal{D}' le domaine délimité par \mathcal{C}_{-f^{\prime}}.
On a : \operatorname{aire}\left(\mathcal{D}^{\prime}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, les aires des domaines \mathcal{D} et \mathcal{D}' sont égales.
Donc \operatorname{aire}(\mathcal{D})=\displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
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Si f est continue et positive sur [a~; b], alors \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant 0.
Si f est continue et négative sur [a~; b], alors \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant 0.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
On définit la fonction f sur \R par f(x)=5-2x.
On note \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.
1. Calculer l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-6 et x=1 en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l'intégrale \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x.
1. Calculer l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par \mathcal{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-6 et x=1 en u.a., puis en cm2.
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1.
• Justifier la continuité et la positivité de f sur [a~; b].
• Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction f pour repérer la forme géométrique du domaine.
• Appliquer les formules de géométrie plane.
• Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.
2. Faire le lien entre l'aire du domaine en u.a. et l'intégrale cherchée. Si f \leqslant 0, utiliser \displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
• Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction f pour repérer la forme géométrique du domaine.
• Appliquer les formules de géométrie plane.
• Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.
2. Faire le lien entre l'aire du domaine en u.a. et l'intégrale cherchée. Si f \leqslant 0, utiliser \displaystyle\int_{a}^{b}-f(x) \mathrm{d} x.
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Solution
1. f est une fonction dérivable, donc continue sur [-6~; 1]. Elle est positive sur [-6~; 1]. Ci‑après, on donne la représentation graphique de f.
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Le domaine \mathcal{D} est un trapèze donc :
\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\frac{(\mathrm{B}+b) \times h}{2}
=\frac{(f(-6)+f(1)) \times(1-(-6))}{2}
=\frac{(17+3) \times 7}{2}
= 70 u.a.
1 u.a. correspond à l'aire d'un carré de côté 2 cm, soit 1 u.a. =4 cm2. L'aire du domaine \mathcal{D} est donc égale à 70 \times 4 = 280 cm2.
2. On en déduit que \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x=70.
\operatorname{aire}(\mathcal{D})=\frac{(\mathrm{B}+b) \times h}{2}
=\frac{(f(-6)+f(1)) \times(1-(-6))}{2}
=\frac{(17+3) \times 7}{2}
= 70 u.a.
1 u.a. correspond à l'aire d'un carré de côté 2 cm, soit 1 u.a. =4 cm2. L'aire du domaine \mathcal{D} est donc égale à 70 \times 4 = 280 cm2.
2. On en déduit que \displaystyle\int_{-6}^{1} f(x) \mathrm{d} x=70.
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Théorème
La fonction \mathrm{F}_a, définie sur [a~; b] par \mathrm{F}_{a}(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t, est la primitive de f qui s'annule en a.
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\mathrm{F}_{a}(a)=\displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0, puisque le domaine est réduit à un point.
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Démonstration
Voir activité .
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Propriété
Soient \text{F} et f deux fonctions telles que \text{F} est une primitive de f sur [a~; b]. On a :
\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
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\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=[\mathrm{F}(t)]_{a}^{b}=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)
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Démonstration
Considérons \mathrm{F}_a et \mathrm{F} deux primitives de f. Il existe donc un réel k tel que \mathrm{F}_{a}=\mathrm{F}+\mathrm{k}.
On écrit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}_{a}(b)=\mathrm{F}(b)+k.
Or : \displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}_{a}(a)=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}(a)+k=0 \Leftrightarrow k=-\mathrm{F}(a) donc \mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On en déduit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On écrit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}_{a}(b)=\mathrm{F}(b)+k.
Or : \displaystyle\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}_{a}(a)=0 \Leftrightarrow \mathrm{F}(a)+k=0 \Leftrightarrow k=-\mathrm{F}(a) donc \mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
On en déduit alors : \displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a).
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Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n'est pas constant.
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Application et méthode - 2
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Énoncé
Calculer et interpréter graphiquement \int_{3}^{12} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x.
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- Justifier la continuité et le signe constant de f sur [a~; b].
- Déterminer une primitive de f, puis calculer l'intégrale.
- Interpréter le résultat comme l'aire d'un domaine (attention au signe de f).
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Solution
La fonction x \mapsto \frac{1}{x^{2}} est continue et positive sur [3~; 12]. Une primitive de f sur [3~; 12] est la fonction x \mapsto-\frac{1}{x}.
Donc \displaystyle\int_{3}^{12} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{x}\right]_{3}^{12}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}.
L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation respective x=3 et x=12, est égale à \frac{1}{4} u.a.
Donc \displaystyle\int_{3}^{12} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{x}\right]_{3}^{12}=-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}.
L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation respective x=3 et x=12, est égale à \frac{1}{4} u.a.
Pour s'entraîner
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