1

Intégrale d’une fonction continue de signe constant

On se place dans un repère orthogonal $(\mathrm{O},\mathrm{I},\mathrm{J})$.
L’unité d’aire est définie par 1 u.a. $=\mathrm{O}\mathrm{I}\times \mathrm{O}\mathrm{J}$.
On considère deux réels $a$ et $b$ tels que $a<b$ et une fonction $f$ continue et positive sur l’intervalle $[a;b]$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le repère $(\mathrm{O},\mathrm{I},\mathrm{J})$.
On définit le domaine $\mathcal{D}$, comme indiqué ci‑contre, délimité par ${\mathcal{C}}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$.

L’aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur $[a;b]$.

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ se dit « intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\mathrm{d}x$ ».

Exemple

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2-x$.
Le domaine $\mathcal{D}$ ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on obtient ${\int }_{-3}^{2}f(x)dx=\frac{5\times 5}{2}=\frac{25}{2}=12,5$ u.a..

$x$ est dite variable muette, c’est‑à‑dire que :
${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$
$={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$
$={\int }_a^{b}f(u)\mathrm{d}u$
$={\int }_a^{b}f(r)\mathrm{d}r$ etc.

DÉMONSTRATION

Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, alors la fonction $-f$ est continue et positive sur $[a;b]$.
On note ${\mathcal{D}}^{\prime }$ le domaine délimité par ${\mathcal{C}}_{-f^{\prime }}$.
On a : $\mathrm{aire}\left({\mathcal{D}}^{\prime }\right)={\int }_a^b-f(x)\mathrm{d}x$.
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, les aires des domaines $\mathcal{D}$ et ${\mathcal{D}}^{\prime }$ sont égales.
Donc $\mathrm{aire}(\mathcal{D})={\int }_a^b-f(x)\mathrm{d}x$.

Si $f$ est continue et positive sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾0$.
Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽0$.

On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5-2x$.
On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité $2$ cm.

1. Calculer l’aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par ${\mathcal{C}}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-6$ et $x=1$ en u.a., puis en cm².
2. En déduire la valeur de l’intégrale ${\int }_{-6}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.

${\mathrm{F}}_a(a)={\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=0$, puisque le domaine est réduit à un point.

DÉMONSTRATION

Voir activité

B

p. 313.

DÉMONSTRATION

Considérons ${\mathrm{F}}_a$ et $\mathrm{F}$ deux primitives de $f$. Il existe donc un réel $k$ tel que ${\mathrm{F}}_a=\mathrm{F}+\mathrm{k}$.
On écrit alors : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\mathrm{F}}_a(b)=\mathrm{F}(b)+k$.
Or : ${\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=0\iff {\mathrm{F}}_a(a)=0\iff \mathrm{F}(a)+k=0\iff k=-\mathrm{F}(a)$ donc $\mathrm{F}(b)+k=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.
On en déduit alors : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$.

Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n’est pas constant.

Calculer et interpréter graphiquement ${\int }_3^{12}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$.