Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Intégrale d’une fonction continue de signe constant
P.314-315

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS 1


1
Intégrale d’une fonction continue de signe constant





On se place dans un repère orthogonal .
L’unité d’aire est définie par 1 u.a. .
On considère deux réels et tels que et une fonction continue et positive sur l’intervalle .
On note la courbe représentative de dans le repère .
On définit le domaine , comme indiqué ci‑contre, délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

L’aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur .

Définition

L’aire du domaine , en u.a., est appelée intégrale de sur l’intervalle .
On note : .

Remarque

se dit « intégrale de à de  ».

Exemple

On définit la fonction sur par .
Le domaine ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on obtient u.a..

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

est dite variable muette, c’est‑à‑dire que :



etc.

Propriété

Si est continue et négative sur , alors l’aire du domaine , en u.a., est :
.

DÉMONSTRATION

Si est continue et négative sur , alors la fonction est continue et positive sur .
On note le domaine délimité par .
On a : .
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, les aires des domaines et sont égales.
Donc .

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - Cours - Intégrale d’une fonction continue de signe constant

Remarque

Si est continue et positive sur , alors .
Si est continue et négative sur , alors .

Application et méthode - 1

Énoncé

On définit la fonction sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité  cm.

1. Calculer l’aire du domaine délimité par , l’axe des abscisses et les droites d’équation et en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l’intégrale .

Théorème

La fonction , définie sur par , est la primitive de qui s’annule en .

Remarque

, puisque le domaine est réduit à un point.

DÉMONSTRATION

Voir activité
B
p. 313
.

Propriété

Soient et deux fonctions telles que est une primitive de sur . On a :
.

NOTATION


DÉMONSTRATION

Considérons et deux primitives de . Il existe donc un réel tel que .
On écrit alors : .
Or : donc .
On en déduit alors : .

Remarque

Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n’est pas constant.

Application et méthode - 2

Énoncé

Calculer et interpréter graphiquement .