1. Intégrale d’une fonction continue de signe constant
P.314-315
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COURS 1
1
Intégrale d’une fonction continue de signe constant
On se place dans un repère orthogonal (O,I,J).
L’unité d’aire est définie par 1 u.a. =OI×OJ.
On considère deux réels a et b tels que a<b et une fonction f continue et positive sur l’intervalle [a;b].
On note Cf la courbe représentative de f dans le repère (O,I,J).
On définit le domaine D, comme indiqué ci‑contre, délimité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
Remarque
L’aire du domaine existe, puisque la fonction est positive et continue sur [a;b].
Définition
L’aire du domaine D, en u.a., est appelée intégrale de f sur l’intervalle [a;b].
On note : ∫abf(x)dx=aire(D).
Remarque
∫abf(x)dx se dit « intégrale de a à b de f(x)dx ».
Exemple
On définit la fonction f sur R par f(x)=2−x.
Le domaine D ci‑contre est un triangle rectangle.
En appliquant la formule de l’aire d’un triangle, on obtient ∫−32f(x)dx=25×5=225=12,5 u.a..
Remarque
x est dite variable muette, c’est‑à‑dire que : ∫abf(x)dx =∫abf(t)dt =∫abf(u)du =∫abf(r)dr etc.
Propriété
Si f est continue et négative sur [a;b], alors l’aire du domaine D, en u.a., est :
aire(D)=∫ab−f(x)dx.
DÉMONSTRATION
Si f est continue et négative sur [a;b], alors la fonction −f est continue et positive sur [a;b].
On note D′ le domaine délimité par C−f′.
On a : aire(D′)=∫ab−f(x)dx.
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, les aires des domaines D et D′ sont égales.
Donc aire(D)=∫ab−f(x)dx.
Remarque
Si f est continue et positive sur [a;b], alors ∫abf(x)dx⩾0.
Si f est continue et négative sur [a;b], alors ∫abf(x)dx⩽0.
Application et méthode - 1
Énoncé
On définit la fonction f sur R par f(x)=5−2x.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.
1. Calculer l’aire du domaine D délimité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−6 et x=1 en u.a., puis en cm2.
2. En déduire la valeur de l’intégrale ∫−61f(x)dx.
Solution
1.f est une fonction dérivable, donc continue sur [−6;1]. Elle est positive sur [−6;1]. Ci‑contre, on donne la représentation graphique de f.
Le domaine D est un trapèze donc : aire(D)=2(B+b)×h =2(f(−6)+f(1))×(1−(−6)) =2(17+3)×7 =70 u.a. 1 u.a. correspond à l’aire d’un carré de côté 2 cm, soit 1 u.a. =4 cm2. L’aire du domaine D est donc égale à 70×4=280 cm2.
1. ● Justifier la continuité et la positivité de f sur [a;b].
● Tracer éventuellement la représentation graphique de la fonction f pour repérer la forme géométrique du domaine.
● Appliquer les formules de géométrie plane.
● Convertir 1 u.a. en cm2, si nécessaire.
2. Faire le lien entre l’aire du domaine en u.a. et l’intégrale cherchée. Si f⩽0, utiliser ∫ab−f(x)dx.
Théorème
La fonction Fa, définie sur [a;b] par Fa(x)=∫axf(t)dt, est la primitive de f qui s’annule en a.
Remarque
Fa(a)=∫aaf(t)dt=0, puisque le domaine est réduit à un point.
Soient F et f deux fonctions telles que F est une primitive de f sur [a;b]. On a :
∫abf(t)dt=F(b)−F(a).
NOTATION
∫abf(t)dt=[F(t)]ab=F(b)−F(a)
DÉMONSTRATION
Considérons Fa et F deux primitives de f. Il existe donc un réel k tel que Fa=F+k.
On écrit alors : ∫abf(t)dt=Fa(b)=F(b)+k.
Or : ∫aaf(t)dt=0⇔Fa(a)=0⇔F(a)+k=0⇔k=−F(a) donc F(b)+k=F(b)−F(a).
On en déduit alors : ∫abf(t)dt=F(b)−F(a).
Remarque
Cette propriété reste valable pour une fonction continue dont le signe n’est pas constant.
Application et méthode - 2
Énoncé
Calculer et interpréter graphiquement ∫312x21dx.
Solution
La fonction x↦x21 est continue et positive sur [3;12]. Une primitive de f sur [3;12] est la fonction x↦−x1.
Donc ∫312x21dx=[−x1]312=−121+31=41.
L’aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation respective x=3 et x=12, est égale à 41 u.a.
Justifier la continuité et le signe constant de f sur [a;b].
Déterminer une primitive de f, puis calculer l’intégrale.
Interpréter le résultat comme l’aire d’un domaine (attention au signe de f).
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