Calcul approché d'une intégrale par la méthode des milieux

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. $\mathcal{D}$ est l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $1⩽n⩽100$ et $0⩽k⩽n-1$ (sur le graphique $n=10$). On construit alors $n$ rectangles de largueur $\frac{1}{n}$ et de hauteur $\frac{1}{n}f\left(\frac{\frac{k}{n}+\frac{k+1}{n}}{2}\right)$.
On note ${\mathcal{C}}_k$ l'aire de chaque rectangle bleu et $\mathrm{A}={\mathrm{C}}_0+{\mathrm{C}}_1+\dots +{\mathrm{C}}_{n-1}$.

1. Reproduire la feuille de calcul suivante.

2. a. Quelle formule permet d'obtenir la valeur en B4 ? La valeur en C4 ?

b. Jusqu'à quelle ligne doit‑on étirer la formule en B4 pour obtenir toutes les valeurs de ${\mathrm{C}}_k$ pour $n=10$ ?

3. a. Pourquoi, en C5, doit‑on saisir =C4+B5 ?

b. En déduire une valeur approchée de $\mathcal{D}$, puis de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ près.

4. Avec $n=100$, déterminer une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-5}$ près.

On considère l'algorithme suivant.

$\boxed{\begin{array}{l}\text{ Fonction Aire}(n):\\ \text{A}\leftarrow \frac{1}{n}\times \frac{1}{\sqrt{4n^2+1}}\\ \text{ Pour }k\text{ allant de ... aˋ ... }:\\ \text{A}\leftarrow \\ \text{ Fin Pour }\\ \text{ Retourner A }\\ \text{Fin Fonction}\end{array}}$

1. Expliquer la 2^e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin qu'il retourne la valeur de $\mathrm{A}$ pour une valeur de $n$ donnée.

2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de $\mathcal{D}$ avec $n=10$ puis $n=100$. En déduire une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à $10^{-3}$ et à $10^{-5}$ près.