Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

TP1. Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux
P.324

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

TP INFO


1
Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux





Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - TP1 Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux

Énoncé

Soit ff la fonction définie sur [0 ;1][0~; 1] par f(x)=x1+x2f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
On note C\mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthogonal. D\mathcal{D} est l’aire du domaine délimité par C\mathcal{C}, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0x=0 et x=1x=1.
On subdivise l’intervalle [0 ;1][0~;1] en nn intervalles de la forme [kn ;k+1n]\left[\dfrac{k}{n}~; \dfrac{k+1}{n}\right], où nn et kk sont des entiers tels que 1n1001 \leqslant n \leqslant 100 et 0kn10 \leqslant k \leqslant n-1 (sur le graphique n=10n=10). On construit alors nn rectangles de largueur 1n\dfrac{1}{n} et de hauteur 1nf(kn+k+1n2)\dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{\dfrac{k}{n}+\dfrac{k+1}{n}}{2}\right).
On note Ck\mathcal{C}_k l’aire de chaque rectangle bleu et A=C0+C1++Cn1\mathrm{A}=\mathrm{C}_{0}+\mathrm{C}_{1}+\ldots+\mathrm{C}_{n-1}.

Questions préliminaires :

1. Calculer 01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x. Interpréter le résultat obtenu.


2. D’après les informations du graphique, démontrer que, pour tout k{0;;n1}k \in\{0 ; \ldots ; n-1\} : Ck=1n×2k+14n2+(2k+1)2\mathrm{C}_{k}=\dfrac{1}{n} \times \dfrac{2 k+1}{\sqrt{4 n^{2}+(2 k+1)^{2}}}.


3. Exprimer alors C0\mathrm{C}_0 en fonction de nn puis calculer C0\mathrm{C}_0 lorsque n=10n=10.
Voir les réponses

Objectif

Déterminer une valeur approchée de 2\boldsymbol{\sqrt{2}} par la méthode des milieux en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. Reproduire la feuille de calcul suivante.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - TP1 Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux - tableur

2. a. Quelle formule permet d’obtenir la valeur en B4 ? La valeur en C4 ?


b. Jusqu’à quelle ligne doit‑on étirer la formule en B4 pour obtenir toutes les valeurs de Ck\mathrm{C}_k pour n=10n=10 ?


3. a. Pourquoi, en C5, doit‑on saisir =C4+B5 ?


b. En déduire une valeur approchée de D\mathcal{D}, puis de 2\sqrt{2} à 10310^{-3} près.


4. Avec n=100n=100, déterminer une valeur approchée de 2\sqrt{2} à 10510^{-5} près.
Voir les réponses
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère l’algorithme suivant.
 Fonction Aire(n):A1n×14n2+1 Pour k allant de ... aˋ ... :A Fin Pour  Retourner A Fin Fonction \boxed{ \begin{array} { l } { \text { Fonction Aire}(n):} \\ \quad \text A\leftarrow\dfrac{1}{n} \times \dfrac{1}{\sqrt{4 n^{2}+1}} \\ \quad \quad \text { Pour } k \text { allant de ... à ... } : \\ \quad \quad \quad \text A\leftarrow \\ \quad \quad \text { Fin Pour } \\ \quad \text { Retourner A } \\ \text {Fin Fonction} \end{array} }

1. Expliquer la 2e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin qu’il retourne la valeur de A\mathrm{A} pour une valeur de nn donnée.


2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de D\mathcal{D} avec n=10n=10 puis n=100n=100. En déduire une valeur approchée de 2\sqrt{2} à 10310^{-3} et à 10510^{-5} près.


Voir les réponses

Pour aller plus loin


Selon la méthode choisie, quelle fonction peut‑on prendre pour déterminer une valeur approchée de 5\sqrt{5} et que doit‑on modifier ?
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.