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Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. $\mathcal{D}$ est l’aire du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l’intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $1⩽n⩽100$ et $0⩽k⩽n-1$ (sur le graphique $n=10$). On construit alors $n$ rectangles de largueur $\frac{1}{n}$ et de hauteur $\frac{1}{n}f\left(\frac{\frac{k}{n}+\frac{k+1}{n}}{2}\right)$.
On note ${\mathcal{C}}_k$ l’aire de chaque rectangle bleu et $\mathrm{A}={\mathrm{C}}_0+{\mathrm{C}}_1+\dots +{\mathrm{C}}_{n-1}$.

Questions préliminaires :

1. Calculer ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$. Interpréter le résultat obtenu.


2. D’après les informations du graphique, démontrer que, pour tout $k\in \{0;\dots ;n-1\}$ : ${\mathrm{C}}_k=\frac{1}{n}\times \frac{2k+1}{\sqrt{4n^2+(2k+1{)}^2}}$.


3. Exprimer alors ${\mathrm{C}}_0$ en fonction de $n$ puis calculer ${\mathrm{C}}_0$ lorsque $n=10$.