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Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~; 1]$ par $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$.
On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. $\mathcal{D}$ est l’aire du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
On subdivise l’intervalle $[0~;1]$ en $n$ intervalles de la forme $\left[\dfrac{k}{n}~; \dfrac{k+1}{n}\right]$, où $n$ et $k$ sont des entiers tels que $1 \leqslant n \leqslant 100$ et $0 \leqslant k \leqslant n-1$ (sur le graphique $n=10$). On construit alors $n$ rectangles de largueur $\dfrac{1}{n}$ et de hauteur $\dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{\dfrac{k}{n}+\dfrac{k+1}{n}}{2}\right)$.
On note $\mathcal{C}_k$ l’aire de chaque rectangle bleu et $\mathrm{A}=\mathrm{C}_{0}+\mathrm{C}_{1}+\ldots+\mathrm{C}_{n-1}$.

Questions préliminaires :

1. Calculer $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$. Interpréter le résultat obtenu.


2. D’après les informations du graphique, démontrer que, pour tout $k \in\{0 ; \ldots ; n-1\}$ : $\mathrm{C}_{k}=\dfrac{1}{n} \times \dfrac{2 k+1}{\sqrt{4 n^{2}+(2 k+1)^{2}}}$.


3. Exprimer alors $\mathrm{C}_0$ en fonction de $n$ puis calculer $\mathrm{C}_0$ lorsque $n=10$.