TP1. Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux
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TP INFO
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Calcul approché d’une intégrale par la méthode des milieux
Énoncé
Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x)=1+x2x.
On note C sa représentation graphique dans un repère orthogonal. D est l’aire du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0 et x=1.
On subdivise l’intervalle [0;1] en n intervalles de la forme [nk;nk+1], où n et k sont des entiers tels que 1⩽n⩽100 et 0⩽k⩽n−1 (sur le graphique n=10). On construit alors n rectangles de largueur n1 et de hauteur n1f⎝⎜⎜⎛2nk+nk+1⎠⎟⎟⎞.
On note Ck l’aire de chaque rectangle bleu et A=C0+C1+…+Cn−1.
Questions préliminaires :
1. Calculer ∫01f(x)dx. Interpréter le résultat obtenu.
2. D’après les informations du graphique, démontrer que, pour tout k∈{0;…;n−1} : Ck=n1×4n2+(2k+1)22k+1.
3. Exprimer alors C0 en fonction de n puis calculer C0 lorsque n=10.
Objectif
Déterminer une valeur approchée de 2 par la méthode des milieux en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
1. Reproduire la feuille de calcul suivante.
2.a. Quelle formule permet d’obtenir la valeur en B4 ? La valeur en C4 ?
b. Jusqu’à quelle ligne doit‑on étirer la formule en B4 pour obtenir toutes les valeurs de Ck pour n=10 ?
3.a. Pourquoi, en C5, doit‑on saisir =C4+B5 ?
b. En déduire une valeur approchée de D, puis de 2 à 10−3 près.
4. Avec n=100, déterminer une valeur approchée de 2 à 10−5 près.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On considère l’algorithme suivant.
Fonction Aire(n):A←n1×4n2+11 Pour k allant de ... aˋ ... :A← Fin Pour Retourner A Fin Fonction
1. Expliquer la 2e ligne de cet algorithme, puis le compléter afin qu’il retourne la valeur de A pour une valeur de n donnée.
2. Programmer et tester cet algorithme avec Python pour obtenir une valeur approchée de D avec n=10 puis n=100. En déduire une valeur approchée de 2 à 10−3 et à 10−5 près.
Pour aller plus loin
Selon la méthode choisie, quelle fonction peut‑on prendre pour déterminer une valeur approchée de 5 et que doit‑on modifier ?
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