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Travailler les automatismes
P.326-327

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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18

Soit ff une fonction définie sur R\R et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 18

Calculer 010f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \mathrm{d} x.
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19

Déterminer les intégrales suivantes.

1. I=312x2dx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-3}^{-1} \dfrac{2}{x^{2}} \mathrm{d} x


2. J=1010xdx\mathrm{J}=\displaystyle\int_{-10}^{10}|x| \mathrm{d} x
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20

À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l’intervalle [1 ;6][-1~; 6].
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21

Voici la représentation graphique d’une fonction ff définie sur R\R.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 21

À l’aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes.

1.23f(x)dx\displaystyle\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x


2.11f(x)dx\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x


3.20f(x)dx\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x
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22

Soit ff une fonction définie et continue sur R\R dont voici le tableau de signes sur [2 ;4][-2~; 4].

Travailler les automatismes

1. Étudier le signe de I=2xf(t)dt\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-2}^{x} f(t) \mathrm{d} t lorsque x[2 ;1]x \in[-2~; 1].


2. Peut‑on déterminer le signe de I\mathrm{I} lorsque x[1 ;4]x \in[1~; 4] ?
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23

Déterminer un encadrement de 19xdx\displaystyle\int_{1}^{9} \sqrt{x} \mathrm{d} x.
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24

Indiquer des fonctions uu et vv à utiliser pour calculer l’intégrale 012xe5xdx\displaystyle\int_{0}^{1} 2 x \mathrm{e}^{5 x} \mathrm{d} x à l’aide d’une intégration par parties.
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Intégrales et calculs d’aires


25

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction ff.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 25

À l’aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes.

1. 28f(x)dx\displaystyle\int_{2}^{8} f(x) \mathrm{d} x


2. 48f(x)dx\displaystyle\int_{4}^{8} f(x) \mathrm{d} x


3. 02f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x
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26

Soit ff une fonction définie sur un intervalle I\text{I}.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d’intégrale, l’aire du domaine D\mathcal{D} compris entre la courbe représentative de ff, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

1. f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}, I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}, a=12a=\dfrac{1}{2} et b=3b=3.


2. f(x)=11+x2f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}, a=1a=-1 et b=1b=1.


3. f(x)=x32x2+x2f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2, I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}, a=1a=1 et b=2b=2.


4. f(x)=x1f(x)=\sqrt{x}-1, I=[0 ;+[\mathrm{I}=[0~;+\infty[, a=0a=0 et b=3b=3.
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27

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=3x2+5x1f(x)=3 x^{2}+5 x-1. Déterminer l’aire du domaine D\mathcal{D} délimité par la courbe représentative de ff, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x=1 et x=3x= \sqrt{3}.
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28

On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=2x=-2 et x=2x=2. En donner ensuite une valeur approchée à 10210^{—2} près.
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Valeur moyenne d’une fonction


29

Soit ff une fonction définie sur R\R par f(x)=ex+3x2+1f(x)=\mathrm{e}^{x}+3 x^{2}+1.

1. Déterminer la valeur moyenne de ff sur [3 ;2][-3~; 2].


2. Interpréter graphiquement cette valeur.
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30

Soit ff une fonction définie sur R\R par f(x)=x3ex+17f(x)=x^{3}-\mathrm{e}^{x}+\dfrac{1}{7}.
Déterminer la valeur moyenne de ff sur [1 ;0][-1~; 0].
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31

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction ff.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 31

À l’aide de ce graphique, estimer la valeur moyenne de ff sur [3 ;3][-3~; 3].
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Intégrales et primitives


32

ff est une fonction continue définie sur R\R, dont une primitive est notée F\text{F}. Traduire les expressions suivantes sous forme d’une intégrale.

1. F(2)F(1)\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(-1)


2. F(3)F(6)\mathrm{F}(3)-\mathrm{F}(6)


3. F(2)+F(4)-\mathrm{F}(-2)+\mathrm{F}(4)


4. F(x)F(2)\mathrm{F}(x)-\mathrm{F}(2)
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33

Calculer les intégrales suivantes.

1. 13πdx\displaystyle\int_{-1}^{3} \pi \mathrm{d} x


2. 13(52x)dx\displaystyle\int_{-1}^{3}(5-2 x) \mathrm{d} x


3. 21(t3+2t24t+2)dt\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-t^{3}+2 t^{2}-4 t+2\right) \mathrm{d} t


4. 161s2ds\displaystyle\int_{1}^{6} \dfrac{1}{s^{2}} \mathrm{d} s


5. 01e2xdx\displaystyle\int_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{d} x


6. 1124x(3x2+1)3dx\displaystyle\int_{-1}^{1} 24 x\left(3 x^{2}+1\right)^{3} \mathrm{d} x
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34

Calculer de deux manières différentes 12x2dx412(x23x)dx\displaystyle\int_{-1}^{2} x^{2} \mathrm{d} x-4 \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-3 x\right) \mathrm{d} x
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Propriétés algébriques de l’intégrale

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35

Calculer les intégrales suivantes.

1. 213xdx321xdx\displaystyle\int_{-2}^{1} 3 x \mathrm{d} x-3 \displaystyle\int_{-2}^{1} x \mathrm{d} x


2. 01exex+1dx+011ex+1dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x


3. 41(3t2+2)dt+13(3t2+2)dt\displaystyle\int_{-4}^{1}\left(3 t^{2}+2\right) \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3 t^{2}+2\right) \mathrm{d} t
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Domaine délimité par deux courbes


36

Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\R. Dans chaque cas, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine D\mathcal{D} délimité par les courbes représentatives de ff et gg et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

1. f(x)=ex2f(x)=\mathrm{e}^{x-2}, g(x)=x23g(x)=x^{2}-3, a=1a=-1 et b=2b=2.


2. f(x)=x1f(x)=x-1, g(x)=2xx2+1g(x)=\dfrac{2 x}{x^{2}+1}, a=0a=0 et b=12b=\dfrac{1}{2}.


3. f(x)=x2f(x)=x^{2}, g(x)=x32xg(x)=x^{3}-2 x, a=1a=-1 et b=2b=2.
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37

Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions ff et gg.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 37

À l’aide de ce graphique, estimer la valeur de l’intégrale 38[f(x)g(x)]dx\displaystyle\int_{3}^{8}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x.
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Inégalités et intégrales


38

Soit ff une fonction définie et continue sur R\R telle que, pour tout réel xx, mf(x)Mm \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{M}.
Dans chaque cas, encadrer 14f(x)dx\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.

1. m=5m=-5 et M=7\mathrm{M}=7.


2. m=πm=\pi et M=4\mathrm{M}=4.


3. 23-\dfrac{2}{3} et M=1\mathrm{M}=1.


4. m=0m=0 et M=3\mathrm{M}=\sqrt{3}.
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39

Pour tout réel xx, on a exx\mathrm{e}^{x} \geqslant x.
Que peut-on en déduire pour 05exdx\displaystyle\int_{0}^{5} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x ?
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Intégration par parties


40

Les fonctions suivantes sont dérivables et continues sur R\R. Utiliser l’intégration par parties pour donner une nouvelle écriture de celle proposée.

1. 26u(x)v(x)dx\displaystyle\int_{2}^{6} u^{\prime}(x) v(x) \mathrm{d} x


2. 26u(x)v(x)dx\displaystyle\int_{2}^{6} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x


3. [u(x)v(x)]3434u(x)v(x)dx[u(x) v(x)]_{-3}^{4}-\displaystyle\int_{-3}^{4} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x


4. u(3)v(3)u(1)v(1)13u(x)v(x)dxu(3) v(3)-u(1) v(1)-\displaystyle\int_{1}^{3} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x
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41

Calculer les intégrales suivantes.

1. 01xexdx\displaystyle\int_{0}^{1}-x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x


2. 11(x+3)exdx\displaystyle\int_{-1}^{1}(x+3) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x
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Exercices inversés


42

À l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale à calculer vaut 25e54e2252xexdx25 \mathrm{e}^{5}-4 \mathrm{e}^{2}-\displaystyle\int_{2}^{5} 2 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x. Donner une expression possible de l’intégrale de départ.
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43

Rédiger l’énoncé d’un exercice permettant de déterminer un encadrement d’une intégrale sur un intervalle de la forme [a ;b][a~; b], en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.
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