Travailler les automatismes

18

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.

Calculer ${\int }_0^{10}f(x)\mathrm{d}x$.

19

Déterminer les intégrales suivantes. 1. $\mathrm{I}={\int }_{-3}^{-1}\frac{2}{x^2}\mathrm{d}x$

2. $\mathrm{J}={\int }_{-10}^{10}|x|\mathrm{d}x$

22

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ dont voici le tableau de signes sur $[-2;4].$

1. Étudier le signe de $\mathrm{I}={\int }_{-2}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ lorsque $x\in [-2;1]$.

2. Peut‑on déterminer le signe de $\mathrm{I}$ lorsque $x\in [1;4]$ ?

21

Voici la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.


À l'aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes. 1.${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x$

2.${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x$

3.${\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x$

23

Déterminer un encadrement de ${\int }_1^9\sqrt{x}\mathrm{d}x$.

24

Indiquer des fonctions $u$ et $v$ à utiliser pour calculer l'intégrale ${\int }_0^{1}2x{\mathrm{e}}^{5x}\mathrm{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties.

25

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d'une fonction $f$.


À l'aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes. 1. ${\int }_2^{8}f(x)\mathrm{d}x$

2. ${\int }_4^{8}f(x)\mathrm{d}x$

3. ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$

26

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d'intégrale, l'aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. 1. $f(x)=\frac{1}{x}$, $\mathrm{I}={\mathbb{R}}^{\ast }$, $a=\frac{1}{2}$ et $b=3$.

2. $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}$, $a=-1$ et $b=1$.

3. $f(x)=x^3-2x^2+x-2$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}$, $a=1$ et $b=2$.

4. $f(x)=\sqrt{x}-1$, $\mathrm{I}=[0;+\infty [$, $a=0$ et $b=3$.

27

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+5x-1$. Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=\sqrt{3}$.

28

On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=2$. En donner ensuite une valeur approchée à $10^{—2}$ près.

29

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x+3x^2+1$. 1. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-3;2]$.

2. Interpréter graphiquement cette valeur.

30

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-{\mathrm{e}}^x+\frac{1}{7}$. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1;0]$.

Calculer de deux manières différentes ${\int }_{-1}^2{x}^2\mathrm{d}x-4{\int }_{-1}^2\left(x^2-3x\right)\mathrm{d}x$.

Insérer une formule mathématique

33

Calculer les intégrales suivantes. 1. ${\int }_{-1}^3\pi \mathrm{d}x$

2. ${\int }_{-1}^3(5-2x)\mathrm{d}x$

3. ${\int }_{-2}^1\left(-t^3+2t^2-4t+2\right)\mathrm{d}t$

4. ${\int }_1^6\frac{1}{s^2}\mathrm{d}s$

5. ${\int }_0^{-1}{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$

6. ${\int }_{-1}^{1}24x{\left(3x^2+1\right)}^3\mathrm{d}x$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, traduire sous forme d'intégrale l'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par les courbes représentatives de $f$ et $g$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$. 1. $f(x)={\mathrm{e}}^{x-2}$, $g(x)=x^2-3$, $a=-1$ et $b=2$.

2. $f(x)=x-1$, $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, $a=0$ et $b=\frac{1}{2}$.

3. $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3-2x$, $a=-1$ et $b=2$.

Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions $f$ et $g$.

À l'aide de ce graphique, estimer la valeur de l'intégrale ${\int }_3^8[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$.

À l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale à calculer vaut $25{\mathrm{e}}^5-4{\mathrm{e}}^2-{\int }_2^{5}2x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$. Donner une expression possible de l'intégrale de départ.

Rédiger l'énoncé d'un exercice permettant de déterminer un encadrement d'une intégrale sur un intervalle de la forme $[a;b]$, en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.