Travailler les automatismes

À L'ORAL

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18

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.

Calculer ${\int }_0^{10}f(x)\mathrm{d}x$.

19

Déterminer les intégrales suivantes.

1. $\mathrm{I}={\int }_{-3}^{-1}\frac{2}{x^2}\mathrm{d}x$


2. $\mathrm{J}={\int }_{-10}^{10}|x|\mathrm{d}x$

20

À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l’intervalle $[-1;6]$.

21

Voici la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

À l’aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes.

1.${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x$


2.${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x$


3.${\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x$

22

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ dont voici le tableau de signes sur $[-2;4]$.

1. Étudier le signe de $\mathrm{I}={\int }_{-2}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ lorsque $x\in [-2;1]$.


2. Peut‑on déterminer le signe de $\mathrm{I}$ lorsque $x\in [1;4]$ ?

23

Déterminer un encadrement de ${\int }_1^9\sqrt{x}\mathrm{d}x$.

24

Indiquer des fonctions $u$ et $v$ à utiliser pour calculer l’intégrale ${\int }_0^{1}2x{\mathrm{e}}^{5x}\mathrm{d}x$ à l’aide d’une intégration par parties.

25

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$.

À l’aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_2^{8}f(x)\mathrm{d}x$


2. ${\int }_4^{8}f(x)\mathrm{d}x$


3. ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$

26

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d’intégrale, l’aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$.

1. $f(x)=\frac{1}{x}$, $\mathrm{I}={\mathbb{R}}^{\ast }$, $a=\frac{1}{2}$ et $b=3$.


2. $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}$, $a=-1$ et $b=1$.


3. $f(x)=x^3-2x^2+x-2$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}$, $a=1$ et $b=2$.


4. $f(x)=\sqrt{x}-1$, $\mathrm{I}=[0;+\infty [$, $a=0$ et $b=3$.

27

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2+5x-1$. Déterminer l’aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x=\sqrt{3}$.

28

On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-2$ et $x=2$. En donner ensuite une valeur approchée à $10^{—2}$ près.

29

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\mathrm{e}}^x+3x^2+1$.

1. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-3;2]$.


2. Interpréter graphiquement cette valeur.

30

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-{\mathrm{e}}^x+\frac{1}{7}$.
Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1;0]$.

31

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$.

À l’aide de ce graphique, estimer la valeur moyenne de $f$ sur $[-3;3]$.

32

$f$ est une fonction continue définie sur $\mathbb{R}$, dont une primitive est notée $\text{F}$. Traduire les expressions suivantes sous forme d’une intégrale.

1. $\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(-1)$


2. $\mathrm{F}(3)-\mathrm{F}(6)$


3. $-\mathrm{F}(-2)+\mathrm{F}(4)$


4. $\mathrm{F}(x)-\mathrm{F}(2)$

33

Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-1}^3\pi \mathrm{d}x$


2. ${\int }_{-1}^3(5-2x)\mathrm{d}x$


3. ${\int }_{-2}^1\left(-t^3+2t^2-4t+2\right)\mathrm{d}t$


4. ${\int }_1^6\frac{1}{s^2}\mathrm{d}s$


5. ${\int }_0^{-1}{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$


6. ${\int }_{-1}^{1}24x{\left(3x^2+1\right)}^3\mathrm{d}x$

34

Calculer de deux manières différentes ${\int }_{-1}^2{x}^2\mathrm{d}x-4{\int }_{-1}^2\left(x^2-3x\right)\mathrm{d}x$

35

Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-2}^{1}3x\mathrm{d}x-3{\int }_{-2}^{1}x\mathrm{d}x$


2. ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x+{\int }_0^1\frac{1}{{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x$


3. ${\int }_{-4}^1\left(3t^2+2\right)\mathrm{d}t+{\int }_1^3\left(3t^2+2\right)\mathrm{d}t$

36

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Dans chaque cas, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par les courbes représentatives de $f$ et $g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$.

1. $f(x)={\mathrm{e}}^{x-2}$, $g(x)=x^2-3$, $a=-1$ et $b=2$.


2. $f(x)=x-1$, $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}$, $a=0$ et $b=\frac{1}{2}$.


3. $f(x)=x^2$, $g(x)=x^3-2x$, $a=-1$ et $b=2$.

37

Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions $f$ et $g$.

À l’aide de ce graphique, estimer la valeur de l’intégrale ${\int }_3^8[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$.

38

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, $m⩽f(x)⩽\mathrm{M}$.
Dans chaque cas, encadrer ${\int }_{-1}^{4}f(x)\mathrm{d}x$.

1. $m=-5$ et $\mathrm{M}=7$.


2. $m=\pi$ et $\mathrm{M}=4$.


3. $-\frac{2}{3}$ et $\mathrm{M}=1$.


4. $m=0$ et $\mathrm{M}=\sqrt{3}$.

39

Pour tout réel $x$, on a ${\mathrm{e}}^x⩾x$.
Que peut-on en déduire pour ${\int }_0^5{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$ ?

40

Les fonctions suivantes sont dérivables et continues sur $\mathbb{R}$. Utiliser l’intégration par parties pour donner une nouvelle écriture de celle proposée.

1. ${\int }_2^6{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$


2. ${\int }_2^{6}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$


3. $[u(x)v(x){]}_{-3}^4-{\int }_{-3}^{4}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$


4. $u(3)v(3)-u(1)v(1)-{\int }_1^{3}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x$

41

Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_0^1-x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$


2. ${\int }_{-1}^1(x+3){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$

42

À l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale à calculer vaut $25{\mathrm{e}}^5-4{\mathrm{e}}^2-{\int }_2^{5}2x{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x$. Donner une expression possible de l’intégrale de départ.

43

Rédiger l’énoncé d’un exercice permettant de déterminer un encadrement d’une intégrale sur un intervalle de la forme $[a;b]$, en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.