Travailler les automatismes

18

Soit f une fonction définie sur \R et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.

Calculer \displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \mathrm{d} x.

19

Déterminer les intégrales suivantes. 1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-3}^{-1} \frac{2}{x^{2}} \mathrm{d} x

2. \mathrm{J}=\displaystyle\int_{-10}^{10}|x| \mathrm{d} x

22

Soit f une fonction définie et continue sur \R dont voici le tableau de signes sur [-2~; 4].

1. Étudier le signe de \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-2}^{x} f(t) \mathrm{d} t lorsque x \in[-2~; 1].

2. Peut‑on déterminer le signe de \mathrm{I} lorsque x \in[1~; 4] ?

21

Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur \R.


À l'aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes. 1.\displaystyle\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x

2.\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x

3.\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x

23

Déterminer un encadrement de \displaystyle\int_{1}^{9} \sqrt{x} \mathrm{d} x.

24

Indiquer des fonctions u et v à utiliser pour calculer l'intégrale \displaystyle\int_{0}^{1} 2 x \mathrm{e}^{5 x} \mathrm{d} x à l'aide d'une intégration par parties.

25

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d'une fonction f.


À l'aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes. 1. \displaystyle\int_{2}^{8} f(x) \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{4}^{8} f(x) \mathrm{d} x

3. \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x

26

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I}.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d'intégrale, l'aire du domaine \mathcal{D} compris entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b. 1. f(x)=\frac{1}{x}, \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}, a=\frac{1}{2} et b=3.

2. f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, \mathrm{I}=\mathbb{R}, a=-1 et b=1.

3. f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2, \mathrm{I}=\mathbb{R}, a=1 et b=2.

4. f(x)=\sqrt{x}-1, \mathrm{I}=[0~;+\infty[, a=0 et b=3.

27

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=3 x^{2}+5 x-1. Déterminer l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x= \sqrt{3}.

28

On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=2. En donner ensuite une valeur approchée à 10^{—2} près.

29

Soit f une fonction définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{x}+3 x^{2}+1. 1. Déterminer la valeur moyenne de f sur [-3~; 2].

2. Interpréter graphiquement cette valeur.

30

Soit f une fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}-\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{7}. Déterminer la valeur moyenne de f sur [-1~; 0].

Calculer de deux manières différentes \displaystyle\int_{-1}^{2} x^{2} \mathrm{d} x-4 \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-3 x\right) \mathrm{d} x.

33

Calculer les intégrales suivantes. 1. \displaystyle\int_{-1}^{3} \pi \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{-1}^{3}(5-2 x) \mathrm{d} x

3. \displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-t^{3}+2 t^{2}-4 t+2\right) \mathrm{d} t

4. \displaystyle\int_{1}^{6} \frac{1}{s^{2}} \mathrm{d} s

5. \displaystyle\int_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{d} x

6. \displaystyle\int_{-1}^{1} 24 x\left(3 x^{2}+1\right)^{3} \mathrm{d} x

Soient f et g deux fonctions définies sur \R. Dans chaque cas, traduire sous forme d'intégrale l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par les courbes représentatives de f et g et les droites d'équation x=a et x=b. 1. f(x)=\mathrm{e}^{x-2}, g(x)=x^{2}-3, a=-1 et b=2.

2. f(x)=x-1, g(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}, a=0 et b=\frac{1}{2}.

3. f(x)=x^{2}, g(x)=x^{3}-2 x, a=-1 et b=2.

Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions f et g.

À l'aide de ce graphique, estimer la valeur de l'intégrale \displaystyle\int_{3}^{8}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x.

À l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale à calculer vaut 25 \mathrm{e}^{5}-4 \mathrm{e}^{2}-\displaystyle\int_{2}^{5} 2 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x. Donner une expression possible de l'intégrale de départ.

Rédiger l'énoncé d'un exercice permettant de déterminer un encadrement d'une intégrale sur un intervalle de la forme [a~; b], en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.