Mathématiques Terminale Spécialité

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Exercices

Travailler les automatismes

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18

Soit f une fonction définie sur \R et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 18
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Calculer \displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \mathrm{d} x.
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19

Déterminer les intégrales suivantes.

1. \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-3}^{-1} \frac{2}{x^{2}} \mathrm{d} x

2. \mathrm{J}=\displaystyle\int_{-10}^{10}|x| \mathrm{d} x
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20

À l'aide d'une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l'intervalle [-1~; 6].
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21

Voici la représentation graphique d'une fonction f définie sur \R.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 21
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À l'aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes.

1.\displaystyle\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x

2.\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x

3.\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x
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22

Soit f une fonction définie et continue sur \R dont voici le tableau de signes sur [-2~; 4].

Travailler les automatismes
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1. Étudier le signe de \mathrm{I}=\displaystyle\int_{-2}^{x} f(t) \mathrm{d} t lorsque x \in[-2~; 1].

2. Peut‑on déterminer le signe de \mathrm{I} lorsque x \in[1~; 4] ?
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23

Déterminer un encadrement de \displaystyle\int_{1}^{9} \sqrt{x} \mathrm{d} x.
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24

Indiquer des fonctions u et v à utiliser pour calculer l'intégrale \displaystyle\int_{0}^{1} 2 x \mathrm{e}^{5 x} \mathrm{d} x à l'aide d'une intégration par parties.
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Intégrales et calculs d'aires
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25

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d'une fonction f.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 25
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À l'aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes.

1. \displaystyle\int_{2}^{8} f(x) \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{4}^{8} f(x) \mathrm{d} x

3. \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x
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26

Soit f une fonction définie sur un intervalle \text{I}.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d'intégrale, l'aire du domaine \mathcal{D} compris entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

1. f(x)=\frac{1}{x}, \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}, a=\frac{1}{2} et b=3.

2. f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, \mathrm{I}=\mathbb{R}, a=-1 et b=1.

3. f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2, \mathrm{I}=\mathbb{R}, a=1 et b=2.

4. f(x)=\sqrt{x}-1, \mathrm{I}=[0~;+\infty[, a=0 et b=3.
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27

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=3 x^{2}+5 x-1. Déterminer l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x= \sqrt{3}.
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28

On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=2. En donner ensuite une valeur approchée à 10^{—2} près.
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Valeur moyenne d'une fonction
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29

Soit f une fonction définie sur \R par f(x)=\mathrm{e}^{x}+3 x^{2}+1.

1. Déterminer la valeur moyenne de f sur [-3~; 2].

2. Interpréter graphiquement cette valeur.
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30

Soit f une fonction définie sur \R par f(x)=x^{3}-\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{7}.

Déterminer la valeur moyenne de f sur [-1~; 0].
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31

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d'une fonction f.
Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 31
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À l'aide de ce graphique, estimer la valeur moyenne de f sur [-3~; 3].
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Intégrales et primitives
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32

f est une fonction continue définie sur \R, dont une primitive est notée \text{F}. Traduire les expressions suivantes sous forme d'une intégrale.

1. \mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(-1)

2. \mathrm{F}(3)-\mathrm{F}(6)

3. -\mathrm{F}(-2)+\mathrm{F}(4)

4. \mathrm{F}(x)-\mathrm{F}(2)
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33

Calculer les intégrales suivantes.

1. \displaystyle\int_{-1}^{3} \pi \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{-1}^{3}(5-2 x) \mathrm{d} x

3. \displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-t^{3}+2 t^{2}-4 t+2\right) \mathrm{d} t

4. \displaystyle\int_{1}^{6} \frac{1}{s^{2}} \mathrm{d} s

5. \displaystyle\int_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{d} x

6. \displaystyle\int_{-1}^{1} 24 x\left(3 x^{2}+1\right)^{3} \mathrm{d} x
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34

Calculer de deux manières différentes \displaystyle\int_{-1}^{2} x^{2} \mathrm{d} x-4 \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-3 x\right) \mathrm{d} x.
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Propriétés algébriques de l'intégrale
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35

Calculer les intégrales suivantes.

1. \displaystyle\int_{-2}^{1} 3 x \mathrm{d} x-3 \displaystyle\int_{-2}^{1} x \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x

3. \displaystyle\int_{-4}^{1}\left(3 t^{2}+2\right) \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3 t^{2}+2\right) \mathrm{d} t
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Domaine délimité par deux courbes
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36

Soient f et g deux fonctions définies sur \R. Dans chaque cas, traduire sous forme d'intégrale l'aire du domaine \mathcal{D} délimité par les courbes représentatives de f et g et les droites d'équation x=a et x=b.

1. f(x)=\mathrm{e}^{x-2}, g(x)=x^{2}-3, a=-1 et b=2.

2. f(x)=x-1, g(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}, a=0 et b=\frac{1}{2}.

3. f(x)=x^{2}, g(x)=x^{3}-2 x, a=-1 et b=2.
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37

Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions f et g.

Maths spé - Chapitre 11 - Calcul intégral - exercice 37
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À l'aide de ce graphique, estimer la valeur de l'intégrale \displaystyle\int_{3}^{8}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x.
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Inégalités et intégrales
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38

Soit f une fonction définie et continue sur \R telle que, pour tout réel x, m \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{M}.
Dans chaque cas, encadrer \displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x.

1. m=-5 et \mathrm{M}=7.

2. m=\pi et \mathrm{M}=4.

3. -\frac{2}{3} et \mathrm{M}=1.

4. m=0 et \mathrm{M}=\sqrt{3}.
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39

Pour tout réel x, on a \mathrm{e}^{x} \geqslant x.

Que peut-on en déduire pour \displaystyle\int_{0}^{5} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x ?
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Intégration par parties
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40

Les fonctions suivantes sont dérivables et continues sur \R. Utiliser l'intégration par parties pour donner une nouvelle écriture de celle proposée.

1. \displaystyle\int_{2}^{6} u^{\prime}(x) v(x) \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{2}^{6} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x

3. [u(x) v(x)]_{-3}^{4}-\displaystyle\int_{-3}^{4} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x

4. u(3) v(3)-u(1) v(1)-\displaystyle\int_{1}^{3} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x
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41

Calculer les intégrales suivantes.

1. \displaystyle\int_{0}^{1}-x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x

2. \displaystyle\int_{-1}^{1}(x+3) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x
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Exercices inversés
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42

À l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale à calculer vaut 25 \mathrm{e}^{5}-4 \mathrm{e}^{2}-\displaystyle\int_{2}^{5} 2 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x. Donner une expression possible de l'intégrale de départ.
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43

Rédiger l'énoncé d'un exercice permettant de déterminer un encadrement d'une intégrale sur un intervalle de la forme [a~; b], en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.
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