Travailler les automatismes

À L'ORAL

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18

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.

Calculer $\displaystyle\int_{0}^{10} f(x) \mathrm{d} x$.

19

Déterminer les intégrales suivantes.

1. $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-3}^{-1} \dfrac{2}{x^{2}} \mathrm{d} x$


2. $\mathrm{J}=\displaystyle\int_{-10}^{10}|x| \mathrm{d} x$

20

À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l’intervalle $[-1~; 6]$.

21

Voici la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $\R$.

À l’aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes.

1.$\displaystyle\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x$


2.$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$


3.$\displaystyle\int_{-2}^{0} f(x) \mathrm{d} x$

22

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ dont voici le tableau de signes sur $[-2~; 4]$.

1. Étudier le signe de $\mathrm{I}=\displaystyle\int_{-2}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ lorsque $x \in[-2~; 1]$.


2. Peut‑on déterminer le signe de $\mathrm{I}$ lorsque $x \in[1~; 4]$ ?

23

Déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^{9} \sqrt{x} \mathrm{d} x$.

24

Indiquer des fonctions $u$ et $v$ à utiliser pour calculer l’intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1} 2 x \mathrm{e}^{5 x} \mathrm{d} x$ à l’aide d’une intégration par parties.

25

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$.

À l’aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{2}^{8} f(x) \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{4}^{8} f(x) \mathrm{d} x$


3. $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$

26

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d’intégrale, l’aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$.

1. $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}$, $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=3$.


2. $f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}$, $a=-1$ et $b=1$.


3. $f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2$, $\mathrm{I}=\mathbb{R}$, $a=1$ et $b=2$.


4. $f(x)=\sqrt{x}-1$, $\mathrm{I}=[0~;+\infty[$, $a=0$ et $b=3$.

27

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=3 x^{2}+5 x-1$. Déterminer l’aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=1$ et $x= \sqrt{3}$.

28

On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=-2$ et $x=2$. En donner ensuite une valeur approchée à $10^{—2}$ près.

29

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}+3 x^{2}+1$.

1. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-3~; 2]$.


2. Interpréter graphiquement cette valeur.

30

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^{3}-\mathrm{e}^{x}+\dfrac{1}{7}$.
Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1~; 0]$.

31

Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction $f$.

À l’aide de ce graphique, estimer la valeur moyenne de $f$ sur $[-3~; 3]$.

32

$f$ est une fonction continue définie sur $\R$, dont une primitive est notée $\text{F}$. Traduire les expressions suivantes sous forme d’une intégrale.

1. $\mathrm{F}(2)-\mathrm{F}(-1)$


2. $\mathrm{F}(3)-\mathrm{F}(6)$


3. $-\mathrm{F}(-2)+\mathrm{F}(4)$


4. $\mathrm{F}(x)-\mathrm{F}(2)$

33

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{-1}^{3} \pi \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{-1}^{3}(5-2 x) \mathrm{d} x$


3. $\displaystyle\int_{-2}^{1}\left(-t^{3}+2 t^{2}-4 t+2\right) \mathrm{d} t$


4. $\displaystyle\int_{1}^{6} \dfrac{1}{s^{2}} \mathrm{d} s$


5. $\displaystyle\int_{0}^{-1} \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{d} x$


6. $\displaystyle\int_{-1}^{1} 24 x\left(3 x^{2}+1\right)^{3} \mathrm{d} x$

34

Calculer de deux manières différentes $\displaystyle\int_{-1}^{2} x^{2} \mathrm{d} x-4 \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-3 x\right) \mathrm{d} x$

35

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{-2}^{1} 3 x \mathrm{d} x-3 \displaystyle\int_{-2}^{1} x \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x$


3. $\displaystyle\int_{-4}^{1}\left(3 t^{2}+2\right) \mathrm{d} t+\displaystyle\int_{1}^{3}\left(3 t^{2}+2\right) \mathrm{d} t$

36

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$. Dans chaque cas, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par les courbes représentatives de $f$ et $g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$.

1. $f(x)=\mathrm{e}^{x-2}$, $g(x)=x^{2}-3$, $a=-1$ et $b=2$.


2. $f(x)=x-1$, $g(x)=\dfrac{2 x}{x^{2}+1}$, $a=0$ et $b=\dfrac{1}{2}$.


3. $f(x)=x^{2}$, $g(x)=x^{3}-2 x$, $a=-1$ et $b=2$.

37

Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions $f$ et $g$.

À l’aide de ce graphique, estimer la valeur de l’intégrale $\displaystyle\int_{3}^{8}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$.

38

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $m \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{M}$.
Dans chaque cas, encadrer $\displaystyle\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x$.

1. $m=-5$ et $\mathrm{M}=7$.


2. $m=\pi$ et $\mathrm{M}=4$.


3. $-\dfrac{2}{3}$ et $\mathrm{M}=1$.


4. $m=0$ et $\mathrm{M}=\sqrt{3}$.

39

Pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^{x} \geqslant x$.
Que peut-on en déduire pour $\displaystyle\int_{0}^{5} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$ ?

40

Les fonctions suivantes sont dérivables et continues sur $\R$. Utiliser l’intégration par parties pour donner une nouvelle écriture de celle proposée.

1. $\displaystyle\int_{2}^{6} u^{\prime}(x) v(x) \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{2}^{6} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x$


3. $[u(x) v(x)]_{-3}^{4}-\displaystyle\int_{-3}^{4} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x$


4. $u(3) v(3)-u(1) v(1)-\displaystyle\int_{1}^{3} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x$

41

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{0}^{1}-x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x+3) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x$

42

À l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale à calculer vaut $25 \mathrm{e}^{5}-4 \mathrm{e}^{2}-\displaystyle\int_{2}^{5} 2 x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$. Donner une expression possible de l’intégrale de départ.

43

Rédiger l’énoncé d’un exercice permettant de déterminer un encadrement d’une intégrale sur un intervalle de la forme $[a~; b]$, en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.