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18
Soit f une fonction définie sur R et dont on donne la représentation graphique ci‑dessous.
Calculer ∫010f(x)dx.
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19
Déterminer les intégrales suivantes.
1.I=∫−3−1x22dx
2.J=∫−1010∣x∣dx
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20
À l’aide d’une calculatrice, déterminer une valeur approchée de la valeur moyenne de la fonction exponentielle sur l’intervalle [−1;6].
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21
Voici la représentation graphique d’une fonction f définie sur R.
À l’aide du graphique, déterminer le signe des intégrales suivantes.
1.∫23f(x)dx
2.∫−11f(x)dx
3.∫−20f(x)dx
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22
Soit f une fonction définie et continue sur R dont voici le tableau de signes sur [−2;4].
1. Étudier le signe de I=∫−2xf(t)dt lorsque x∈[−2;1].
2. Peut‑on déterminer le signe de I lorsque x∈[1;4] ?
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23
Déterminer un encadrement de ∫19xdx.
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24
Indiquer des fonctions u et v à utiliser pour calculer l’intégrale ∫012xe5xdx à l’aide d’une intégration par parties.
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Intégrales et calculs d’aires
25
Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction f.
À l’aide de ce graphique, calculer les intégrales suivantes.
1.∫28f(x)dx
2.∫48f(x)dx
3.∫02f(x)dx
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26
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Dans chaque cas, traduire, sous forme d’intégrale, l’aire du domaine D compris entre la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b.
1.f(x)=x1, I=R∗, a=21 et b=3.
2.f(x)=1+x21, I=R, a=−1 et b=1.
3.f(x)=x3−2x2+x−2, I=R, a=1 et b=2.
4.f(x)=x−1, I=[0;+∞[, a=0 et b=3.
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27
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=3x2+5x−1. Déterminer l’aire du domaine D délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1 et x=3.
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28
On se place dans un repère orthonormé. Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction exponentielle, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=−2 et x=2. En donner ensuite une valeur approchée à 10—2 près.
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Valeur moyenne d’une fonction
29
Soit f une fonction définie sur R par f(x)=ex+3x2+1.
1. Déterminer la valeur moyenne de f sur [−3;2].
2. Interpréter graphiquement cette valeur.
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30
Soit f une fonction définie sur R par f(x)=x3−ex+71.
Déterminer la valeur moyenne de f sur [−1;0].
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31
Voici la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une fonction f.
À l’aide de ce graphique, estimer la valeur moyenne de f sur [−3;3].
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Intégrales et primitives
32
f est une fonction continue définie sur R, dont une primitive est notée F. Traduire les expressions suivantes sous forme d’une intégrale.
1.F(2)−F(−1)
2.F(3)−F(6)
3.−F(−2)+F(4)
4.F(x)−F(2)
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33
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫−13πdx
2.∫−13(5−2x)dx
3.∫−21(−t3+2t2−4t+2)dt
4.∫16s21ds
5.∫0−1e−2xdx
6.∫−1124x(3x2+1)3dx
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34
Calculer de deux manières différentes ∫−12x2dx−4∫−12(x2−3x)dx
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Propriétés algébriques de l’intégrale
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35
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫−213xdx−3∫−21xdx
2.∫01ex+1exdx+∫01ex+11dx
3.∫−41(3t2+2)dt+∫13(3t2+2)dt
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Domaine délimité par deux courbes
36
Soient f et g deux fonctions définies sur R. Dans chaque cas, traduire sous forme d’intégrale l’aire du domaine D délimité par les courbes représentatives de f et g et les droites d’équation x=a et x=b.
1.f(x)=ex−2, g(x)=x2−3, a=−1 et b=2.
2.f(x)=x−1, g(x)=x2+12x, a=0 et b=21.
3.f(x)=x2, g(x)=x3−2x, a=−1 et b=2.
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37
Voici les représentations graphiques dans un repère orthonormé de deux fonctions f et g.
À l’aide de ce graphique, estimer la valeur de l’intégrale ∫38[f(x)−g(x)]dx.
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Inégalités et intégrales
38
Soit f une fonction définie et continue sur R telle
que, pour tout réel x, m⩽f(x)⩽M.
Dans chaque cas, encadrer ∫−14f(x)dx.
1.m=−5 et M=7.
2.m=π et M=4.
3.−32 et M=1.
4.m=0 et M=3.
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39
Pour tout réel x, on a ex⩾x.
Que peut-on en déduire pour ∫05exdx ?
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Intégration par parties
40
Les fonctions suivantes sont dérivables et continues sur R. Utiliser l’intégration par parties pour donner une nouvelle écriture de celle proposée.
1.∫26u′(x)v(x)dx
2.∫26u(x)v′(x)dx
3.[u(x)v(x)]−34−∫−34u(x)v′(x)dx
4.u(3)v(3)−u(1)v(1)−∫13u(x)v′(x)dx
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41
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫01−xexdx
2.∫−11(x+3)e−xdx
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Exercices inversés
42
À l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale à calculer vaut 25e5−4e2−∫252xexdx. Donner une expression possible de l’intégrale de départ.
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43
Rédiger l’énoncé d’un exercice permettant de déterminer un encadrement d’une intégrale sur un intervalle de la forme [a;b], en étudiant préalablement les variations de la fonction intégrée sur cet intervalle.
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