Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

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① Combinatoire et dénombrement
② Vecteurs, droites et plans de l’espace

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$. On place $n$ points dans l’espace tels que quatre points ne sont jamais coplanaires.

1. Combien de plans différents peut‑on construire à partir de ces points ?


2. Combien, au maximum, existe‑t‑il de droites qui soient des intersections de ces plans ?

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① Combinatoire et dénombrement  ⑪ Calcul intégral

Soit $n$ un entier naturel. Pour un entier $k$, compris entre $0$ et $n$, la $k$‑ième fonction polynomiale de Bernstein est la fonction ${\mathrm{B}}_k^n$ définie, pour tout $x\in [0;1]$, par :
1. Montrer que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ et, pour tout $x\in [0;1]$, ${\mathrm{B}}_k^n(x)⩾0$.


2. a. Montrer que, pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ et, pour tout $x\in [0;1]$, ${\mathrm{B}}_k^n(x)={\mathrm{B}}_{n-k}^n(1-x)$.


b. Que peut‑on en déduire sur les courbes représentatives des fonctions ${\mathrm{B}}_k^n$ et ${\mathrm{B}}_{n-k}^n$ ?


3. On suppose désormais que $k<n$.
a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que ${\int }_0^1{x}^k(1-x{)}^{n-k}\mathrm{d}x=\frac{n-k}{k+1}{\int }_0^1{x}^{k+1}(1-x{)}^{n-k-1}\mathrm{d}x$.


b. En déduire que, pour tout entier $k$ tel que $0⩽k<n$, ${\int }_0^1{\mathrm{B}}_k^n(x)\mathrm{d}x={\int }_0^1{\mathrm{B}}_{k+1}^n(x)\mathrm{d}x$.


c. En déduire que, pour tout entier $k$ tel que $0⩽k<n$, ${\int }_0^1{\mathrm{B}}_k^n(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}$.


4. On suppose que $n$ et $k$ sont distincts et non nuls.
Étudier les variations de la fonction ${\mathrm{B}}_k^n$ sur $[0;1]$.

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② Vecteurs, droites et plans de l’espace
⑫ Loi binomiale

Partie A
On lance trois fois de suite un dé non truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$. On note $x$ le résultat du premier lancer, $y$ le résultat du deuxième lancer et $z$ le résultat du troisième lancer.
L’espace étant rapporté au repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les trois points de l’espace $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ de coordonnées respectives $(x;2;3)$, $(1;y;3)$ et $(1;2;z)$.

1. Déterminer la probabilité que les points $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ soient confondus.


2. Déterminer la probabilité que seuls les points $\text{I}$ et $\text{J}$ soient confondus.


3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux points soient confondus.


4. On suppose dans cette question que $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ sont distincts. Déterminer la probabilité que $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ ne soient pas alignés.


Partie B
On considère le jeu qui consiste à lancer trois fois de ce suite le dé et à observer la position des points dans l’espace. Une partie est gagnée lorsque deux points exactement sont confondus. On joue $n$ parties et on appelle $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant aux nombres de parties gagnées.

1. Déterminer la loi de probabilité de $\text{X}$.


2. Dans cette question $n=10$.
a. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{X}=5)$.


b. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{X}>5)$.


3. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que :

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③ Orthogonalité et distances dans l’espace
⑦ Compléments sur la dérivation

On considère un vecteur $\overrightarrow{u_t}$ dont les coordonnées sont des fonctions dépendantes du temps $t$.
On note ce vecteur ${\overrightarrow{u}}_t\left(\begin{array}{l}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)$.
On suppose, de plus, que la norme de $\overrightarrow{u_t}$ est constante et non nulle.
On note $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_t}}{\mathrm{d}t}$ le vecteur dérivé de $\overrightarrow{u_t}$ : les composantes de $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_t}}{\mathrm{d}t}$ sont les dérivées respectives de celles de $\overrightarrow{u_t}$.

1. a. On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=\overrightarrow{u_t}\cdot \overrightarrow{u_t}$.
Calculer l’expression de $f$ en fonction de $t$ et démontrer que $f$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.


b. On définit la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=\sqrt{f(t)}$.
Déterminer l’expression de $g^{\prime }$, fonction dérivée de $g$.


2. a. Déterminer le lien entre $g$ et la norme de $\overrightarrow{u_t}$.


b. Que peut‑on en déduire pour $\overrightarrow{u_t}$ et $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_t}}{\mathrm{d}t}$ ?

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③ Orthogonalité et distances dans l’espace
④ Suites  ⑤ Limites de fonctions

On considère trois suites réelles $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ définies pour tout $n\in \mathbb{N}$, et on définit la suite de vecteurs $(\overrightarrow{u_n})$ telle que les coordonnées de $\overrightarrow{u_n}$ soient $\left(\begin{array}{l}{x}_n\\ y_n\\ z_n\end{array}\right)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
Si les suites $(x_n)$, $(y_n)$ et $(z_n)$ sont convergentes, alors on définit le vecteur $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{u}=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{\overrightarrow{u}}_n$, dont les coordonnées sont $\left(\begin{array}{c}\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{x}_n\\ \underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{y}_n\\ \underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{z}_n\end{array}\right)$.

1. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $\overrightarrow{u_n}$ le vecteur de coordonnées $\left(\begin{array}{c}\frac{n^2}{n^2+1}\\ -9+{\mathrm{e}}^{-n}\\ -360\end{array}\right)$.
Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{u}=\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{\overrightarrow{u}}_n$.


2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose les vecteurs suivants.

• ${\overrightarrow{v}}_n\left(\begin{array}{c}{n}^2\\ n\\ 1\end{array}\right)$
• $\overrightarrow{r_n}\left(\begin{array}{c}n{\mathrm{e}}^{-n}\\ {\mathrm{e}}^{-n}\\ 0\end{array}\right)$

Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{v_n}$ et $\overrightarrow{r_n}$ tendent à être orthogonaux lorsque $n$ devient très grand.

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② Vecteurs, droites et plans de l’espace
③ Orthogonalité et distances dans l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On considère les points $\mathrm{A}(2;3;1)$ et $\mathrm{B}(-2;1;3)$ ainsi que le droite $\Delta$ de représentation paramétrique :
On note $\text{I}$ le milieu de $[\mathrm{A}\mathrm{B}]$.
Déterminer, s’il existe, le point $\text{J}$ appartenant à $\Delta$ tel que la distance $\text{IJ}$ soit minimale.

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④ Suites  ⑨ Fonctions trigonométriques
⑪ Calcul intégral

D’après bac S, Polynésie, juin 2018

Dans cet exercice, on s’intéresse au volume d’une ampoule basse consommation.

Partie A : Modélisation de la forme de l’ampoule
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
On considère les points $\mathrm{A}(-1;1)$, $\mathrm{B}(0;1)$, $\mathrm{C}(4;3)$, $\mathrm{D}(7;0)$, $\mathrm{E}(4;-3)$, $\mathrm{F}(0;-1)$ et $\mathrm{G}(-1;-1)$.
On modélise la section de l’ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l’aide de la figure ci‑dessous.


La partie de la courbe située au‑dessus de l’axe des abscisses se décompose de la manière suivante :

• la portion située entre les points $\text{A}$ et $\text{B}$ est la représentation graphique de la fonction constante $h$ définie sur l’intervalle $[-1;0]$ par $h(x)=1$ ;
• la portion située entre les points $\text{B}$ et $\text{C}$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;4]$ par $f(x)=a+b\sin \left(c+\frac{\pi }{4}x\right)$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels non nuls fixés et où le réel $c$ appartient à l’intervalle $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ ;
• la portion située entre les points $\text{C}$ et $\text{D}$ est un quart de cercle de diamètre $[\mathrm{C}\mathrm{E}]$.

La partie de la courbe située en‑dessous de l’axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

1. a. On appelle $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$, déterminer $f^{\prime }(x)$.


b. On impose que les tangentes aux points $\text{B}$ et $\text{C}$ à la représentation graphique de la fonction $f$ soient parallèles à l’axe des abscisses.
Déterminer la valeur du réel $c$.


2. Déterminer les réels $a$ et $b$.


Partie B : Approximation du volume de l’ampoule
Par rotation de la figure précédente autour de l’axe des abscisses, on obtient un modèle de l’ampoule. Afin d’en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci‑après.


On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;4]$ :
1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle $\text{ABFG}$.


2. Calculer le volume de la demi‑sphère de section le demi‑disque de diamètre $[\mathrm{C}\mathrm{E}]$.


3. Pour approcher le volume du solide de section la zone verte $\text{BCEF}$, on partage le segment $\left[{\mathrm{O}\mathrm{O}}^{\prime }\right]$ ci‑dessous en $n$ segments de même longueur $\frac{4}{n}$ puis on construit $n$ cylindres de même hauteur $\frac{4}{n}$.
a. Dans cette question, on choisit $n=5$.
Calculer le volume du troisième cylindre, en bleu dans la figure ci‑dessous, et en donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près.



b. Dans cette question, $n$ désigne un entier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section $\text{BCEF}$ par la somme des volumes des $n$ cylindres ainsi créés, en choisissant une valeur de $n$ suffisamment grande.
Compléter l’algorithme suivant de sorte qu’à la fin de son exécution, la variable V contienne la somme des volumes des $n$ cylindres créés lorsque l’on saisit $n$.

V = 0
for k in range(...,...) :
   V = ...
return(V)

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⑤ Limites de fonctions  ⑥ Continuité
⑪ Calcul intégral

Soit $\mathrm{I}=[0;+\infty [$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On appelle densité de probabilité sur $\text{I}$ toute fonction $f$ définie sur $\text{I}$ telle que :

• $f$ est continue et positive sur $\text{I}$ ;
• l’aire du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées est égale à $1$ unité d’aire.

1. Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
On définit la fonction $f$ sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$.
a. Montrer que $f$ est continue et positive sur $[0;+\infty [$.


b. Soient $a>0$ et $\mathrm{F}(a)$ l’aire du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=a$.
Montrer que, pour tout $a>0$, $\mathrm{F}(a)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda a}$.


c. Déterminer la limite de $\text{F}$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.


d. En déduire que $f$ est une densité de probabilité sur $[0;+\infty [$.


2. On dit qu’une variable aléatoire $\text{X}$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda >0$, lorsque sa densité de probabilité est la fonction $f$.
On a alors : $\mathrm{P}(\mathrm{X}\in [a;b])={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$.
Déterminer, à $10^{-3}$ près, $\mathrm{P}(500⩽\mathrm{X}⩽1500)$ lorsque$\text{ X}$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =10^{-4}$.


3. Soit $g$ la fonction définie sur $[3;+\infty [$ par $g(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}$.
Montrer que $g$ est une densité de probabilité sur $[3;+\infty [$. On pourra s’inspirer de ce qui a été réalisé dans la question 1..

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⑥ Continuité  ⑨ Fonctions trigonométriques

1. Étudier sur $\mathbb{R}$ les variations de la fonction $f:x\mapsto x-\cos (x)$.


2. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^2$.

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⑥ Continuité  ⑨ Fonctions trigonométriques

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in [-1;5]$ par :
1. Déterminer l’expression $f^{\prime }(x)$ pour $x\in [-1;5]$.


2. Soit $g$ la fonction définie pour tout $x\in [-1;5]$ par : a. Démontrer qu’il existe un unique réel $\alpha \in [2,2;2,3]$ tel que $g(\alpha )=0$.


b. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-1;5]$.

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⑥ Continuité  ⑨ Fonctions trigonométriques
⑪ Calcul intégral  ⑭ Loi des grands nombres

Soit $\mathrm{I}=[a;b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$.
On appelle densité de probabilité sur $\text{I}$ toute fonction $f$ définie sur $\text{I}$ telle que :

• $f$ est continue et positive sur $\text{I}$ ;
• l’aire du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives $x=a$ et $x=b$ est égale à $1$ unité d’aire.

On dit que $\text{X}$ est une variable aléatoire continue de densité $f$ lorsque, pour tous $k$ et $k^{\prime }$ dans $[a;b]$ $\mathrm{P}\left(k⩽\mathrm{X}⩽k^{\prime }\right)={\int }_k^{k^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x$.
On définit alors l’espérance d’une loi continue sur $[a;b]$ de densité $f$ par :
1. Montrer que la fonction $f:x\mapsto \cos (x)$ est une densité sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.


2. Calculer l’espérance de $\text{X}$ de densité $f$ sur $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.


3. On rappelle la formule de König‑Huygens : Calculer alors la variance de $\text{X}$.


4. On admet que l’inégalité de Bienaymé‑Tchebychev est valable pour les lois continues.
Majorer alors $\mathrm{P}\left(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾\frac{1}{2}\right)$.

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⑤ Limites de fonctions  ⑪ Calcul intégral

1. On considère un réel $\mathrm{A}>0$ et on note ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$ l’intégrale ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}={\int }_1^{\mathrm{A}}x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$.
a. Calculer ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$ en fonction de $\text{A}$.


b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}\mathrm{A}\to +\infty \end{array}}{\lim }{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$.
Le résultat obtenu se note ${\int }_1^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$. On parle d’intégrale impropre.


2. De la même manière, démontrer que ${\int }_3^{+\infty }\frac{x}{{\left(x^2-5\right)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{8}$.

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③ Orthogonalité et distances dans l’espace
⑨ Fonctions trigonométriques

Déterminer l’ensemble des réels $a$ et $b$ appartenant à l’intervalle $[-\pi ;\pi ]$ de sorte que, dans un repère orthonormé de l’espace, le plan ${\mathcal{P}}_1:\cos (a)x+\sin (a)y+z=1$ soit perpendiculaire à la fois au plan ${\mathcal{P}}_2:\cos (2b)x+\sin (2b)y+0,5z=2$ et au plan ${\mathcal{P}}_3:\sin (2b)x+\cos (2b)y-0,5z=3$.

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⑦ Compléments sur la dérivation
 ⑪ Calcul intégral

D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10;5]$ par $f(x)=(x-5){\mathrm{e}}^{0,2x}+5$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. On note $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-10;5]$.
a. Montrer que, pour tout $x\in [-10;5]$, $f^{\prime }(x)=0,2x{\mathrm{e}}^{0,2x}$.


b. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-10;5]$.


c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente $\text{T}$ à $\mathcal{C}$ au point $\text{A}$ d’abscisse $-5$.


2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.


a. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de $f$, notée $f^{\prime \prime }$, est définie par $f^{\prime \prime }(x)=(0,2+0,04x){\mathrm{e}}^{0,2x}$.


b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $[-10;5]$.


3. On définit la fonction $\text{F}$ sur $[-10;5]$ par : a. Démontrer que $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $[-10;5]$.


b. Calculer la valeur exacte de $\mathrm{I}={\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x$.


c. Déterminer l’aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et les trois droites d’équations respectives $x=0$, $x=5$ et $y=x$. On donnera le résultat en unité d’aire, arrondi à $10^{-2}$ près.

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④ Suites  ⑤ Limites de fonctions
⑨ Fonctions trigonométriques

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :
1. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }f(x)$.


2. On admet que pour tout réel $x$ : Montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=2x+\sin (2x)$.


3. a. Calculer $f^{\prime }(0)$ et démontrer que, pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)>0$.


b. En déduire les variations de $f$ sur $[0;+\infty [$.


4. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution dans $[0;+\infty [$. On note $\alpha$ cette solution.


5. À l’aide de la calculatrice, encadrer $\alpha$ à $10^{-2}$ près.


Partie B
Soit $(u_n)$, la suite définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{1+{\cos }^2\left(u_n\right)}$.

1. Montrer que, pour tout $n⩾2$, on a $1<u_n<1,2$.


2. a. Justifier que la suite $(u_n)$ ne peut ni diverger vers $+\infty$, ni vers $-\infty$.


b. Justifier que si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, alors nécessairement $\ell \in [1;1,2]$.


Partie C

À partir des deux premières parties, montrer que si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, alors $\ell =\alpha$.

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① Combinatoire et dénombrement
⑫ Loi binomiale

Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $k$ un entier naturel fixé. Soit ${\mathrm{X}}_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ telle que $np=a$.
Par définition, on dit qu’une variable aléatoire $\text{Y}$ suit une loi de Poisson de paramètre $a$ lorsque : On souhaite montrer qu’une loi binomiale converge vers une loi de Poisson.

1. Montrer que, pour tous entiers naturels $n$ et $k⩽n$ :

2. En factorisant astucieusement chacun des facteurs du numérateur, montrer que, pour tout entier naturel $n>0$ :

3. En utilisant $np=a$, réécrire l’égalité précédente sans utiliser $p$.


4. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\dots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)$.


5. a. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{\left(1-\frac{a}{n}\right)}^{-k}$.


b. Déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }{\left(1-\frac{a}{n}\right)}^n$.


6. Après avoir remarqué que : déterminer $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_n=k\right)$ et conclure.

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Déterminer, en justifiant, le nombre exact de solutions de l’équation $(\ln (x){)}^2=\ln \left(x^2\right)$ sur $]0;+\infty [$.

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Rachid, artiste, souhaite peindre un cœur sur un mur. Il utilise, dans un repère orthonormal d’unité $2$ mètres, les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-\pi ;\pi ]$ par $f(x)=\sin (|x|)$ et $g(x)=\frac{5}{\pi }|x|-5$.
Déterminer le nombre de pots de peinture nécessaire à Rachid, sachant que deux couches seront appliquées et qu’un pot de deux litres permet de recouvrir $24$ m².