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Exercices transversaux de 48 à 65
P.441-444

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Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

Divers


48
Combinatoire et dénombrement
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 33. On place nn points dans l’espace tels que quatre points ne sont jamais coplanaires.

1. Combien de plans différents peut‑on construire à partir de ces points ?


2. Combien, au maximum, existe‑t‑il de droites qui soient des intersections de ces plans ?
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49
Combinatoire et dénombrement Calcul intégral

Soit nn un entier naturel. Pour un entier kk, compris entre 00 et nn, la kk‑ième fonction polynomiale de Bernstein est la fonction Bkn\mathrm{B}_{k}^{n} définie, pour tout x[0 ;1]x \in[0~; 1], par :
Bkn(x)=(nk)xk(1x)nk\mathrm{B}_{k}^{n}(x)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) x^{k}(1-x)^{n-k}.

1. Montrer que, pour tout entier kk compris entre 00 et nn et, pour tout x[0 ;1]x \in[0~; 1], Bkn(x)0\mathrm{B}_{k}^{n}(x) \geqslant 0.


2. a. Montrer que, pour tout entier kk compris entre 00 et nn et, pour tout x[0 ;1]x \in[0~; 1], Bkn(x)=Bnkn(1x)\mathrm{B}_{k}^{n}(x)=\mathrm{B}_{n-k}^{n}(1-x).


b. Que peut‑on en déduire sur les courbes représentatives des fonctions Bkn\mathrm{B}_{k}^{n} et Bnkn\mathrm{B}_{n-k}^{n} ?


3. On suppose désormais que k<nk \lt n.
a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que 01xk(1x)nkdx=nkk+101xk+1(1x)nk1dx\displaystyle\int_{0}^{1} x^{k}(1-x)^{n-k} \mathrm{d} x=\dfrac{n-k}{k+1} \displaystyle\int_{0}^{1} x^{k+1}(1-x)^{n-k-1} \mathrm{d} x.


b. En déduire que, pour tout entier kk tel que 0k<n0 \leqslant k\lt n, 01Bkn(x)dx=01Bk+1n(x)dx\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{B}_{k}^{n}(x) \mathrm{d} x=\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{B}_{k+1}^{n}(x) \mathrm{d} x.


c. En déduire que, pour tout entier kk tel que 0k<n0 \leqslant k\lt n, 01Bkn(x)dx=1n+1\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{B}_{k}^{n}(x) \mathrm{d} x=\dfrac{1}{n+1}.


4. On suppose que nn et kk sont distincts et non nuls.
Étudier les variations de la fonction Bkn\mathrm{B}_{k}^{n} sur [0 ;1][0~; 1].
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50
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Loi binomiale

Partie A
On lance trois fois de suite un dé non truqué à six faces numérotées de 11 à 66. On note xx le résultat du premier lancer, yy le résultat du deuxième lancer et zz le résultat du troisième lancer.
L’espace étant rapporté au repère (O ;i ,j ,k)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}), on considère les trois points de l’espace I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} de coordonnées respectives (x ;2 ;3)(x~; 2~; 3), (1 ;y ;3)(1~; y~; 3) et (1 ;2 ;z)(1~; 2~; z).

1. Déterminer la probabilité que les points I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} soient confondus.


2. Déterminer la probabilité que seuls les points I\text{I} et J\text{J} soient confondus.


3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux points soient confondus.


4. On suppose dans cette question que I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} sont distincts. Déterminer la probabilité que I\text{I}, J\text{J} et K\text{K} ne soient pas alignés.


Partie B
On considère le jeu qui consiste à lancer trois fois de ce suite le dé et à observer la position des points dans l’espace. Une partie est gagnée lorsque deux points exactement sont confondus. On joue nn parties et on appelle X\text{X} la variable aléatoire correspondant aux nombres de parties gagnées.

1. Déterminer la loi de probabilité de X\text{X}.


2. Dans cette question n=10n = 10.
a. Calculer P(X=5)\mathrm{P}(\mathrm{X}=5).


b. Calculer P(X>5)\mathrm{P}(\mathrm{X}>5).


3. Déterminer la plus petite valeur de nn telle que :
P(X1)0,999\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 1) \geqslant 0{,}999.
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51
Orthogonalité et distances dans l’espace
Compléments sur la dérivation

On considère un vecteur ut\overrightarrow{u_{t}} dont les coordonnées sont des fonctions dépendantes du temps tt.
On note ce vecteur ut(x(t)y(t)z(t))\overrightarrow{u}_{t}\left(\begin{array}{l}x(t) \\ y(t) \\ z(t)\end{array}\right).
On suppose, de plus, que la norme de ut\overrightarrow{u_{t}} est constante et non nulle.
On note dutdt\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_{t}}}{\mathrm{d} t} le vecteur dérivé de ut\overrightarrow{u_{t}} : les composantes de dutdt\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_{t}}}{\mathrm{d} t} sont les dérivées respectives de celles de ut\overrightarrow{u_{t}}.

1. a. On définit la fonction ff sur R\R par f(t)=ututf(t)=\overrightarrow{u_{t}} \cdot \overrightarrow{u_{t}}.
Calculer l’expression de ff en fonction de tt et démontrer que ff est strictement positive sur R\R.


b. On définit la fonction gg sur R\R par g(t)=f(t)g(t)=\sqrt{f(t)}.
Déterminer l’expression de gg', fonction dérivée de gg.


2. a. Déterminer le lien entre gg et la norme de ut\overrightarrow{u_{t}}.


b. Que peut‑on en déduire pour ut\overrightarrow{u_{t}} et dutdt\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_{t}}}{\mathrm{d} t} ?
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52
Orthogonalité et distances dans l’espace
Suites Limites de fonctions

On considère trois suites réelles (xn)(x_n), (yn)(y_n) et (zn)(z_n) définies pour tout nNn \in \N, et on définit la suite de vecteurs (un)(\overrightarrow{u_{n}}) telle que les coordonnées de un\overrightarrow{u_{n}} soient (xnynzn)\left(\begin{array}{l}x_{n} \\ y_{n} \\ z_{n}\end{array}\right) pour tout nNn \in \N.
Si les suites (xn)(x_n), (yn)(y_n) et (zn)(z_n) sont convergentes, alors on définit le vecteur u\overrightarrow{u} par u=limn+un\overrightarrow{u}=\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} \overrightarrow{u}_{n}, dont les coordonnées sont (limn+xnlimn+ynlimn+zn)\left(\begin{array}{c}\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} x_{n} \\ \lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} y_{n} \\ \lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} z_{n}\end{array}\right).

1. Pour tout nNn \in \N, on pose un\overrightarrow{u_{n}} le vecteur de coordonnées (n2n2+19+en360)\left(\begin{array}{c}\dfrac{n^{2}}{n^{2}+1} \\ -9+\mathrm{e}^{-n} \\ -360\end{array}\right).
Déterminer les coordonnées de u=limn+un\overrightarrow{u}=\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} \overrightarrow{u}_{n}.


2. Pour tout nNn \in \N, on pose les vecteurs suivants.
  • vn(n2n1)\overrightarrow{v}_{n}\left(\begin{array}{c}n^{2} \\ n \\ 1\end{array}\right)
  • rn(nenen0)\overrightarrow{r_{n}}\left(\begin{array}{c}n \mathrm{e}^{-n} \\ \mathrm{e}^{-n} \\ 0\end{array}\right)
Montrer que les vecteurs vn\overrightarrow{v_{n}} et rn\overrightarrow{r_{n}} tendent à être orthogonaux lorsque nn devient très grand.
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53
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Orthogonalité et distances dans l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ;i ,j ,k)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}).
On considère les points A(2 ;3 ;1)\mathrm{A}(2~; 3~; 1) et B(2 ;1 ;3)\mathrm{B}(-2~; 1~; 3) ainsi que le droite Δ\Delta de représentation paramétrique :
{x=t1y=2t+2z=t\left\{\begin{array}{l}x=t-1 \\ y=2 t+2 \\ z=t\end{array}\right., où tRt \in \R.

On note I\text{I} le milieu de [AB][\mathrm{AB}].
Déterminer, s’il existe, le point J\text{J} appartenant à Δ\Delta tel que la distance IJ\text{IJ} soit minimale.
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54
Suites Fonctions trigonométriques
Calcul intégral

D’après bac S, Polynésie, juin 2018

Dans cet exercice, on s’intéresse au volume d’une ampoule basse consommation.

Partie A : Modélisation de la forme de l’ampoule
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ;i ,j)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}).
On considère les points A(1 ;1)\mathrm{A}(-1~; 1), B(0 ;1)\mathrm{B}(0~; 1), C(4 ;3)\mathrm{C}(4~; 3), D(7 ;0)\mathrm{D}(7~; 0), E(4 ;3)\mathrm{E}(4~;-3), F(0 ;1)\mathrm{F}(0~;-1) et G(1 ;1)\mathrm{G}(-1~;-1).
On modélise la section de l’ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l’aide de la figure ci‑dessous.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 54

La partie de la courbe située au‑dessus de l’axe des abscisses se décompose de la manière suivante :
  • la portion située entre les points A\text{A} et B\text{B} est la représentation graphique de la fonction constante hh définie sur l’intervalle [1 ;0][-1~; 0] par h(x)=1h(x)=1 ;
  • la portion située entre les points B\text{B} et C\text{C} est la représentation graphique d’une fonction ff définie sur l’intervalle [0 ;4][0~; 4] par f(x)=a+bsin(c+π4x)f(x)=a+b \sin \left(c+\dfrac{\pi}{4} x\right), où aa, bb et cc sont des réels non nuls fixés et où le réel cc appartient à l’intervalle [0 ;π2]\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right] ;
  • la portion située entre les points C\text{C} et D\text{D} est un quart de cercle de diamètre [CE][\mathrm{CE}].

La partie de la courbe située en‑dessous de l’axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

1. a. On appelle ff' la fonction dérivée de ff. Pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;4][0~; 4], déterminer f(x)f'(x).


b. On impose que les tangentes aux points B\text{B} et C\text{C} à la représentation graphique de la fonction ff soient parallèles à l’axe des abscisses.
Déterminer la valeur du réel cc.


2. Déterminer les réels aa et bb.


Partie B : Approximation du volume de l’ampoule
Par rotation de la figure précédente autour de l’axe des abscisses, on obtient un modèle de l’ampoule. Afin d’en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci‑après.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 54

On admet que, pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;4][0~; 4] :
f(x)=2cos(π4x)f(x)=2-\cos \left(\dfrac{\pi}{4} x\right).

1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle ABFG\text{ABFG}.


2. Calculer le volume de la demi‑sphère de section le demi‑disque de diamètre [CE][\mathrm{CE}].


3. Pour approcher le volume du solide de section la zone verte BCEF\text{BCEF}, on partage le segment [OO]\left[\mathrm{OO}^{\prime}\right] ci‑dessous en nn segments de même longueur 4n\dfrac{4}{n} puis on construit nn cylindres de même hauteur 4n\dfrac{4}{n}.
a. Dans cette question, on choisit n=5n = 5.
Calculer le volume du troisième cylindre, en bleu dans la figure ci‑dessous, et en donner la valeur arrondie à 10210^{-2} près.


Maths spé - Exercices transversaux - exercice

b. Dans cette question, nn désigne un entier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section BCEF\text{BCEF} par la somme des volumes des nn cylindres ainsi créés, en choisissant une valeur de nn suffisamment grande.
Compléter l’algorithme suivant de sorte qu’à la fin de son exécution, la variable V contienne la somme des volumes des nn cylindres créés lorsque l’on saisit nn.

V = 0
for k in range(...,...) :
   V = ...
return(V)
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55
Limites de fonctions Continuité
Calcul intégral

Soit I=[0 ;+[\mathrm{I}=[0~;+\infty[ un intervalle de R\R. On appelle densité de probabilité sur I\text{I} toute fonction ff définie sur I\text{I} telle que :
  • ff est continue et positive sur I\text{I} ;
  • l’aire du domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées est égale à 11 unité d’aire.

1. Soit λ\lambda un réel strictement positif.
On définit la fonction ff sur [0 ;+[[0~;+\infty[ par f(x)=λeλxf(x)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}.
a. Montrer que ff est continue et positive sur [0 ;+[[0~;+\infty[.


b. Soient a>0a > 0 et F(a)\mathrm{F}(a) l’aire du domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0x = 0 et x=ax = a.
Montrer que, pour tout a>0a > 0, F(a)=1eλa\mathrm{F}(a)=1-\mathrm{e}^{-\lambda a}.


c. Déterminer la limite de F\text{F} lorsque aa tend vers ++\infty.


d. En déduire que ff est une densité de probabilité sur [0 ;+[[0~;+\infty[.


2. On dit qu’une variable aléatoire X\text{X} suit une loi exponentielle de paramètre λ\lambda, avec λ>0\lambda > 0, lorsque sa densité de probabilité est la fonction ff.
On a alors : P(X[a ;b])=abf(x)dx\mathrm{P}(\mathrm{X} \in[a~; b])=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x.
Déterminer, à 10310^{-3} près, P(500X1 500)\mathrm{P}(500 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 1~500) lorsque X\text{ X} suit la loi exponentielle de paramètre λ=104\lambda = 10^{-4}.


3. Soit gg la fonction définie sur [3 ;+[[3~;+\infty[ par g(x)=1(x2)2g(x)=\dfrac{1}{(x-2)^{2}}.
Montrer que gg est une densité de probabilité sur [3 ;+[[3~;+\infty[. On pourra s’inspirer de ce qui a été réalisé dans la question 1..
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56
Continuité Fonctions trigonométriques

1. Étudier sur R\R les variations de la fonction f:xxcos(x)f: x \mapsto x-\cos (x).


2. Montrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha, dont on donnera un encadrement d’amplitude 102 10^{2}.
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57
Continuité Fonctions trigonométriques

Soit ff la fonction définie pour tout x[1 ;5]x \in[-1~; 5] par :
f(x)=ex2(cos(x)+sin(x)2x+1)f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{2}(\cos (x)+\sin (x)-2 x+1).

1. Déterminer l’expression f(x)f'(x) pour x[1 ;5]x \in[-1~; 5].


2. Soit gg la fonction définie pour tout x[1 ;5]x \in[-1~; 5] par :
g(x)=2x32sin(x)g(x)=2 x-3-2 \sin (x).
a. Démontrer qu’il existe un unique réel α[2,2 ;2,3]\alpha \in[2{,}2~; 2{,}3] tel que g(α)=0g(\alpha)=0.


b. En déduire le tableau de variations de ff sur [1 ;5][-1~; 5].

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58
Continuité Fonctions trigonométriques
Calcul intégral Loi des grands nombres

Soit I=[a ;b]\mathrm{I}=[a~; b] un intervalle de R\R.
On appelle densité de probabilité sur I\text{I} toute fonction ff définie sur I\text{I} telle que :
  • ff est continue et positive sur I\text{I} ;
  • l’aire du domaine délimité par la courbe Cf\mathcal{C}_f de la fonction ff dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=ax = a et x=bx = b est égale à 11 unité d’aire.

On dit que X\text{X} est une variable aléatoire continue de densité ff lorsque, pour tous kk et kk' dans [a ;b][a~; b] P(kXk)=kkf(x)dx\mathrm{P}\left(k \leqslant \mathrm{X} \leqslant k^{\prime}\right)=\displaystyle\int_{k}^{k^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x.
On définit alors l’espérance d’une loi continue sur [a ;b][a~; b] de densité ff par :
E(X)=abxf(x)dx\mathrm{E}(\mathrm{X})=\displaystyle\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x et E(X2)=abx2f(x)dx\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)=\displaystyle\int_{a}^{b} x^{2} f(x) \mathrm{d} x.

1. Montrer que la fonction f:xcos(x)f: x \mapsto \cos (x) est une densité sur [0 ;π2]\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right].


2. Calculer l’espérance de X\text{X} de densité ff sur [0 ;π2]\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right].


3. On rappelle la formule de König‑Huygens :
V(X)=E(X2)(E(X))2\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-(\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}.
Calculer alors la variance de X\text{X}.


4. On admet que l’inégalité de Bienaymé‑Tchebychev est valable pour les lois continues.
Majorer alors P(XE(X)12)\mathrm{P}\left(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant \dfrac{1}{2}\right).
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59
Limites de fonctions Calcul intégral

1. On considère un réel A>0\mathrm{A} > 0 et on note IA\mathrm{I}_{\mathrm{A}} l’intégrale IA=1Axex2dx\mathrm{I}_{\mathrm{A}}=\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{A}} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x.
a. Calculer IA\mathrm{I}_{\mathrm{A}} en fonction de A\text{A}.


b. En déduire limA+IA\lim\limits_{\substack{\mathrm{A} \rightarrow+\infty}} \mathrm{I}_{\mathrm{A}}.
Le résultat obtenu se note 1+xex2dx\displaystyle\int_{1}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x. On parle d’intégrale impropre.


2. De la même manière, démontrer que 3+x(x25)2dx=18\displaystyle\int_{3}^{+\infty} \dfrac{x}{\left(x^{2}-5\right)^{2}} \mathrm{d} x=\dfrac{1}{8}.
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60
Orthogonalité et distances dans l’espace
Fonctions trigonométriques

Déterminer l’ensemble des réels aa et bb appartenant à l’intervalle [π ;π][-\pi~; \pi] de sorte que, dans un repère orthonormé de l’espace, le plan P1:cos(a)x+sin(a)y+z=1\mathcal{P}_{1}: \cos (a) x+\sin (a) y+z=1 soit perpendiculaire à la fois au plan P2:cos(2b)x+sin(2b)y+0,5z=2\mathcal{P}_{2}: \cos (2 b) x+\sin (2 b) y+0{,}5 z=2 et au plan P3:sin(2b)x+cos(2b)y0,5z=3\mathcal{P}_{3}: \sin (2 b) x+\cos (2 b) y-0{,}5 z=3.
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61
Compléments sur la dérivation
Calcul intégral

D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019

On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [10 ;5][-10~; 5] par f(x)=(x5)e0,2x+5f(x)=(x-5) \mathrm{e}^{0{,}2 x}+5 et on note C\mathcal{C} sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. On note ff' la fonction dérivée de ff sur [10 ;5][-10~; 5].
a. Montrer que, pour tout x[10 ;5]x \in[-10~; 5], f(x)=0,2xe0,2xf^{\prime}(x)=0{,}2 x \mathrm{e}^{0{,}2 x}.


b. Dresser le tableau de variations de ff sur [10 ;5][-10~; 5].

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c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T\text{T} à C\mathcal{C} au point A\text{A} d’abscisse 5-5.


2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 61

a. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de ff, notée ff'', est définie par f(x)=(0,2+0,04x)e0,2xf^{\prime \prime}(x)=(0{,}2+0{,}04 x) \mathrm{e}^{0{,}2 x}.


b. Étudier la convexité de la fonction ff sur [10 ;5][-10~; 5].


3. On définit la fonction F\text{F} sur [10 ;5][-10~; 5] par :
F(x)=(5x50)e0,2x+5x\mathrm{F}(x)=(5 x-50) \mathrm{e}^{0{,}2 x}+5 x.
a. Démontrer que F\text{F} est une primitive de ff sur [10 ;5][-10~; 5].


b. Calculer la valeur exacte de I=05f(x)dx\mathrm{I}=\displaystyle\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x.


c. Déterminer l’aire du domaine délimité par la courbe C\mathcal{C} et les trois droites d’équations respectives x=0x = 0, x=5x = 5 et y=xy = x. On donnera le résultat en unité d’aire, arrondi à 10210^{-2} près.
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62
Suites Limites de fonctions
Fonctions trigonométriques

Partie A
Soit ff la fonction définie sur [0 ;+[[0~;+\infty[ par :
f(x)=x21cos2(x)f(x)=x^{2}-1-\cos ^{2}(x).

1. Déterminer limx+f(x)\lim\limits_{\substack{x \rightarrow+\infty}} f(x).


2. On admet que pour tout réel xx :
sin(2x)=2cos(x)sin(x)\sin (2 x)=2 \cos (x) \sin (x).
Montrer que, pour tout réel xx, f(x)=2x+sin(2x)f^{\prime}(x)=2 x+\sin (2 x).


3. a. Calculer f(0)f'(0) et démontrer que, pour tout x>0x > 0, f(x)>0f^{\prime}(x)>0.


b. En déduire les variations de ff sur [0 ;+[[0~;+\infty[.


4. Démontrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution dans [0 ;+[[0~;+\infty[. On note α\alpha cette solution.


5. À l’aide de la calculatrice, encadrer α\alpha à 10210^{-2} près.


Partie B
Soit (un)(u_n), la suite définie par u0=10u_0=10 et, pour tout entier naturel nn, un+1=1+cos2(un)u_{n+1}=\sqrt{1+\cos ^{2}\left(u_{n}\right)}.

1. Montrer que, pour tout n2n \geqslant 2, on a 1<un<1,21 \lt u_{n} \lt 1{,}2.


2. a. Justifier que la suite (un)(u_n) ne peut ni diverger vers ++\infty, ni vers -\infty.


b. Justifier que si (un)(u_n) converge vers un réel \ell, alors nécessairement [1 ;1,2]\ell \in[1~; 1{,}2].


Partie C

À partir des deux premières parties, montrer que si (un)(u_n) converge vers un réel \ell, alors =α\ell = \alpha.
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63
Combinatoire et dénombrement
Loi binomiale

Soient aa un nombre réel strictement positif et kk un entier naturel fixé. Soit Xn\mathrm{X}_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p) telle que np=anp = a.
Par définition, on dit qu’une variable aléatoire Y\text{Y} suit une loi de Poisson de paramètre aa lorsque :
P(Y=k)=akk!ea\mathrm{P}(\mathrm{Y}=k)=\dfrac{a^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-a}.
On souhaite montrer qu’une loi binomiale converge vers une loi de Poisson.

1. Montrer que, pour tous entiers naturels nn et knk \leqslant n :
P(Xn=k)=n(n1)(n2)(nk+1)k!pk(1p)nk\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}=k\right)=\dfrac{n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)}{k !} p^{k}(1-p)^{n-k}.


2. En factorisant astucieusement chacun des facteurs du numérateur, montrer que, pour tout entier naturel n>0n > 0 :
P(Xn=k)=(np)kk!(11n)(12n)(1k1n)(1p)nk\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}=k\right)=\dfrac{(n p)^{k}}{k !}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)(1-p)^{n-k}.


3. En utilisant np=anp = a, réécrire l’égalité précédente sans utiliser pp.


4. Déterminer limn+(11n)(12n)(1k1n)\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) \ldots\left(1-\dfrac{k-1}{n}\right).


5. a. Déterminer limn+(1an)k\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{-k}.


b. Déterminer limn+(1an)n\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{n}.


6. Après avoir remarqué que :
(1an)nk=(1an)n(1an)k\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{n-k}=\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{n}\left(1-\dfrac{a}{n}\right)^{-k},
déterminer limn+P(Xn=k)\lim\limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}=k\right) et conclure.


Remarque : En pratique, on applique cette approximation dès que n50n \geqslant 50 et p<0,1p \lt 0{,}1.
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Problèmes ouverts


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Déterminer, en justifiant, le nombre exact de solutions de l’équation (ln(x))2=ln(x2)(\ln (x))^{2}=\ln \left(x^{2}\right) sur ]0 ;+[]0~;+\infty[.
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Rachid, artiste, souhaite peindre un cœur sur un mur. Il utilise, dans un repère orthonormal d’unité 22 mètres, les fonctions ff et gg définies sur [π ;π][-\pi~; \pi] par f(x)=sin(x)f(x)=\sin (|x|) et g(x)=5πx5g(x)=\dfrac{5}{\pi}|x|-5.
Déterminer le nombre de pots de peinture nécessaire à Rachid, sachant que deux couches seront appliquées et qu’un pot de deux litres permet de recouvrir 2424 m2.
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