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Exercices transversaux de 48 à 65
P.441-444

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Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

Divers


48
Combinatoire et dénombrement
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Soit un entier naturel supérieur ou égal à . On place points dans l’espace tels que quatre points ne sont jamais coplanaires.

1. Combien de plans différents peut‑on construire à partir de ces points ?


2. Combien, au maximum, existe‑t‑il de droites qui soient des intersections de ces plans ?
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49
Combinatoire et dénombrement Calcul intégral

Soit un entier naturel. Pour un entier , compris entre et , la ‑ième fonction polynomiale de Bernstein est la fonction définie, pour tout , par :
.

1. Montrer que, pour tout entier compris entre et et, pour tout , .


2. a. Montrer que, pour tout entier compris entre et et, pour tout , .


b. Que peut‑on en déduire sur les courbes représentatives des fonctions et  ?


3. On suppose désormais que .
a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que .


b. En déduire que, pour tout entier tel que , .


c. En déduire que, pour tout entier tel que , .


4. On suppose que et sont distincts et non nuls.
Étudier les variations de la fonction sur .
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50
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Loi binomiale

Partie A
On lance trois fois de suite un dé non truqué à six faces numérotées de à . On note le résultat du premier lancer, le résultat du deuxième lancer et le résultat du troisième lancer.
L’espace étant rapporté au repère , on considère les trois points de l’espace , et de coordonnées respectives , et .

1. Déterminer la probabilité que les points , et soient confondus.


2. Déterminer la probabilité que seuls les points et soient confondus.


3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux points soient confondus.


4. On suppose dans cette question que , et sont distincts. Déterminer la probabilité que , et ne soient pas alignés.


Partie B
On considère le jeu qui consiste à lancer trois fois de ce suite le dé et à observer la position des points dans l’espace. Une partie est gagnée lorsque deux points exactement sont confondus. On joue parties et on appelle la variable aléatoire correspondant aux nombres de parties gagnées.

1. Déterminer la loi de probabilité de .


2. Dans cette question .
a. Calculer .


b. Calculer .


3. Déterminer la plus petite valeur de telle que :
.
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51
Orthogonalité et distances dans l’espace
Compléments sur la dérivation

On considère un vecteur dont les coordonnées sont des fonctions dépendantes du temps .
On note ce vecteur .
On suppose, de plus, que la norme de est constante et non nulle.
On note le vecteur dérivé de  : les composantes de sont les dérivées respectives de celles de .

1. a. On définit la fonction sur par .
Calculer l’expression de en fonction de et démontrer que est strictement positive sur .


b. On définit la fonction sur par .
Déterminer l’expression de , fonction dérivée de .


2. a. Déterminer le lien entre et la norme de .


b. Que peut‑on en déduire pour et  ?
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52
Orthogonalité et distances dans l’espace
Suites Limites de fonctions

On considère trois suites réelles , et définies pour tout , et on définit la suite de vecteurs telle que les coordonnées de soient pour tout .
Si les suites , et sont convergentes, alors on définit le vecteur par , dont les coordonnées sont .

1. Pour tout , on pose le vecteur de coordonnées .
Déterminer les coordonnées de .


2. Pour tout , on pose les vecteurs suivants.
Montrer que les vecteurs et tendent à être orthogonaux lorsque devient très grand.
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53
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Orthogonalité et distances dans l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé .
On considère les points et ainsi que le droite de représentation paramétrique :
, où .

On note le milieu de .
Déterminer, s’il existe, le point appartenant à tel que la distance soit minimale.
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54
Suites Fonctions trigonométriques
Calcul intégral

D’après bac S, Polynésie, juin 2018

Dans cet exercice, on s’intéresse au volume d’une ampoule basse consommation.

Partie A : Modélisation de la forme de l’ampoule
Le plan est muni d’un repère orthonormé .
On considère les points , , , , , et .
On modélise la section de l’ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l’aide de la figure ci‑dessous.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 54

La partie de la courbe située au‑dessus de l’axe des abscisses se décompose de la manière suivante :
  • la portion située entre les points et est la représentation graphique de la fonction constante définie sur l’intervalle par  ;
  • la portion située entre les points et est la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle par , où , et sont des réels non nuls fixés et où le réel appartient à l’intervalle  ;
  • la portion située entre les points et est un quart de cercle de diamètre .

La partie de la courbe située en‑dessous de l’axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

1. a. On appelle la fonction dérivée de . Pour tout réel de l’intervalle , déterminer .


b. On impose que les tangentes aux points et à la représentation graphique de la fonction soient parallèles à l’axe des abscisses.
Déterminer la valeur du réel .


2. Déterminer les réels et .


Partie B : Approximation du volume de l’ampoule
Par rotation de la figure précédente autour de l’axe des abscisses, on obtient un modèle de l’ampoule. Afin d’en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci‑après.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 54

On admet que, pour tout réel de l’intervalle  :
.

1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle .


2. Calculer le volume de la demi‑sphère de section le demi‑disque de diamètre .


3. Pour approcher le volume du solide de section la zone verte , on partage le segment ci‑dessous en segments de même longueur puis on construit cylindres de même hauteur .
a. Dans cette question, on choisit .
Calculer le volume du troisième cylindre, en bleu dans la figure ci‑dessous, et en donner la valeur arrondie à près.


Maths spé - Exercices transversaux - exercice

b. Dans cette question, désigne un entier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section par la somme des volumes des cylindres ainsi créés, en choisissant une valeur de suffisamment grande.
Compléter l’algorithme suivant de sorte qu’à la fin de son exécution, la variable V contienne la somme des volumes des cylindres créés lorsque l’on saisit .

V = 0
for k in range(...,...) :
   V = ...
return(V)
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55
Limites de fonctions Continuité
Calcul intégral

Soit un intervalle de . On appelle densité de probabilité sur toute fonction définie sur telle que :
  • est continue et positive sur  ;
  • l’aire du domaine délimité par la courbe de la fonction dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées est égale à unité d’aire.

1. Soit un réel strictement positif.
On définit la fonction sur par .
a. Montrer que est continue et positive sur .


b. Soient et l’aire du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .
Montrer que, pour tout , .


c. Déterminer la limite de lorsque tend vers .


d. En déduire que est une densité de probabilité sur .


2. On dit qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre , avec , lorsque sa densité de probabilité est la fonction .
On a alors : .
Déterminer, à près, lorsque suit la loi exponentielle de paramètre .


3. Soit la fonction définie sur par .
Montrer que est une densité de probabilité sur . On pourra s’inspirer de ce qui a été réalisé dans la question 1..
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56
Continuité Fonctions trigonométriques

1. Étudier sur les variations de la fonction .


2. Montrer que l’équation admet une unique solution , dont on donnera un encadrement d’amplitude .
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57
Continuité Fonctions trigonométriques

Soit la fonction définie pour tout par :
.

1. Déterminer l’expression pour .


2. Soit la fonction définie pour tout par :
.
a. Démontrer qu’il existe un unique réel tel que .


b. En déduire le tableau de variations de sur .

Couleurs
Formes
Dessinez ici
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58
Continuité Fonctions trigonométriques
Calcul intégral Loi des grands nombres

Soit un intervalle de .
On appelle densité de probabilité sur toute fonction définie sur telle que :
  • est continue et positive sur  ;
  • l’aire du domaine délimité par la courbe de la fonction dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives et est égale à unité d’aire.

On dit que est une variable aléatoire continue de densité lorsque, pour tous et dans .
On définit alors l’espérance d’une loi continue sur de densité par :
et .

1. Montrer que la fonction est une densité sur .


2. Calculer l’espérance de de densité sur .


3. On rappelle la formule de König‑Huygens :
.
Calculer alors la variance de .


4. On admet que l’inégalité de Bienaymé‑Tchebychev est valable pour les lois continues.
Majorer alors .
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59
Limites de fonctions Calcul intégral

1. On considère un réel et on note l’intégrale .
a. Calculer en fonction de .


b. En déduire .
Le résultat obtenu se note . On parle d’intégrale impropre.


2. De la même manière, démontrer que .
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60
Orthogonalité et distances dans l’espace
Fonctions trigonométriques

Déterminer l’ensemble des réels et appartenant à l’intervalle de sorte que, dans un repère orthonormé de l’espace, le plan soit perpendiculaire à la fois au plan et au plan .
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61
Compléments sur la dérivation
Calcul intégral

D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019

On considère la fonction définie sur l’intervalle par et on note sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. On note la fonction dérivée de sur .
a. Montrer que, pour tout , .


b. Dresser le tableau de variations de sur .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente à au point d’abscisse .


2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 61

a. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de , notée , est définie par .


b. Étudier la convexité de la fonction sur .


3. On définit la fonction sur par :
.
a. Démontrer que est une primitive de sur .


b. Calculer la valeur exacte de .


c. Déterminer l’aire du domaine délimité par la courbe et les trois droites d’équations respectives , et . On donnera le résultat en unité d’aire, arrondi à près.
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62
Suites Limites de fonctions
Fonctions trigonométriques

Partie A
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer .


2. On admet que pour tout réel  :
.
Montrer que, pour tout réel , .


3. a. Calculer et démontrer que, pour tout , .


b. En déduire les variations de sur .


4. Démontrer que l’équation admet une unique solution dans . On note cette solution.


5. À l’aide de la calculatrice, encadrer à près.


Partie B
Soit , la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Montrer que, pour tout , on a .


2. a. Justifier que la suite ne peut ni diverger vers , ni vers .


b. Justifier que si converge vers un réel , alors nécessairement .


Partie C

À partir des deux premières parties, montrer que si converge vers un réel , alors .
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63
Combinatoire et dénombrement
Loi binomiale

Soient un nombre réel strictement positif et un entier naturel fixé. Soit une variable aléatoire suivant une loi binomiale telle que .
Par définition, on dit qu’une variable aléatoire suit une loi de Poisson de paramètre lorsque :
.
On souhaite montrer qu’une loi binomiale converge vers une loi de Poisson.

1. Montrer que, pour tous entiers naturels et  :
.


2. En factorisant astucieusement chacun des facteurs du numérateur, montrer que, pour tout entier naturel  :
.


3. En utilisant , réécrire l’égalité précédente sans utiliser .


4. Déterminer .


5. a. Déterminer .


b. Déterminer .


6. Après avoir remarqué que :
,
déterminer et conclure.


Remarque : En pratique, on applique cette approximation dès que et .
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Problèmes ouverts


64
Déterminer, en justifiant, le nombre exact de solutions de l’équation sur .
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65
Rachid, artiste, souhaite peindre un cœur sur un mur. Il utilise, dans un repère orthonormal d’unité mètres, les fonctions et définies sur par et .
Déterminer le nombre de pots de peinture nécessaire à Rachid, sachant que deux couches seront appliquées et qu’un pot de deux litres permet de recouvrir  m2.
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