Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l'exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

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Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$. On place $n$ points dans l'espace tels que quatre points ne sont jamais coplanaires.

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D'après bac S, Polynésie, juin 2018

Dans cet exercice, on s'intéresse au volume d'une ampoule basse consommation. Partie A : Modélisation de la forme de l'ampoule
1. a. On appelle $f^{\prime }$ la fonction dérivée de $f$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;4]$, déterminer $f^{\prime }(x)$.

b. On impose que les tangentes aux points $\text{B}$ et $\text{C}$ à la représentation graphique de la fonction $f$ soient parallèles à l'axe des abscisses.
Déterminer la valeur du réel $c$.

2. Déterminer les réels $a$ et $b$.

Partie B : Approximation du volume de l'ampoule
Par rotation de la figure précédente autour de l'axe des abscisses, on obtient un modèle de l'ampoule. Afin d'en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci‑après.


On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;4]$ :
1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle $\text{ABFG}$.

2. Calculer le volume de la demi‑sphère de section le demi‑disque de diamètre $[\mathrm{CE}]$.

3. Pour approcher le volume du solide de section la zone verte $\text{BCEF}$, on partage le segment $\left[{\mathrm{OO}}^{\prime }\right]$ ci‑dessous en $n$ segments de même longueur $\frac{4}{n}$ puis on construit $n$ cylindres de même hauteur $\frac{4}{n}$.

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Soit $\mathrm{I}=[0;+\infty [$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On appelle densité de probabilité sur $\text{I}$ toute fonction $f$ définie sur $\text{I}$ telle que :

• $f$ est continue et positive sur $\text{I}$ ;
• l'aire du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées est égale à $1$ unité d'aire.

1. Soit $\lambda$ un réel strictement positif.
On définit la fonction $f$ sur $[0;+\infty [$ par $f(x)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}$.

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1. Étudier sur $\mathbb{R}$ les variations de la fonction $f:x\mapsto x-\cos (x)$.

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^2$.

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Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in [-1;5]$ par :
1. Déterminer l'expression $f^{\prime }(x)$ pour $x\in [-1;5]$.

2. Soit $g$ la fonction définie pour tout $x\in [-1;5]$ par : a. Démontrer qu'il existe un unique réel $\alpha \in [2,2;2,3]$ tel que $g(\alpha )=0$.

b. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-1;5]$.

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Soit $\mathrm{I}=[a;b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$.
On appelle densité de probabilité sur $\text{I}$ toute fonction $f$ définie sur $\text{I}$ telle que :

• $f$ est continue et positive sur $\text{I}$ ;
• l'aire du domaine délimité par la courbe ${\mathcal{C}}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=a$ et $x=b$ est égale à $1$ unité d'aire.

On dit que $\text{X}$ est une variable aléatoire continue de densité $f$ lorsque, pour tous $k$ et $k^{\prime }$ dans $[a;b]$ $\mathrm{P}\left(k⩽\mathrm{X}⩽k^{\prime }\right)={\int }_k^{k^{\prime }}f(x)\mathrm{d}x$.
On définit alors l'espérance d'une loi continue sur $[a;b]$ de densité $f$ par :

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1. On considère un réel $\mathrm{A}>0$ et on note ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$ l'intégrale ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}={\int }_1^{\mathrm{A}}x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$.
a. Calculer ${\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$ en fonction de $\text{A}$.

b. En déduire $\underset{\begin{array}{c}\mathrm{A}\to +\infty \end{array}}{\lim }{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}$.
Le résultat obtenu se note ${\int }_1^{+\infty }x{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$. On parle d'intégrale impropre.

2. De la même manière, démontrer que ${\int }_3^{+\infty }\frac{x}{{\left(x^2-5\right)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{8}$.

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Déterminer l'ensemble des réels $a$ et $b$ appartenant à l'intervalle $[-\pi ;\pi ]$ de sorte que, dans un repère orthonormé de l'espace, le plan ${\mathcal{P}}_1:\cos (a)x+\sin (a)y+z=1$ soit perpendiculaire à la fois au plan ${\mathcal{P}}_2:\cos (2b)x+\sin (2b)y+0,5z=2$ et au plan ${\mathcal{P}}_3:\sin (2b)x+\cos (2b)y-0,5z=3$.

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D'après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10;5]$ par $f(x)=(x-5){\mathrm{e}}^{0,2x}+5$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

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Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par : Partie B
Soit $(u_n)$, la suite définie par $u_0=10$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{1+{\cos }^2\left(u_n\right)}$.

1. Montrer que, pour tout $n⩾2$, on a $1<u_n<1,2$.

Partie C

À partir des deux premières parties, montrer que si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$, alors $\ell =\alpha$.

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Soient $a$ un nombre réel strictement positif et $k$ un entier naturel fixé. Soit ${\mathrm{X}}_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ telle que $np=a$.
Par définition, on dit qu'une variable aléatoire $\text{Y}$ suit une loi de Poisson de paramètre $a$ lorsque : On souhaite montrer qu'une loi binomiale converge vers une loi de Poisson.