Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.
Divers
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①Combinatoire et dénombrement ②Vecteurs, droites et plans de l’espace
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On place n points dans l’espace tels que quatre points ne sont jamais coplanaires.
1. Combien de plans différents peut‑on construire à partir de ces points ?
2. Combien, au maximum, existe‑t‑il de droites qui soient des intersections de ces plans ?
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①Combinatoire et dénombrement⑪Calcul intégral
Soit n un entier naturel. Pour un entier k, compris entre 0 et n, la k‑ième fonction polynomiale de Bernstein est la fonction Bkn définie, pour tout x∈[0;1], par :
Bkn(x)=(nk)xk(1−x)n−k.
1. Montrer que, pour tout entier k compris entre 0 et n et, pour tout x∈[0;1], Bkn(x)⩾0.
2.a. Montrer que, pour tout entier k compris entre 0 et n et, pour tout x∈[0;1], Bkn(x)=Bn−kn(1−x).
b. Que peut‑on en déduire sur les courbes représentatives des fonctions Bkn et Bn−kn ?
3. On suppose désormais que k<n.
a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que ∫01xk(1−x)n−kdx=k+1n−k∫01xk+1(1−x)n−k−1dx.
b. En déduire que, pour tout entier k tel que 0⩽k<n, ∫01Bkn(x)dx=∫01Bk+1n(x)dx.
c. En déduire que, pour tout entier k tel que 0⩽k<n, ∫01Bkn(x)dx=n+11.
4. On suppose que n et k sont distincts et non nuls.
Étudier les variations de la fonction Bkn sur [0;1].
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②Vecteurs, droites et plans de l’espace ⑫Loi binomiale
Partie A
On lance trois fois de suite un dé non truqué à six faces numérotées de 1 à 6. On note x le résultat du premier lancer, y le résultat du deuxième lancer et z le résultat du troisième lancer.
L’espace étant rapporté au repère (O;i,j,k), on considère les trois points de l’espace I, J et K de coordonnées respectives (x;2;3), (1;y;3) et (1;2;z).
1. Déterminer la probabilité que les points I, J et K soient confondus.
2. Déterminer la probabilité que seuls les points I et J soient confondus.
3. Déterminer la probabilité qu’exactement deux points soient confondus.
4. On suppose dans cette question que I, J et K sont distincts. Déterminer la probabilité que I, J et K ne soient pas alignés.
Partie B
On considère le jeu qui consiste à lancer trois fois de ce suite le dé et à observer la position des points dans l’espace. Une partie est gagnée lorsque deux points exactement sont confondus. On joue n parties et on appelle X la variable aléatoire correspondant aux nombres de parties gagnées.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Dans cette question n=10.
a. Calculer P(X=5).
b. Calculer P(X>5).
3. Déterminer la plus petite valeur de n telle que :
P(X⩾1)⩾0,999.
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③Orthogonalité et distances dans l’espace ⑦Compléments sur la dérivation
On considère un vecteur ut dont les coordonnées sont des fonctions dépendantes du temps t.
On note ce vecteur ut⎝⎛x(t)y(t)z(t)⎠⎞.
On suppose, de plus, que la norme de ut est constante et non nulle.
On note dtdut le vecteur dérivé de ut : les composantes de dtdut sont les dérivées respectives de celles de ut.
1.a. On définit la fonction f sur R par f(t)=ut⋅ut.
Calculer l’expression de f en fonction de t et démontrer que f est strictement positive sur R.
b. On définit la fonction g sur R par g(t)=f(t).
Déterminer l’expression de g′, fonction dérivée de g.
2.a. Déterminer le lien entre g et la norme de ut.
b. Que peut‑on en déduire pour ut et dtdut ?
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③Orthogonalité et distances dans l’espace ④Suites⑤Limites de fonctions
On considère trois suites réelles (xn), (yn) et (zn) définies pour tout n∈N, et on définit la suite de vecteurs (un) telle que les coordonnées de un soient ⎝⎛xnynzn⎠⎞ pour tout n∈N.
Si les suites (xn), (yn) et (zn) sont convergentes, alors on définit le vecteur u par u=n→+∞limun, dont les coordonnées sont ⎝⎜⎜⎜⎛n→+∞limxnn→+∞limynn→+∞limzn⎠⎟⎟⎟⎞.
1. Pour tout n∈N, on pose un le vecteur de coordonnées ⎝⎜⎜⎛n2+1n2−9+e−n−360⎠⎟⎟⎞.
Déterminer les coordonnées de u=n→+∞limun.
2. Pour tout n∈N, on pose les vecteurs suivants.
vn⎝⎛n2n1⎠⎞
rn⎝⎛ne−ne−n0⎠⎞
Montrer que les vecteurs vn et rn tendent à être orthogonaux lorsque n devient très grand.
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②Vecteurs, droites et plans de l’espace ③Orthogonalité et distances dans l’espace
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i,j,k).
On considère les points A(2;3;1) et B(−2;1;3) ainsi que le droite Δ de représentation paramétrique :
⎩⎪⎨⎪⎧x=t−1y=2t+2z=t, où t∈R.
On note I le milieu de [AB].
Déterminer, s’il existe, le point J appartenant à Δ tel que la distance IJ soit minimale.
Dans cet exercice, on s’intéresse au volume d’une ampoule basse consommation.
Partie A : Modélisation de la forme de l’ampoule
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;i,j).
On considère les points A(−1;1), B(0;1), C(4;3), D(7;0), E(4;−3), F(0;−1) et G(−1;−1).
On modélise la section de l’ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l’aide de la figure ci‑dessous.
La partie de la courbe située au‑dessus de l’axe des abscisses se décompose de la manière suivante :
la portion située entre les points A et B est la représentation graphique de la fonction constante h définie sur l’intervalle [−1;0] par h(x)=1 ;
la portion située entre les points B et C est la représentation graphique d’une fonction f définie sur l’intervalle [0;4] par f(x)=a+bsin(c+4πx), où a, b et c sont des réels non nuls fixés et où le réel c appartient à l’intervalle [0;2π] ;
la portion située entre les points C et D est un quart de cercle de diamètre [CE].
La partie de la courbe située en‑dessous de l’axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
1.a. On appelle f′ la fonction dérivée de f. Pour tout réel x de l’intervalle [0;4], déterminer f′(x).
b. On impose que les tangentes aux points B et C à la représentation graphique de la fonction f soient parallèles à l’axe des abscisses.
Déterminer la valeur du réel c.
2. Déterminer les réels a et b.
Partie B : Approximation du volume de l’ampoule
Par rotation de la figure précédente autour de l’axe des abscisses, on obtient un modèle de l’ampoule. Afin d’en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci‑après.
On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [0;4] :
f(x)=2−cos(4πx).
1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle ABFG.
2. Calculer le volume de la demi‑sphère de section le demi‑disque de diamètre [CE].
3. Pour approcher le volume du solide de section la zone verte BCEF, on partage le segment [OO′] ci‑dessous en n segments de même longueur n4 puis on construit n cylindres de même hauteur n4.
a. Dans cette question, on choisit n=5.
Calculer le volume du troisième cylindre, en bleu dans la figure ci‑dessous, et en donner la valeur arrondie à 10−2 près.
b. Dans cette question, n désigne un entier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section BCEF par la somme des volumes des n cylindres ainsi créés, en choisissant une valeur de n suffisamment grande.
Compléter l’algorithme suivant de sorte qu’à la fin de son exécution, la variable V contienne la somme des volumes des n cylindres créés lorsque l’on saisit n.
V = 0
for k in range(...,...) :
V = ...
return(V)
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⑤Limites de fonctions⑥Continuité ⑪Calcul intégral
Soit I=[0;+∞[ un intervalle de R. On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I telle que :
f est continue et positive sur I ;
l’aire du domaine délimité par la courbe Cf de la fonction f dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées est égale à 1 unité d’aire.
1. Soit λ un réel strictement positif.
On définit la fonction f sur [0;+∞[ par f(x)=λe−λx.
a. Montrer que f est continue et positive sur [0;+∞[.
b. Soient a>0 et F(a) l’aire du domaine délimité par la courbe Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=0 et x=a.
Montrer que, pour tout a>0, F(a)=1−e−λa.
c. Déterminer la limite de F lorsque a tend vers +∞.
d. En déduire que f est une densité de probabilité sur [0;+∞[.
2. On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètreλ, avec λ>0, lorsque sa densité de probabilité est la fonction f.
On a alors : P(X∈[a;b])=∫abf(x)dx.
Déterminer, à 10−3 près, P(500⩽X⩽1500) lorsque X suit la loi exponentielle de paramètre λ=10−4.
3. Soit g la fonction définie sur [3;+∞[ par g(x)=(x−2)21.
Montrer que g est une densité de probabilité sur [3;+∞[. On pourra s’inspirer de ce qui a été réalisé dans la question 1..
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⑥Continuité⑨Fonctions trigonométriques
1. Étudier sur R les variations de la fonction f:x↦x−cos(x).
2. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α, dont on donnera un encadrement d’amplitude 102.
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⑥Continuité⑨Fonctions trigonométriques
Soit f la fonction définie pour tout x∈[−1;5] par :
f(x)=2e−x(cos(x)+sin(x)−2x+1).
1. Déterminer l’expression f′(x) pour x∈[−1;5].
2. Soit g la fonction définie pour tout x∈[−1;5] par :
g(x)=2x−3−2sin(x).
a. Démontrer qu’il existe un unique réel α∈[2,2;2,3] tel que g(α)=0.
b. En déduire le tableau de variations de f sur [−1;5].
Dessinez ici
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⑥Continuité⑨Fonctions trigonométriques ⑪Calcul intégral⑭Loi des grands nombres
Soit I=[a;b] un intervalle de R.
On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I telle que :
f est continue et positive sur I ;
l’aire du domaine délimité par la courbe Cf de la fonction f dans un repère orthonormé, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=a et x=b est égale à 1 unité d’aire.
On dit que X est une variable aléatoire continue de densité f lorsque, pour tous k et k′ dans [a;b]P(k⩽X⩽k′)=∫kk′f(x)dx.
On définit alors l’espérance d’une loi continue sur [a;b] de densité f par :
E(X)=∫abxf(x)dx et E(X2)=∫abx2f(x)dx.
1. Montrer que la fonction f:x↦cos(x) est une densité sur [0;2π].
2. Calculer l’espérance de X de densité f sur [0;2π].
3. On rappelle la formule de König‑Huygens :
V(X)=E(X2)−(E(X))2.
Calculer alors la variance de X.
4. On admet que l’inégalité de Bienaymé‑Tchebychev est valable pour les lois continues.
Majorer alors P(∣X−E(X)∣⩾21).
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⑤Limites de fonctions⑪Calcul intégral
1. On considère un réel A>0 et on note IA l’intégrale IA=∫1Axe−x2dx.
a. Calculer IA en fonction de A.
b. En déduire A→+∞limIA.
Le résultat obtenu se note ∫1+∞xe−x2dx. On parle d’intégrale impropre.
2. De la même manière, démontrer que ∫3+∞(x2−5)2xdx=81.
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③Orthogonalité et distances dans l’espace ⑨Fonctions trigonométriques
Déterminer l’ensemble des réels a et b appartenant à l’intervalle [−π;π] de sorte que, dans un repère orthonormé de l’espace, le plan P1:cos(a)x+sin(a)y+z=1 soit perpendiculaire à la fois au plan P2:cos(2b)x+sin(2b)y+0,5z=2 et au plan P3:sin(2b)x+cos(2b)y−0,5z=3.
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⑦Compléments sur la dérivation ⑪Calcul intégral
D’après bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−10;5] par f(x)=(x−5)e0,2x+5 et on note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. On note f′ la fonction dérivée de f sur [−10;5].
a. Montrer que, pour tout x∈[−10;5], f′(x)=0,2xe0,2x.
b. Dresser le tableau de variations de f sur [−10;5].
Dessinez ici
c. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T à C au point A d’abscisse −5.
2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.
a. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de f, notée f′′, est définie par f′′(x)=(0,2+0,04x)e0,2x.
b. Étudier la convexité de la fonction f sur [−10;5].
3. On définit la fonction F sur [−10;5] par :
F(x)=(5x−50)e0,2x+5x.
a. Démontrer que F est une primitive de f sur [−10;5].
b. Calculer la valeur exacte de I=∫05f(x)dx.
c. Déterminer l’aire du domaine délimité par la courbe C et les trois droites d’équations respectives x=0, x=5 et y=x. On donnera le résultat en unité d’aire, arrondi à 10−2 près.
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④Suites⑤Limites de fonctions ⑨Fonctions trigonométriques
Partie A
Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par :
f(x)=x2−1−cos2(x).
1. Déterminer x→+∞limf(x).
2. On admet que pour tout réel x :
sin(2x)=2cos(x)sin(x).
Montrer que, pour tout réel x, f′(x)=2x+sin(2x).
3.a. Calculer f′(0) et démontrer que, pour tout x>0, f′(x)>0.
b. En déduire les variations de f sur [0;+∞[.
4. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution dans [0;+∞[. On note α cette solution.
5. À l’aide de la calculatrice, encadrer α à 10−2 près.
Partie B
Soit (un), la suite définie par u0=10 et, pour tout entier naturel n, un+1=1+cos2(un).
1. Montrer que, pour tout n⩾2, on a 1<un<1,2.
2.a. Justifier que la suite (un) ne peut ni diverger vers +∞, ni vers −∞.
b. Justifier que si (un) converge vers un réel ℓ, alors nécessairement ℓ∈[1;1,2].
Partie C
À partir des deux premières parties, montrer que si (un) converge vers un réel ℓ, alors ℓ=α.
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①Combinatoire et dénombrement ⑫Loi binomiale
Soient a un nombre réel strictement positif et k un entier naturel fixé. Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n;p) telle que np=a.
Par définition, on dit qu’une variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre a lorsque :
P(Y=k)=k!ake−a.
On souhaite montrer qu’une loi binomiale converge vers une loi de Poisson.
1. Montrer que, pour tous entiers naturels n et k⩽n :
P(Xn=k)=k!n(n−1)(n−2)…(n−k+1)pk(1−p)n−k.
2. En factorisant astucieusement chacun des facteurs du numérateur, montrer que, pour tout entier naturel n>0 :
3. En utilisant np=a, réécrire l’égalité précédente sans utiliser p.
4. Déterminer n→+∞lim(1−n1)(1−n2)…(1−nk−1).
5.a. Déterminer n→+∞lim(1−na)−k.
b. Déterminer n→+∞lim(1−na)n.
6. Après avoir remarqué que :
(1−na)n−k=(1−na)n(1−na)−k,
déterminer n→+∞limP(Xn=k) et conclure.
Remarque :En pratique, on applique cette approximation
dès que n⩾50 et p<0,1.
Problèmes ouverts
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Déterminer, en justifiant, le nombre exact de solutions de l’équation (ln(x))2=ln(x2) sur ]0;+∞[.
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Rachid, artiste, souhaite peindre un cœur sur un mur. Il utilise, dans un repère orthonormal d’unité 2 mètres, les fonctions f et g définies sur [−π;π] par f(x)=sin(∣x∣) et g(x)=π5∣x∣−5.
Déterminer le nombre de pots de peinture nécessaire à Rachid, sachant que deux couches seront appliquées et qu’un pot de deux litres permet de recouvrir 24 m2.
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