Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

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⑧ Fonction logarithme  ⑪ Calcul intégral

1. a. Pour tout réel $t \geqslant 0$, étudier le signe de $1-t-\dfrac{1}{1+t}$ et de $1-t+t^{2}-\dfrac{1}{1+t}$ puis en déduire que $1-t \leqslant \dfrac{1}{1+t} \leqslant 1-t+t^{2}$.


b. En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t} \mathrm{d} t$ puis de $\ln (1+x)$ lorsque $x \geqslant 0$.


c. En déduire un encadrement de $\ln(2)$.


2. a. Soit un entier naturel $n \geqslant 1$. Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $2n$, exprimer sous forme d’une seule fraction la différence $\dfrac{1}{2 k-1}-\dfrac{1}{2 k}$.


b. On admet que $\ln (2) \approx \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{2n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$.
L’algorithme de Brouncker ci‑dessous permet de calculer une valeur approchée de $\ln (2)$ pour un entier $\text{N}$ donné.

$\boxed{ \begin{array} { l } {\mathrm{S}} \leftarrow 0 \\ \text {Pour } k \text { allant de 1 à N} \\ \quad {\mathrm{S}} \leftarrow {\mathrm{S}+\dfrac{1}{2 \mathrm{K}(2 \mathrm{K}-1)}} \\ \text {Fin Pour } \\ \end{array} }$

Expliquer la troisième ligne de cet algorithme.


c. Programmer cet algorithme avec Python et donner une valeur approchée de $\ln(2)$ en choisissant $\mathrm{N} = 100$.

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⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles  ⑪ Calcul intégral

1. On considère les fonctions $f$ et $g$, respectivement définies sur $] 2~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x+1}$ et $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$.
a. Déterminer la primitive de $f$ qui s’annule en $3$ et la primitive de $g$ qui s’annule en $3$.


b. Établir que, pour tout $x>2$, $\dfrac{3}{x^{2}-x-2}=g(x)-f(x)$.


c. En déduire la primitive de la fonction $h: x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}-x-2}$ qui s’annule en $3$.


2. Par un raisonnement similaire, trouver une primitive de $k: x \mapsto \dfrac{3}{x^{2}+5 x+6}$.

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⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles  ⑪ Calcul intégral

Pour tout $y \in] 0~; 1]$, on définit l’intégrale $\mathrm{I}_y$ par : $\mathrm{I}_{y}=\displaystyle\int_{y}^{1} \ln (x) \mathrm{d} x$.
1. Établir que la fonction $f: x \mapsto x \ln (x)-x$ est une primitive de la fonction $x \mapsto \ln (x)$ sur $] 0~;+\infty[$.


2. a. Déterminer $\mathrm{I}_1$.


b. Exprimer $\mathrm{I}_{0{,}5}$ en fonction de $\ln(2)$.


3. Interpréter géométriquement $\mathrm{I}_y$.


4. Calculer et interpréter $\lim\limits_{\substack{y \rightarrow 0}} \mathrm{I}_{y}$. Est‑ce surprenant ?

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④ Suites  ⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles  ⑪ Calcul intégral

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier $n > 0$ par : $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 n}$ et $v_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{2 n}$.
1. Démontrer que, pour tout réel $x \in\left[1+\dfrac{k}{n}~; 1+\dfrac{k+1}{n}\right]$, $0 \leqslant k \leqslant n-1$, $\dfrac{1}{n+k+1} \leqslant \displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{n+k}{n}}}^{\normalsize{\tfrac{n+k+1}{n}}} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x \leqslant \dfrac{1}{n+k}$.


2. En déduire que $u_{n} \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x \leqslant v_{n}$.


3. Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes si elle vérifient les conditions suivantes :

• $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante ;
• $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left|v_{n}-u_{n}\right|=0$.

On admet que deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

a. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de l’énoncé sont adjacentes.


b. Que peut‑on en conclure concernant l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction inverse, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = 1$ et $x = 2$ ?


c. À l’aide d’un tableur, obtenir les valeurs des termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ pour $n$ allant de $1$ à $30$. En déduire un encadrement de $\ln(2)$.

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⑧ Fonction logarithme  ⑪ Calcul intégral
 ⑫ Loi binomiale

On définit la fonction $f$ sur $]-1~;+\infty[$ par $f(x)=\ln (x+1)$.
Dans le repère orthonormé ci‑dessous, $\mathrm{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe $\mathrm{C}$ et les droites d’équations $x = 0$ et $x = 1$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ dans le repère.

2. Estimer l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathcal{D}$.


3. Calculer $f(1)$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $]-1~;+\infty[$.

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4. En utilisant une intégration par parties, déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l’aire du domaine $\mathcal{D}$ en unité d’aire.


5. On place aléatoirement et de manière équiprobable $1 000$ points dans le carré $[0~; 1] \times[0~; 1]$. La variable aléatoire $\text{X}$ compte le nombre de points appartenant au domaine $\mathcal{D}$.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par $\text{X}$ ? Préciser ses paramètres.


b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’au plus $400$ points appartiennent à $\mathcal{D}$.


c.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier naturel $a$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}95$.

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⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles

Le principe de la datation au carbone 14 repose sur le fait qu’il se renouvelle constamment chez les êtres vivants et que sa proportion reste donc stable tout au long de leur vie. À leur mort, son assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre, sa proportion commence donc a diminuer.
Le nombre d’atomes de carbone 14, existant à l’instant $t$ (en année) dans un échantillon de matière organique, est noté $\mathrm{N}(t)$, avec $t \geqslant 0$.
On pose $\mathrm{N}(0)=\mathrm{N}_{0}$ et on admet que $\text{N}$ vérifie l’équation différentielle $(\mathrm{E}): \mathrm{N}^{\prime}=-\mathrm{KN}$, avec $\mathrm{K}=1{,}21 \times 10^{-4}$ an^-1 (constante radioactive du carbone 14).

1. Exprimer $\mathrm{N}(t)$ en fonction de $\mathrm{N}_0$ et $t$.


2. Déterminer une valeur arrondie à l’unité de la demi-vie $\text{T}$ de l’atome de carbone 14 ; autrement dit le temps au bout duquel la moitié des atomes s’est désintégrée.


3. Des archéologues ont trouvé dans la grotte Chauvet, en Ardèche, des fragments d’os de renne, dont la teneur en carbone 14 représente $2{,}1$ % de celle d’un fragment d’os actuel, pris comme témoin.
Déterminer l’âge arrondi à l’unité de ces fragments.

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⑨ Fonctions trigonométriques
⑩ Primitives - Équations différentielles

Un pendule élastique horizontal sans vitesse initiale est en mouvement oscillatoire harmonique le long d’un axe en fonction du temps $t$ en seconde tel que :

• son abscisse $x(t)$, en cm, sur l’axe vérifie $x(0) = 2$ ;
• la vitesse du pendule à l’instant $t = 0$ est nulle ;
• un quart de seconde après, il est revenu à la même position avec une vitesse nulle.

On admet qu’il existe un réel non nul $\omega$ vérifiant l’équation $(\mathrm{E}): x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0$.

1. Montrer que pour tous réels $\text{A}$ et $\text{B}$, la fonction $x_{0}: t \mapsto \mathrm{A} \cos (\omega t)+\mathrm{B} \sin (\omega t)$ est une solution de $(\mathrm{E})$.


2. a. À l’aide des conditions initiales, déterminer $\text{A}$, $\text{B}$ et $\omega$, puis exprimer $x_0$ en fonction de $t$.


b. Déterminer la position du pendule au bout d’un tiers de seconde.

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④ Suites  ⑤ Limites de fonctions
⑧ Fonction logarithme  ⑩ Primitives - Équations différentielles

On injecte dans le sang d’un patient une dose de $2$ unités d’un médicament à un instant $t = 0$ (en heure). On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé par l’organisme. La quantité de médicament présent dans le sang à l’instant $t \geqslant 0$ est notée $q(t)$, en unité. On a donc $q(0) = 2$.
On admet que l’élimination de ce produit se traduit par l’équation différentielle $(\mathrm{E})$ suivante, où $a$ est un réel à déterminer : $q^{\prime}(t)=-a q(t)$.

1. a. Montrer que, pour tout $t \geqslant 0$, $q(t)=2 \mathrm{e}^{-a t}$.


b. Au bout d’une heure, la quantité de médicament a diminué de $25$ %. Déterminer la valeur exacte du réel $a$ puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.


2. Étudier le sens de variations de $q$ sur $[0~;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. Interpréter le résultat.


3. Déterminer au bout de combien de temps (arrondi à 10^-2 près), la quantité de médicament aura diminué de moitié.


4. Pour augmenter l’efficacité du médicament, le protocole prévoit une nouvelle injection de 2 unités à chaque heure, soit à $t = 1$, $t = 2$, $t = 3$, etc. On appelle $r_n$ la quantité (en unité) de médicament, présent dans le sang du patient à l’instant $t = n$, après la nouvelle injection.
a. Déterminer $r_1$ et $r_2$.


b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$.


5. Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=r_n-8$.
a. Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $0{,}75$.


b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.


6. a. En déduire une expression de $r_n$ en fonction de $n$.


b. Déterminer alors la limite de $(r_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat.

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⑨ Fonctions trigonométriques
⑩ Primitives - Équations différentielles

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=a \sin (x)+b \cos (x)$, où $a$ et $b$ sont deux réels.
Dans chaque cas, déterminer les valeurs de $a$ et $b$ telles que $f$ soit solution des équations différentielles suivantes.

1. $y^{\prime}=y+\cos (x)$


2. $y^{\prime \prime}+y=0$


3. $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$

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⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation : $(\mathrm{E}): y^{\prime}=3 y-\dfrac{3}{1+\mathrm{e}^{-3 x}}$.
1. a. Déterminer la solution $\varphi$ de l’équation homogène associée $y' = 3y$ telle que $\varphi(0)=1$.


b. Justifier que $\varphi$ ne s’annule pas sur $\R$.


2. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ telle que $f(0)=\ln (2)$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g=\dfrac{f}{\varphi}$.
a. Calculer $g(0)$.


b. Calculer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$ et $g'(x)$.


3. a. Montrer que $f$ est une solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g$ est solution de $y^{\prime}=-\dfrac{3 \mathrm{e}^{-3 x}}{1+\mathrm{e}^{-3 x}}$.


b. Déterminer l’expression de $g$, puis celle de $f$, où $f$ est une solution de $(\mathrm{E})$ vérifiant $f(0)=\ln (2)$.

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④ Suites  ⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles

Le système de refroidissement d’une machine fonctionne avec $30$ litres d’eau.
Dès que la température atteint $90$ °C, le moteur est rafraîchi par de l’eau froide à $15$ °C : l’eau entre et sort avec le même débit, à raison de $2$ litres d’eau par seconde.
Comme l’eau entre à vitesse constante simultanément en de nombreux points du circuit, on peut admettre que la température reste constamment homogène.
On admet que, si on mélange deux volumes d’eau $v_1$ et $v_2$ à des températures respectives $\mathrm{T}_1$ et $\mathrm{T}_2$, alors la température du mélange $v_1 + v_2$ est la moyenne pondérée $\mathrm{T}=\dfrac{v_{1} \mathrm{T}_{1}+v_{2} \mathrm{T}_{2}}{v_{1}+v_{2}}$.

Partie A : Exemples

1. On mélange un litre d’eau à $15$ °C et un litre d’eau à $90$ °C. Quelle est la température du mélange ?


2. On mélange trois litres d’eau à $15$ °C et cinq litres d’eau à $90$ °C. Quelle est la température du mélange ?


Partie B : Modélisation par une suite
On note $\mathrm{T}_{0}=90$ la température initiale pour que se déclenche le refroidissement et $\mathrm{T}_{n}$, la température après $n$ secondes, $n$ étant un entier naturel.
Toutes les températures sont données en degré Celsius.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $\mathrm{T}_{n+1}=\dfrac{15+14 \mathrm{T}_{n}}{15}$.

2. Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N$ par $u_{n}=\mathrm{T}_{n}-15$.
Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{14}{15}$.


3. En déduire une expression de $\mathrm{T}_{n}$ en fonction de $n$.


4. Déterminer le temps $n_0$ en seconde à partir duquel la température de la machine devient strictement inférieure à $30$ °C.


Partie C : Modélisation par une fonction
On note $t$ le temps écoulé en seconde depuis le déclenchement du système de refroidissement et $\theta(t)$ la température à l’instant $t$ en degré Celsius.
Soit $h$ un réel strictement positif.

1. Quelle quantité d’eau, en litre, entre dans le système pendant $h$ secondes ?


2. Calculer, pour tout $t \geqslant 0$, $\dfrac{\theta(t+h)-\theta(t)}{h}$ et montrer que, pour tout $t \geqslant 0$, $\theta^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{15} \theta(t)+1$.


3. Résoudre l’équation différentielle $y^{\prime}=-\dfrac{1}{15} y+1$ et déterminer $\theta(t)$.


4. Déterminer le temps $t_1$ pour lequel la température de la machine est égale à $30$ °C.


Partie D : Comparaison des deux méthodes

1. a. Dans un repère orthogonal du plan, en choisissant une unité adaptée sur chaque axe, placer les points $\left(n~; \mathrm{T}_{n}\right)$ pour $0 \leqslant n \leqslant 25$.

b. Tracer la courbe représentative de $\theta$ dans ce repère.

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③ Limites de fonctions  ⑤ Continuité
⑧ Primitives - Équations différentielles  ⑧ Calcul intégral

Partie A
Soit $(\mathrm{E})$ l’équation différentielle $y^{\prime}=2 y+x \mathrm{e}^{x}$.

1. Résoudre l’équation différentielle homogène associée : $\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=2 y$.


2. Soient $m$ et $p$ deux réels et $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{x}$.
Déterminer $m$ et $p$ pour que $\varphi$ soit solution de $(\mathrm{E})$.


3. a. Montrer que la fonction $y$ dérivable sur $\R$ est une solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $y - \varphi$ est une solution de l’équation $(\mathrm{E}_0)$.


b. En déduire les solutions de $(\mathrm{E})$.


c. Déterminer la solution $f$ de $(\mathrm{E})$ telle que $f(0) = 0$.


Partie B
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2 \mathrm{e}^{x}-x-2$.

1. Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.


2. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $\R$.

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3. a. Justifier que l’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $\R$.


b. Vérifier que $0$ est l’une de ces deux solutions. On appelle $\alpha$ l’autre solution.


c. Justifier que $-1{,}6 \leqslant \alpha \leqslant-1{,}5$.


4. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $\R$.


Partie C
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\mathrm{e}^{2 x}-(x+1) \mathrm{e}^{x}$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.


2. a. Montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.


b. En déduire les variations de $f$ sur $\R$.


3. a. Montrer que $f(\alpha)=-\dfrac{\alpha^{2}+2 \alpha}{4}$, où $\alpha$ est le nombre défini à la partie B.


b. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.


Partie D

1. Soit $k$ un réel strictement négatif.
Interpréter graphiquement l’intégrale $\displaystyle\int_{k}^{0} f(x) \mathrm{d} x$.


2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{k}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x$ en fonction de $k$.


b. En déduire l’expression de $\displaystyle\int_{k}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ en fonction de $k$.


3. Calculer la limite de $\displaystyle\int_{k}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ lorsque $k$ tend vers $-\infty$ et interpréter le résultat obtenu.

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⑩ Primitives - Équations différentielles
⑪ Calcul intégral

Soit $a$ une fonction continue et dérivable sur $\R$.
On note $\text{A}$ une primitive de $a$ sur $\R$. On considère l’équation différentielle $(\mathrm{E}_1)$ suivante : $y^{\prime}(t)+a^{\prime}(t) y(t)=0$.
1. a. Démontrer que la fonction $g: t \mapsto \mathrm{e}^{-a(t)}$ est une solution de $(\mathrm{E}_1)$.


b. On considère $f$ une solution quelconque de $(\mathrm{E}_1)$.
En dérivant la fonction $h: t \mapsto f(t) \mathrm{e}^{a(t)}$, montrer que $f$ est définie par $f(t)=\lambda \mathrm{e}^{-a(t)}$, où $\lambda$ est un réel.


2. Résoudre l’équation différentielle suivante : $\left(\mathrm{E}_{2}\right): y^{\prime}(t)+t^{2} y(t)=0$.