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Exercices transversaux de 35 à 47
P.437-440

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Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

La fonction ln\boldsymbol{\ln} avec calcul intégral


35
Fonction logarithme Calcul intégral

1. a. Pour tout réel t0t \geqslant 0, étudier le signe de 1t11+t1-t-\dfrac{1}{1+t} et de 1t+t211+t1-t+t^{2}-\dfrac{1}{1+t} puis en déduire que 1t11+t1t+t21-t \leqslant \dfrac{1}{1+t} \leqslant 1-t+t^{2}.


b. En déduire un encadrement de 0x11+tdt\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{1}{1+t} \mathrm{d} t puis de ln(1+x)\ln (1+x) lorsque x0x \geqslant 0.


c. En déduire un encadrement de ln(2)\ln(2).


2. a. Soit un entier naturel n1n \geqslant 1. Pour tout entier kk compris entre 11 et 2n2n, exprimer sous forme d’une seule fraction la différence 12k112k\dfrac{1}{2 k-1}-\dfrac{1}{2 k}.


b. On admet que ln(2)k=12n(1)k1k\ln (2) \approx \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{2n} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k}.
L’algorithme de Brouncker ci‑dessous permet de calculer une valeur approchée de ln(2)\ln (2) pour un entier N\text{N} donné.

S0Pour k allant de 1 aˋ NSS+12K(2K1)Fin Pour  \boxed{ \begin{array} { l } {\mathrm{S}} \leftarrow 0 \\ \text {Pour } k \text { allant de 1 à N} \\ \quad {\mathrm{S}} \leftarrow {\mathrm{S}+\dfrac{1}{2 \mathrm{K}(2 \mathrm{K}-1)}} \\ \text {Fin Pour } \\ \end{array} }

Expliquer la troisième ligne de cet algorithme.


c. Programmer cet algorithme avec Python et donner une valeur approchée de ln(2)\ln(2) en choisissant N=100\mathrm{N} = 100.



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36
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

1. On considère les fonctions ff et gg, respectivement définies sur ]2 ;+[] 2~;+\infty[ par f(x)=1x+1f(x)=\dfrac{1}{x+1} et g(x)=1x2g(x)=\dfrac{1}{x-2}.
a. Déterminer la primitive de ff qui s’annule en 33 et la primitive de gg qui s’annule en 33.


b. Établir que, pour tout x>2x>2, 3x2x2=g(x)f(x)\dfrac{3}{x^{2}-x-2}=g(x)-f(x).


c. En déduire la primitive de la fonction h:x1x2x2h: x \mapsto \dfrac{1}{x^{2}-x-2} qui s’annule en 33.


2. Par un raisonnement similaire, trouver une primitive de k:x3x2+5x+6k: x \mapsto \dfrac{3}{x^{2}+5 x+6}.


Aide
On pourra commencer par résoudre dans R\R l’équation x2+5x+6=0x^{2}+5 x+6=0.
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37
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

Pour tout y]0 ;1]y \in] 0~; 1], on définit l’intégrale Iy\mathrm{I}_y par :
Iy=y1ln(x)dx\mathrm{I}_{y}=\displaystyle\int_{y}^{1} \ln (x) \mathrm{d} x.

1. Établir que la fonction f:xxln(x)xf: x \mapsto x \ln (x)-x est une primitive de la fonction xln(x)x \mapsto \ln (x) sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[.


2. a. Déterminer I1\mathrm{I}_1.


b. Exprimer I0,5\mathrm{I}_{0{,}5} en fonction de ln(2)\ln(2).


3. Interpréter géométriquement Iy\mathrm{I}_y.


4. Calculer et interpréter limy0Iy\lim\limits_{\substack{y \rightarrow 0}} \mathrm{I}_{y}. Est‑ce surprenant ?
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38
Suites Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

On considère les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies pour tout entier n>0n > 0 par :
un=1n+1+1n+2++12nu_{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 n} et vn=un+12nv_{n}=u_{n}+\dfrac{1}{2 n}.

1. Démontrer que, pour tout réel x[1+kn ;1+k+1n]x \in\left[1+\dfrac{k}{n}~; 1+\dfrac{k+1}{n}\right], 0kn10 \leqslant k \leqslant n-1, 1n+k+1n+knn+k+1n1xdx1n+k \dfrac{1}{n+k+1} \leqslant \displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{n+k}{n}}}^{\normalsize{\tfrac{n+k+1}{n}}} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x \leqslant \dfrac{1}{n+k}.


2. En déduire que un121xdxvnu_{n} \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x \leqslant v_{n}.


3. Deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont dites adjacentes si elle vérifient les conditions suivantes :
  • (un)(u_n) est croissante et (vn)(v_n) est décroissante ;
  • limn+vnun=0\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}}\left|v_{n}-u_{n}\right|=0.

On admet que deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

a. Démontrer que les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) de l’énoncé sont adjacentes.


b. Que peut‑on en conclure concernant l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction inverse, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1x = 1 et x=2x = 2 ?


c. À l’aide d’un tableur, obtenir les valeurs des termes des suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) pour nn allant de 11 à 3030. En déduire un encadrement de ln(2)\ln(2).
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39
Fonction logarithme Calcul intégral
Loi binomiale

On définit la fonction ff sur ]1 ;+[]-1~;+\infty[ par f(x)=ln(x+1)f(x)=\ln (x+1).
Dans le repère orthonormé ci‑dessous, C\mathrm{C} est la représentation graphique de la fonction ff et D\mathcal{D} est le domaine du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe C\mathrm{C} et les droites d’équations x=0x = 0 et x=1x = 1.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 39

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

1. Hachurer le domaine D\mathcal{D} dans le repère.

2. Estimer l’aire (en unité d’aire) du domaine D\mathcal{D}.


3. Calculer f(1)f(1) puis dresser le tableau de variations de ff sur ]1 ;+[]-1~;+\infty[.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

4. En utilisant une intégration par parties, déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10210^{-2} près, de l’aire du domaine D\mathcal{D} en unité d’aire.


5. On place aléatoirement et de manière équiprobable 1 0001 000 points dans le carré [0 ;1]×[0 ;1][0~; 1] \times[0~; 1]. La variable aléatoire X\text{X} compte le nombre de points appartenant au domaine D\mathcal{D}.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X\text{X} ? Préciser ses paramètres.


b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’au plus 400400 points appartiennent à D\mathcal{D}.


c.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier naturel aa tel que P(Xa)0,95\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}95.


Aide
On pourra utiliser sur la calculatrice le tableau de valeur d’une fonction adaptée ou bien utiliser directement un tableur.
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Les équations différentielles


40
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles

Le principe de la datation au carbone 14 repose sur le fait qu’il se renouvelle constamment chez les êtres vivants et que sa proportion reste donc stable tout au long de leur vie. À leur mort, son assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre, sa proportion commence donc a diminuer.
Le nombre d’atomes de carbone 14, existant à l’instant tt (en année) dans un échantillon de matière organique, est noté N(t)\mathrm{N}(t), avec t0t \geqslant 0.
On pose N(0)=N0\mathrm{N}(0)=\mathrm{N}_{0} et on admet que N\text{N} vérifie l’équation différentielle (E):N=KN(\mathrm{E}): \mathrm{N}^{\prime}=-\mathrm{KN}, avec K=1,21×104\mathrm{K}=1{,}21 \times 10^{-4} an-1 (constante radioactive du carbone 14).

1. Exprimer N(t)\mathrm{N}(t) en fonction de N0\mathrm{N}_0 et tt.


2. Déterminer une valeur arrondie à l’unité de la demi-vie T\text{T} de l’atome de carbone 14 ; autrement dit le temps au bout duquel la moitié des atomes s’est désintégrée.


3. Des archéologues ont trouvé dans la grotte Chauvet, en Ardèche, des fragments d’os de renne, dont la teneur en carbone 14 représente 2,12{,}1 % de celle d’un fragment d’os actuel, pris comme témoin.
Déterminer l’âge arrondi à l’unité de ces fragments.


Maths spé - Exercices transversaux - exercice 40 - peintures rupestres
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41
Fonctions trigonométriques
Primitives - Équations différentielles

Un pendule élastique horizontal sans vitesse initiale est en mouvement oscillatoire harmonique le long d’un axe en fonction du temps tt en seconde tel que :
  • son abscisse x(t)x(t), en cm, sur l’axe vérifie x(0)=2x(0) = 2 ;
  • la vitesse du pendule à l’instant t=0t = 0 est nulle ;
  • un quart de seconde après, il est revenu à la même position avec une vitesse nulle.

On admet qu’il existe un réel non nul ω\omega vérifiant l’équation (E):x+ω2x=0(\mathrm{E}): x^{\prime \prime}+\omega^{2} x=0.

1. Montrer que pour tous réels A\text{A} et B\text{B}, la fonction x0:tAcos(ωt)+Bsin(ωt)x_{0}: t \mapsto \mathrm{A} \cos (\omega t)+\mathrm{B} \sin (\omega t) est une solution de (E)(\mathrm{E}).


2. a. À l’aide des conditions initiales, déterminer A\text{A}, B\text{B} et ω\omega, puis exprimer x0x_0 en fonction de tt.


b. Déterminer la position du pendule au bout d’un tiers de seconde.
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42
Suites Limites de fonctions
Fonction logarithme Primitives - Équations différentielles

On injecte dans le sang d’un patient une dose de 22 unités d’un médicament à un instant t=0t = 0 (en heure). On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé par l’organisme. La quantité de médicament présent dans le sang à l’instant t0t \geqslant 0 est notée q(t)q(t), en unité. On a donc q(0)=2q(0) = 2.
On admet que l’élimination de ce produit se traduit par l’équation différentielle (E)(\mathrm{E}) suivante, où aa est un réel à déterminer : q(t)=aq(t)q^{\prime}(t)=-a q(t).

1. a. Montrer que, pour tout t0t \geqslant 0, q(t)=2eatq(t)=2 \mathrm{e}^{-a t}.


b. Au bout d’une heure, la quantité de médicament a diminué de 2525 %. Déterminer la valeur exacte du réel aa puis une valeur approchée à 10410^{-4} près.


2. Étudier le sens de variations de qq sur [0 ;+[[0~;+\infty[ et déterminer sa limite en ++\infty. Interpréter le résultat.


3. Déterminer au bout de combien de temps (arrondi à 10-2 près), la quantité de médicament aura diminué de moitié.


4. Pour augmenter l’efficacité du médicament, le protocole prévoit une nouvelle injection de 2 unités à chaque heure, soit à t=1t = 1, t=2t = 2, t=3t = 3, etc. On appelle rnr_n la quantité (en unité) de médicament, présent dans le sang du patient à l’instant t=nt = n, après la nouvelle injection.
a. Déterminer r1r_1 et r2r_2.


b. Exprimer, pour tout entier naturel nn, rn+1r_{n+1} en fonction de rnr_n.


5. Soit (un)(u_n) la suite définie, pour tout entier naturel nn, par un=rn8u_n=r_n-8.
a. Démontrer que la suite (un)(u_n) est une suite géométrique de raison 0,750{,}75.


b. Exprimer unu_n en fonction de nn.


6. a. En déduire une expression de rnr_n en fonction de nn.


b. Déterminer alors la limite de (rn)(r_n) lorsque nn tend vers ++\infty et interpréter le résultat.
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43
Fonctions trigonométriques
Primitives - Équations différentielles

On considère la fonction ff définie sur R\R par f(x)=asin(x)+bcos(x)f(x)=a \sin (x)+b \cos (x), où aa et bb sont deux réels.
Dans chaque cas, déterminer les valeurs de aa et bb telles que ff soit solution des équations différentielles suivantes.

1. y=y+cos(x)y^{\prime}=y+\cos (x)


2. y+y=0y^{\prime \prime}+y=0


3. yyy=0y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0
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44
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation :
(E):y=3y31+e3x(\mathrm{E}): y^{\prime}=3 y-\dfrac{3}{1+\mathrm{e}^{-3 x}}.

1. a. Déterminer la solution φ\varphi de l’équation homogène associée y=3yy' = 3y telle que φ(0)=1\varphi(0)=1.


b. Justifier que φ\varphi ne s’annule pas sur R\R.


2. Soit ff une fonction dérivable sur R\R telle que f(0)=ln(2)f(0)=\ln (2) et gg la fonction définie sur R\R par g=fφg=\dfrac{f}{\varphi}.
a. Calculer g(0)g(0).


b. Calculer f(x)f'(x) en fonction de g(x)g(x) et g(x)g'(x).


3. a. Montrer que ff est une solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, gg est solution de y=3e3x1+e3xy^{\prime}=-\dfrac{3 \mathrm{e}^{-3 x}}{1+\mathrm{e}^{-3 x}}.


b. Déterminer l’expression de gg, puis celle de ff, où ff est une solution de (E)(\mathrm{E}) vérifiant f(0)=ln(2)f(0)=\ln (2).
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45
Suites Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 45 - robinet d'eau vapeur

Le système de refroidissement d’une machine fonctionne avec 3030 litres d’eau.
Dès que la température atteint 9090 °C, le moteur est rafraîchi par de l’eau froide à 1515 °C : l’eau entre et sort avec le même débit, à raison de 22 litres d’eau par seconde.
Comme l’eau entre à vitesse constante simultanément en de nombreux points du circuit, on peut admettre que la température reste constamment homogène.
On admet que, si on mélange deux volumes d’eau v1v_1 et v2v_2 à des températures respectives T1\mathrm{T}_1 et T2\mathrm{T}_2, alors la température du mélange v1+v2v_1 + v_2 est la moyenne pondérée T=v1T1+v2T2v1+v2\mathrm{T}=\dfrac{v_{1} \mathrm{T}_{1}+v_{2} \mathrm{T}_{2}}{v_{1}+v_{2}}.

Partie A : Exemples

1. On mélange un litre d’eau à 1515 °C et un litre d’eau à 9090 °C. Quelle est la température du mélange ?


2. On mélange trois litres d’eau à 1515 °C et cinq litres d’eau à 9090 °C. Quelle est la température du mélange ?


Partie B : Modélisation par une suite
On note T0=90\mathrm{T}_{0}=90 la température initiale pour que se déclenche le refroidissement et Tn\mathrm{T}_{n}, la température après nn secondes, nn étant un entier naturel.
Toutes les températures sont données en degré Celsius.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nn :
Tn+1=15+14Tn15\mathrm{T}_{n+1}=\dfrac{15+14 \mathrm{T}_{n}}{15}.


2. Soit (un)(u_n) la suite définie sur N\N par un=Tn15u_{n}=\mathrm{T}_{n}-15.
Montrer que la suite (un)(u_n) est une suite géométrique de raison q=1415q=\dfrac{14}{15}.


3. En déduire une expression de Tn\mathrm{T}_{n} en fonction de nn.


4. Déterminer le temps n0n_0 en seconde à partir duquel la température de la machine devient strictement inférieure à 3030 °C.


Partie C : Modélisation par une fonction
On note tt le temps écoulé en seconde depuis le déclenchement du système de refroidissement et θ(t)\theta(t) la température à l’instant tt en degré Celsius.
Soit hh un réel strictement positif.

1. Quelle quantité d’eau, en litre, entre dans le système pendant hh secondes ?


2. Calculer, pour tout t0t \geqslant 0, θ(t+h)θ(t)h\dfrac{\theta(t+h)-\theta(t)}{h} et montrer que, pour tout t0t \geqslant 0, θ(t)=115θ(t)+1\theta^{\prime}(t)=-\dfrac{1}{15} \theta(t)+1.


3. Résoudre l’équation différentielle y=115y+1y^{\prime}=-\dfrac{1}{15} y+1 et déterminer θ(t)\theta(t).


4. Déterminer le temps t1t_1 pour lequel la température de la machine est égale à 3030 °C.


Partie D : Comparaison des deux méthodes

1. a. Dans un repère orthogonal du plan, en choisissant une unité adaptée sur chaque axe, placer les points (n ;Tn)\left(n~; \mathrm{T}_{n}\right) pour 0n250 \leqslant n \leqslant 25.

b. Tracer la courbe représentative de θ\theta dans ce repère.

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2. Commenter.
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46
Limites de fonctions Continuité
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

Partie A
Soit (E)(\mathrm{E}) l’équation différentielle y=2y+xexy^{\prime}=2 y+x \mathrm{e}^{x}.

1. Résoudre l’équation différentielle homogène associée : (E0):y=2y\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=2 y.


2. Soient mm et pp deux réels et φ\varphi la fonction définie sur R\R par φ(x)=(mx+p)ex\varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{x}.
Déterminer mm et pp pour que φ\varphi soit solution de (E)(\mathrm{E}).


3. a. Montrer que la fonction yy dérivable sur R\R est une solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, yφy - \varphi est une solution de l’équation (E0)(\mathrm{E}_0).


b. En déduire les solutions de (E)(\mathrm{E}).


c. Déterminer la solution ff de (E)(\mathrm{E}) telle que f(0)=0f(0) = 0.


Partie B
Soit gg la fonction définie sur R\R par g(x)=2exx2g(x)=2 \mathrm{e}^{x}-x-2.

1. Déterminer les limites de gg en -\infty et en ++\infty.


2. Dresser le tableau de variations de gg sur R\R.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. a. Justifier que l’équation g(x)=0g(x) = 0 admet exactement deux solutions sur R\R.


b. Vérifier que 00 est l’une de ces deux solutions. On appelle α\alpha l’autre solution.


c. Justifier que 1,6α1,5-1{,}6 \leqslant \alpha \leqslant-1{,}5.


4. Déterminer le signe de g(x)g(x) sur R\R.


Partie C
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=e2x(x+1)exf(x)=\mathrm{e}^{2 x}-(x+1) \mathrm{e}^{x}.

1. Déterminer les limites de ff en -\infty et en ++\infty.


2. a. Montrer que f(x)f'(x) et g(x)g(x) ont le même signe.


b. En déduire les variations de ff sur R\R.


3. a. Montrer que f(α)=α2+2α4f(\alpha)=-\dfrac{\alpha^{2}+2 \alpha}{4}, où α\alpha est le nombre défini à la partie B.


b. En déduire un encadrement de f(α)f(\alpha).


Partie D

1. Soit kk un réel strictement négatif.
Interpréter graphiquement l’intégrale k0f(x)dx\displaystyle\int_{k}^{0} f(x) \mathrm{d} x.


2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer k0xexdx\displaystyle\int_{k}^{0} x \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x en fonction de kk.


b. En déduire l’expression de k0f(x)dx\displaystyle\int_{k}^{0} f(x) \mathrm{d} x en fonction de kk.


3. Calculer la limite de k0f(x)dx\displaystyle\int_{k}^{0} f(x) \mathrm{d} x lorsque kk tend vers -\infty et interpréter le résultat obtenu.
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47
Primitives - Équations différentielles
Calcul intégral

Soit aa une fonction continue et dérivable sur R\R.
On note A\text{A} une primitive de aa sur R\R. On considère l’équation différentielle (E1)(\mathrm{E}_1) suivante :
y(t)+a(t)y(t)=0y^{\prime}(t)+a^{\prime}(t) y(t)=0.

1. a. Démontrer que la fonction g:tea(t)g: t \mapsto \mathrm{e}^{-a(t)} est une solution de (E1)(\mathrm{E}_1).


b. On considère ff une solution quelconque de (E1)(\mathrm{E}_1).
En dérivant la fonction h:tf(t)ea(t)h: t \mapsto f(t) \mathrm{e}^{a(t)}, montrer que ff est définie par f(t)=λea(t)f(t)=\lambda \mathrm{e}^{-a(t)}, où λ\lambda est un réel.


2. Résoudre l’équation différentielle suivante :
(E2):y(t)+t2y(t)=0\left(\mathrm{E}_{2}\right): y^{\prime}(t)+t^{2} y(t)=0.
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