Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Exercices transversaux de 35 à 47
P.437-440

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer


Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

La fonction avec calcul intégral


35
Fonction logarithme Calcul intégral

1. a. Pour tout réel , étudier le signe de et de puis en déduire que .


b. En déduire un encadrement de puis de lorsque .


c. En déduire un encadrement de .


2. a. Soit un entier naturel . Pour tout entier compris entre et , exprimer sous forme d’une seule fraction la différence .


b. On admet que .
L’algorithme de Brouncker ci‑dessous permet de calculer une valeur approchée de pour un entier donné.


Expliquer la troisième ligne de cet algorithme.


c. Programmer cet algorithme avec Python et donner une valeur approchée de en choisissant .



Voir les réponses

36
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

1. On considère les fonctions et , respectivement définies sur par et .
a. Déterminer la primitive de qui s’annule en et la primitive de qui s’annule en .


b. Établir que, pour tout , .


c. En déduire la primitive de la fonction qui s’annule en .


2. Par un raisonnement similaire, trouver une primitive de .


Aide
On pourra commencer par résoudre dans l’équation .
Voir les réponses

37
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

Pour tout , on définit l’intégrale par :
.

1. Établir que la fonction est une primitive de la fonction sur .


2. a. Déterminer .


b. Exprimer en fonction de .


3. Interpréter géométriquement .


4. Calculer et interpréter . Est‑ce surprenant ?
Voir les réponses

38
Suites Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

On considère les suites et définies pour tout entier par :
et .

1. Démontrer que, pour tout réel , , .


2. En déduire que .


3. Deux suites et sont dites adjacentes si elle vérifient les conditions suivantes :
  • est croissante et est décroissante ;
  • .

On admet que deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

a. Démontrer que les suites et de l’énoncé sont adjacentes.


b. Que peut‑on en conclure concernant l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction inverse, l’axe des abscisses et les droites d’équations et  ?


c. À l’aide d’un tableur, obtenir les valeurs des termes des suites et pour allant de à . En déduire un encadrement de .
Voir les réponses

39
Fonction logarithme Calcul intégral
Loi binomiale

On définit la fonction sur par .
Dans le repère orthonormé ci‑dessous, est la représentation graphique de la fonction et est le domaine du plan délimité par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équations et .

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 39

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

1. Hachurer le domaine dans le repère.

2. Estimer l’aire (en unité d’aire) du domaine .


3. Calculer puis dresser le tableau de variations de sur .


Couleurs
Formes
Dessinez ici

4. En utilisant une intégration par parties, déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à près, de l’aire du domaine en unité d’aire.


5. On place aléatoirement et de manière équiprobable points dans le carré . La variable aléatoire compte le nombre de points appartenant au domaine .
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par ? Préciser ses paramètres.


b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’au plus points appartiennent à .


c.Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier naturel tel que .


Aide
On pourra utiliser sur la calculatrice le tableau de valeur d’une fonction adaptée ou bien utiliser directement un tableur.
Voir les réponses

Les équations différentielles


40
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles

Le principe de la datation au carbone 14 repose sur le fait qu’il se renouvelle constamment chez les êtres vivants et que sa proportion reste donc stable tout au long de leur vie. À leur mort, son assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre, sa proportion commence donc a diminuer.
Le nombre d’atomes de carbone 14, existant à l’instant (en année) dans un échantillon de matière organique, est noté , avec .
On pose et on admet que vérifie l’équation différentielle , avec an-1 (constante radioactive du carbone 14).

1. Exprimer en fonction de et .


2. Déterminer une valeur arrondie à l’unité de la demi-vie de l’atome de carbone 14 ; autrement dit le temps au bout duquel la moitié des atomes s’est désintégrée.


3. Des archéologues ont trouvé dans la grotte Chauvet, en Ardèche, des fragments d’os de renne, dont la teneur en carbone 14 représente % de celle d’un fragment d’os actuel, pris comme témoin.
Déterminer l’âge arrondi à l’unité de ces fragments.


Maths spé - Exercices transversaux - exercice 40 - peintures rupestres
Voir les réponses

41
Fonctions trigonométriques
Primitives - Équations différentielles

Un pendule élastique horizontal sans vitesse initiale est en mouvement oscillatoire harmonique le long d’un axe en fonction du temps en seconde tel que :
  • son abscisse , en cm, sur l’axe vérifie  ;
  • la vitesse du pendule à l’instant est nulle ;
  • un quart de seconde après, il est revenu à la même position avec une vitesse nulle.

On admet qu’il existe un réel non nul vérifiant l’équation .

1. Montrer que pour tous réels et , la fonction est une solution de .


2. a. À l’aide des conditions initiales, déterminer , et , puis exprimer en fonction de .


b. Déterminer la position du pendule au bout d’un tiers de seconde.
Voir les réponses

42
Suites Limites de fonctions
Fonction logarithme Primitives - Équations différentielles

On injecte dans le sang d’un patient une dose de unités d’un médicament à un instant (en heure). On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé par l’organisme. La quantité de médicament présent dans le sang à l’instant est notée , en unité. On a donc .
On admet que l’élimination de ce produit se traduit par l’équation différentielle suivante, où est un réel à déterminer : .

1. a. Montrer que, pour tout , .


b. Au bout d’une heure, la quantité de médicament a diminué de  %. Déterminer la valeur exacte du réel puis une valeur approchée à près.


2. Étudier le sens de variations de sur et déterminer sa limite en . Interpréter le résultat.


3. Déterminer au bout de combien de temps (arrondi à 10-2 près), la quantité de médicament aura diminué de moitié.


4. Pour augmenter l’efficacité du médicament, le protocole prévoit une nouvelle injection de 2 unités à chaque heure, soit à , , , etc. On appelle la quantité (en unité) de médicament, présent dans le sang du patient à l’instant , après la nouvelle injection.
a. Déterminer et .


b. Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .


5. Soit la suite définie, pour tout entier naturel , par .
a. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .


b. Exprimer en fonction de .


6. a. En déduire une expression de en fonction de .


b. Déterminer alors la limite de lorsque tend vers et interpréter le résultat.
Voir les réponses

43
Fonctions trigonométriques
Primitives - Équations différentielles

On considère la fonction définie sur par , où et sont deux réels.
Dans chaque cas, déterminer les valeurs de et telles que soit solution des équations différentielles suivantes.

1.


2.


3.
Voir les réponses

44
Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation :
.

1. a. Déterminer la solution de l’équation homogène associée telle que .


b. Justifier que ne s’annule pas sur .


2. Soit une fonction dérivable sur telle que et la fonction définie sur par .
a. Calculer .


b. Calculer en fonction de et .


3. a. Montrer que est une solution de si, et seulement si, est solution de .


b. Déterminer l’expression de , puis celle de , où est une solution de vérifiant .
Voir les réponses

45
Suites Fonction logarithme
Primitives - Équations différentielles

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 45 - robinet d'eau vapeur

Le système de refroidissement d’une machine fonctionne avec litres d’eau.
Dès que la température atteint  °C, le moteur est rafraîchi par de l’eau froide à  °C : l’eau entre et sort avec le même débit, à raison de litres d’eau par seconde.
Comme l’eau entre à vitesse constante simultanément en de nombreux points du circuit, on peut admettre que la température reste constamment homogène.
On admet que, si on mélange deux volumes d’eau et à des températures respectives et , alors la température du mélange est la moyenne pondérée .

Partie A : Exemples

1. On mélange un litre d’eau à  °C et un litre d’eau à  °C. Quelle est la température du mélange ?


2. On mélange trois litres d’eau à  °C et cinq litres d’eau à  °C. Quelle est la température du mélange ?


Partie B : Modélisation par une suite
On note la température initiale pour que se déclenche le refroidissement et , la température après secondes, étant un entier naturel.
Toutes les températures sont données en degré Celsius.

1. Montrer que, pour tout entier naturel  :
.


2. Soit la suite définie sur par .
Montrer que la suite est une suite géométrique de raison .


3. En déduire une expression de en fonction de .


4. Déterminer le temps en seconde à partir duquel la température de la machine devient strictement inférieure à  °C.


Partie C : Modélisation par une fonction
On note le temps écoulé en seconde depuis le déclenchement du système de refroidissement et la température à l’instant en degré Celsius.
Soit un réel strictement positif.

1. Quelle quantité d’eau, en litre, entre dans le système pendant secondes ?


2. Calculer, pour tout , et montrer que, pour tout , .


3. Résoudre l’équation différentielle et déterminer .


4. Déterminer le temps pour lequel la température de la machine est égale à °C.


Partie D : Comparaison des deux méthodes

1. a. Dans un repère orthogonal du plan, en choisissant une unité adaptée sur chaque axe, placer les points pour .

b. Tracer la courbe représentative de dans ce repère.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Commenter.
Voir les réponses

46
Limites de fonctions Continuité
Primitives - Équations différentielles Calcul intégral

Partie A
Soit l’équation différentielle .

1. Résoudre l’équation différentielle homogène associée : .


2. Soient et deux réels et la fonction définie sur par .
Déterminer et pour que soit solution de .


3. a. Montrer que la fonction dérivable sur est une solution de si, et seulement si, est une solution de l’équation .


b. En déduire les solutions de .


c. Déterminer la solution de telle que .


Partie B
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer les limites de en et en .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. a. Justifier que l’équation admet exactement deux solutions sur .


b. Vérifier que est l’une de ces deux solutions. On appelle l’autre solution.


c. Justifier que .


4. Déterminer le signe de sur .


Partie C
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer les limites de en et en .


2. a. Montrer que et ont le même signe.


b. En déduire les variations de sur .


3. a. Montrer que , où est le nombre défini à la partie B.


b. En déduire un encadrement de .


Partie D

1. Soit un réel strictement négatif.
Interpréter graphiquement l’intégrale .


2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer en fonction de .


b. En déduire l’expression de en fonction de .


3. Calculer la limite de lorsque tend vers et interpréter le résultat obtenu.
Voir les réponses

47
Primitives - Équations différentielles
Calcul intégral

Soit une fonction continue et dérivable sur .
On note une primitive de sur . On considère l’équation différentielle suivante :
.

1. a. Démontrer que la fonction est une solution de .


b. On considère une solution quelconque de .
En dérivant la fonction , montrer que est définie par , où est un réel.


2. Résoudre l’équation différentielle suivante :
.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.