④ Suites
⑧ Fonction logarithme
⑩ Primitives - Équations différentielles
Le système de refroidissement d’une machine fonctionne avec
30 litres d’eau.
Dès que la température atteint
90 °C, le moteur est rafraîchi par de l’eau froide à
15 °C : l’eau entre et sort avec le même débit, à raison de
2 litres d’eau par seconde.
Comme l’eau entre à vitesse constante simultanément en de nombreux points du circuit, on peut admettre que la température reste constamment homogène.
On admet que, si on mélange deux volumes d’eau
v1 et
v2 à des températures respectives
T1 et
T2, alors la température du mélange
v1+v2 est la moyenne pondérée
T=v1+v2v1T1+v2T2.
Partie A : Exemples
1. On mélange un litre d’eau à
15 °C et un litre d’eau à
90 °C. Quelle est la température du mélange ?
2. On mélange trois litres d’eau à
15 °C et cinq litres d’eau à
90 °C. Quelle est la température du mélange ?
Partie B : Modélisation par une suite
On note
T0=90 la température initiale pour que se déclenche le refroidissement et
Tn, la température après
n secondes,
n étant un entier naturel.
Toutes les températures sont données en degré Celsius.
1. Montrer que, pour tout entier naturel
n :
Tn+1=1515+14Tn.
2. Soit
(un) la suite définie sur
N par
un=Tn−15.
Montrer que la suite
(un) est une suite géométrique de raison
q=1514.
3. En déduire une expression de
Tn en fonction de
n.
4. Déterminer le temps
n0 en seconde à partir duquel la température de la machine devient strictement inférieure à
30 °C.
Partie C : Modélisation par une fonction
On note
t le temps écoulé en seconde depuis le déclenchement du système de refroidissement et
θ(t) la température à l’instant
t en degré Celsius.
Soit
h un réel strictement positif.
1. Quelle quantité d’eau, en litre, entre dans le système pendant
h secondes ?
2. Calculer, pour tout
t⩾0,
hθ(t+h)−θ(t) et montrer que, pour tout
t⩾0,
θ′(t)=−151θ(t)+1.
3. Résoudre l’équation différentielle
y′=−151y+1 et déterminer
θ(t).
4. Déterminer le temps
t1 pour lequel la température de la machine est égale à
30 °C.
Partie D : Comparaison des deux méthodes
1. a. Dans un repère orthogonal du plan, en choisissant une unité adaptée sur chaque axe, placer les points
(n ;Tn) pour
0⩽n⩽25.
b. Tracer la courbe représentative de
θ dans ce repère.
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