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Exercices transversaux de 1 à 34
P.432-436

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Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

Primitives et intégrales : fonctions trigonométriques et logarithme


1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur R\R de la fonction donnée.

1. F:xsin(2x)\mathrm{F}: x \mapsto \sin (2 x)


2. G:x2+sin(2x)\mathrm{G}: x \mapsto 2+\sin (2 x)


3. H:x2cos2(x)\mathrm{H}: x \mapsto 2 \cos ^{2}(x)


4. K:x1+sin2(x)\mathrm{K}: x \mapsto 1+\sin ^{2}(x)
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2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur R\R.

1.f1:xcos(x)+sin(x)f_{1}: x \mapsto \cos (x)+\sin (x)


2.f2:xcos(2x)+sin(x2)f_{2}: x \mapsto \cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)


3.f3:xcos(x)sin(x)f_{3}: x \mapsto \cos (x) \sin (x)


4.f4:x2cos(x)sin3(x)f_{4}: x \mapsto 2 \cos (x) \sin ^{3}(x)


5.f5:x4sin(x)cos5(x)f_{5}: x \mapsto 4 \sin (x) \cos ^{5}(x)


6.f6:xxcos(x2)+sin(x)f_{6}: x \mapsto x \cos \left(x^{2}\right)+\sin (x)


7.f7:xx2sin(x3)f_{7}: x \mapsto x^{2} \sin \left(x^{3}\right)
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3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution ff définie sur I\text{I} telle que f(x0)=y0f(x_0) = y_0.

1. y(x)=2sin(2x)y^{\prime}(x)=-2 \sin (2 x) ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R} , x0=π4x_{0}=\dfrac{\pi}{4} ; y0=1y_{0}=-1.


2. y(x)=cos(x2)y^{\prime}(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2}\right) ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R} , x0=πx_{0}=\pi ; y0=0y_{0}=0.
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4

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. y(x)=2sin(x)cos(x)y^{\prime}(x)=2 \sin (x)-\cos (x), pour tout xRx \in \R.


2. y(x)=cos(x)sin2(x)y^{\prime}(x)=\cos (x) \sin ^{2}(x), pour tout xRx \in \R.


3. y(x)=sin(x)cos2(x)y^{\prime}(x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)}, pour x]π2 ;π2[x \in]-\dfrac{\pi}{2}~; \dfrac{\pi}{2}[.


4. y(x)=cos(2x)2+sin(2x)y^{\prime}(x)=\dfrac{\cos (2 x)}{\sqrt{2+\sin (2 x)}}, pour tout xRx \in \R.
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5

1. Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=cos(x2)f(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2}\right).
a. Calculer 0πf(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x et en déduire ππf(x)dx\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x.


b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de ff sur [π ;3π][-\pi~; 3 \pi].


2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction gg définie sur R\R par g(x)=sin(2x)g(x)=\sin (2 x).
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6

Calculer les intégrales suivantes.

1. π2πcos(x)sin(x)dx\displaystyle\int_{-\pi}^{2 \pi} \cos (x) \sin (x) \mathrm{d} x


2. π4π3cos(x)sin2(x)dx\displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \cos (x) \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x


3. π6π2cos(x)sin2(x)dx\displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}-\dfrac{\cos (x)}{\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x


4. π2π33sin(x)cos(x)dx\displaystyle\int_{\normalsize{-\tfrac{\pi}{2}}}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \dfrac{3 \sin (x)}{\sqrt{\cos (x)}} \mathrm{d} x


5. 0π24sin(x)e2cos(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}-4 \sin (x) \mathrm{e}^{2 \cos (x)} \mathrm{d} x


6. π40(12sin2(x))dx\displaystyle\int_{\normalsize{-\tfrac{\pi}{4}}}^{0}\left(1-2 \sin ^{2}(x)\right) \mathrm{d} x


7. 0πcos(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\cos (x)| \mathrm{d} x


8. 12cos2(x)dx+12(sin2(x)1)dx\displaystyle\int_{-1}^{2} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(\sin ^{2}(x)-1\right) \mathrm{d} x
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7

Déterminer un encadrement des intégrales π0cos2(x)dx\displaystyle\int_{-\pi}^{0} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x et 0πxsin(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} x \sin (x) \mathrm{d} x.
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8

Soit ff la fonction définie sur [0 ;π3]\left[0~; \dfrac{\pi}{3}\right] par f(x)=1cos(x)f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\cos (x)}}.

1. Démontrer que, pour tout réel x[0 ;π3]x \in\left[0~; \dfrac{\pi}{3}\right] :
1f(x)21 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{2}.


2. En déduire un encadrement de 0π3f(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} f(x) \mathrm{d} x.
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9

Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de f:x2x+4f: x \mapsto \dfrac{2}{x+4} sur ]4 ;+[]-4~;+\infty[. Justifier.

1. F:xln(2x+4)\mathrm{F}: x \mapsto \ln \left(\dfrac{2}{x+4}\right)


2. G:xln(x+4)\mathrm{G}: x \mapsto \ln (x+4)


3. H:x2ln(x+4)\mathrm{H}: x \mapsto 2 \ln (x+4)


4. K:x2+ln(x+4)\mathrm{K}: x \mapsto 2+\ln (x+4)
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10

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.

1. f:x5x3f: x \mapsto \dfrac{5}{x-3}


2. g:x2xx2+1g: x \mapsto \dfrac{2 x}{x^{2}+1}


3. k:xe2xe2x+1k: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1}


4. :xsin(3x+1)cos(3x+1)\ell: x \mapsto \dfrac{\sin (3 x+1)}{\cos (3 x+1)}
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11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle I\text{I} donné.

1. g1:xcos(x)sin(x)g_{1}: x \mapsto \dfrac{\cos (x)}{\sin (x)}, sur I=]0 ;π2[\mathrm{I}= \left] 0~; \dfrac{\pi}{2} \right[.


2. g2:xsin(x)cos(x)g_{2}: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}, sur I=]π2 ;π[\mathrm{I}= \left] \dfrac{\pi}{2}~; \pi \right[.


3. g3:xcos(x)sin2(x)g_{3}: x \mapsto \dfrac{\cos (x)}{\sin ^{2}(x)}, sur I=]0 ;π2[\mathrm{I}= \left] 0~; \dfrac{\pi}{2} \right[.


4. g4:xsin(x)cos3(x)g_{4}: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{\cos ^{3}(x)}, sur I=]π2 ;π[\mathrm{I}= \left] \dfrac{\pi}{2}~; \pi \right[.
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12

Soitf f la fonction définie sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[ par f(x)=xln(x)f(x)=x \ln (x).

1. Voici la représentation graphique d’une primitive de ff. Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de 24f(x)dx\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x.


Maths spé - Exercices transversaux - exercice 12

2. Démontrer que F:xx24(2ln(x)1)\mathrm{F}: x \mapsto \dfrac{x^{2}}{4}(2 \ln (x)-1) est une primitive de ff sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[.


3. Calculer la valeur exacte de 24f(x)dx\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x.
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13

Calculer les intégrales suivantes.

1.111x+2dx\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{x+2} \mathrm{d} x


2. 12x7x22dx\displaystyle\int_{1}^{2}-\dfrac{x}{7 x^{2}-2} \mathrm{d} x


3. 01ex3ex+1dx\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3 \mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x


4. 12x+1(x+1)23dx\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x+1}{(x+1)^{2}-3} \mathrm{d} x


5. 23x1+x2dx\displaystyle\int_{-2}^{3}\left|\dfrac{x}{1+x^{2}}\right| \mathrm{d} x
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14

Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[ par f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}.

1. Démontrer que 19f(x)dx=2ln(3)\displaystyle\int_{1}^{9} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln (3).


2. Déterminer la valeur moyenne de ff sur [4 ;16][4~; 16].
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15

Soit ff la fonction définie sur ]1e ;+[\left] \dfrac{1}{\mathrm{e}}~;+\infty \right[ par f(x)=11+ln(x)f(x)=\dfrac{1}{1+\ln (x)}.

1. Démontrer que, pour tout x[1 ;e]x \in[1~; \mathrm{e}], 12f(x)1\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant 1.


2. En déduire un encadrement de 1ef(x)dx\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x.
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16

Calculer les intégrales suivantes.

1. 0π3sin(x)cos(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} \mathrm{d} x


2. π23π43cos(x)sin(x)dx\displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}^{\normalsize{\tfrac{3 \pi}{4}}} \dfrac{3 \cos (x)}{\sin (x)} \mathrm{d} x
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17

Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[ par f(x)=6+4ln(x)xf(x)=\dfrac{6+4 \ln (x)}{x}.
La valeur moyenne de ff sur [1 ;5][1~; 5] est 12ln(5)×(3+ln(5))\dfrac{1}{2} \ln (5) \times(3+\ln (5)).


2. 14ln(x)xdx=ln(4)\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{\ln (x)}{x} \mathrm{d} x=\ln (4)


3. 0ln(5)12exdx=5e2\displaystyle\int_{0}^{\ln (5)} \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\dfrac{5-\mathrm{e}}{2}
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Intégrations par parties


18

À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1. 12x3(1+x2)2dx\displaystyle\int_{-1}^{2} \dfrac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x


Aide
Poser u(x)=x(1+x2)2u^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} et v(x)=x2v(x)=x^{2}.


2. 28xln(x)dx\displaystyle\int_{2}^{8} x \ln (x) \mathrm{d} x


3. 1eln(x)dx\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln (x) \mathrm{d} x
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19

Soit A=0πexcos(x)dx\mathrm{A}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-x} \cos (x) \mathrm{d} x.
À l’aide d’une double intégration par parties, montrer que A=eπ+1A\mathrm{A}=\mathrm{e}^{-\pi}+1-\mathrm{A}. En déduire la valeur de A\text{A}.
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20

Calculer les intégrales suivantes.

1. π0xcos(x)dx\displaystyle\int_{-\pi}^{0} x \cos (x) \mathrm{d} x


2. 0π4x2cos(x)dx\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}} x^{2} \cos (x) \mathrm{d} x
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21

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2cos(2x)f(x)=x^{2} \cos (2 x).

1. Déterminer la primitive de ff s’annulant en 00.


2. En déduire les valeurs exactes de A=0πx2cos2(x)dx\mathrm{A}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x et B=0πx2sin2(x)dx\mathrm{B}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^{2} \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x.
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22

Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre 500500 et 2 0002 000 pompes à chaleur chaque mois. On note B(x)\mathrm{B}(x) le bénéfice mensuel de l’entreprise, exprimé en millier d’euros, pour la vente de xx centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout x[5 ;20]x \in[5~; 20], B(x)=x2+ln(x+1)\mathrm{B}(x)=\dfrac{x}{2}+\ln (x+1).

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer 1015B(x)dx\displaystyle\int_{10}^{15} \mathrm{B}(x) \mathrm{d} x.


2. Déterminer une valeur approchée, à l’euro près, du bénéfice moyen réalisé lorsque l’entreprise vend entre 1 0001 000 et 1 5001 500 pompes à chaleur.
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Suites d’intégrales


23
D’après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction ff définie sur l’intervalle ]0 ;+[] 0~;+\infty[ par f(x)=2xln(x)x2f(x)=2 x-\dfrac{\ln (x)}{x^{2}}.
On note C\mathcal{C} la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité 22 cm en abscisses et 11 cm en ordonnées.
On appelle Δ\Delta la droite d’équation y=2xy = 2x.
Soit nn un entier naturel non nul.
On considère l’aire du domaine D\mathcal{D} du plan délimité par la courbe C\mathcal{C}, la droite Δ\Delta et les droites d’équations respectives x=1x = 1 et x=nx = n.

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par In=21nln(x)x2dx\mathrm{I}_{n}=2 \displaystyle\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \mathrm{d} x.


2. a. Calculer l’intégrale 1nln(x)x2dx\displaystyle\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \mathrm{d} x à l’aide d’une intégration par parties.


b. Exprimer alors In\mathrm{I}_n en fonction de nn.


3. Calculer la limite de l’aire In\mathrm{I}_n du domaine D\mathcal{D} quand nn tend vers ++\infty.
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24

Pour tout entier naturel nn, l’intégrale dite de Wallis est définie par Wn=0π2sinn(x)dx\mathrm{W}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \sin ^{n}(x) \mathrm{d} x.

1. Calculer W0\mathrm{W}_{0}, W1\mathrm{W}_{1} et W2\mathrm{W}_{2}.


Aide
Pour W2\mathrm{W}_{2}, on utilisera une intégration par parties.


2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier n2n \geqslant 2, Wn=n1nWn2\mathrm{W}_{n}=\dfrac{n-1}{n} \mathrm{W}_{n-2}.


3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n1n \geqslant 1, W2n=1×3××(2n1)2×4××(2n)×π2\mathrm{W}_{2n}=\dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times \ldots \times(2 n)} \times \dfrac{\pi}{2} et W2n+1=2×4××(2n)1×3××(2n1)×12n+1W_{2 n+1}=\dfrac{2 \times 4 \times \ldots \times(2 n)}{1 \times 3 \times \ldots \times(2 n-1)} \times \dfrac{1}{2 n+1}.


4. a. Démontrer que la suite (Wn)(\mathrm{W}_n) est décroissante.


b. Justifier que la suite (Wn)(\mathrm{W}_n) est convergente.
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25

On définit la suite (Hn)n1\left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1}, appelée série harmonique, par Hn=k=1n1k\mathrm{H}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k}.

1. Calculer H1\mathrm{H}_{1} et H2\mathrm{H}_{2}.


2. Démontrer que la suite (Hn)n1\left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1} est croissante.


3. a. Écrire un algorithme en langage Python permettant de calculer le terme Hn\mathrm{H}_{n} pour n1n \geqslant 1 donné.




b. Conjecturer la limite de la suite (Hn)n1\left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1}.


4. On considère un entier naturel kk tel que k1k \geqslant 1.
a. Déterminer un encadrement de kk+11xdx\displaystyle\int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x.


b. En sommant les inégalités pour kk allant de 11 à nn, démontrer que Hn1ln(n)Hn1\mathrm{H}_{n}-1 \leqslant \ln (n) \leqslant \mathrm{H}_{n-1}, puis que ln(n+1)Hn1+ln(n)\ln (n+1) \leqslant \mathrm{H}_{n} \leqslant 1+\ln (n).


c. En déduire que la suite (Hnn)n1\left(\dfrac{\mathrm{H}_{n}}{n}\right)_{n \geqslant 1} converge vers 00.


5. a. Démontrer que la suite (Hnln(n))n1\left(\mathrm{H}_{n}-\ln (n)\right)_{n \geqslant 1} est décroissante et minorée par 00.


b. Que peut‑on en déduire pour la suite (Hnln(n))n1\left(\mathrm{H}_{n}-\ln (n)\right)_{n \geqslant 1} ?


La limite de cette suite est appelée constante d’Euler. On la note γ\gamma et γ0,577\gamma \approx 0{,}577.
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La fonction ln\boldsymbol{\ln} avec calcul intégral


26
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Continuité Fonction logarithme

L’espace est rapporté à un repère (O ;i ,j ,k)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}).
On considère les points A(3 ;0 ;1)\mathrm{A}(3~; 0~; 1), B(2 ;1 ;1)\mathrm{B}(-2~; 1~; 1), C(3 ;2 ;4)\mathrm{C}(3~; 2~;-4) et D(1 ;1 ;2)\mathrm{D}(-1~;-1~; 2).

Partie A

1. a. Démontrer que les quatre points A\text{A}, B\text{B}, C\text{C} et D\text{D} ne sont pas coplanaires.


b. En déduire que (A ;AB ,AC ,AD)(\mathrm{A}~; \overrightarrow{\mathrm{A B}}~, \overrightarrow{\mathrm{A C}}~, \overrightarrow{\mathrm{A D}}) est un repère de l’espace.


2. Soit E\text{E} le point de l’espace défini par :
AE=3AB+AC+AD\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}.

a. Donner les coordonnées de E\text{E} dans le repère (A ;AB ,AC ,AD)(\mathrm{A}~; \overrightarrow{\mathrm{A B}}~, \overrightarrow{\mathrm{A C}}~, \overrightarrow{\mathrm{A D}}).


b. Déterminer les coordonnées de E\text{E} dans le repère (O ;i ,j ,k)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}).


Partie B
1. Soit H\text{H} le point de coordonnées (0 ;135 ;4)\left(0~; \dfrac{13}{5}~;-4\right).
H\text{H} appartient-il au plan (ABC)(\text{ABC}) ?


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AC)\text{(AC)}.


b. Justifier que la droite (AC)\text{(AC)} est incluse dans un plan parallèle au plan P\mathcal{P} d’équation x=0x = 0.


c. En déduire l’intersection des plans P\mathcal{P} et (ABC)\text{(ABC)}. On note Δ\Delta cette droite.


3. Soit M\text{ M} un point mobile du plan P\mathcal{P} de coordonnées (0 ;t ;ln(t))(0~; t~; \ln (t)), où tt est un réel strictement positif.
On souhaite déterminer s’il existe une valeur de tt telle que MΔ\mathrm{M} \in \Delta.
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de Δ\Delta est : {x=0y=2k+135z=5k4\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2 k+\dfrac{13}{5} \\ z=-5 k-4\end{array}\right..


b. En déduire que le problème admet une solution si, et seulement si, l’équation ln(2x+135)+5x+4=0\ln \left(2 x+\dfrac{13}{5}\right)+5 x+4=0 admet une solution.


c. Soit ff la fonction définie sur Df\mathcal{D}_f par :
f(x)=ln(2x+135)+5x+4f(x)=\ln \left(2 x+\dfrac{13}{5}\right)+5 x+4.
Déterminer Df\mathcal{D}_f et étudier les variations de ff.


d. Le problème posé admet‑il alors une solution ?
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27
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Orthogonalité et distances dans l’espace
Fonction logarithme

L’espace est rapporté au repère orthonormé (O ;i ,j ,k)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}).

1. Dans le plan P\mathcal{P} contenant O\text{O} et de vecteurs directeurs i\overrightarrow{i} et j\overrightarrow{j}, on considère l’ensemble des points M(x ,f(x) ,0)\mathrm{M}(x~, f(x)~, 0), où ff est la fonction définie sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[ par f(x)=xln(x)f(x)=x \ln (x). On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff dans le plan P\mathcal{P}. Soit S\text{S} le point de Cf\mathcal{C}_f dont l’ordonnée est minimale.
Déterminer les coordonnées dans l’espace de S\text{S}.


2. Soit P\mathcal{P}' le plan d’équation x+yz=0x + y - z = 0.
a. Vérifier que S\text{S} appartient à P\mathcal{P}'.


b. En déduire que P\mathcal{P} et P\mathcal{P}' ne sont pas parallèles et déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta, intersection de P\mathcal{P} et P\mathcal{P}'.
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28
Orthogonalité et distances dans l’espace
Limites de fonctions Fonction logarithme

Un vecteur pt\overrightarrow{p_{t}}, repérant la position d’un solide S\text{S} dans l’espace en fonction du temps tt en seconde, a pour coordonnées (ln(3t)ln(2t)ln(t))\left(\begin{array}{c}-\ln (3 t) \\ -\ln (2 t) \\ \ln (t)\end{array}\right), où t>0t > 0.
Ses coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de tt, on peut ainsi définir la dérivée d’un vecteur pt\overrightarrow{p_{t}} comme étant le vecteur dptdt\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t}, dont les coordonnées sont les dérivées respectives par rapport à tt des composantes de pt\overrightarrow{p_{t}}. La dérivée du vecteur pt\overrightarrow{p_{t}} est alors le vecteur dptdt\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t} de coordonnées (x(t)y(t)z(t))\left(\begin{array}{l}x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)\end{array}\right).
On cherche à étudier la position de S\text{S} par rapport à un plan mobile Pt\mathcal{P}_t, dont une équation cartésienne est :
xcos2(t)ysin2(t)+zcos(2t)+2=0x \cos ^{2}(t)-y \sin ^{2}(t)+z \cos (2 t)+2=0.

1. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse défini par : vt=dptdt\overrightarrow{v_{t}}=\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t}.


2. Montrer que le solide S\text{S} se déplace avec une vitesse parallèle au plan Pt\mathcal{P}_{t}.


3. Est‑ce également vrai pour l’accélération at=dvtdt\overrightarrow{a_{t}}=\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{v_{t}}}{\mathrm{d} t} à laquelle le solide S\text{S} est soumis ?
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29
Suites Continuité Fonction logarithme

D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2017

Dans tout l’exercice, nn désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation (En):ln(x)x=1n\left(\mathrm{E}_{n}\right): \dfrac{\ln (x)}{x}=\dfrac{1}{n}, ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif xx.

Partie A
Soit ff la fonction définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ par f(x)=ln(x)xf(x)=\dfrac{\ln (x)}{x}.
On admet que ff est dérivable sur l’intervalle ]0 ;+[]0~;+\infty[.

1. Étudier les variations de la fonction ff.


2. Déterminer son maximum.


Partie B

1. Montrer que, pour tout entier n3n \geqslant 3, l’équation f(x)=1nf(x)=\dfrac{1}{n} possède une unique solution sur [1 ;e][1~; \mathrm{e}]. Cette solution dépend de nn et on la note αn\alpha_n.


2. D’après ce qui précède, pour tout entier n3n \geqslant 3, le nombre réel αn\alpha_n est solution de l’équation (En)\left(\mathrm{E}_{n}\right).
a. Sur le graphique ci‑dessous, on a tracé la courbe représentative C\mathcal{C} de la fonction ff, ainsi que les droites D3\mathrm{D}_3, D4\mathrm{D}_4 et D5\mathrm{D}_5 d’équations respectives y=13y=\dfrac{1}{3}, y=14y=\dfrac{1}{4} et y=15y=\dfrac{1}{5}.

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 29

Conjecturer, en justifiant, le sens de variation de la suite (αn)(\alpha_n).


b. Comparer, pour tout entier n3n \geqslant 3, f(αn)f\left(\alpha_{n}\right) et f(αn+1)f\left(\alpha_{n+1}\right).
Déterminer le sens de variation de la suite (αn)\left(\alpha_{n}\right).


c. En déduire que la suite (αn)\left(\alpha_{n}\right) converge vers un réel \ell, que l’on ne demandera pas de déterminer.


3. On admet que, pour tout entier n3n \geqslant 3, l’équation (En)(\mathrm{E}_n) possède une autre solution βn\beta_n telle que 1αneβn1 \leqslant \alpha_{n} \leqslant \mathrm{e} \leqslant \beta_{n}.
a. On admet que la suite (βn)\left(\beta_{n}\right) est croissante.
Montrer que, pour tout entier n3n \geqslant 3, βnnβ33\beta_{n} \geqslant n \dfrac{\beta_{3}}{3}.


b. En déduire la limite de la suite (βn)\left(\beta_{n}\right).
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30
Limites de fonctions Continuité
Fonction logarithme

Soit ff la fonction définie pour tout réel x0x \geqslant 0 par :
f(x)=2x2+ln(x2+1)f(x)=2 x-2+\ln \left(x^{2}+1\right).

1. Déterminer la fonction dérivée ff' de ff sur [0 ;+[[0~;+\infty[.


2. Dresser le tableau de variations de ff sur [0 ;+[[0~;+\infty[.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Démontrer que l’équation f(x)=0f(x) = 0 admet une unique solution α\alpha strictement positive dont on déterminera un encadrement d’amplitude 10110^{-1}.
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31
Compléments sur la dérivation
Fonction logarithme

Soit uu une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I\text{I}. En justifiant, déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Si uu est strictement positive et convexe sur I\text{I}, alors ln(u)\ln(u) est convexe sur I\text{I}.


2. Pour toute fonction uu, eu\mathrm{e}^u est concave sur I\text{I}.


3. f:xln(1+ex)f: x \mapsto \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) est convexe sur R\R.
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32
Compléments sur la dérivation
Fonction logarithme

Soit uu une fonction strictement positive et deux fois dérivable sur un intervalle I\text{I}. Montrer que la fonction ln(u)\ln(u) est concave sur I\text{I} si, et seulement si, u×u(u)2u^{\prime \prime} \times u \leqslant\left(u^{\prime}\right)^{2} sur I\text{I}.
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33
Orthogonalité et distances dans l’espace
Fonction logarithme

On se place dans une base orthonormée (i ,j ,k)(\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}) de l’espace.

1. Montrer que les vecteurs u1(ln(6)112)\overrightarrow{u_{1}}\left(\begin{array}{c}\ln (6) \\ 1 \\ \dfrac{1}{2}\end{array}\right) et u2(2ln(12)ln(9))\overrightarrow{u_{2}}\left(\begin{array}{c}-2 \\ \ln (12) \\ \ln (9)\end{array}\right) sont orthogonaux.


2. Démontrer que, pour tout a]0 ;+[a \in] 0~;+\infty[, les vecteurs v1(ln(a)3212)\overrightarrow{v_{1}}\left(\begin{array}{c}\ln (a) \\ \dfrac{-3}{2} \\ \dfrac{-1}{2}\end{array}\right) et v2(2ln(a)ln(a))\overrightarrow{v_{2}}\left(\begin{array}{c}2 \\ \ln (a) \\ \ln (a)\end{array}\right) sont orthogonaux.


3. Trouver un vecteur à la fois orthogonal à v1\overrightarrow{v_{1}} et à v2\overrightarrow{v_{2}}.
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Suites Fonction logarithme
Sommes de variables aléatoires

Soient qq un nombre réel strictement positif et nn un entier naturel non nul.
On considère le jeu suivant se déroulant en nn étapes :
  • on lance à chaque étape un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66 ;
  • si, à la première étape, on obtient le nombre 44, on remporte 66 €. Sinon, on ne gagne rien ;
  • si, à la deuxième étape, on obtient le nombre 44, on remporte 6q6q €. Sinon, on ne gagne rien ;
  • si, à la troisième étape, on obtient le nombre 44, on remporte 6q26q2 €. Sinon, on ne gagne rien ;
  • si, à la nn-ième étape, on obtient le nombre 44, on remporte 6qn16q^{n-1} €. Sinon, on ne gagne rien.

Pour tout entier k{1 ; ;n}k \in\{1~; \ldots~; n\}, on note Xk\mathrm{X}_k la variable aléatoire correspondant au gain obtenu lors de la kke étape. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes.

1. Déterminer, pour tout entier k{1 ; ;n}k \in\{1~; \ldots~; n\}, la loi de probabilité de la variable aléatoire Xk\mathrm{X}_k.


2. Soit Yn\mathrm{Y}_n la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue de la partie. Exprimer Yn\mathrm{Y}_n en fonction des variables aléatoires Xk\mathrm{X}_k.


3. Déterminer une expression de E(Yn)\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}_{n}\right) en fonction de qq et de nn. Différencier les cas q1q \neq 1 et q=1q = 1.


4. Dans cette question, on suppose que q=2q = 2.
Déterminer le nombre d’étapes nécessaire pour que le gain théorique moyen dépasse 1 0001 000 € à l’issue de la partie.


5. Dans cette question, on suppose que q=0,5q = 0{,}5.
Calculer limn+E(Yn)\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \mathrm{E}\left(\mathrm{Y}_{n}\right) puis interpréter le résultat obtenu.
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