Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l'exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur \R de la fonction donnée.

2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur \R.

3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution f définie sur \text{I} telle que f(x_0) = y_0.

6

Calculer les intégrales suivantes.

7

Déterminer un encadrement des intégrales \displaystyle\int_{-\pi}^{0} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x et \displaystyle\int_{0}^{\pi} x \sin (x) \mathrm{d} x.

8

Soit f la fonction définie sur \left[0~; \frac{\pi}{3}\right] par f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos (x)}}.

11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l'intervalle \text{I} donné.

16

Calculer les intégrales suivantes.

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Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit f la fonction définie sur ] 0~;+\infty[ par f(x)=\frac{6+4 \ln (x)}{x}.
La valeur moyenne de f sur [1~; 5] est \frac{1}{2} \ln (5) \times(3+\ln (5)).

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À l'aide d'une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1. \displaystyle\int_{-1}^{2} \frac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x

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Soit \mathrm{A}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-x} \cos (x) \mathrm{d} x.
À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que \mathrm{A}=\mathrm{e}^{-\pi}+1-\mathrm{A}. En déduire la valeur de \text{A}.

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Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre 500 et 2 000 pompes à chaleur chaque mois. On note \mathrm{B}(x) le bénéfice mensuel de l'entreprise, exprimé en millier d'euros, pour la vente de x centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout x \in[5~; 20], \mathrm{B}(x)=\frac{x}{2}+\ln (x+1).

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D'après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] 0~;+\infty[ par f(x)=2 x-\frac{\ln (x)}{x^{2}}.
On note \mathcal{C} la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
On appelle \Delta la droite d'équation y = 2x.
Soit n un entier naturel non nul.
On considère l'aire du domaine \mathcal{D} du plan délimité par la courbe \mathcal{C}, la droite \Delta et les droites d'équations respectives x = 1 et x = n. 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par \mathrm{I}_{n}=2 \displaystyle\int_{1}^{n} \frac{\ln (x)}{x^{2}} \mathrm{d} x.

3. Calculer la limite de l'aire \mathrm{I}_n du domaine \mathcal{D} quand n tend vers +\infty.

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Pour tout entier naturel n, l'intégrale dite de Wallis est définie par \mathrm{W}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \sin ^{n}(x) \mathrm{d} x.

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On définit la suite \left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1}, appelée série harmonique, par \mathrm{H}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \frac{1}{k}.

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L'espace est rapporté à un repère (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}).
On considère les points \mathrm{A}(3~; 0~; 1), \mathrm{B}(-2~; 1~; 1), \mathrm{C}(3~; 2~;-4) et \mathrm{D}(-1~;-1~; 2).

L'espace est rapporté au repère orthonormé (\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}).

1. Dans le plan \mathcal{P} contenant \text{O} et de vecteurs directeurs \overrightarrow{i} et \overrightarrow{j}, on considère l'ensemble des points \mathrm{M}(x~, f(x)~, 0), où f est la fonction définie sur ] 0~;+\infty[ par f(x)=x \ln (x). On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f dans le plan \mathcal{P}. Soit \text{S} le point de \mathcal{C}_f dont l'ordonnée est minimale.
Déterminer les coordonnées dans l'espace de \text{S}.

2. Soit \mathcal{P}' le plan d'équation x + y - z = 0.

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Un vecteur \overrightarrow{p_{t}}, repérant la position d'un solide \text{S} dans l'espace en fonction du temps t en seconde, a pour coordonnées \left(\begin{array}{c}-\ln (3 t) \\ -\ln (2 t) \\ \ln (t)\end{array}\right), où t > 0.
Ses coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de t, on peut ainsi définir la dérivée d'un vecteur \overrightarrow{p_{t}} comme étant le vecteur \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t}, dont les coordonnées sont les dérivées respectives par rapport à t des composantes de \overrightarrow{p_{t}}. La dérivée du vecteur \overrightarrow{p_{t}} est alors le vecteur \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t} de coordonnées \left(\begin{array}{l}x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)\end{array}\right).
On cherche à étudier la position de \text{S} par rapport à un plan mobile \mathcal{P}_t, dont une équation cartésienne est : 3. Est‑ce également vrai pour l'accélération \overrightarrow{a_{t}}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v_{t}}}{\mathrm{d} t} à laquelle le solide \text{S} est soumis ?

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D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2017

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l'exercice est d'étudier l'équation \left(\mathrm{E}_{n}\right): \frac{\ln (x)}{x}=\frac{1}{n}, ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif x.

Partie A
Soit f la fonction définie sur ]0~;+\infty[ par f(x)=\frac{\ln (x)}{x}.
On admet que f est dérivable sur l'intervalle ]0~;+\infty[.

Partie B

1. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 3, l'équation f(x)=\frac{1}{n} possède une unique solution sur [1~; \mathrm{e}]. Cette solution dépend de n et on la note \alpha_n.

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Soit f la fonction définie pour tout réel x \geqslant 0 par :
1. Déterminer la fonction dérivée f' de f sur [0~;+\infty[.

2. Dresser le tableau de variations de f sur [0~;+\infty[.


3. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution \alpha strictement positive dont on déterminera un encadrement d'amplitude 10^{-1}.

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Soit u une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle \text{I}. En justifiant, déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

3. f: x \mapsto \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) est convexe sur \R.

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Soit u une fonction strictement positive et deux fois dérivable sur un intervalle \text{I}. Montrer que la fonction \ln(u) est concave sur \text{I} si, et seulement si, u^{\prime \prime} \times u \leqslant\left(u^{\prime}\right)^{2} sur \text{I}.

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On se place dans une base orthonormée (\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k}) de l'espace. 3. Trouver un vecteur à la fois orthogonal à \overrightarrow{v_{1}} et à \overrightarrow{v_{2}}.

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Soient q un nombre réel strictement positif et n un entier naturel non nul.
On considère le jeu suivant se déroulant en n étapes :

• on lance à chaque étape un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 ;
• si, à la première étape, on obtient le nombre 4, on remporte 6 €. Sinon, on ne gagne rien ;
• si, à la deuxième étape, on obtient le nombre 4, on remporte 6q €. Sinon, on ne gagne rien ;
• si, à la troisième étape, on obtient le nombre 4, on remporte 6q2 €. Sinon, on ne gagne rien ;
• …
• si, à la n-ième étape, on obtient le nombre 4, on remporte 6q^{n-1} €. Sinon, on ne gagne rien.

Pour tout entier k \in\{1~; \ldots~; n\}, on note \mathrm{X}_k la variable aléatoire correspondant au gain obtenu lors de la k^e étape. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes.