④ Suites
⑥ Continuité
⑧ Fonction logarithme
D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2017
Dans tout l’exercice,
n désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation
(En):xln(x)=n1, ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif
x.
Partie A
Soit
f la fonction définie sur
]0 ;+∞[ par
f(x)=xln(x).
On admet que
f est dérivable sur l’intervalle
]0 ;+∞[.
1. Étudier les variations de la fonction
f.
2. Déterminer son maximum.
Partie B
1. Montrer que, pour tout entier
n⩾3, l’équation
f(x)=n1 possède une unique solution sur
[1 ;e]. Cette solution dépend de
n et on la note
αn.
2. D’après ce qui précède, pour tout entier
n⩾3, le nombre réel
αn est solution de l’équation
(En).
a. Sur le graphique ci‑dessous, on a tracé la courbe représentative
C de la fonction
f, ainsi que les droites
D3,
D4 et
D5 d’équations respectives
y=31,
y=41 et
y=51.
Conjecturer, en justifiant, le sens de variation de la suite
(αn).
b. Comparer, pour tout entier
n⩾3,
f(αn) et
f(αn+1).
Déterminer le sens de variation de la suite
(αn).
c. En déduire que la suite
(αn) converge vers un réel
ℓ, que l’on ne demandera pas de déterminer.
3. On admet que, pour tout entier
n⩾3, l’équation
(En) possède une autre solution
βn telle que
1⩽αn⩽e⩽βn.
a. On admet que la suite
(βn) est croissante.
Montrer que, pour tout entier
n⩾3,
βn⩾n3β3.
b. En déduire la limite de la suite
(βn).