Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction donnée.

1. $\mathrm{F}:x\mapsto \sin (2x)$


2. $\mathrm{G}:x\mapsto 2+\sin (2x)$


3. $\mathrm{H}:x\mapsto 2{\cos }^2(x)$


4. $\mathrm{K}:x\mapsto 1+{\sin }^2(x)$

2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$.

1.$f_1:x\mapsto \cos (x)+\sin (x)$


2.$f_2:x\mapsto \cos (2x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)$


3.$f_3:x\mapsto \cos (x)\sin (x)$


4.$f_4:x\mapsto 2\cos (x){\sin }^3(x)$


5.$f_5:x\mapsto 4\sin (x){\cos }^5(x)$


6.$f_6:x\mapsto x\cos \left(x^2\right)+\sin (x)$


7.$f_7:x\mapsto x^2\sin \left(x^3\right)$

3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution $f$ définie sur $\text{I}$ telle que $f(x_0)=y_0$.

1. $y^{\prime }(x)=-2\sin (2x)$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ , $x_0=\frac{\pi }{4}$ ; $y_0=-1$.


2. $y^{\prime }(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ , $x_0=\pi$ ; $y_0=0$.

4

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $y^{\prime }(x)=2\sin (x)-\cos (x)$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.


2. $y^{\prime }(x)=\cos (x){\sin }^2(x)$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.


3. $y^{\prime }(x)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}$, pour $x\in ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$.


4. $y^{\prime }(x)=\frac{\cos (2x)}{\sqrt{2+\sin (2x)}}$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.

5

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.
a. Calculer ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$ et en déduire ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$.


b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-\pi ;3\pi ]$.


2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sin (2x)$.

6

Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-\pi }^{2\pi }\cos (x)\sin (x)\mathrm{d}x$


2. ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos (x){\sin }^2(x)\mathrm{d}x$


3. ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}\mathrm{d}x$


4. ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{3\sin (x)}{\sqrt{\cos (x)}}\mathrm{d}x$


5. ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}-4\sin (x){\mathrm{e}}^{2\cos (x)}\mathrm{d}x$


6. ${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^0\left(1-2{\sin }^2(x)\right)\mathrm{d}x$


7. ${\int }_0^{\pi }|\cos (x)|\mathrm{d}x$


8. ${\int }_{-1}^2{\cos }^2(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-1}^2\left({\sin }^2(x)-1\right)\mathrm{d}x$

7

Déterminer un encadrement des intégrales ${\int }_{-\pi }^0{\cos }^2(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_0^{\pi }x\sin (x)\mathrm{d}x$.

8

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos (x)}}$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x\in \left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ :

2. En déduire un encadrement de ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(x)\mathrm{d}x$.

9

Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de $f:x\mapsto \frac{2}{x+4}$ sur $]-4;+\infty [$. Justifier.

1. $\mathrm{F}:x\mapsto \ln \left(\frac{2}{x+4}\right)$


2. $\mathrm{G}:x\mapsto \ln (x+4)$


3. $\mathrm{H}:x\mapsto 2\ln (x+4)$


4. $\mathrm{K}:x\mapsto 2+\ln (x+4)$

10

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.

1. $f:x\mapsto \frac{5}{x-3}$


2. $g:x\mapsto \frac{2x}{x^2+1}$


3. $k:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$


4. $\ell :x\mapsto \frac{\sin (3x+1)}{\cos (3x+1)}$

11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle $\text{I}$ donné.

1. $g_1:x\mapsto \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.


2. $g_2:x\mapsto \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]\frac{\pi }{2};\pi \right[$.


3. $g_3:x\mapsto \frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.


4. $g_4:x\mapsto \frac{\sin (x)}{{\cos }^3(x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]\frac{\pi }{2};\pi \right[$.

12

Soit$f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x\ln (x)$.

1. Voici la représentation graphique d’une primitive de $f$. Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$.



2. Démontrer que $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{x^2}{4}(2\ln (x)-1)$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.


3. Calculer la valeur exacte de ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$.

13

Calculer les intégrales suivantes.

1.${\int }_{-1}^1\frac{1}{x+2}\mathrm{d}x$


2. ${\int }_1^2-\frac{x}{7x^2-2}\mathrm{d}x$


3. ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{3{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x$


4. ${\int }_1^2\frac{x+1}{(x+1{)}^2-3}\mathrm{d}x$


5. ${\int }_{-2}^3\left|\frac{x}{1+x^2}\right|\mathrm{d}x$

14

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x}$.

1. Démontrer que ${\int }_1^{9}f(x)\mathrm{d}x=2\ln (3)$.


2. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[4;16]$.

15

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\frac{1}{\mathrm{e}};+\infty \right[$ par $f(x)=\frac{1}{1+\ln (x)}$.

1. Démontrer que, pour tout $x\in [1;\mathrm{e}]$, $\frac{1}{2}⩽f(x)⩽1$.


2. En déduire un encadrement de ${\int }_1^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{d}x$.

16

Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\mathrm{d}x$


2. ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}\frac{3\cos (x)}{\sin (x)}\mathrm{d}x$

17

Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{6+4\ln (x)}{x}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[1;5]$ est