Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice

26

, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur $\R$ de la fonction donnée.

1. $\mathrm{F}: x \mapsto \sin (2 x)$


2. $\mathrm{G}: x \mapsto 2+\sin (2 x)$


3. $\mathrm{H}: x \mapsto 2 \cos ^{2}(x)$


4. $\mathrm{K}: x \mapsto 1+\sin ^{2}(x)$

2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur $\R$.

1.$f_{1}: x \mapsto \cos (x)+\sin (x)$


2.$f_{2}: x \mapsto \cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$


3.$f_{3}: x \mapsto \cos (x) \sin (x)$


4.$f_{4}: x \mapsto 2 \cos (x) \sin ^{3}(x)$


5.$f_{5}: x \mapsto 4 \sin (x) \cos ^{5}(x)$


6.$f_{6}: x \mapsto x \cos \left(x^{2}\right)+\sin (x)$


7.$f_{7}: x \mapsto x^{2} \sin \left(x^{3}\right)$

3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution $f$ définie sur $\text{I}$ telle que $f(x_0) = y_0$.

1. $y^{\prime}(x)=-2 \sin (2 x)$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ , $x_{0}=\dfrac{\pi}{4}$ ; $y_{0}=-1$.


2. $y^{\prime}(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2}\right)$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ , $x_{0}=\pi$ ; $y_{0}=0$.

4

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $y^{\prime}(x)=2 \sin (x)-\cos (x)$, pour tout $x \in \R$.


2. $y^{\prime}(x)=\cos (x) \sin ^{2}(x)$, pour tout $x \in \R$.


3. $y^{\prime}(x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos ^{2}(x)}$, pour $x \in]-\dfrac{\pi}{2}~; \dfrac{\pi}{2}[$.


4. $y^{\prime}(x)=\dfrac{\cos (2 x)}{\sqrt{2+\sin (2 x)}}$, pour tout $x \in \R$.

5

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2}\right)$.
a. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ et en déduire $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$.


b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-\pi~; 3 \pi]$.


2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\sin (2 x)$.

6

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{-\pi}^{2 \pi} \cos (x) \sin (x) \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \cos (x) \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x$


3. $\displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{\pi}{6}}}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}-\dfrac{\cos (x)}{\sin ^{2}(x)} \mathrm{d} x$


4. $\displaystyle\int_{\normalsize{-\tfrac{\pi}{2}}}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \dfrac{3 \sin (x)}{\sqrt{\cos (x)}} \mathrm{d} x$


5. $\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}-4 \sin (x) \mathrm{e}^{2 \cos (x)} \mathrm{d} x$


6. $\displaystyle\int_{\normalsize{-\tfrac{\pi}{4}}}^{0}\left(1-2 \sin ^{2}(x)\right) \mathrm{d} x$


7. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\cos (x)| \mathrm{d} x$


8. $\displaystyle\int_{-1}^{2} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x+\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(\sin ^{2}(x)-1\right) \mathrm{d} x$

7

Déterminer un encadrement des intégrales $\displaystyle\int_{-\pi}^{0} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x$ et $\displaystyle\int_{0}^{\pi} x \sin (x) \mathrm{d} x$.

8

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~; \dfrac{\pi}{3}\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\cos (x)}}$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x \in\left[0~; \dfrac{\pi}{3}\right]$ : $1 \leqslant f(x) \leqslant \sqrt{2}$.

2. En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} f(x) \mathrm{d} x$.

9

Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de $f: x \mapsto \dfrac{2}{x+4}$ sur $]-4~;+\infty[$. Justifier.

1. $\mathrm{F}: x \mapsto \ln \left(\dfrac{2}{x+4}\right)$


2. $\mathrm{G}: x \mapsto \ln (x+4)$


3. $\mathrm{H}: x \mapsto 2 \ln (x+4)$


4. $\mathrm{K}: x \mapsto 2+\ln (x+4)$

10

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.

1. $f: x \mapsto \dfrac{5}{x-3}$


2. $g: x \mapsto \dfrac{2 x}{x^{2}+1}$


3. $k: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1}$


4. $\ell: x \mapsto \dfrac{\sin (3 x+1)}{\cos (3 x+1)}$

11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle $\text{I}$ donné.

1. $g_{1}: x \mapsto \dfrac{\cos (x)}{\sin (x)}$, sur $\mathrm{I}= \left] 0~; \dfrac{\pi}{2} \right[$.


2. $g_{2}: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}$, sur $\mathrm{I}= \left] \dfrac{\pi}{2}~; \pi \right[$.


3. $g_{3}: x \mapsto \dfrac{\cos (x)}{\sin ^{2}(x)}$, sur $\mathrm{I}= \left] 0~; \dfrac{\pi}{2} \right[$.


4. $g_{4}: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{\cos ^{3}(x)}$, sur $\mathrm{I}= \left] \dfrac{\pi}{2}~; \pi \right[$.

12

Soit$f$ la fonction définie sur $] 0~;+\infty[$ par $f(x)=x \ln (x)$.

1. Voici la représentation graphique d’une primitive de $f$. Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de $\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x$.

2. Démontrer que $\mathrm{F}: x \mapsto \dfrac{x^{2}}{4}(2 \ln (x)-1)$ est une primitive de $f$ sur $] 0~;+\infty[$.


3. Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{2}^{4} f(x) \mathrm{d} x$.

13

Calculer les intégrales suivantes.

1.$\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{x+2} \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{1}^{2}-\dfrac{x}{7 x^{2}-2} \mathrm{d} x$


3. $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{3 \mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{d} x$


4. $\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x+1}{(x+1)^{2}-3} \mathrm{d} x$


5. $\displaystyle\int_{-2}^{3}\left|\dfrac{x}{1+x^{2}}\right| \mathrm{d} x$

14

Soit $f$ la fonction définie sur $] 0~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.

1. Démontrer que $\displaystyle\int_{1}^{9} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln (3)$.


2. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[4~; 16]$.

15

Soit $f$ la fonction définie sur $\left] \dfrac{1}{\mathrm{e}}~;+\infty \right[$ par $f(x)=\dfrac{1}{1+\ln (x)}$.

1. Démontrer que, pour tout $x \in[1~; \mathrm{e}]$, $\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant 1$.


2. En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$.

16

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{3}}} \dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}}^{\normalsize{\tfrac{3 \pi}{4}}} \dfrac{3 \cos (x)}{\sin (x)} \mathrm{d} x$

17

Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $] 0~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{6+4 \ln (x)}{x}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[1~; 5]$ est $\dfrac{1}{2} \ln (5) \times(3+\ln (5))$.


2. $\displaystyle\int_{1}^{4} \dfrac{\ln (x)}{x} \mathrm{d} x=\ln (4)$


3. $\displaystyle\int_{0}^{\ln (5)} \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x} \mathrm{d} x=\dfrac{5-\mathrm{e}}{2}$

18

À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{-1}^{2} \dfrac{x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x$




2. $\displaystyle\int_{2}^{8} x \ln (x) \mathrm{d} x$


3. $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln (x) \mathrm{d} x$

19

Soit $\mathrm{A}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-x} \cos (x) \mathrm{d} x$.
À l’aide d’une double intégration par parties, montrer que $\mathrm{A}=\mathrm{e}^{-\pi}+1-\mathrm{A}$. En déduire la valeur de $\text{A}$.

20

Calculer les intégrales suivantes.

1. $\displaystyle\int_{-\pi}^{0} x \cos (x) \mathrm{d} x$


2. $\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{4}}} x^{2} \cos (x) \mathrm{d} x$

21

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^{2} \cos (2 x)$.

1. Déterminer la primitive de $f$ s’annulant en $0$.


2. En déduire les valeurs exactes de $\mathrm{A}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^{2} \cos ^{2}(x) \mathrm{d} x$ et $\mathrm{B}=\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^{2} \sin ^{2}(x) \mathrm{d} x$.

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Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre $500$ et $2 000$ pompes à chaleur chaque mois. On note $\mathrm{B}(x)$ le bénéfice mensuel de l’entreprise, exprimé en millier d’euros, pour la vente de $x$ centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout $x \in[5~; 20]$, $\mathrm{B}(x)=\dfrac{x}{2}+\ln (x+1)$.

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{10}^{15} \mathrm{B}(x) \mathrm{d} x$.


2. Déterminer une valeur approchée, à l’euro près, du bénéfice moyen réalisé lorsque l’entreprise vend entre $1 000$ et $1 500$ pompes à chaleur.

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D’après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $] 0~;+\infty[$ par $f(x)=2 x-\dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées.
On appelle $\Delta$ la droite d’équation $y = 2x$.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère l’aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d’équations respectives $x = 1$ et $x = n$.

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par $\mathrm{I}_{n}=2 \displaystyle\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \mathrm{d} x$.


2. a. Calculer l’intégrale $\displaystyle\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \mathrm{d} x$ à l’aide d’une intégration par parties.


b. Exprimer alors $\mathrm{I}_n$ en fonction de $n$.


3. Calculer la limite de l’aire $\mathrm{I}_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

24

Pour tout entier naturel $n$, l’intégrale dite de Wallis est définie par $\mathrm{W}_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\normalsize{\tfrac{\pi}{2}}} \sin ^{n}(x) \mathrm{d} x$.

1. Calculer $\mathrm{W}_{0}$, $\mathrm{W}_{1}$ et $\mathrm{W}_{2}$.




2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 2$, $\mathrm{W}_{n}=\dfrac{n-1}{n} \mathrm{W}_{n-2}$.


3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $\mathrm{W}_{2n}=\dfrac{1 \times 3 \times \ldots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times \ldots \times(2 n)} \times \dfrac{\pi}{2}$ et $W_{2 n+1}=\dfrac{2 \times 4 \times \ldots \times(2 n)}{1 \times 3 \times \ldots \times(2 n-1)} \times \dfrac{1}{2 n+1}$.


4. a. Démontrer que la suite $(\mathrm{W}_n)$ est décroissante.


b. Justifier que la suite $(\mathrm{W}_n)$ est convergente.

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On définit la suite $\left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$, appelée série harmonique, par $\mathrm{H}_{n}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \dfrac{1}{k}$.

1. Calculer $\mathrm{H}_{1}$ et $\mathrm{H}_{2}$.


2. Démontrer que la suite $\left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$ est croissante.


3. a. Écrire un algorithme en langage Python permettant de calculer le terme $\mathrm{H}_{n}$ pour $n \geqslant 1$ donné.

b. Conjecturer la limite de la suite $\left(\mathrm{H}_{n}\right)_{n \geqslant 1}$.


4. On considère un entier naturel $k$ tel que $k \geqslant 1$.
a. Déterminer un encadrement de $\displaystyle\int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{x} \mathrm{d} x$.


b. En sommant les inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$, démontrer que $\mathrm{H}_{n}-1 \leqslant \ln (n) \leqslant \mathrm{H}_{n-1}$, puis que $\ln (n+1) \leqslant \mathrm{H}_{n} \leqslant 1+\ln (n)$.


c. En déduire que la suite $\left(\dfrac{\mathrm{H}_{n}}{n}\right)_{n \geqslant 1}$ converge vers $0$.


5. a. Démontrer que la suite $\left(\mathrm{H}_{n}-\ln (n)\right)_{n \geqslant 1}$ est décroissante et minorée par $0$.


b. Que peut‑on en déduire pour la suite $\left(\mathrm{H}_{n}-\ln (n)\right)_{n \geqslant 1}$ ?


La limite de cette suite est appelée constante d’Euler. On la note $\gamma$ et $\gamma \approx 0{,}577$.

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② Vecteurs, droites et plans de l’espace
⑥ Continuité  ⑧ Fonction logarithme

L’espace est rapporté à un repère $(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k})$.
On considère les points $\mathrm{A}(3~; 0~; 1)$, $\mathrm{B}(-2~; 1~; 1)$, $\mathrm{C}(3~; 2~;-4)$ et $\mathrm{D}(-1~;-1~; 2)$.

Partie A

1. a. Démontrer que les quatre points $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{D}$ ne sont pas coplanaires.


b. En déduire que $(\mathrm{A}~; \overrightarrow{\mathrm{A B}}~, \overrightarrow{\mathrm{A C}}~, \overrightarrow{\mathrm{A D}})$ est un repère de l’espace.


2. Soit $\text{E}$ le point de l’espace défini par : $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}$.
a. Donner les coordonnées de $\text{E}$ dans le repère $(\mathrm{A}~; \overrightarrow{\mathrm{A B}}~, \overrightarrow{\mathrm{A C}}~, \overrightarrow{\mathrm{A D}})$.


b. Déterminer les coordonnées de $\text{E}$ dans le repère $(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k})$.


Partie B
1. Soit $\text{H}$ le point de coordonnées $\left(0~; \dfrac{13}{5}~;-4\right)$.
$\text{H}$ appartient-il au plan $(\text{ABC})$ ?


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\text{(AC)}$.


b. Justifier que la droite $\text{(AC)}$ est incluse dans un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ d’équation $x = 0$.


c. En déduire l’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\text{(ABC)}$. On note $\Delta$ cette droite.


3. Soit$\text{ M}$ un point mobile du plan $\mathcal{P}$ de coordonnées $(0~; t~; \ln (t))$, où $t$ est un réel strictement positif.
On souhaite déterminer s’il existe une valeur de $t$ telle que $\mathrm{M} \in \Delta$.
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de $\Delta$ est : $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2 k+\dfrac{13}{5} \\ z=-5 k-4\end{array}\right.$.


b. En déduire que le problème admet une solution si, et seulement si, l’équation $\ln \left(2 x+\dfrac{13}{5}\right)+5 x+4=0$ admet une solution.


c. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathcal{D}_f$ par : $f(x)=\ln \left(2 x+\dfrac{13}{5}\right)+5 x+4$. Déterminer $\mathcal{D}_f$ et étudier les variations de $f$.


d. Le problème posé admet‑il alors une solution ?

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② Vecteurs, droites et plans de l’espace
③ Orthogonalité et distances dans l’espace
⑧ Fonction logarithme

L’espace est rapporté au repère orthonormé $(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k})$.

1. Dans le plan $\mathcal{P}$ contenant $\text{O}$ et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$, on considère l’ensemble des points $\mathrm{M}(x~, f(x)~, 0)$, où $f$ est la fonction définie sur $] 0~;+\infty[$ par $f(x)=x \ln (x)$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan $\mathcal{P}$. Soit $\text{S}$ le point de $\mathcal{C}_f$ dont l’ordonnée est minimale.
Déterminer les coordonnées dans l’espace de $\text{S}$.


2. Soit $\mathcal{P}'$ le plan d’équation $x + y - z = 0$.
a. Vérifier que $\text{S}$ appartient à $\mathcal{P}'$.


b. En déduire que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ne sont pas parallèles et déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.

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③ Orthogonalité et distances dans l’espace
⑤ Limites de fonctions  ⑧ Fonction logarithme

Un vecteur $\overrightarrow{p_{t}}$, repérant la position d’un solide $\text{S}$ dans l’espace en fonction du temps $t$ en seconde, a pour coordonnées $\left(\begin{array}{c}-\ln (3 t) \\ -\ln (2 t) \\ \ln (t)\end{array}\right)$, où $t > 0$.
Ses coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de $t$, on peut ainsi définir la dérivée d’un vecteur $\overrightarrow{p_{t}}$ comme étant le vecteur $\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t}$, dont les coordonnées sont les dérivées respectives par rapport à $t$ des composantes de $\overrightarrow{p_{t}}$. La dérivée du vecteur $\overrightarrow{p_{t}}$ est alors le vecteur $\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t}$ de coordonnées $\left(\begin{array}{l}x^{\prime}(t) \\ y^{\prime}(t) \\ z^{\prime}(t)\end{array}\right)$.
On cherche à étudier la position de $\text{S}$ par rapport à un plan mobile $\mathcal{P}_t$, dont une équation cartésienne est : $x \cos ^{2}(t)-y \sin ^{2}(t)+z \cos (2 t)+2=0$.
1. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse défini par : $\overrightarrow{v_{t}}=\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{p_{t}}}{\mathrm{d} t}$.


2. Montrer que le solide $\text{S}$ se déplace avec une vitesse parallèle au plan $\mathcal{P}_{t}$.


3. Est‑ce également vrai pour l’accélération $\overrightarrow{a_{t}}=\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{v_{t}}}{\mathrm{d} t}$ à laquelle le solide $\text{S}$ est soumis ?

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④ Suites  ⑥ Continuité  ⑧ Fonction logarithme

D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2017

Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation $\left(\mathrm{E}_{n}\right): \dfrac{\ln (x)}{x}=\dfrac{1}{n}$, ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$.

Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln (x)}{x}$.
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0~;+\infty[$.

1. Étudier les variations de la fonction $f$.


2. Déterminer son maximum.


Partie B

1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l’équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur $[1~; \mathrm{e}]$. Cette solution dépend de $n$ et on la note $\alpha_n$.


2. D’après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l’équation $\left(\mathrm{E}_{n}\right)$.
a. Sur le graphique ci‑dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$, ainsi que les droites $\mathrm{D}_3$, $\mathrm{D}_4$ et $\mathrm{D}_5$ d’équations respectives $y=\dfrac{1}{3}$, $y=\dfrac{1}{4}$ et $y=\dfrac{1}{5}$.

Conjecturer, en justifiant, le sens de variation de la suite $(\alpha_n)$.


b. Comparer, pour tout entier $n \geqslant 3$, $f\left(\alpha_{n}\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$.
Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.


c. En déduire que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge vers un réel $\ell$, que l’on ne demandera pas de déterminer.


3. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l’équation $(\mathrm{E}_n)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que $1 \leqslant \alpha_{n} \leqslant \mathrm{e} \leqslant \beta_{n}$.
a. On admet que la suite $\left(\beta_{n}\right)$ est croissante.
Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 3$, $\beta_{n} \geqslant n \dfrac{\beta_{3}}{3}$.


b. En déduire la limite de la suite $\left(\beta_{n}\right)$.

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⑤ Limites de fonctions  ⑥ Continuité
⑧ Fonction logarithme

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : $f(x)=2 x-2+\ln \left(x^{2}+1\right)$.
1. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $[0~;+\infty[$.


2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0~;+\infty[$.

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3. Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ strictement positive dont on déterminera un encadrement d’amplitude $10^{-1}$.

31

⑦ Compléments sur la dérivation
⑧ Fonction logarithme

Soit $u$ une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle $\text{I}$. En justifiant, déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Si $u$ est strictement positive et convexe sur $\text{I}$, alors $\ln(u)$ est convexe sur $\text{I}$.


2. Pour toute fonction $u$, $\mathrm{e}^u$ est concave sur $\text{I}$.


3. $f: x \mapsto \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$ est convexe sur $\R$.

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⑦ Compléments sur la dérivation
⑧ Fonction logarithme

Soit $u$ une fonction strictement positive et deux fois dérivable sur un intervalle $\text{I}$. Montrer que la fonction $\ln(u)$ est concave sur $\text{I}$ si, et seulement si, $u^{\prime \prime} \times u \leqslant\left(u^{\prime}\right)^{2}$ sur $\text{I}$.

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① Orthogonalité et distances dans l’espace
⑧ Fonction logarithme

On se place dans une base orthonormée $(\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}~,\overrightarrow{k})$ de l’espace.

1. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u_{1}}\left(\begin{array}{c}\ln (6) \\ 1 \\ \dfrac{1}{2}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{u_{2}}\left(\begin{array}{c}-2 \\ \ln (12) \\ \ln (9)\end{array}\right)$ sont orthogonaux.


2. Démontrer que, pour tout $a \in] 0~;+\infty[$, les vecteurs $\overrightarrow{v_{1}}\left(\begin{array}{c}\ln (a) \\ \dfrac{-3}{2} \\ \dfrac{-1}{2}\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v_{2}}\left(\begin{array}{c}2 \\ \ln (a) \\ \ln (a)\end{array}\right)$ sont orthogonaux.


3. Trouver un vecteur à la fois orthogonal à $\overrightarrow{v_{1}}$ et à $\overrightarrow{v_{2}}$.

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④ Suites  ⑧ Fonction logarithme
⑬ Sommes de variables aléatoires

Soient $q$ un nombre réel strictement positif et $n$ un entier naturel non nul.
On considère le jeu suivant se déroulant en $n$ étapes :

• on lance à chaque étape un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ ;
• si, à la première étape, on obtient le nombre $4$, on remporte $6$ €. Sinon, on ne gagne rien ;
• si, à la deuxième étape, on obtient le nombre $4$, on remporte $6q$ €. Sinon, on ne gagne rien ;
• si, à la troisième étape, on obtient le nombre $4$, on remporte $6q2$ €. Sinon, on ne gagne rien ;
• …
• si, à la $n$-ième étape, on obtient le nombre $4$, on remporte $6q^{n-1}$ €. Sinon, on ne gagne rien.

Pour tout entier $k \in\{1~; \ldots~; n\}$, on note $\mathrm{X}_k$ la variable aléatoire correspondant au gain obtenu lors de la $k$^e étape. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes.

1. Déterminer, pour tout entier $k \in\{1~; \ldots~; n\}$, la loi de probabilité de la variable aléatoire $\mathrm{X}_k$.


2. Soit $\mathrm{Y}_n$ la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue de la partie. Exprimer $\mathrm{Y}_n$ en fonction des variables aléatoires $\mathrm{X}_k$.


3. Déterminer une expression de $\mathrm{E}\left(\mathrm{Y}_{n}\right)$ en fonction de $q$ et de $n$. Différencier les cas $q \neq 1$ et $q = 1$.


4. Dans cette question, on suppose que $q = 2$.
Déterminer le nombre d’étapes nécessaire pour que le gain théorique moyen dépasse $1 000$ € à l’issue de la partie.


5. Dans cette question, on suppose que $q = 0{,}5$.
Calculer $\lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \mathrm{E}\left(\mathrm{Y}_{n}\right)$ puis interpréter le résultat obtenu.