Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction donnée.

1. $\mathrm{F}:x\mapsto \sin (2x)$


2. $\mathrm{G}:x\mapsto 2+\sin (2x)$


3. $\mathrm{H}:x\mapsto 2{\cos }^2(x)$


4. $\mathrm{K}:x\mapsto 1+{\sin }^2(x)$

2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$.

1.$f_1:x\mapsto \cos (x)+\sin (x)$


2.$f_2:x\mapsto \cos (2x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)$


3.$f_3:x\mapsto \cos (x)\sin (x)$


4.$f_4:x\mapsto 2\cos (x){\sin }^3(x)$


5.$f_5:x\mapsto 4\sin (x){\cos }^5(x)$


6.$f_6:x\mapsto x\cos \left(x^2\right)+\sin (x)$


7.$f_7:x\mapsto x^2\sin \left(x^3\right)$

3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution $f$ définie sur $\text{I}$ telle que $f(x_0)=y_0$.

1. $y^{\prime }(x)=-2\sin (2x)$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ , $x_0=\frac{\pi }{4}$ ; $y_0=-1$.


2. $y^{\prime }(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ , $x_0=\pi$ ; $y_0=0$.

4

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $y^{\prime }(x)=2\sin (x)-\cos (x)$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.


2. $y^{\prime }(x)=\cos (x){\sin }^2(x)$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.


3. $y^{\prime }(x)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}$, pour $x\in ]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}[$.


4. $y^{\prime }(x)=\frac{\cos (2x)}{\sqrt{2+\sin (2x)}}$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.

5

1. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos \left(\frac{x}{2}\right)$.
a. Calculer ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$ et en déduire ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$.


b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[-\pi ;3\pi ]$.


2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sin (2x)$.

6

Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-\pi }^{2\pi }\cos (x)\sin (x)\mathrm{d}x$


2. ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\cos (x){\sin }^2(x)\mathrm{d}x$


3. ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}\mathrm{d}x$


4. ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{3\sin (x)}{\sqrt{\cos (x)}}\mathrm{d}x$


5. ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}-4\sin (x){\mathrm{e}}^{2\cos (x)}\mathrm{d}x$


6. ${\int }_{-\frac{\pi }{4}}^0\left(1-2{\sin }^2(x)\right)\mathrm{d}x$


7. ${\int }_0^{\pi }|\cos (x)|\mathrm{d}x$


8. ${\int }_{-1}^2{\cos }^2(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-1}^2\left({\sin }^2(x)-1\right)\mathrm{d}x$

7

Déterminer un encadrement des intégrales ${\int }_{-\pi }^0{\cos }^2(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_0^{\pi }x\sin (x)\mathrm{d}x$.

8

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos (x)}}$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x\in \left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ :

2. En déduire un encadrement de ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}f(x)\mathrm{d}x$.

9

Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de $f:x\mapsto \frac{2}{x+4}$ sur $]-4;+\infty [$. Justifier.

1. $\mathrm{F}:x\mapsto \ln \left(\frac{2}{x+4}\right)$


2. $\mathrm{G}:x\mapsto \ln (x+4)$


3. $\mathrm{H}:x\mapsto 2\ln (x+4)$


4. $\mathrm{K}:x\mapsto 2+\ln (x+4)$

10

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.

1. $f:x\mapsto \frac{5}{x-3}$


2. $g:x\mapsto \frac{2x}{x^2+1}$


3. $k:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}$


4. $\ell :x\mapsto \frac{\sin (3x+1)}{\cos (3x+1)}$

11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle $\text{I}$ donné.

1. $g_1:x\mapsto \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.


2. $g_2:x\mapsto \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]\frac{\pi }{2};\pi \right[$.


3. $g_3:x\mapsto \frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]0;\frac{\pi }{2}\right[$.


4. $g_4:x\mapsto \frac{\sin (x)}{{\cos }^3(x)}$, sur $\mathrm{I}=\left]\frac{\pi }{2};\pi \right[$.

12

Soit$f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x\ln (x)$.

1. Voici la représentation graphique d’une primitive de $f$. Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$.



2. Démontrer que $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{x^2}{4}(2\ln (x)-1)$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$.


3. Calculer la valeur exacte de ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$.

13

Calculer les intégrales suivantes.

1.${\int }_{-1}^1\frac{1}{x+2}\mathrm{d}x$


2. ${\int }_1^2-\frac{x}{7x^2-2}\mathrm{d}x$


3. ${\int }_0^1\frac{{\mathrm{e}}^x}{3{\mathrm{e}}^x+1}\mathrm{d}x$


4. ${\int }_1^2\frac{x+1}{(x+1{)}^2-3}\mathrm{d}x$


5. ${\int }_{-2}^3\left|\frac{x}{1+x^2}\right|\mathrm{d}x$

14

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{1}{x}$.

1. Démontrer que ${\int }_1^{9}f(x)\mathrm{d}x=2\ln (3)$.


2. Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur $[4;16]$.

15

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\frac{1}{\mathrm{e}};+\infty \right[$ par $f(x)=\frac{1}{1+\ln (x)}$.

1. Démontrer que, pour tout $x\in [1;\mathrm{e}]$, $\frac{1}{2}⩽f(x)⩽1$.


2. En déduire un encadrement de ${\int }_1^{\mathrm{e}}f(x)\mathrm{d}x$.

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Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\mathrm{d}x$


2. ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}\frac{3\cos (x)}{\sin (x)}\mathrm{d}x$

17

Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{6+4\ln (x)}{x}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[1;5]$ est $\frac{1}{2}\ln (5)\times (3+\ln (5))$.


2. ${\int }_1^4\frac{\ln (x)}{x}\mathrm{d}x=\ln (4)$


3. ${\int }_0^{\ln (5)}\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x=\frac{5-\mathrm{e}}{2}$

18

À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-1}^2\frac{x^3}{{\left(1+x^2\right)}^2}\mathrm{d}x$




2. ${\int }_2^{8}x\ln (x)\mathrm{d}x$


3. ${\int }_1^{\mathrm{e}}\ln (x)\mathrm{d}x$

19

Soit $\mathrm{A}={\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)\mathrm{d}x$.
À l’aide d’une double intégration par parties, montrer que $\mathrm{A}={\mathrm{e}}^{-\pi }+1-\mathrm{A}$. En déduire la valeur de $\text{A}$.

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Calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-\pi }^{0}x\cos (x)\mathrm{d}x$


2. ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{x}^2\cos (x)\mathrm{d}x$

21

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2\cos (2x)$.

1. Déterminer la primitive de $f$ s’annulant en $0$.


2. En déduire les valeurs exactes de $\mathrm{A}={\int }_0^{\pi }{x}^2{\cos }^2(x)\mathrm{d}x$ et $\mathrm{B}={\int }_0^{\pi }{x}^2{\sin }^2(x)\mathrm{d}x$.

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Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre $500$ et $2000$ pompes à chaleur chaque mois. On note $\mathrm{B}(x)$ le bénéfice mensuel de l’entreprise, exprimé en millier d’euros, pour la vente de $x$ centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout $x\in [5;20]$, $\mathrm{B}(x)=\frac{x}{2}+\ln (x+1)$.

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ${\int }_{10}^{15}\mathrm{B}(x)\mathrm{d}x$.


2. Déterminer une valeur approchée, à l’euro près, du bénéfice moyen réalisé lorsque l’entreprise vend entre $1000$ et $1500$ pompes à chaleur.

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D’après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=2x-\frac{\ln (x)}{x^2}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées.
On appelle $\Delta$ la droite d’équation $y=2x$.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère l’aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d’équations respectives $x=1$ et $x=n$.

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par ${\mathrm{I}}_n=2{\int }_1^n\frac{\ln (x)}{x^2}\mathrm{d}x$.


2. a. Calculer l’intégrale ${\int }_1^n\frac{\ln (x)}{x^2}\mathrm{d}x$ à l’aide d’une intégration par parties.


b. Exprimer alors ${\mathrm{I}}_n$ en fonction de $n$.


3. Calculer la limite de l’aire ${\mathrm{I}}_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

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Pour tout entier naturel $n$, l’intégrale dite de Wallis est définie par ${\mathrm{W}}_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^n(x)\mathrm{d}x$.

1. Calculer ${\mathrm{W}}_0$, ${\mathrm{W}}_1$ et ${\mathrm{W}}_2$.




2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier $n⩾2$, ${\mathrm{W}}_n=\frac{n-1}{n}{\mathrm{W}}_{n-2}$.


3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n⩾1$, ${\mathrm{W}}_{2n}=\frac{1\times 3\times \dots \times (2n-1)}{2\times 4\times \dots \times (2n)}\times \frac{\pi }{2}$