Exercices transversaux

Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d'exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l'ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l'exercice

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, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction donnée.

2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$.

3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution $f$ définie sur $\text{I}$ telle que $f(x_0)=y_0$.

6

Calculer les intégrales suivantes.

7

Déterminer un encadrement des intégrales ${\int }_{-\pi }^0{\cos }^2(x)\mathrm{d}x$ et ${\int }_0^{\pi }x\sin (x)\mathrm{d}x$.

8

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;\frac{\pi }{3}\right]$ par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos (x)}}$.

11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l'intervalle $\text{I}$ donné.

16

Calculer les intégrales suivantes.

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Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{6+4\ln (x)}{x}$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[1;5]$ est $\frac{1}{2}\ln (5)\times (3+\ln (5))$.

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À l'aide d'une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1. ${\int }_{-1}^2\frac{x^3}{{\left(1+x^2\right)}^2}\mathrm{d}x$

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Soit $\mathrm{A}={\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-x}\cos (x)\mathrm{d}x$.
À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que $\mathrm{A}={\mathrm{e}}^{-\pi }+1-\mathrm{A}$. En déduire la valeur de $\text{A}$.

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Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre $500$ et $2000$ pompes à chaleur chaque mois. On note $\mathrm{B}(x)$ le bénéfice mensuel de l'entreprise, exprimé en millier d'euros, pour la vente de $x$ centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout $x\in [5;20]$, $\mathrm{B}(x)=\frac{x}{2}+\ln (x+1)$.

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D'après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0;+\infty [$ par $f(x)=2x-\frac{\ln (x)}{x^2}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité $2$ cm en abscisses et $1$ cm en ordonnées.
On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y=2x$.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère l'aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$. 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par ${\mathrm{I}}_n=2{\int }_1^n\frac{\ln (x)}{x^2}\mathrm{d}x$.

3. Calculer la limite de l'aire ${\mathrm{I}}_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

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Pour tout entier naturel $n$, l'intégrale dite de Wallis est définie par ${\mathrm{W}}_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^n(x)\mathrm{d}x$.