Mathématiques Spécialité Terminale

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Exercices transversaux de 1 à 34
P.432-436


Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

Primitives et intégrales : fonctions trigonométriques et logarithme


1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur de la fonction donnée.

1.


2.


3.


4.
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2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur .

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.
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3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution définie sur telle que .

1.  ;  ,  ; .


2.  ;  ,  ; .
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4

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. , pour tout .


2. , pour tout .


3. , pour .


4. , pour tout .
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5

1. Soit la fonction définie sur par .
a. Calculer et en déduire .


b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de sur .


2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction définie sur par .
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6

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.
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7

Déterminer un encadrement des intégrales et .
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8

Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que, pour tout réel  :
.


2. En déduire un encadrement de .
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9

Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de sur . Justifier.

1.


2.


3.


4.
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10

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.

1.


2.


3.


4.
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11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle donné.

1. , sur .


2. , sur .


3. , sur .


4. , sur .
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12

Soit la fonction définie sur par .

1. Voici la représentation graphique d’une primitive de . Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de .


Maths spé - Exercices transversaux - exercice 12

2. Démontrer que est une primitive de sur .


3. Calculer la valeur exacte de .
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13

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.


3.


4.


5.
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14

Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que .


2. Déterminer la valeur moyenne de sur .
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15

Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que, pour tout , .


2. En déduire un encadrement de .
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16

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.
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17

Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit la fonction définie sur par .
La valeur moyenne de sur est .


2.


3.
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Intégrations par parties


18

À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1.


Aide
Poser et .


2.


3.
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19

Soit .
À l’aide d’une double intégration par parties, montrer que . En déduire la valeur de .
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20

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.
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21

Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer la primitive de s’annulant en .


2. En déduire les valeurs exactes de et .
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22

Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre et pompes à chaleur chaque mois. On note le bénéfice mensuel de l’entreprise, exprimé en millier d’euros, pour la vente de centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout , .

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer .


2. Déterminer une valeur approchée, à l’euro près, du bénéfice moyen réalisé lorsque l’entreprise vend entre et pompes à chaleur.
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Suites d’intégrales


23
D’après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction définie sur l’intervalle par .
On note la courbe représentative de dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité  cm en abscisses et  cm en ordonnées.
On appelle la droite d’équation .
Soit un entier naturel non nul.
On considère l’aire du domaine du plan délimité par la courbe , la droite et les droites d’équations respectives et .

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par .


2. a. Calculer l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties.


b. Exprimer alors en fonction de .


3. Calculer la limite de l’aire du domaine quand tend vers .
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24

Pour tout entier naturel , l’intégrale dite de Wallis est définie par .

1. Calculer , et .


Aide
Pour , on utilisera une intégration par parties.


2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier , .


3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier ,