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Exercices transversaux de 1 à 34
P.432-436

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Exercices transversaux


Maths expertes - Exercices transversaux


Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
26
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.

Primitives et intégrales : fonctions trigonométriques et logarithme


1

Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur de la fonction donnée.

1.


2.


3.


4.
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2

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur .

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.
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3

Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution définie sur telle que .

1.  ;  ,  ; .


2.  ;  ,  ; .
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4

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. , pour tout .


2. , pour tout .


3. , pour .


4. , pour tout .
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5

1. Soit la fonction définie sur par .
a. Calculer et en déduire .


b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de sur .


2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction définie sur par .
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6

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.
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7

Déterminer un encadrement des intégrales et .
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8

Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que, pour tout réel  :
.


2. En déduire un encadrement de .
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9

Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de sur . Justifier.

1.


2.


3.


4.
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10

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.

1.


2.


3.


4.
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11

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle donné.

1. , sur .


2. , sur .


3. , sur .


4. , sur .
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12

Soit la fonction définie sur par .

1. Voici la représentation graphique d’une primitive de . Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de .


Maths spé - Exercices transversaux - exercice 12

2. Démontrer que est une primitive de sur .


3. Calculer la valeur exacte de .
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13

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.


3.


4.


5.
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14

Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que .


2. Déterminer la valeur moyenne de sur .
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15

Soit la fonction définie sur par .

1. Démontrer que, pour tout , .


2. En déduire un encadrement de .
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16

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.
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17

Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

1. Soit la fonction définie sur par .
La valeur moyenne de sur est .


2.


3.
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Intégrations par parties


18

À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.

1.


Aide
Poser et .


2.


3.
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19

Soit .
À l’aide d’une double intégration par parties, montrer que . En déduire la valeur de .
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20

Calculer les intégrales suivantes.

1.


2.
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21

Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer la primitive de s’annulant en .


2. En déduire les valeurs exactes de et .
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22

Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre et pompes à chaleur chaque mois. On note le bénéfice mensuel de l’entreprise, exprimé en millier d’euros, pour la vente de centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout , .

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer .


2. Déterminer une valeur approchée, à l’euro près, du bénéfice moyen réalisé lorsque l’entreprise vend entre et pompes à chaleur.
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Suites d’intégrales


23
D’après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction définie sur l’intervalle par .
On note la courbe représentative de dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité  cm en abscisses et  cm en ordonnées.
On appelle la droite d’équation .
Soit un entier naturel non nul.
On considère l’aire du domaine du plan délimité par la courbe , la droite et les droites d’équations respectives et .

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par .


2. a. Calculer l’intégrale à l’aide d’une intégration par parties.


b. Exprimer alors en fonction de .


3. Calculer la limite de l’aire du domaine quand tend vers .
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24

Pour tout entier naturel , l’intégrale dite de Wallis est définie par .

1. Calculer , et .


Aide
Pour , on utilisera une intégration par parties.


2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier , .


3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier , et .


4. a. Démontrer que la suite est décroissante.


b. Justifier que la suite est convergente.
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25

On définit la suite , appelée série harmonique, par .

1. Calculer et .


2. Démontrer que la suite est croissante.


3. a. Écrire un algorithme en langage Python permettant de calculer le terme pour donné.




b. Conjecturer la limite de la suite .


4. On considère un entier naturel tel que .
a. Déterminer un encadrement de .


b. En sommant les inégalités pour allant de à , démontrer que , puis que .


c. En déduire que la suite converge vers .


5. a. Démontrer que la suite est décroissante et minorée par .


b. Que peut‑on en déduire pour la suite  ?


La limite de cette suite est appelée constante d’Euler. On la note et .
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La fonction avec calcul intégral


26
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Continuité Fonction logarithme

L’espace est rapporté à un repère .
On considère les points , , et .

Partie A

1. a. Démontrer que les quatre points , , et ne sont pas coplanaires.


b. En déduire que est un repère de l’espace.


2. Soit le point de l’espace défini par :
.

a. Donner les coordonnées de dans le repère .


b. Déterminer les coordonnées de dans le repère .


Partie B
1. Soit le point de coordonnées .
appartient-il au plan ?


2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite .


b. Justifier que la droite est incluse dans un plan parallèle au plan d’équation .


c. En déduire l’intersection des plans et . On note cette droite.


3. Soit un point mobile du plan de coordonnées , où est un réel strictement positif.
On souhaite déterminer s’il existe une valeur de telle que .
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de est : .


b. En déduire que le problème admet une solution si, et seulement si, l’équation admet une solution.


c. Soit la fonction définie sur par :
.
Déterminer et étudier les variations de .


d. Le problème posé admet‑il alors une solution ?
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27
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Orthogonalité et distances dans l’espace
Fonction logarithme

L’espace est rapporté au repère orthonormé .

1. Dans le plan contenant et de vecteurs directeurs et , on considère l’ensemble des points , où est la fonction définie sur par . On note la courbe représentative de dans le plan . Soit le point de dont l’ordonnée est minimale.
Déterminer les coordonnées dans l’espace de .


2. Soit le plan d’équation .
a. Vérifier que appartient à .


b. En déduire que et ne sont pas parallèles et déterminer une représentation paramétrique de la droite , intersection de et .
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28
Orthogonalité et distances dans l’espace
Limites de fonctions Fonction logarithme

Un vecteur , repérant la position d’un solide dans l’espace en fonction du temps en seconde, a pour coordonnées , où .
Ses coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de , on peut ainsi définir la dérivée d’un vecteur comme étant le vecteur , dont les coordonnées sont les dérivées respectives par rapport à des composantes de . La dérivée du vecteur est alors le vecteur de coordonnées .
On cherche à étudier la position de par rapport à un plan mobile , dont une équation cartésienne est :
.

1. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse défini par : .


2. Montrer que le solide se déplace avec une vitesse parallèle au plan .


3. Est‑ce également vrai pour l’accélération à laquelle le solide est soumis ?
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29
Suites Continuité Fonction logarithme

D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2017

Dans tout l’exercice, désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation , ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif .

Partie A
Soit la fonction définie sur par .
On admet que est dérivable sur l’intervalle .

1. Étudier les variations de la fonction .


2. Déterminer son maximum.


Partie B

1. Montrer que, pour tout entier , l’équation possède une unique solution sur . Cette solution dépend de et on la note .


2. D’après ce qui précède, pour tout entier , le nombre réel est solution de l’équation .
a. Sur le graphique ci‑dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction , ainsi que les droites , et d’équations respectives , et .

Maths spé - Exercices transversaux - exercice 29

Conjecturer, en justifiant, le sens de variation de la suite .


b. Comparer, pour tout entier , et .
Déterminer le sens de variation de la suite .


c. En déduire que la suite converge vers un réel , que l’on ne demandera pas de déterminer.


3. On admet que, pour tout entier , l’équation possède une autre solution telle que .
a. On admet que la suite est croissante.
Montrer que, pour tout entier , .


b. En déduire la limite de la suite .
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30
Limites de fonctions Continuité
Fonction logarithme

Soit la fonction définie pour tout réel par :
.

1. Déterminer la fonction dérivée de sur .


2. Dresser le tableau de variations de sur .

Couleurs
Formes
Dessinez ici

3. Démontrer que l’équation admet une unique solution strictement positive dont on déterminera un encadrement d’amplitude .
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31
Compléments sur la dérivation
Fonction logarithme

Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle . En justifiant, déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Si est strictement positive et convexe sur , alors est convexe sur .


2. Pour toute fonction , est concave sur .


3. est convexe sur .
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32
Compléments sur la dérivation
Fonction logarithme

Soit une fonction strictement positive et deux fois dérivable sur un intervalle . Montrer que la fonction est concave sur si, et seulement si, sur .
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33
Orthogonalité et distances dans l’espace
Fonction logarithme

On se place dans une base orthonormée de l’espace.

1. Montrer que les vecteurs et sont orthogonaux.


2. Démontrer que, pour tout , les vecteurs et sont orthogonaux.


3. Trouver un vecteur à la fois orthogonal à et à .
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34
Suites Fonction logarithme
Sommes de variables aléatoires

Soient un nombre réel strictement positif et un entier naturel non nul.
On considère le jeu suivant se déroulant en étapes :
  • on lance à chaque étape un dé équilibré à six faces numérotées de à  ;
  • si, à la première étape, on obtient le nombre , on remporte  €. Sinon, on ne gagne rien ;
  • si, à la deuxième étape, on obtient le nombre , on remporte €. Sinon, on ne gagne rien ;
  • si, à la troisième étape, on obtient le nombre , on remporte €. Sinon, on ne gagne rien ;
  • si, à la -ième étape, on obtient le nombre , on remporte €. Sinon, on ne gagne rien.

Pour tout entier , on note la variable aléatoire correspondant au gain obtenu lors de la e étape. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes.

1. Déterminer, pour tout entier , la loi de probabilité de la variable aléatoire .


2. Soit la variable aléatoire correspondant au gain total obtenu à l’issue de la partie. Exprimer en fonction des variables aléatoires .


3. Déterminer une expression de en fonction de et de . Différencier les cas et .


4. Dans cette question, on suppose que .
Déterminer le nombre d’étapes nécessaire pour que le gain théorique moyen dépasse  € à l’issue de la partie.


5. Dans cette question, on suppose que .
Calculer puis interpréter le résultat obtenu.
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