Les exercices transversaux sont des exercices qui mélangent les notions de plusieurs chapitres. Cette banque d’exercices peut être utilisée indépendamment de la progression suivie en classe : vous pouvez piocher dedans dans l’ordre que vous souhaitez, en fonction de ce que vous voulez travailler.
À partir de l’exercice
, chaque exercice est accompagné de la liste des chapitres concernés pour vous permettre de mieux les retrouver. Ces exercices peuvent parfois être, par nature, plus complexes et permettent alors de valider la compréhension des notions et les raisonnements associés.
Primitives et intégrales : fonctions trigonométriques et logarithme
1
Déterminer, dans chaque cas, une primitive sur R de la fonction donnée.
1.F:x↦sin(2x)
2.G:x↦2+sin(2x)
3.H:x↦2cos2(x)
4.K:x↦1+sin2(x)
2
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur R.
1.f1:x↦cos(x)+sin(x)
2.f2:x↦cos(2x)+sin(2x)
3.f3:x↦cos(x)sin(x)
4.f4:x↦2cos(x)sin3(x)
5.f5:x↦4sin(x)cos5(x)
6.f6:x↦xcos(x2)+sin(x)
7.f7:x↦x2sin(x3)
3
Pour chacune des équations différentielles suivantes, déterminer la solution f définie sur I telle que f(x0)=y0.
1.y′(x)=−2sin(2x) ; I=R , x0=4π ; y0=−1.
2.y′(x)=cos(2x) ; I=R , x0=π ; y0=0.
4
Résoudre les équations différentielles suivantes.
1.y′(x)=2sin(x)−cos(x), pour tout x∈R.
2.y′(x)=cos(x)sin2(x), pour tout x∈R.
3.y′(x)=cos2(x)sin(x), pour x∈]−2π;2π[.
4.y′(x)=2+sin(2x)cos(2x), pour tout x∈R.
5
1. Soit f la fonction définie sur R par f(x)=cos(2x).
a. Calculer ∫0πf(x)dx et en déduire ∫−ππf(x)dx.
b. Calculer Déterminer la valeur moyenne de f sur [−π;3π].
2. Reprendre les questions précédentes avec la fonction g définie sur R par g(x)=sin(2x).
6
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫−π2πcos(x)sin(x)dx
2.∫4π3πcos(x)sin2(x)dx
3.∫6π2π−sin2(x)cos(x)dx
4.∫−2π3πcos(x)3sin(x)dx
5.∫02π−4sin(x)e2cos(x)dx
6.∫−4π0(1−2sin2(x))dx
7.∫0π∣cos(x)∣dx
8.∫−12cos2(x)dx+∫−12(sin2(x)−1)dx
7
Déterminer un encadrement des intégrales ∫−π0cos2(x)dx et ∫0πxsin(x)dx.
8
Soit f la fonction définie sur [0;3π] par f(x)=cos(x)1.
1. Démontrer que, pour tout réel x∈[0;3π] :
1⩽f(x)⩽2.
2. En déduire un encadrement de ∫03πf(x)dx.
9
Parmi les fonctions suivantes, trouver une primitive de f:x↦x+42 sur ]−4;+∞[. Justifier.
1.F:x↦ln(x+42)
2.G:x↦ln(x+4)
3.H:x↦2ln(x+4)
4.K:x↦2+ln(x+4)
10
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un intervalle le plus grand possible sur lequel le dénominateur est strictement positif, puis une primitive sur cet intervalle.
1.f:x↦x−35
2.g:x↦x2+12x
3.k:x↦e2x+1e2x
4.ℓ:x↦cos(3x+1)sin(3x+1)
11
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une primitive sur l’intervalle I donné.
1.g1:x↦sin(x)cos(x), sur I=]0;2π[.
2.g2:x↦cos(x)sin(x), sur I=]2π;π[.
3.g3:x↦sin2(x)cos(x), sur I=]0;2π[.
4.g4:x↦cos3(x)sin(x), sur I=]2π;π[.
12
Soitf la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=xln(x).
1. Voici la représentation graphique d’une primitive
de f. Déterminer, par lecture graphique, une valeur approchée de ∫24f(x)dx.
2. Démontrer que F:x↦4x2(2ln(x)−1) est une primitive de f sur ]0;+∞[.
3. Calculer la valeur exacte de ∫24f(x)dx.
13
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫−11x+21dx
2.∫12−7x2−2xdx
3.∫013ex+1exdx
4.∫12(x+1)2−3x+1dx
5.∫−23∣∣∣∣∣1+x2x∣∣∣∣∣dx
14
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x1.
1. Démontrer que ∫19f(x)dx=2ln(3).
2. Déterminer la valeur moyenne de f sur [4;16].
15
Soit f la fonction définie sur ]e1;+∞[ par f(x)=1+ln(x)1.
1. Démontrer que, pour tout x∈[1;e], 21⩽f(x)⩽1.
2. En déduire un encadrement de ∫1ef(x)dx.
16
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫03πcos(x)sin(x)dx
2.∫2π43πsin(x)3cos(x)dx
17
Pour chaque affirmation préciser, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
1. Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x6+4ln(x).
La valeur moyenne de f sur [1;5] est 21ln(5)×(3+ln(5)).
2.∫14xln(x)dx=ln(4)
3.∫0ln(5)21exdx=25−e
Intégrations par parties
18
À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes.
1.∫−12(1+x2)2x3dx
Aide
Poser u′(x)=(1+x2)2x et v(x)=x2.
2.∫28xln(x)dx
3.∫1eln(x)dx
19
Soit A=∫0πe−xcos(x)dx.
À l’aide d’une double intégration par parties, montrer que A=e−π+1−A. En déduire la valeur de A.
20
Calculer les intégrales suivantes.
1.∫−π0xcos(x)dx
2.∫04πx2cos(x)dx
21
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2cos(2x).
1. Déterminer la primitive de f s’annulant en 0.
2. En déduire les valeurs exactes de A=∫0πx2cos2(x)dx et B=∫0πx2sin2(x)dx.
22
Une entreprise commercialise des pompes à chaleur. La quantité vendue varie entre 500 et 2000 pompes à chaleur chaque mois. On note B(x) le bénéfice mensuel de l’entreprise, exprimé en millier d’euros, pour la vente de x centaines de pompes à chaleur.
Après étude, on a, pour tout x∈[5;20], B(x)=2x+ln(x+1).
1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫1015B(x)dx.
2. Déterminer une valeur approchée, à l’euro près, du bénéfice moyen réalisé lorsque l’entreprise vend
entre 1000 et 1500 pompes à chaleur.
Suites d’intégrales
23
D’après bac S, Liban, mai 2012
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0;+∞[ par f(x)=2x−x2ln(x).
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan, ayant pour unité 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
On appelle Δ la droite d’équation y=2x.
Soit n un entier naturel non nul.
On considère l’aire du domaine D du plan délimité par la courbe C, la droite Δ et les droites d’équations respectives x=1 et x=n.
1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par In=2∫1nx2ln(x)dx.
2.a. Calculer l’intégrale ∫1nx2ln(x)dx à l’aide d’une intégration par parties.
b. Exprimer alors In en fonction de n.
3. Calculer la limite de l’aire In du domaine D quand n tend vers +∞.
24
Pour tout entier naturel n, l’intégrale dite de Wallis est définie par Wn=∫02πsinn(x)dx.
1. Calculer W0, W1 et W2.
Aide
Pour W2, on utilisera une intégration par parties.
2. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier n⩾2, Wn=nn−1Wn−2.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n⩾1, W2n=2×4×…×(2n)1×3×…×(2n−1)×2π et W2n+1=1×3×…×(2n−1)2×4×…×(2n)×2n+11.
4.a. Démontrer que la suite (Wn) est décroissante.
b. Justifier que la suite (Wn) est convergente.
25
On définit la suite (Hn)n⩾1, appelée série harmonique, par Hn=k=1∑nk1.
1. Calculer H1 et H2.
2. Démontrer que la suite (Hn)n⩾1 est croissante.
3.a. Écrire un algorithme en langage Python permettant de calculer le terme Hn pour n⩾1 donné.
b. Conjecturer la limite de la suite (Hn)n⩾1.
4. On considère un entier naturel k tel que k⩾1.
a. Déterminer un encadrement de ∫kk+1x1dx.
b. En sommant les inégalités pour k allant de 1 à n, démontrer que Hn−1⩽ln(n)⩽Hn−1, puis que ln(n+1)⩽Hn⩽1+ln(n).
c. En déduire que la suite (nHn)n⩾1 converge vers 0.
5.a. Démontrer que la suite (Hn−ln(n))n⩾1 est décroissante et minorée par 0.
b. Que peut‑on en déduire pour la suite (Hn−ln(n))n⩾1 ?
La limite de cette suite est appelée constante d’Euler. On la note γ et γ≈0,577.
La fonction ln avec calcul intégral
26
②Vecteurs, droites et plans de l’espace ⑥Continuité⑧Fonction logarithme
L’espace est rapporté à un repère (O;i,j,k).
On considère les points A(3;0;1), B(−2;1;1), C(3;2;−4) et D(−1;−1;2).
Partie A
1.a. Démontrer que les quatre points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
b. En déduire que (A;AB,AC,AD) est un repère de l’espace.
2. Soit E le point de l’espace défini par :
AE=3AB+AC+AD.
a. Donner les coordonnées de E dans le repère (A;AB,AC,AD).
b. Déterminer les coordonnées de E dans le repère (O;i,j,k).
Partie B 1. Soit H le point de coordonnées (0;513;−4). H appartient-il au plan (ABC) ?
2.a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AC).
b. Justifier que la droite (AC) est incluse dans un plan parallèle au plan P d’équation x=0.
c. En déduire l’intersection des plans P et (ABC). On note Δ cette droite.
3. Soit M un point mobile du plan P de coordonnées (0;t;ln(t)), où t est un réel strictement positif.
On souhaite déterminer s’il existe une valeur de t telle que M∈Δ.
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de Δ
est : ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=0y=2k+513z=−5k−4.
b. En déduire que le problème admet une solution si, et seulement si, l’équation ln(2x+513)+5x+4=0 admet une solution.
c. Soit f la fonction définie sur Df par :
f(x)=ln(2x+513)+5x+4.
Déterminer Df et étudier les variations de f.
d. Le problème posé admet‑il alors une solution ?
27
②Vecteurs, droites et plans de l’espace ③Orthogonalité et distances dans l’espace ⑧Fonction logarithme
L’espace est rapporté au repère orthonormé (O;i,j,k).
1. Dans le plan P contenant O et de vecteurs directeurs i et j, on considère l’ensemble des points M(x,f(x),0), où f est la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=xln(x). On note Cf la courbe représentative de f dans le plan P. Soit S le point de Cf dont l’ordonnée est minimale.
Déterminer les coordonnées dans l’espace de S.
2. Soit P′ le plan d’équation x+y−z=0.
a. Vérifier que S appartient à P′.
b. En déduire que P et P′ ne sont pas parallèles et déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ, intersection de P et P′.
28
③Orthogonalité et distances dans l’espace ⑤Limites de fonctions⑧Fonction logarithme
Un vecteur pt, repérant la position d’un solide S dans l’espace en fonction du temps t en seconde, a pour coordonnées ⎝⎛−ln(3t)−ln(2t)ln(t)⎠⎞, où t>0.
Ses coordonnées peuvent être considérées comme des fonctions de t, on peut ainsi définir la dérivée d’un vecteur pt comme étant le vecteur dtdpt, dont les coordonnées sont les dérivées respectives par rapport à t des composantes de pt. La dérivée du vecteur pt est alors le vecteur dtdpt de coordonnées ⎝⎛x′(t)y′(t)z′(t)⎠⎞.
On cherche à étudier la position de S par rapport à un plan mobile Pt, dont une équation cartésienne est :
xcos2(t)−ysin2(t)+zcos(2t)+2=0.
1. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse défini par : vt=dtdpt.
2. Montrer que le solide S se déplace avec une vitesse parallèle au plan Pt.
3. Est‑ce également vrai pour l’accélération at=dtdvt à laquelle le solide S est soumis ?
29
④Suites⑥Continuité⑧Fonction logarithme
D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2017
Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation (En):xln(x)=n1, ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif x.
Partie A
Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=xln(x).
On admet que f est dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[.
1. Étudier les variations de la fonction f.
2. Déterminer son maximum.
Partie B
1. Montrer que, pour tout entier n⩾3, l’équation f(x)=n1 possède une unique solution sur [1;e]. Cette solution dépend de n et on la note αn.