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Les frères Robin et Victor et leur chien Milou
P.431

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TRAVAILLER ENSEMBLE


Les frères Robin et Victor et leur chien Milou





Robin et son frère Victor lancent chacun un dé différent non équilibré à quatre faces numérotées de 11 à 44. On considère les variables aléatoires X\text{X} et Y\text{Y} correspondant aux faces obtenues respectivement par Robin et Victor. La loi de probabilité de chacune des variables aléatoires est donnée ci-dessous et aa et bb sont des réels tels que E(Y)=2,8\text{E(Y)} = 2{,}8.

xi\boldsymbol{x_i} 11 22 33 44
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_i}\right) 0,10{,}1 0,40{,}4 0,20{,}2 0,30{,}3

yi\boldsymbol{y_i} 11 22 33 44
P(Y=yi)\mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y_i}\right) 0,10{,}1 aa bb 0,20{,}2

On considère la variable aléatoire Z = X + Y\text{Z = X + Y} et on note cc la probabilité que Z\text{Z} soit paire.
Ces deux frères viennent de recevoir leur chien Milou qui dormira chaque soir dans la chambre de l’un ou de l’autre. Si, un soir, Milou dort dans la chambre de Victor, la probabilité qu’il y reste est cc. S’il dort dans la chambre de Robin, il y restera le soir suivant avec une probabilité de 0,440{,}44. On considère les événements suivants.
  • Vn\text{V}_n : « Milou dort dans la chambre de Victor le nn-ième soir. » de probabilité vnv_n.
  • Rn\text{R}_n : « Milou dort dans la chambre de Robin le nn-ième soir. » de probabilité rnr_n.

On cherche à savoir si, au bout d’une semaine puis au bout d’un certain temps, Milou aura plus de chances de dormir dans la chambre de Victor ou de Robin.

Questions préliminaires :
Compléter l’arbre de probabilité ci-contre en fonction de cc.
Les frères Robin et Victor et leur chien Milou - travailler ensemble

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Déterminer E(X)\text{E(X)} et V(X)\text{V(X)}.


2. Déterminer les réels aa et bb puis V(Y)\text{V(Y)}.


3. Démontrer que c=0,46c = 0{,}46.


4. Déterminer E(Z)\text{E(Z)} et V(Z)\text{V(Z)}.
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PARTIE 2 ★★

On admet que c=0,46c = 0{,}46.

1. Exprimer, pour tout entier naturel n1n \geqslant 1, vn+1v_{n+1} en fonction de vnv_n.


2. a. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, la suite (un)(u_n) définie par un=vn2855u_{n}=v_{n}-\dfrac{28}{55} est géométrique de raison 0,1-0{,}1.


b. En déduire une expression de unu_n puis de vnv_n en fonction de nn et de v1v_1.


3. Sachant que, le premier soir, Milou était dans la chambre de Victor, déterminer et interpréter une valeur approchée à 10210^{-2} de v7v_7.
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PARTIE 3 ★★

On admet que c=0,46c = 0{,}46.

1. Exprimer, pour tout entier naturel n1n \geqslant 1, rn+1r_{n+1} en fonction de rnr_n.


2. a. Montrer que, pour tout entier n1n \geqslant 1, la suite (wn)(w_n) définie par wn=rn2755w_{n}=r_{n}-\dfrac{27}{55} est géométrique de raison 0,1-0{,}1.


b. En déduire une expression de wnw_n puis de rnr_n en fonction de nn et de r1r_1.


3. Sachant que, le premier soir, Milou était dans la chambre de Robin, déterminer et interpréter une valeur approchée à 10210^{-2} de r7r_7.
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Mise en commun

1. Au bout d’une semaine, dans laquelle des deux chambres Milou a-t-il la plus grande probabilité de dormir s’il était le premier soir dans celle de Victor ? Dans celle de Robin ?


2. Déterminer et interpréter limn+vn\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n} et limn+rn\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} r_{n}.


3. Ces probabilités dépendent-elles de v1v_1 et r1r_1 ?


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