Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 14
Travailler ensemble
Les frères Robin et Victor et leur chien Milou
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Robin et son frère Victor lancent chacun un dé différent non équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4. On considère
les variables aléatoires \text{X} et \text{Y} correspondant aux faces obtenues respectivement par Robin et Victor. La loi de probabilité de chacune des variables aléatoires est donnée ci-dessous et a et b sont des réels tels que \text{E(Y)} = 2{,}8.
On considère la variable aléatoire \text{Z = X + Y} et on note c la probabilité que \text{Z} soit paire.
Ces deux frères viennent de recevoir leur chien Milou qui dormira chaque soir dans la chambre de l'un ou de l'autre. Si, un soir, Milou dort dans la chambre de Victor, la probabilité qu'il y reste est c. S'il dort dans la chambre de Robin, il y restera le soir suivant avec une probabilité de 0{,}44. On considère les événements suivants.
On cherche à savoir si, au bout d'une semaine puis au bout d'un certain temps, Milou aura plus de chances de dormir dans la chambre de Victor ou de Robin.
| \boldsymbol{x_i} | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_i}\right) | 0{,}1 | 0{,}4 | 0{,}2 | 0{,}3 |
| \boldsymbol{y_i} | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \mathbf{P}\left(\mathbf{Y}=\boldsymbol{y_i}\right) | 0{,}1 | a | b | 0{,}2 |
On considère la variable aléatoire \text{Z = X + Y} et on note c la probabilité que \text{Z} soit paire.
Ces deux frères viennent de recevoir leur chien Milou qui dormira chaque soir dans la chambre de l'un ou de l'autre. Si, un soir, Milou dort dans la chambre de Victor, la probabilité qu'il y reste est c. S'il dort dans la chambre de Robin, il y restera le soir suivant avec une probabilité de 0{,}44. On considère les événements suivants.
- \text{V}_n : « Milou dort dans la chambre de Victor le n-ième soir. » de probabilité v_n.
- \text{R}_n : « Milou dort dans la chambre de Robin le n-ième soir. » de probabilité r_n.
On cherche à savoir si, au bout d'une semaine puis au bout d'un certain temps, Milou aura plus de chances de dormir dans la chambre de Victor ou de Robin.
Question préliminaire :
Compléter l'arbre de probabilité ci-contre en fonction de c.
Compléter l'arbre de probabilité ci-contre en fonction de c.
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Partie 1
1. Déterminer \text{E(X)} et \text{V(X)}.
2. Déterminer les réels a et b puis \text{V(Y)}.
2. Déterminer les réels a et b puis \text{V(Y)}.
3. Démontrer que c = 0{,}46.
4. Déterminer \text{E(Z)} et \text{V(Z)}.
4. Déterminer \text{E(Z)} et \text{V(Z)}.
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Partie 2
1. Exprimer, pour tout entier naturel n \geqslant 1, v_{n+1} en fonction de v_n.
2. a. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, la suite (u_n) définie par u_{n}=v_{n}-\frac{28}{55} est géométrique de raison -0{,}1.
2. a. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, la suite (u_n) définie par u_{n}=v_{n}-\frac{28}{55} est géométrique de raison -0{,}1.
b. En déduire une expression de u_n puis de v_n en fonction de n et de v_1.
3. Sachant que, le premier soir, Milou était dans la chambre de Victor, déterminer et interpréter une valeur approchée à 10^{-2} de v_7.
3. Sachant que, le premier soir, Milou était dans la chambre de Victor, déterminer et interpréter une valeur approchée à 10^{-2} de v_7.
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Partie 3
1. Exprimer, pour tout entier naturel n \geqslant 1, r_{n+1} en fonction de r_n.
2. a. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, la suite (w_n) définie par w_{n}=r_{n}-\frac{27}{55} est géométrique de raison -0{,}1.
2. a. Montrer que, pour tout entier n \geqslant 1, la suite (w_n) définie par w_{n}=r_{n}-\frac{27}{55} est géométrique de raison -0{,}1.
b. En déduire une expression de w_n puis de r_n en fonction de n et de r_1.
3. Sachant que, le premier soir, Milou était dans la chambre de Robin, déterminer et interpréter une valeur approchée à 10^{-2} de r_7.
3. Sachant que, le premier soir, Milou était dans la chambre de Robin, déterminer et interpréter une valeur approchée à 10^{-2} de r_7.
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Mise en commun
1. Au bout d'une semaine, dans laquelle des deux chambres Milou a-t-il la plus grande probabilité de
dormir s'il était le premier soir dans celle de Victor ? Dans celle de Robin ?
2. Déterminer et interpréter \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n} et \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} r_{n}.
3. Ces probabilités dépendent-elles de v_1 et r_1 ?
2. Déterminer et interpréter \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} v_{n} et \lim\limits_{n \rightarrow+\infty} r_{n}.
3. Ces probabilités dépendent-elles de v_1 et r_1 ?
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