Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Une souris affamée part du point \text{O}. De ligne en ligne et ceci jusqu'à atteindre la dernière ligne n, quel que soit l'endroit où elle se trouve, elle va indépendamment à gauche avec une probabilité p ou à droite.
On considère qu'elle se trouve à l'endroit (i \:; j) lorsqu'elle est à la j-ème position de la i-ème ligne (voir le schéma ci-contre pour n = 2).
Le problème est que l'on ne connaît ni le nombre total de lignes ni la valeur de p.
Sur la dernière ligne (celle du haut), des morceaux de fromage ont été placés sur chacune des positions j paires (soit en (2 \:; 2) lorsque n = 2) et des pièges sur les positions j impaires (soit en (2 \:; 1) et en (2 \: ; 3) lorsque n = 2). La seule information qui nous est donnée est que la variable aléatoire \text{X} associée au nombre total de fois où la souris a tourné à gauche a une espérance mathématique \text{E(X)} = 3{,}2 et une variance \text{V(X)} = 1{,}92.
On cherche à savoir si la souris a une probabilité plus importante de se nourrir ou de mourir.

Questions préliminaires :
Reproduire et compléter le schéma ci-dessus lorsque n = 4.

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Partie 1

1. Montrer que \text{X} suit une loi binomiale de paramètres n et p.

2. Exprimer alors, en fonction de n et p, \text{E(X)} et \text{V(X)}.

3. En déduire les valeurs de n et p.

4. Rappeler alors la formule donnant \text{P}(\text{X} = k).

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Partie 2

On suppose que \text{X} suit la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0{,}4.

1. Où la souris se trouve-t-elle si \text{X} = 1 ? \text{X} = 7 ?

2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné trois fois à gauche ? k fois à gauche avec 0 \leqslant k \leqslant 8 ?

3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en (8 \:; 3) ?

4. Sachant que la souris est tombée sur un piège, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par \text{X} ?

5. En déduire l'arrondi à 10^{-4} près de la probabilité que la souris rencontre un piège.

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Partie 3

On suppose que \text{X} suit la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0{,}4.

1. Où la souris se trouve-t-elle si \text{X} = 0 ? \text{X} = 8 ?

2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné deux fois à droite ? k fois à droite avec 0 \leqslant k \leqslant 8 ?

3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en (8 \:; 4) ?

4. Sachant que la souris a récupéré un bout de fromage, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par \text{X} ?

5. En déduire l'arrondi à 10^{-4} près de la probabilité que la souris se nourrisse.

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Mise en commun

1. Lorsque n = 8, la souris a-t-elle une plus grande probabilité de se nourrir ou de mourir ? Justifier.

2. Proposer une simulation Python qui permet de déterminer, en fonction du nombre n, si la souris a la plus grande probabilité de se nourrir ou de mourir lorsque la probabilité p est fixée.

from math import *

def factorielle(n):
  x = 1
  for i in range(1,n+1):
    x = x*i
  return x

def coefficients(k,n) :
  y = factorielle(n)/(factorielle(k)*factorielle(n-k))
  return y

def binom(k,n,p):
  z = coefficients(k,n)*p**k*(1-p)**(n-k)
  return z

def probapiege(n,p):
  z = (1-p)**n
  for i in range(1,n+1):
    if i%2==0:
      z = coefficients(i,n)*p**i*(1-p)**(n-i)+z
  return z

def probafromage(n,p):
  z = n*p*(1-p)**(n-1)
  for i in range(3,n+1):
    if i%2 != 0:
      z = coefficients(i,n)*p**i*(1-p)**(n-i)+z
  return z

def reponse(n,p):
  if probafromage(n,p) > probapiege(n,p):
    print("La probabilité d'obtenir un fromage est supérieure")
  elif probafromage(n,p) < probapiege(n,p):
    print("La probabilité de tomber sur un piège est supérieure")
  else :
      print("Les probabilités sont égales")

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