Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 14
Travailler ensemble

La souris affamée

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
Énoncé
Une souris affamée part du point . De ligne en ligne et ceci jusqu'à atteindre la dernière ligne , quel que soit l'endroit où elle se trouve, elle va indépendamment à gauche avec une probabilité ou à droite.
On considère qu'elle se trouve à l'endroit lorsqu'elle est à la -ème position de la -ème ligne (voir le schéma ci-contre pour ).
Le problème est que l'on ne connaît ni le nombre total de lignes ni la valeur de .
Sur la dernière ligne (celle du haut), des morceaux de fromage ont été placés sur chacune des positions paires (soit en lorsque ) et des pièges sur les positions impaires (soit en et en lorsque ). La seule information qui nous est donnée est que la variable aléatoire associée au nombre total de fois où la souris a tourné à gauche a une espérance mathématique et une variance .
On cherche à savoir si la souris a une probabilité plus importante de se nourrir ou de mourir.

Questions préliminaires :
Reproduire et compléter le schéma ci-dessus lorsque .
Dessinez ici

Travailler ensemble - la souris affamée
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Partie 1

1. Montrer que suit une loi binomiale de paramètres et .

2. Exprimer alors, en fonction de et , et .

3. En déduire les valeurs de et .

4. Rappeler alors la formule donnant .


Partie 2

On suppose que suit la loi binomiale de paramètres et .

1. Où la souris se trouve-t-elle si ? ?

2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné trois fois à gauche ? fois à gauche avec ?

3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en ?

4. Sachant que la souris est tombée sur un piège, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par ?

5. En déduire l'arrondi à près de la probabilité que la souris rencontre un piège.

Partie 3

On suppose que suit la loi binomiale de paramètres et .

1. Où la souris se trouve-t-elle si ? ?

2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné deux fois à droite ? fois à droite avec ?

3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en ?

4. Sachant que la souris a récupéré un bout de fromage, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par ?

5. En déduire l'arrondi à près de la probabilité que la souris se nourrisse.

Mise en commun
1. Lorsque , la souris a-t-elle une plus grande probabilité de se nourrir ou de mourir ? Justifier.

2. Proposer une simulation Python qui permet de déterminer, en fonction du nombre , si la souris a la plus grande probabilité de se nourrir ou de mourir lorsque la probabilité est fixée.

from math import *

def factorielle(n):
  x = 1
  for i in range(1,n+1):
    x = x*i
  return x

def coefficients(k,n) :
  y = factorielle(n)/(factorielle(k)*factorielle(n-k))
  return y

def binom(k,n,p):
  z = coefficients(k,n)*p**k*(1-p)**(n-k)
  return z

def probapiege(n,p):
  z = (1-p)**n
  for i in range(1,n+1):
    if i%2==0:
      z = coefficients(i,n)*p**i*(1-p)**(n-i)+z
  return z

def probafromage(n,p):
  z = n*p*(1-p)**(n-1)
  for i in range(3,n+1):
    if i%2 != 0:
      z = coefficients(i,n)*p**i*(1-p)**(n-i)+z
  return z

def reponse(n,p):
  if probafromage(n,p) > probapiege(n,p):
    print("La probabilité d'obtenir un fromage est supérieure")
  elif probafromage(n,p) < probapiege(n,p):
    print("La probabilité de tomber sur un piège est supérieure")
  else :
      print("Les probabilités sont égales")

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