Une souris affamée part du point $\text{O}$. De ligne en ligne et ceci jusqu’à atteindre la dernière ligne $n$, quel que soit l’endroit où elle se trouve, elle va indépendamment à gauche avec une probabilité $p$ ou à droite.
On considère qu’elle se trouve à l’endroit $(i;j)$ lorsqu’elle est à la $j$-ème position de la $i$-ème ligne (voir le schéma ci-contre pour $n=2$).
Le problème est que l’on ne connaît ni le nombre total de lignes ni la valeur de $p$.
Sur la dernière ligne (celle du haut), des morceaux de fromage ont été placés sur chacune des positions $j$ paires (soit en $(2;2)$ lorsque $n=2$) et des pièges sur les positions $j$ impaires (soit en $(2;1)$ et en $(2;3)$ lorsque $n=2$). La seule information qui nous est donnée est que la variable aléatoire $\text{X}$ associée au nombre total de fois où la souris a tourné à gauche a une espérance mathématique $\text{E(X)}=3,2$ et une variance $\text{V(X)}=1,92$.
On cherche à savoir si la souris a une probabilité plus importante de se nourrir ou de mourir.

Questions préliminaires :
Reproduire et compléter le schéma ci-dessus lorsque $n=4$.

1. Montrer que $\text{X}$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.


2. Exprimer alors, en fonction de $n$ et $p$, $\text{E(X)}$ et $\text{V(X)}$.


3. En déduire les valeurs de $n$ et $p$.


4. Rappeler alors la formule donnant $\text{P}(\text{X}=k)$.

On suppose que $\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,4$.

1. Où la souris se trouve-t-elle si $\text{X}=1$ ? $\text{X}=7$ ?


2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné trois fois à gauche ? $k$ fois à gauche avec $0⩽k⩽8$ ?


3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en $(8;3)$ ?


4. Sachant que la souris est tombée sur un piège, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par $\text{X}$ ?


5. En déduire l’arrondi à $10^{-4}$ près de la probabilité que la souris rencontre un piège.

On suppose que $\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0,4$.

1. Où la souris se trouve-t-elle si $\text{X}=0$ ? $\text{X}=8$ ?


2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné deux fois à droite ? $k$ fois à droite avec $0⩽k⩽8$ ?


3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en $(8;4)$ ?


4. Sachant que la souris a récupéré un bout de fromage, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par $\text{X}$ ?


5. En déduire l’arrondi à $10^{-4}$ près de la probabilité que la souris se nourrisse.