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La souris affamée
P.430

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TRAVAILLER ENSEMBLE


La souris affamée





Une souris affamée part du point O\text{O}. De ligne en ligne et ceci jusqu’à atteindre la dernière ligne nn, quel que soit l’endroit où elle se trouve, elle va indépendamment à gauche avec une probabilité pp ou à droite.
On considère qu’elle se trouve à l’endroit (i;j)(i \:; j) lorsqu’elle est à la jj-ème position de la ii-ème ligne (voir le schéma ci-contre pour n=2n = 2).
Le problème est que l’on ne connaît ni le nombre total de lignes ni la valeur de pp.
Sur la dernière ligne (celle du haut), des morceaux de fromage ont été placés sur chacune des positions jj paires (soit en (2;2)(2 \:; 2) lorsque n=2n = 2) et des pièges sur les positions jj impaires (soit en (2;1)(2 \:; 1) et en (2;3)(2 \: ; 3) lorsque n=2n = 2). La seule information qui nous est donnée est que la variable aléatoire X\text{X} associée au nombre total de fois où la souris a tourné à gauche a une espérance mathématique E(X)=3,2\text{E(X)} = 3{,}2 et une variance V(X)=1,92\text{V(X)} = 1{,}92.
On cherche à savoir si la souris a une probabilité plus importante de se nourrir ou de mourir.

Questions préliminaires :
Reproduire et compléter le schéma ci-dessus lorsque n=4n = 4.
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Travailler ensemble - la souris affamée

Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Montrer que X\text{X} suit une loi binomiale de paramètres nn et pp.


2. Exprimer alors, en fonction de nn et pp, E(X)\text{E(X)} et V(X)\text{V(X)}.


3. En déduire les valeurs de nn et pp.


4. Rappeler alors la formule donnant P(X=k)\text{P}(\text{X} = k).


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PARTIE 2 ★★★

On suppose que X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=8n = 8 et p=0,4p = 0{,}4.

1. Où la souris se trouve-t-elle si X=1\text{X} = 1 ? X=7\text{X} = 7 ?


2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné trois fois à gauche ? kk fois à gauche avec 0k80 \leqslant k \leqslant 8 ?


3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en (8;3)(8 \:; 3) ?


4. Sachant que la souris est tombée sur un piège, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par X\text{X} ?


5. En déduire l’arrondi à 10410^{-4} près de la probabilité que la souris rencontre un piège.
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PARTIE 3 ★★

On suppose que X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=8n = 8 et p=0,4p = 0{,}4.

1. Où la souris se trouve-t-elle si X=0\text{X} = 0 ? X=8\text{X} = 8 ?


2. Où la souris se trouve-t-elle si elle a tourné deux fois à droite ? kk fois à droite avec 0k80 \leqslant k \leqslant 8 ?


3. De combien de manières différentes la souris peut-elle se déplacer pour se retrouver en (8;4)(8 \:; 4) ?


4. Sachant que la souris a récupéré un bout de fromage, quelles sont toutes les valeurs pouvant être prises par X\text{X} ?


5. En déduire l’arrondi à 10410^{-4} près de la probabilité que la souris se nourrisse.


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Mise en commun

1. Lorsque n=8n = 8, la souris a-t-elle une plus grande probabilité de se nourrir ou de mourir ? Justifier.


2. Proposer une simulation Python qui permet de déterminer, en fonction du nombre nn, si la souris a la plus grande probabilité de se nourrir ou de mourir lorsque la probabilité pp est fixée.



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