1

[D'après bac S, Métropole, juin 2018] Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une certaine partie de la population d'une ville.
La vaccination contre la grippe est possible et elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L'efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n'est pas toujours totalement adapté. Il est possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude, menée dans la population de la ville à l'issue de la période hivernale, a permis de constater que :

• $40$ % de la population a été vaccinée ;
• $8$ % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
• $20$ % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• $\text{V}$ : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
• $\text{G}$ : « la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l'événement $\text{G}$.

b. Sur l'arbre pondéré ci-dessous, compléter les pointillés indiqués sur ses branches.

Partie B

2

[D'après bac S, Pondichéry, avril 2015]
L'entreprise El'Ectro est spécialisée dans la vente d'appareils électroménagers. Un lave-vaisselle vendu par cette entreprise est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L'entreprise propose à ses clients une extension de garantie (payante) couvrant trois années supplémentaires. Des études statistiques, menées sur les clients qui prennent l'extension de garantie, montrent que $11,5$ % d'entre eux font jouer l'extension de garantie.

3

[D'après bac S, Polynésie, septembre 2019]
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près. Lors d'une communication électronique, tout échange d'information se fait par l'envoi d'une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et ce, par le biais d'un canal qui est généralement un câble électrique, une onde radio, etc.
Une suite de $8$ bits est appelée un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Partie A

On se place dans le cas où l'on envoie sur le canal successivement $8$ bits qui forment un octet. On envoie un octet au hasard. On suppose la transmission de chaque bit indépendante de la transmission des bits précédents. On admet que la probabilité qu'un bit soit mal transmis est égale à $0,01$. On note $\text{X}$ la variable aléatoire égale au nombre de bits mal transmis dans l'octet lors de cette communication.

3. Que peut-on penser de l'affirmation suivante : « La probabilité que le nombre de bits mal transmis de l'octet soit au moins égal à trois est négligeable. » ? Argumenter.

Partie B

4

[D'après bac S, Métropole, septembre 2016]
On dispose d'un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et de deux pièces $\text{A}$ et $\text{B}$, ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l'on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce $\text{A}$. Si l'on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce $\text{B}$. Sinon, on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les deux pièces sont du côté face.

1. On définit ci-dessous une fonction au sens de Python.
Dans celle-ci, $0$ code le côté face d'une pièce et $1$ code le côté pile. Les variables a, b, d et s sont des entiers.
Les variables i et n sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$.


a. On exécute l'instruction $\text{Simulation}(3)$ et on suppose que les valeurs aléatoires générées successivement pour $\text{d}$ sont $1$, $6$ et $4$.
Compléter le tableau donné ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de cette instruction.


b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?

2. Pour tout entier naturel $n$, on note :

• ${\text{X}}_n$ l'événement : « À l'issue de $n$ lancers du dé, les deux pièces sont du côté face » ;
• ${\text{Y}}_n$ l'événement : « À l'issue de $n$ lancers du dé, une pièce est du côté pile et l'autre est du côté face » ;
• ${\text{Z}}_n$ l'événement : « À l'issue de $n$ lancers du dé, les deux pièces sont du côté pile ».

De plus, on note $x_n=\mathrm{P}\left({\mathrm{X}}_n\right)$, $y_n=\mathrm{P}\left({\mathrm{Y}}_n\right)$ et $z_n=\mathrm{P}\left({\mathrm{Z}}_n\right)$, les probabilités respectives des événements ${\mathrm{X}}_n$, ${\mathrm{Y}}_n$ et ${\mathrm{Z}}_n$.

7

[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018]
Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions.
Pour chacune d'entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.

On considère trois candidats :

• Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions ;
• Barbara est un peu mieux préparée. Elle répond correctement une fois sur deux ;
• Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu'elle réponde correctement est de $\frac{2}{3}$.