[D’après bac S, Métropole, juin 2018]
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une certaine partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible et elle doit être renouvelée chaque année.
Partie A
L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté. Il est possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude, menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale, a permis de constater que :
- 40 % de la population a été vaccinée ;
- 8 % des personnes vaccinées ont contracté la
grippe ;
- 20 % de la population a contracté la grippe.
On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :
- V : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
- G : « la personne a contracté la grippe ».
1. a. Donner la probabilité de l’événement
G.
Il faut trouver l’information dans l’énoncé.
b. Sur l’arbre pondéré ci-dessous, compléter les pointillés indiqués sur ses branches.
Il faut utiliser les informations de l’énoncé et se rappeler que la somme des probabilités de deux événements contraires est égale à 1.
2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
L’événement utilise le connecteur « et ». Il faut donc
calculer la probabilité d’une intersection d’événements.
3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la
grippe est égale à
0,28.
On sait que l’événement « la personne choisie n’est pas vaccinée » est réalisé : il s’agit donc d’une probabilité conditionnelle.
Partie B
Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à
10−3 près.
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard
n habitants de la ville, en admettant que ce choix revient à effectuer
n tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à
0,4.
On note
X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les
n interrogées.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire
X ?
Il faut justifier la réponse à l’aide des informations de l’énoncé.
2. Dans cette question, on suppose que
n=40.
a. Déterminer la probabilité qu’exactement
15 personnes parmi les
40 personnes interrogées soient vaccinées.
Il faut calculer une probabilité du type P(X=k).
b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
Il faut calculer une probabilité du type P(X=k).