L'épreuve finale

1

[D’après bac S, Métropole, juin 2018]
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une certaine partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible et elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté. Il est possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude, menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale, a permis de constater que :

• $40$ % de la population a été vaccinée ;
• $8$ % des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
• $20$ % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• $\text{V}$ : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
• $\text{G}$ : « la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l’événement $\text{G}$.

Aide

Il faut trouver l’information dans l’énoncé.

b. Sur l’arbre pondéré ci-dessous, compléter les pointillés indiqués sur ses branches.

Aide

Il faut utiliser les informations de l’énoncé et se rappeler que la somme des probabilités de deux événements contraires est égale à $1$.

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

Aide

L’événement utilise le connecteur « et ». Il faut donc calculer la probabilité d’une intersection d’événements.

3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à $0{,}28$.

Aide

On sait que l’événement « la personne choisie n’est pas vaccinée » est réalisé : il s’agit donc d’une probabilité conditionnelle.

Partie B

Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard $n$ habitants de la ville, en admettant que ce choix revient à effectuer $n$ tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à $0{,}4$.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les $n$ interrogées.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $\text{X}$ ?

Aide

Il faut justifier la réponse à l’aide des informations de l’énoncé.

2. Dans cette question, on suppose que $n = 40$.
a. Déterminer la probabilité qu’exactement $15$ personnes parmi les $40$ personnes interrogées soient vaccinées.

Aide

Il faut calculer une probabilité du type $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)$.

b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.

Aide

Il faut calculer une probabilité du type $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)$.

2

[D’après bac S, Pondichéry, avril 2015]
L’entreprise El’Ectro est spécialisée dans la vente d’appareils électroménagers. Un lave-vaisselle vendu par cette entreprise est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L’entreprise propose à ses clients une extension de garantie (payante) couvrant trois années supplémentaires. Des études statistiques, menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie, montrent que $11{,}5$ % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

1. On choisit au hasard douze clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

a. Quelle est la probabilité qu’exactement trois de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ?
Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à $10^{-3}$ près.


b. Quelle est la probabilité qu’au moins six de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$ près.


2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour $65$ € supplémentaires, El’Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit $399$ €, si une panne irréversible survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si l’appareil est réparable. On choisit au hasard un client, parmi ceux ayant souscrit l’extension de garantie, et on note $\text{Y}$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise, grâce à l’extension de garantie.

a. Donner les valeurs possibles pour $\text{Y}$ puis déterminer sa loi de probabilité.


b. Cette offre d’extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

3

[D’après bac S, Polynésie, septembre 2019]
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront précisées à $10^{-4}$ près. Lors d’une communication électronique, tout échange d’information se fait par l’envoi d’une suite de $0$ ou de $1$, appelés bits, et ce, par le biais d’un canal qui est généralement un câble électrique, une onde radio, etc.
Une suite de $8$ bits est appelée un octet. Par exemple, $10010110$ est un octet.

Partie A

On se place dans le cas où l’on envoie sur le canal successivement $8$ bits qui forment un octet. On envoie un octet au hasard. On suppose la transmission de chaque bit indépendante de la transmission des bits précédents. On admet que la probabilité qu’un bit soit mal transmis est égale à $0{,}01$. On note $\text{X}$ la variable aléatoire égale au nombre de bits mal transmis dans l’octet lors de cette communication.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $\text{X}$ ? Justifier.


2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux bits de l’octet soient mal transmis.


3. Que peut-on penser de l’affirmation suivante : « La probabilité que le nombre de bits mal transmis de l’octet soit au moins égal à trois est négligeable. » ? Argumenter.


Partie B

Afin de détecter si un ou plusieurs bits de l’octet sont mal transmis, on utilise un protocole de détection d’erreur. Il consiste à ajouter, à la fin de l’octet à transmettre, un bit, appelé bit de parité et qui est transmis après les huit bits de l’octet. On s’intéresse désormais à la transmission de l’octet suivi de son bit de parité.

Une étude statistique a permis d’obtenir que :

• la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis sans erreur vaut $0{,}922$ ;
• la probabilité que les huit bits (octet) soient transmis avec exactement une erreur vaut $0{,}075$ ;
• si les huit bits ont été transmis sans erreur, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0{,}99$ ;
• si les huit bits ont été transmis avec exactement une erreur, la probabilité que le bit de parité ait été envoyé sans erreur vaut $0{,}9$ ;
• si les huit bits ont été transmis avec au moins deux erreurs, la probabilité que le bit de parité soit envoyé sans erreur vaut $0{,}99$.

On choisit au hasard un octet suivi de son bit de parité. On considère les événements suivants :

• $\text{Z}$ : « les huits bits de l’octet sont transmis sans erreur » ;
• $\text{E}$ : « les huits bits de l’octet sont transmis avec exactement une erreur » ;
• $\text{D}$ : « les huits bits de l’octet sont transmis avec au moins deux erreurs » ;
• $\text{B}$ : « le bit de parité est transmis sans erreur ».

1. Construire une arbre pondéré correspondant à la situation.


2. Quelle est la probabilité que l’octet soit transmis avec une erreur exactement et que le bit de parité soit transmis sans erreur ?


3. Calculer la probabilité de l’événement $\text{B}$.

4

[D’après bac S, Métropole, septembre 2016]
On dispose d’un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et de deux pièces $\text{A}$ et $\text{B}$, ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l’on obtient $1$ ou $2$, alors on retourne la pièce $\text{A}$. Si l’on obtient $3$ ou $4$, alors on retourne la pièce $\text{B}$. Sinon, on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les deux pièces sont du côté face.

1. On définit ci-dessous une fonction au sens de Python.
Dans celle-ci, $0$ code le côté face d’une pièce et $1$ code le côté pile. Les variables a, b, d et s sont des entiers.
Les variables i et n sont des entiers supérieurs ou égaux à $1$.

$\boxed{ \begin{array} { l } \text {Fonction Simulation}(n):\\ \quad {a} \leftarrow 0 \\ \quad {b} \leftarrow 0 \\ \quad \text {Pour } i \text { allant de 1 à } {n} \text { faire :} \\ \quad \quad \text {Si }{d \leqslant 2}:\\ \quad \quad \quad {a} \leftarrow 1-{a} \\ \quad \quad \text {Sinon : } \\ \quad \quad \quad \text {Si }{d \leqslant 4}:\\ \quad \quad \quad \quad {b} \leftarrow 1-{b} \\ \quad \quad \quad \text {Fin Si } \\ \quad \quad \text {Fin Si } \\ \quad \quad {s} \leftarrow a+{b} \\ \quad \text {Fin Pour } \\ \text {Fin Fonction } \\ \end{array} }$

a. On exécute l’instruction $\text{Simulation}(3)$ et on suppose que les valeurs aléatoires générées successivement pour $\text{d}$ sont $1$, $6$ et $4$.
Compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de cette instruction.

Variables	i	d	a	b	s
Initialisations
1er passage boucle Pour
2e passage boucle Pour
3e passage boucle Pour

b. Cet algorithme permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile ?


2. Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $\text{X}_n$ l’événement : « À l’issue de $n$ lancers du dé, les deux pièces sont du côté face » ;
• $\text{Y}_n$ l’événement : « À l’issue de $n$ lancers du dé, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face » ;
• $\text{Z}_n$ l’événement : « À l’issue de $n$ lancers du dé, les deux pièces sont du côté pile ».

De plus, on note $x_{n}=\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{n}\right)$, $y_{n}=\mathrm{P}\left(\mathrm{Y}_{n}\right)$ et $z_{n}=\mathrm{P}\left(\mathrm{Z}_{n}\right)$, les probabilités respectives des événements $\mathrm{X}_{n}$, $\mathrm{Y}_{n}$ et $\mathrm{Z}_{n}$.

a. Donner les probabilités $x_0$, $y_0$ et $z_0$ respectives, pour qu’au début du jeu il y ait $0$, $1$ ou $2$ pièces du côté pile.


b. Justifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathrm{P}_{\mathrm{X}_{n}}\left(\mathrm{X}_{n+1}\right)=\dfrac{1}{3}$.


c. Sur l’arbre ci-dessous,compléter les probabilités sur ses branches, certaines pouvant être nulles :

d. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.


e. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $y_{n+1}=-\dfrac{1}{3} y_{n}+\dfrac{2}{3}$.


f. On admet que, pour tout entier $n$, $y_{n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \times\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n}$.
Calculer $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} y_{n}$. Interpréter le résultat.

5

[D’après bac STI2D, Métropole, septembre 2016]
Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes. La probabilité qu’une boîte prélevée au hasard soit non conforme est de $0{,}04$. Un lot de $200$ boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement de légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de $200$ boîtes.

Partie A

1. La variable aléatoire $\text{X}$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot. Déterminer la loi de la variable aléatoire $\text{X}$ et préciser ses paramètres.


2. Montrer que la variable aléatoire $\text{X}$ a pour espérance $n = 8$ et pour variance $\text{V} = 7{,}68$.


Partie B

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère $n$ variables aléatoires $\text{X}_1$, $\text{X}_2$, …, $\text{X}_n$ indépendantes et ayant la même loi de probabilité que la variable $\text{X}$.
On définit la variable aléatoire $\mathrm{M}_{n}=\dfrac{\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{n}}{n}$.

1. a. Calculer l’espérance de $\mathrm{M}_{n}$.


b. Montrer que la variance de $\mathrm{M}_{n}$ est $\dfrac{7{,}68}{n}$.


2. a. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que : $\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-8\right|\lt1\right) \geqslant 1-\dfrac{7{,}68}{n}$.


b. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles $\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-8\right|\lt1\right) \geqslant 0{,}9$.


3. On admet pour la suite que, si on prélève $n$ lots de $200$ boîtes, $\text{M}_n$ donne le nombre moyen de boîtes non conformes dans ces $n$ lots. On effectue un contrôle sur $80$ lots de $200$ boîtes, on constate au total que $900$ boîtes sont non conformes. Doit-on se poser des questions à propos de la qualité de la fabrication ? Justifier.

6

[D’après bac S, Amérique du Nord, mai 2012]
Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30$ % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association.

1. Montrer que la probabilité que le membre choisi soit une femme est de $\dfrac{2}{5}$.


2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis. Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?


Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est tiré au sort de manière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.


b. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu’en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n}=1-\left(\dfrac{7}{10}\right)^{n}$.


c. Déterminer par le calcul le nombre minimal de semaines pour que $p_{n} \geqslant 0{,}99$.


2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons : dix jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ € chacun, les autres ne rapportent rien.
Pour participer à cette loterie, un joueur doit payer $5$ € puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors $20$ € par jeton gagnant.
Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire associant le gain algébrique réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $\text{X}$.


b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $\text{X}$ et interpréter le résultat obtenu.

7

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, novembre 2018]
Une épreuve de culture générale consiste en un questionnaire à choix multiple (QCM) de vingt questions.
Pour chacune d’entre elles, le sujet propose quatre réponses possibles, dont une seule est correcte. À chaque question, le candidat ou la candidate doit nécessairement choisir une seule réponse. Cette personne gagne un point par réponse correcte et ne perd aucun point si sa réponse est fausse.

On considère trois candidats :

• Anselme répond complètement au hasard à chacune des vingt questions ;
• Barbara est un peu mieux préparée. Elle répond correctement une fois sur deux ;
• Camille fait encore mieux : pour chacune des questions, la probabilité qu’elle réponde correctement est de $\dfrac{2}{3}$.

1. On note $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$ les variables aléatoires égales aux notes respectivement obtenues par Anselme, Barbara et Camille.

a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $\text{X}$ ? Justifier.


b. À l’aide de la calculatrice, donner l’arrondi au millième de la probabilité $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 10)$. Dans la suite, on admettra que $\mathrm{P}(\mathrm{Y} \geqslant 10) \approx 0{,}588$ et $\mathrm{P}(\mathrm{Z} \geqslant 10) \approx 0{,}962.$


2. On choisit au hasard la copie d’un de ces trois candidats. On note $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ et $\text{M}$ les événements :

• $\text{A}$ : « la copie choisie est celle d’Anselme » ;
• $\text{B}$ : « la copie choisie est celle de Barbara » ;
• $\text{C}$ : « la copie choisie est celle de Camille » ;
• $\text{M}$ : « la copie choisie affiche une note supérieure ou égale à $10$ ».

On constate, après l’avoir corrigée, que la copie choisie affiche une note supérieure ou égale à $10$ sur $20$.
Quelle est la probabilité qu’il s’agisse de la copie de Barbara ? Arrondir au millième cette probabilité.