Un professeur oublie fréquemment les clefs de sa salle de classe. S’il oublie ses clefs le jour
n, la probabilité qu’il les oublie le lendemain est de
0,1. S’il n’oublie pas ses clefs le jour
n, la probabilité qu’il les oublie le lendemain est de
0,4.
La probabilité qu’il les oublie le premier jour est de
0,2.
On considère, pour tout entier naturel
n non nul, l’événement
En: « Le professeur oublie ses clefs le jour
n. » et on note
p(En)=pn.
Partie A :
1. Calculer
p1,
p2 et
p3.
2. Déterminer une relation de récurrence entre
pn+1 et
pn pour tout entier
n>0.
3. Pour tout entier
n>0, on pose
un=pn+α.
Déterminer
α pour que
(Un) soit géométrique.
4. Exprimer
un puis
pn en fonction de
n.
5. Déterminer la limite de la suite
(pn) et en donner
l’interprétation.
Partie B :
On suppose qu’un élève arrive uniquement à répondre aux questions
1. et
2. de la partie A. Il décide donc d’entreprendre une démarche numérique pour répondre aux questions suivantes.
1. Écrire un algorithme qui permette de calculer les
n
premiers termes de la suite
(pn).
2. Programmer et tester l’algorithme avec Python pour
plusieurs (grandes) valeurs de
n.
3. Quelle semble être la limite de la suite
(pn) ? Ce
résultat est-il cohérent avec le résultat de la partie A ?