PYTHON

[Modéliser, Chercher.]
Un célèbre jeu télévisé propose aux candidats l’expérience suivante, où trois boîtes sont disposées devant le joueur. Deux boîtes sont vides et une contient de l’argent. Le candidat commence par en choisir une au hasard. Le présentateur, qui connaît la répartition des lots, retire alors une boîte vide parmi les deux restantes et demande ensuite au joueur s’il garde son premier choix, ou s’il souhaite changer de boîte.
Deux amis regardent ce jeu et discutent entre eux.
Anthony pense que, puisqu’il reste uniquement deux boîtes, chacune offre autant de chance de gagner.
Laura pense qu’il vaut mieux changer car l’élimination d’une boîte laisse $2$ chances sur $3$ de gagner si l’on change de boîte.

1. On suppose (pour simplifier) qu’on choisit la boîte numéro $1$. Énoncer toutes les situations possibles et montrer alors que Laura a raison.


2. Malgré cette preuve, Anthony n’est toujours pas convaincu. Il propose alors la chose suivante : « J’ai vu dans mon cours que, si on répète l’expérience un grand nombre de fois, la fréquence obtenue tend vers la probabilité ».
Proposer un algorithme pour simuler cette expérience.

3. Simuler l’expérience un très grand nombre de fois et montrer que le résultat conforte l’idée de Laura.

[Raisonner, Chercher.]  

[DÉMO]

Une variante de la loi faible des grands nombres
On considère une suite de variables aléatoires indépendantes $({\text{X}}_n)$, où $n$ est un entier naturel strictement positif. On suppose que chaque variable aléatoire ${\mathrm{X}}_n$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p_n$ (les paramètres ne sont pas nécessairement égaux pour toutes les valeurs de $n$).
On pose ${\mathrm{S}}_n={\mathrm{X}}_1+{\mathrm{X}}_2+\dots +{\mathrm{X}}_n$.

1. On veut montrer que, pour tout $\epsilon >0$ : $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{P}\left(\left|\frac{{\mathrm{S}}_n}{n}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{p}_i\right|⩾\epsilon \right)=0$.

a. Pourquoi n’est-il pas possible d’appliquer la loi des grands nombres ici ?


b. Déterminer l’espérance et la variance de ${\mathrm{S}}_n$ puis montrer que, pour tout entier $n>0$, $\text{V}\left({\text{S}}_n\right)⩽n$.


c. En appliquant convenablement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer le résultat souhaité.


2. Dans ce cas bien précis d’une somme de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli, qu’apporte ce résultat en plus, par rapport à la loi des grands nombres étudiée dans le cours ?

PYTHON

[Modéliser, Chercher.]
On cherche à modéliser une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues serait infini.

1. Soit $n$ un entier naturel.
a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽\frac{1}{\mathrm{e}\times n!}⩽1$.


b. Ecrire un programme Python pour simuler la somme ${\mathrm{S}}_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{\mathrm{e}\times k!}$.

c. Tester le programme pour $n=100$ et $n=1000$.

d. Que remarque-t-on ?


La loi de la variable aléatoire définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $\mathrm{P}(\mathrm{X}=n)=\frac{1}{\mathrm{e}\times n!}$, est appelée loi de Poisson de paramètre 1.

2. Faire le même travail avec la variable $\text{Y}$ telle que $\mathrm{P}(\mathrm{Y}=n)={\left(\frac{1}{4}\right)}^n\times \frac{3}{4}$ (loi géométrique de paramètre $\frac{3}{4}$).

APPROFONDISSEMENT

On souhaite réaliser un sondage sur le nombre d’hommes et de femmes dans la société française. Pour cela, un statisticien décide d’engager une étude autour des nouveau- nés. Il obtient le tableau suivant.


On définit le sex ratio, noté $\text{SR}$, par la relation suivante : $\mathrm{S}\mathrm{R}=\frac{\text{ Nombre d’hommes }}{\text{ Nombre de femmes }}$.

1. Calculer le sex ratio pour les années 2008 à 2018. Ce nombre semble-t-il stable ?


2. On suppose dans cette question qu’on dispose seulement de la moyenne des $\text{SR}$ des années 2009 à 2018.

a. En calculant cette valeur, expliquer comment en déduire la proportion moyenne d’hommes dans la population française et donner cette valeur.


b. En justifiant soigneusement, quel nombre peut-on considérer pour estimer la proportion d’hommes dans la population française ?


3. Dans cette question, on cherche à déterminer le nombre de personnes $n$ à étudier pour avoir une précision souhaitée. On considère la variable aléatoire ${\mathrm{M}}_n=\sum _{i=1}^n\frac{{\mathrm{X}}_i}{n}$, où ${\mathrm{X}}_i=1$ si la personne interrogée est une femme et ${\mathrm{X}}_i=0$ si la personne interrogée est un homme. En reprenant l’estimation obtenue à la question précéde, déterminer n pour que $\mathrm{P}\left(\left|{\mathrm{M}}_n-\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_n\right)\right|⩾0,1\right)<0,05$.

PYTHON

APPROFONDISSEMENT

Un professeur oublie fréquemment les clefs de sa salle de classe. S’il oublie ses clefs le jour $n$, la probabilité qu’il les oublie le lendemain est de $0,1$. S’il n’oublie pas ses clefs le jour $n$, la probabilité qu’il les oublie le lendemain est de $0,4$.
La probabilité qu’il les oublie le premier jour est de $0,2$.
On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul, l’événement ${\text{E}}_n:$ « Le professeur oublie ses clefs le jour $n$. » et on note $p\left({\mathrm{E}}_n\right)=p_n$.

Partie A :

1. Calculer $p_1$, $p_2$ et $p_3$.


2. Déterminer une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$ pour tout entier $n>0$.


3. Pour tout entier $n>0$, on pose $u_n=p_n+\alpha$. Déterminer $\alpha$ pour que $({\text{U}}_n)$ soit géométrique.


4. Exprimer $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.


5. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et en donner l’interprétation.


Partie B :

On suppose qu’un élève arrive uniquement à répondre aux questions 1. et 2. de la partie A. Il décide donc d’entreprendre une démarche numérique pour répondre aux questions suivantes.

1. Écrire un algorithme qui permette de calculer les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$.

2. Programmer et tester l’algorithme avec Python pour plusieurs (grandes) valeurs de $n$.

3. Quelle semble être la limite de la suite $(p_n)$ ? Ce résultat est-il cohérent avec le résultat de la partie A ?