Python

[Modéliser, Chercher.]
Un célèbre jeu télévisé propose aux candidats l'expérience suivante, où trois boîtes sont disposées devant le joueur. Deux boîtes sont vides et une contient de l'argent. Le candidat commence par en choisir une au hasard. Le présentateur, qui connaît la répartition des lots, retire alors une boîte vide parmi les deux restantes et demande ensuite au joueur s'il garde son premier choix, ou s'il souhaite changer de boîte.
Deux amis regardent ce jeu et discutent entre eux.
Anthony pense que, puisqu'il reste uniquement deux boîtes, chacune offre autant de chance de gagner.
Laura pense qu'il vaut mieux changer car l'élimination d'une boîte laisse $2$ chances sur $3$ de gagner si l'on change de boîte. 1. On suppose (pour simplifier) qu'on choisit la boîte numéro $1$. Énoncer toutes les situations possibles et montrer alors que Laura a raison.

2. Malgré cette preuve, Anthony n'est toujours pas convaincu. Il propose alors la chose suivante : « J'ai vu dans mon cours que, si on répète l'expérience un grand nombre de fois, la fréquence obtenue tend vers la probabilité ».
Proposer un algorithme pour simuler cette expérience.

3. Simuler l'expérience un très grand nombre de fois et montrer que le résultat conforte l'idée de Laura.

Python

[Modéliser, Chercher.]
On cherche à modéliser une expérience aléatoire dont l'ensemble des issues serait infini. 1. Soit $n$ un entier naturel.
a. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0⩽\frac{1}{\mathrm{e}\times n!}⩽1$.

b. Ecrire un programme Python pour simuler la somme ${\mathrm{S}}_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{\mathrm{e}\times k!}$.

c. Tester le programme pour $n=100$ et $n=1000$.

d. Que remarque-t-on ?

La loi de la variable aléatoire définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $\mathrm{P}(\mathrm{X}=n)=\frac{1}{\mathrm{e}\times n!}$, est appelée loi de Poisson de paramètre 1.

2. Faire le même travail avec la variable $\text{Y}$ telle que $\mathrm{P}(\mathrm{Y}=n)={\left(\frac{1}{4}\right)}^n\times \frac{3}{4}$ (loi géométrique de paramètre $\frac{3}{4}$).