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Une approximation de π par la loi des grands nombres
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TP INFO


1
Une approximation de π\pi par la loi des grands nombres




Énoncé

Dans un repère orthonormé (O ; I , J)\text{(O ; I , J)}, on considère les points d’abscisses et d’ordonnées positives, appartenant au quart de disque D\mathcal{D} délimité par le quart de cercle C\mathcal{C} de centre O\text{O} et de rayon 11 ci-contre.
Une équation de C\mathcal{C} est alors donnée par x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, où xx et yy sont des réels compris entre 00 et 11.
On considère l’expérience suivante :
On simule aléatoirement le positionnement de points de coordonnées (x;y)(x \:; y), où (x;y)[0;1]×[0;1](x \:; y) \in[0 \:; 1] \times[0 \:; 1]. On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de points appartenant à D\mathcal{D}.

Questions préliminaires :

Le cours sur la loi des grands nombres indique que la moyenne empirique peut être considérée comme un bon estimateur de π4\dfrac{\pi}{4} (pour un nombre de simulations importantes).
On considère un point de coordonnées positives appartenant au carré de côté 11 et dont O\text{O}, I\text{I} et J\text{J} sont trois sommets.
Calculer la probabilité que ce point appartienne à D\mathcal{D}.
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Une approximation de π par la loi des grands nombres

Objectif

En utilisant la loi des grands nombres, donner une approximation de π\boldsymbol{\pi} à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

On considère le programme incomplet ci-dessous, écrit en Python. On suppose que nn est un entier naturel strictement positif.

from math import *
...
def estimateur_Pi(n):
	Compteur = 0 :
	for i in range (...):
		x = random()
		y = random()
		r = ...
		if r <= 1:
			Compteur = ...
	Prop = Compteur/n
	return 4*Prop

1. Compléter les pointillés.

2. Quel est le rôle de la variable Compteur\text{Compteur} ?


3. Expliquer la formule de la variable Prop\text{Prop}.


4. Tester le programme pour différentes valeurs de nn et conclure à l’aide du cours.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

On considère la feuille de calcul suivante, permettant de simuler l’expérience décrite dans l’énoncé.

 Tableur - Une approximation de π par la loi des grands nombres

1. En utilisant la commande =ALEA()\text{=ALEA()}, simuler des valeurs de xx et de yy aléatoirement sur la ligne 2.

2. Donner la formule à mettre en D2 pour calculer la distance à l’origine du point de coordonnées (x;y)(x \:; y).


3. Recopier et compléter la commande à mettre en E2 : =SI(D2;1;0)=\text{SI}(\text{D}2…\:;1\: ;0).


4. Compléter F2 afin d’avoir le compteur de test, sachant que l’on va faire 500500 simulations.

5. Expliquer comment approcher la valeur de π\pi. Compléter alors la case G2 avec la bonne formule.


6. Tester ce procédé pour 500500 points et conclure.
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Pour aller plus loin


Déterminer une valeur approchée de l’intégrale 011x2dx\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \text{d} x.
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