Dans un repère orthonormé $\text{(O ; I , J)}$, on considère les points d'abscisses et d'ordonnées positives, appartenant au quart de disque $\mathcal{D}$ délimité par le quart de cercle $\mathcal{C}$ de centre $\text{O}$ et de rayon $1$ ci-contre. Une équation de $\mathcal{C}$ est alors donnée par $x^2+y^2=1$, où $x$ et $y$ sont des réels compris entre $0$ et $1$.
On considère l'expérience suivante :
On simule aléatoirement le positionnement de points de coordonnées $(x;y)$, où $(x;y)\in [0;1]\times [0;1]$. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de points appartenant à $\mathcal{D}$. Questions préliminaires :
Le cours sur la loi des grands nombres indique que la moyenne empirique peut être considérée comme un bon estimateur de $\frac{\pi }{4}$ (pour un nombre de simulations importantes).
On considère un point de coordonnées positives appartenant au carré de côté $1$ et dont $\text{O}$, $\text{I}$ et $\text{J}$ sont trois sommets.
Calculer la probabilité que ce point appartienne à $\mathcal{D}$.

Objectif

En utilisant la loi des grands nombres, donner une approximation de $\mathbf{\pi }$ à l'aide d'une des deux méthodes.