Dans un repère orthonormé \text{(O ; I , J)}, on considère les points d'abscisses et d'ordonnées positives, appartenant au quart de disque \mathcal{D} délimité par le quart de cercle \mathcal{C} de centre \text{O} et de rayon 1 ci-contre. Une équation de \mathcal{C} est alors donnée par x^2 + y^2 = 1, où x et y sont des réels compris entre 0 et 1.
On considère l'expérience suivante :
On simule aléatoirement le positionnement de points de coordonnées (x \:; y), où (x \:; y) \in[0 \:; 1] \times[0 \:; 1]. On note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de points appartenant à \mathcal{D}. Questions préliminaires :
Le cours sur la loi des grands nombres indique que la moyenne empirique peut être considérée comme un bon estimateur de \frac{\pi}{4} (pour un nombre de simulations importantes).
On considère un point de coordonnées positives appartenant au carré de côté 1 et dont \text{O}, \text{I} et \text{J} sont trois sommets.
Calculer la probabilité que ce point appartienne à \mathcal{D}.

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Une approximation de π par la loi des grands nombres

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Objectif

En utilisant la loi des grands nombres, donner une approximation de \boldsymbol{\pi} à l'aide d'une des deux méthodes.

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Méthode 1
Python

On considère le programme incomplet ci-dessous, écrit en Python. On suppose que n est un entier naturel strictement positif.

from math import *
...
def estimateur_Pi(n):
	Compteur = 0 :
	for i in range (...):
		x = random()
		y = random()
		r = ...
		if r <= 1:
			Compteur = ...
	Prop = Compteur/n
	return 4*Prop

1. Compléter les pointillés.

2. Quel est le rôle de la variable \text{Compteur} ?

3. Expliquer la formule de la variable \text{Prop}.

4. Tester le programme pour différentes valeurs de n et conclure à l'aide du cours.

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Méthode 2
Tableur

On considère la feuille de calcul suivante, permettant de simuler l'expérience décrite dans l'énoncé.

Capture d'écran d'un tableur: calcul de π par la méthode de Monte-Carlo. Colonnes: nombre simulations, x, y, r, test, compteur points, estimation de π.

1. En utilisant la commande \text{=ALEA()}, simuler des valeurs de x et de y aléatoirement sur la ligne 2.

2. Donner la formule à mettre en D2 pour calculer la distance à l'origine du point de coordonnées (x \:; y).

3. Recopier et compléter la commande à mettre en E2 : =\text{SI}(\text{D}2…\:;1\: ;0).

4. Compléter F2 afin d'avoir le compteur de test, sachant que l'on va faire 500 simulations.

5. Expliquer comment approcher la valeur de \pi. Compléter alors la case G2 avec la bonne formule.

6. Tester ce procédé pour 500 points et conclure.

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Pour aller plus loin

Déterminer une valeur approchée de l'intégrale \displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \text{d} x.

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Une approximation de \pi par la loi des grands nombres

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Méthode 1Python

Méthode 2Tableur

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Python

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Tableur