Une approximation de π par la loi des grands nombres
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TP INFO
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Une approximation de π par la loi des grands nombres
Énoncé
Dans un repère orthonormé (O ; I , J), on considère les points d’abscisses
et d’ordonnées positives, appartenant au quart de disque D délimité par
le quart de cercle C de centre O et de rayon 1 ci-contre.
Une équation de C est alors donnée par x2+y2=1, où x et y sont des réels compris entre 0 et 1.
On considère l’expérience suivante :
On simule aléatoirement le positionnement de points de coordonnées
(x;y), où (x;y)∈[0;1]×[0;1]. On note X la variable aléatoire donnant
le nombre de points appartenant à D.
Questions préliminaires :
Le cours sur la loi des grands nombres indique que la moyenne empirique peut être considérée comme un bon estimateur de 4π (pour un nombre de simulations importantes).
On considère un point de coordonnées positives appartenant au carré de
côté 1 et dont O, I et J sont trois sommets.
Calculer la probabilité que ce point appartienne à D.
Objectif
En utilisant la loi des grands nombres, donner une approximation de π à l’aide d’une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON
On considère le programme incomplet ci-dessous, écrit en Python. On suppose que n est un entier naturel strictement positif.
from math import *
...
def estimateur_Pi(n):
Compteur = 0 :
for i in range (...):
x = random()
y = random()
r = ...
if r <= 1:
Compteur = ...
Prop = Compteur/n
return 4*Prop
1. Compléter les pointillés.
2. Quel est le rôle de la variable Compteur ?
3. Expliquer la formule de la variable Prop.
4. Tester le programme pour différentes valeurs de
n et conclure à l’aide du cours.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR
On considère la feuille de calcul suivante, permettant
de simuler l’expérience décrite dans l’énoncé.
1. En utilisant la commande =ALEA(), simuler des valeurs de x et de y aléatoirement sur la ligne 2.
2. Donner la formule à mettre en D2 pour calculer la distance à l’origine du point de coordonnées (x;y).
3. Recopier et compléter la commande à mettre en
E2 :=SI(D2…;1;0).
4. Compléter F2 afin d’avoir le compteur de test,
sachant que l’on va faire 500 simulations.
5. Expliquer comment approcher la valeur de π. Compléter alors la case G2 avec la bonne formule.
6. Tester ce procédé pour 500 points et conclure.
Pour aller plus loin
Déterminer une valeur approchée de l’intégrale ∫011−x2dx.
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