Dans un repère orthonormé \text{(O ; I , J)}, on considère les points d'abscisses et d'ordonnées positives, appartenant au quart de disque \mathcal{D} délimité par le quart de cercle \mathcal{C} de centre \text{O} et de rayon 1 ci-contre. Une équation de \mathcal{C} est alors donnée par x^2 + y^2 = 1, où x et y sont des réels compris entre 0 et 1.
On considère l'expérience suivante :
On simule aléatoirement le positionnement de points de coordonnées (x \:; y), où (x \:; y) \in[0 \:; 1] \times[0 \:; 1]. On note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de points appartenant à \mathcal{D}. Questions préliminaires :
Le cours sur la loi des grands nombres indique que la moyenne empirique peut être considérée comme un bon estimateur de \frac{\pi}{4} (pour un nombre de simulations importantes).
On considère un point de coordonnées positives appartenant au carré de côté 1 et dont \text{O}, \text{I} et \text{J} sont trois sommets.
Calculer la probabilité que ce point appartienne à \mathcal{D}.

Objectif

En utilisant la loi des grands nombres, donner une approximation de \boldsymbol{\pi} à l'aide d'une des deux méthodes.