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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 14
TP INFO 2
Avec une loi binomiale
Énoncé
On considère une variable aléatoire Sn suivant une loi binomiale B(n;p), où n est un entier naturel et p un réel de l'intervalle [0;1].
Questions préliminaires
1. Pourquoi a-t-on choisi np dans la probabilité à estimer ?
2. Rappeler la variance de Sn.
3. Écrire alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans ce cas de figure avec a=n.
Objectif
Calculer numériquement la probabilité P(∣Sn−np∣⩾n) et comparer les résultats obtenus avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à l'aide d'une des deux méthodes.
Méthode 1
Python
On donne le programme ci-dessous.
from math import *
from random import *
n = int(input("Entrer la valeur du parametre n"))
N = int(input("Entrer le nombre de simulations de l'experience"))
def binom(n):
C = 0
# On reitere l'experience n fois
for i in range(n):
X = randint(1, 10)
if X ...:
C = C + 1
return C
def simulation(n, N):
simul = []
# On simule N fois Sn
for k in range(N):
simul.append(binom(n))
return simul
a = simulation(n, N)
K = 0
for i in range(0, len(a)):
if abs(a[i] - ... ) >= sqrt(n):
K = K + 1
print(K/N)
1. Compléter les pointillés pour simuler effectivement l'expérience avec p=0,4.
2. Quels sont les rôles des variables C et K ?
3. On fixe n=100. Tester le programme et noter les résultats obtenus
pour N=50, N=100, N=500 et N=1000.
4. Comparer les résultats obtenus avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
5. Modifier le programme pour que la valeur de p
puisse être choisie par l'utilisateur.
Méthode 2
GeoGebra
1. Ouvrir l'application GeoGebra et aller dans le
menu probabilités. Choisir le mode distribution puis loi binomiale. Entrer les paramètres n=100 et p=0,4. On obtient le résultat suivant.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Traduire l'événement ∣Sn−np∣⩾n dans ce cas
de figure.
3.a. Quel est son événement contraire ?
b. Déterminer sa probabilité grâce au logiciel puis
en déduire la probabilité voulue.
4. Comparer le résultat avec l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev.
5. Faire le même travail pour n=100 et p=0,75.
6. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev semble-t-elle
être une bonne majoration ? Justifier.
Pour aller plus loin
Pour quelle valeur de p l'inégalité de Bienaymé-
Tchebychev est-elle la plus large ?
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