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Avec une loi binomiale
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TP INFO


2
Avec une loi binomiale




Énoncé

On considère une variable aléatoire Sn\text{S}_n suivant une loi binomiale B(n;p)\mathcal{B}(n \:; p), où nn est un entier naturel et pp un réel de l’intervalle [0;1][0 \:; 1].

Objectif

Calculer numériquement la probabilité P(Snnpn)\mathbf{P}\left(\left|\mathbf{S}_\boldsymbol{n}-\boldsymbol{n} \boldsymbol{p}\right| \geqslant \sqrt{\boldsymbol{n}}\right) et comparer les résultats obtenus avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à l’aide d’une des deux méthodes.

Questions préliminaires :

1. Pourquoi a-t-on choisi npnp dans la probabilité à estimer ?


2. Rappeler la variance de Sn\text{S}_n.


3. Écrire alors l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans ce cas de figure avec a=na = \sqrt{n}.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

On donne le programme ci-dessous.

from math import *
from random import *
n = int(input("Entrer la valeur du parametre n"))
N = int(input("Entrer le nombre de simulations de l'experience"))

def binom(n):
	C = 0
	# On reitere l'experience n fois
	for i in range(n):
		X = randint(1, 10)
		if X ...:
			C = C + 1
	return C

def simulation(n, N):
	simul = []
	# On simule N fois Sn
	for k in range(N):
		simul.append(binom(n))
	return simul

a = simulation(n, N)
K = 0
for i in range(0, len(a)):
	if abs(a[i] - ... ) >= sqrt(n):
		K = K + 1
print(K/N)

1. Compléter les pointillés pour simuler effectivement l’expérience avec p=0,4p = 0{,}4.

2. Quels sont les rôles des variables C\text{C} et K\text{K} ?


3. On fixe n=100n = 100. Tester le programme et noter les résultats obtenus pour N=50\text{N} = 50, N=100\text{N} = 100, N=500\text{N} = 500 et N=1000\text{N} = 1\:000.


4. Comparer les résultats obtenus avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.


5. Modifier le programme pour que la valeur de pp puisse être choisie par l’utilisateur.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA

1. Ouvrir l’application GeoGebra et aller dans le menu probabilités. Choisir le mode distribution puis loi binomiale. Entrer les paramètres n=100n = 100 et p=0,4p = 0{,}4. On obtient le résultat suivant.

GeoGebra - Avec une loi binomiale

2. Traduire l’événement Snnpn\left|\mathrm{S}_{n}-n p\right| \geqslant \sqrt{n} dans ce cas de figure.


3. a. Quel est son événement contraire ?


b. Déterminer sa probabilité grâce au logiciel puis en déduire la probabilité voulue.


4. Comparer le résultat avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.


5. Faire le même travail pour n=100n = 100 et p=0,75p = 0{,}75.


6. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev semble-t-elle être une bonne majoration ? Justifier.
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Pour aller plus loin


Pour quelle valeur de pp l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev est-elle la plus large ?
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