Mathématiques Terminale Spécialité
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Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 14
TP INFO 2

Avec une loi binomiale

Énoncé
On considère une variable aléatoire suivant une loi binomiale , où est un entier naturel et un réel de l'intervalle .
Questions préliminaires
1. Pourquoi a-t-on choisi dans la probabilité à estimer ?

2. Rappeler la variance de .

3. Écrire alors l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev dans ce cas de figure avec .
Objectif
Calculer numériquement la probabilité et comparer les résultats obtenus avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à l'aide d'une des deux méthodes.

Méthode 1
Python

On donne le programme ci-dessous.

from math import *
from random import *
n = int(input("Entrer la valeur du parametre n"))
N = int(input("Entrer le nombre de simulations de l'experience"))

def binom(n):
	C = 0
	# On reitere l'experience n fois
	for i in range(n):
		X = randint(1, 10)
		if X ...:
			C = C + 1
	return C

def simulation(n, N):
	simul = []
	# On simule N fois Sn
	for k in range(N):
		simul.append(binom(n))
	return simul

a = simulation(n, N)
K = 0
for i in range(0, len(a)):
	if abs(a[i] - ... ) >= sqrt(n):
		K = K + 1
print(K/N)

1. Compléter les pointillés pour simuler effectivement l'expérience avec .

2. Quels sont les rôles des variables et ?

3. On fixe . Tester le programme et noter les résultats obtenus pour , , et .

4. Comparer les résultats obtenus avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

5. Modifier le programme pour que la valeur de puisse être choisie par l'utilisateur.

Méthode 2
GeoGebra

1. Ouvrir l'application GeoGebra et aller dans le menu probabilités. Choisir le mode distribution puis loi binomiale. Entrer les paramètres et . On obtient le résultat suivant.

GeoGebra - Avec une loi binomiale
Le zoom est accessible dans la version Premium.

2. Traduire l'événement dans ce cas de figure.

3. a. Quel est son événement contraire ?

b. Déterminer sa probabilité grâce au logiciel puis en déduire la probabilité voulue.

4. Comparer le résultat avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

5. Faire le même travail pour et .

6. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev semble-t-elle être une bonne majoration ? Justifier.

Pour aller plus loin

Pour quelle valeur de l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev est-elle la plus large ?

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