Travailler les automatismes

À L'ORAL

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La moyenne d’une classe en mathématiques est de $12$. À l’aide de l’inégalité de Markov, majorer la probabilité qu’un élève ait une moyenne supérieure à $14$.

17

Une usine fabrique en moyenne $40$ pièces par jour, avec une variance égale $3$. Que peut-on dire de la probabilité de l’événement $|\text{X} - 40 |\geqslant 5$, où $\text{X}$ est la variable aléatoire comptant le nombre de pièces fabriquées lors d’une journée ?

18

Soit $(\mathrm{X}_{n})$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telles que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\dfrac{1}{6}$ et $\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\dfrac{5}{36}$. On note $\mathrm{M}_{n}$ la variable aléatoire moyenne associée. En utilisant l’inégalité de concentration, majorer la probabilité de l’événement $\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{n}\right)\right| \geqslant 0{,}1$ pour $n = 1\:000$.

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On souhaite estimer la probabilité qu’un événement se réalise. Pour cela, on réalise $n$ répétitions d’une expérience aléatoire et on compte la proportion $p$ de réalisations effectives.

$\boldsymbol{n}$	$10$	$100$	$1\:000$	$10\:000$
$\boldsymbol{p}$	$0{,}6$	$0{,}71$	$0{,}742$	$0{,}7498$

Proposer deux expériences possibles permettant d’obtenir des résultats proches.

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Dans l’inégalité de concentration, déterminer à partir de quelle taille d’échantillon $n$, la probabilité de s’écarter de la moyenne de plus de $0{,}01$, est inférieure ou égale à $\text{V(X)}$.

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Dans les cas suivants, déterminer si on peut appliquer l’inégalité de Markov. Justifier.

1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.


2. Montant d’argent disponible sur un compte en banque.


3. Temps d’attente en ligne.


4. Numéro d’étage d’un immeuble avec sous-sol.

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Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants, où $\text{X}$ est une variable aléatoire positive ou nulle.

1. $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 1)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=0{,}5$.


2. $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 24)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=6$.


3. $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 4)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\dfrac{4}{3}$.

23

Dans un immeuble, l’ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d’être sollicité à nouveau. Majorer la probabilité que l’ascenseur reste au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.

24

La température moyenne aux Maldives est de $28{,}4$ °C. On suppose que la température n’est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit supérieure ou égale à $34$° un jour donné.

25

Sur une autoroute, la vitesse moyenne des voitures est de $120$ km$\cdot$h$^{-1}$.
1. Majorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse supérieure à $150$ km$\cdot$h$^{-1}$.


2. Minorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse inférieure à $100$ km$\cdot$h$^{-1}$.

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Majorer la probabilité d’avoir un écart à la moyenne supérieur ou égal à $2$ lorsque $\text{V(X)} = 1$.

27

Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=2$.


2. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 20)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=10$.


3. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant7)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=12$.


4. $\mathrm{P}(\{\mathrm{X} \leqslant 3\} \cup\{\mathrm{X} \geqslant 17\})$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=10$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=5$.

28

Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre le record de vitesse du tour s’il atteignait une vitesse de pointe supérieure ou égale à $195$ km$\cdot$h$^{-1}$. On considère que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette route est de $187$ km$\cdot$h$^{-1}$, avec une variance de $7{,}3$.
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne, majorer la probabilité qu’il puisse battre le record de vitesse du tour.

29

On considère la variable aléatoire $\text{X}$ dont la loi de probabilité est la suivante.

$\boldsymbol{x}_{i}$	$1$	$4$	$10$
$\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_{\mathbf{i}}\right)$	$0{,}6$	$0{,}3$	$0{,}1$

1. Calculer l’espérance et la variance de $\text{X}$.


2. Calculer $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2)$.


3. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $a = 2$ et comparer le résultat à celui obtenu à la question 2..

30

Sur les vingt matchs précédents, une équipe de rugby a marqué $60$ essais. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre d’essais marqués au cours d’un match.

1. Que vaut l’espérance de $\text{X}$ ?


2. On suppose que la variance est égale à $0{,}67$. Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit supérieur ou égal à $1$.


3. Minorer la probabilité que l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit strictement inférieur à $2$.

31

On effectue n tirages avec remise d’une carte d’un jeu de $52$ cartes.
Pour le $i$-ième tirage, on note $\text{X}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la carte est un pique et $0$ sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de $\text{X}_i$.


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne $\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_i$.


3. Quelle doit-être la valeur minimale de $n$, pour que la probabilité de s’écarter de l’espérance de plus de $0{,}1$ soit inférieure à $0{,}05$ ?

32

Dans une classe de $25$ élèves, dix sont des garçons.
On effectue $n$ tirages avec remise d’un élève de cette classe pour l’interroger.
Pour le $i$-ième tirage, on note $\text{X}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la personne interrogée est un garçon et $0$ sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de $\text{X}_i$.


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne $\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_i$.


3. Quelle est la valeur minimale de $n$, pour laquelle la probabilité de s’écarter de l’espérance d’au moins $0{,}1$ soit inférieure à $0{,}05$ ?

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Dans chacun des cas suivants, justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres ou non.

1. On effectue $n$ tirages avec remise d’une carte d’un jeu de $52$ cartes et on note si celle-ci est un as. On simule cette expérience pour de grandes valeurs de $n$.


2. On considère une urne contenant un très grand nombre de boules. On effectue $n$ tirages sans remise d’une boule de l’urne et on note sa couleur.

34

On considère l’expérience suivante : on lance $n$ fois un dé truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$. La probabilité d’obtenir chaque face est de $\dfrac{1}{10}$, sauf celle d’obtenir la face $3$ qui est de $\dfrac{1}{2}$. On compte le nombre de $3$ obtenus.

1. Écrire un programme avec Python simulant l’expérience en utilisant une fonction.

2. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de $3$ obtenu.
a. Quelle est la loi de $\text{X}$ ?


b. Donner son espérance et sa variance.


3. a. Tester le programme pour plusieurs grandes valeurs de $n$ et comparer les résultats obtenus avec les résultats attendus.


b. Quel théorème du cours illustre-t-on ici ? Justifier.

35

On lance un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ dont on ignore s’il est truqué ou non.
On lance $n$ fois le dé et on note le nombre de fois où chaque face a été obtenue.

1. Pour $n = 10$ on obtient les valeurs suivantes.

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Nombre de fois	$2$	$4$	$1$	$1$	$2$	$0$

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier.

2. Pour $n = 100\:000$, on obtient les valeurs suivantes.

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Nombre de fois	$16\:665$	$16\:669$	$16\:663$	$16\:671$	$16\:662$	$16\:670$

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier en utilisant les propriétés du cours.

36

Imaginer un exercice tiré de la vie courante utilisant l’inégalité de Markov et permettant d’aboutir à une majoration de la probabilité d’un événement par $\dfrac{3}{7}$.

37

On considère une moyenne calculée dans une situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l’écart à la moyenne soit supérieur ou égal à $3$ soit inférieure ou égale à $0{,}2$.
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.