Travailler les automatismes

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La moyenne d’une classe en mathématiques est de $12$. À l’aide de l’inégalité de Markov, majorer la probabilité qu’un élève ait une moyenne supérieure à $14$.

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Une usine fabrique en moyenne $40$ pièces par jour, avec une variance égale $3$. Que peut-on dire de la probabilité de l’événement $|\text{X}-40|⩾5$, où $\text{X}$ est la variable aléatoire comptant le nombre de pièces fabriquées lors d’une journée ?

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Soit $({\mathrm{X}}_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telles que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_i\right)=\frac{1}{6}$ et $\mathrm{V}\left({\mathrm{X}}_i\right)=\frac{5}{36}$. On note ${\mathrm{M}}_n$ la variable aléatoire moyenne associée. En utilisant l’inégalité de concentration, majorer la probabilité de l’événement $\left|{\mathrm{M}}_n-\mathrm{E}\left({\mathrm{M}}_n\right)\right|⩾0,1$ pour $n=1000$.

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On souhaite estimer la probabilité qu’un événement se réalise. Pour cela, on réalise $n$ répétitions d’une expérience aléatoire et on compte la proportion $p$ de réalisations effectives.


Proposer deux expériences possibles permettant d’obtenir des résultats proches.

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Dans l’inégalité de concentration, déterminer à partir de quelle taille d’échantillon $n$, la probabilité de s’écarter de la moyenne de plus de $0,01$, est inférieure ou égale à $\text{V(X)}$.

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Dans les cas suivants, déterminer si on peut appliquer l’inégalité de Markov. Justifier.

1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.


2. Montant d’argent disponible sur un compte en banque.


3. Temps d’attente en ligne.


4. Numéro d’étage d’un immeuble avec sous-sol.

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Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants, où $\text{X}$ est une variable aléatoire positive ou nulle.

1. $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾1)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=0,5$.


2. $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾24)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=6$.


3. $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾4)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{4}{3}$.

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Dans un immeuble, l’ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d’être sollicité à nouveau. Majorer la probabilité que l’ascenseur reste au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.

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La température moyenne aux Maldives est de $28,4$ °C. On suppose que la température n’est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit supérieure ou égale à $34$° un jour donné.

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Sur une autoroute, la vitesse moyenne des voitures est de $120$ km$\cdot$h${}^{-1}$.
1. Majorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse supérieure à $150$ km$\cdot$h${}^{-1}$.


2. Minorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse inférieure à $100$ km$\cdot$h${}^{-1}$.

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Majorer la probabilité d’avoir un écart à la moyenne supérieur ou égal à $2$ lorsque $\text{V(X)}=1$.

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Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾2)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=2$.


2. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾20)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=10$.


3. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾7)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=12$.


4. $\mathrm{P}(\{\mathrm{X}⩽3\}\cup \{\mathrm{X}⩾17\})$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=10$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=5$.

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Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre le record de vitesse du tour s’il atteignait une vitesse de pointe supérieure ou égale à $195$ km$\cdot$h${}^{-1}$. On considère que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette route est de $187$ km$\cdot$h${}^{-1}$, avec une variance de $7,3$.
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne, majorer la probabilité qu’il puisse battre le record de vitesse du tour.

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On considère la variable aléatoire $\text{X}$ dont la loi de probabilité est la suivante.


1. Calculer l’espérance et la variance de $\text{X}$.


2. Calculer $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾2)$.


3. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $a=2$ et comparer le résultat à celui obtenu à la question 2..

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Sur les vingt matchs précédents, une équipe de rugby a marqué $60$ essais. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre d’essais marqués au cours d’un match.

1. Que vaut l’espérance de $\text{X}$ ?


2. On suppose que la variance est égale à $0,67$. Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit supérieur ou égal à $1$.


3. Minorer la probabilité que l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit strictement inférieur à $2$.

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On effectue n tirages avec remise d’une carte d’un jeu de $52$ cartes.
Pour le $i$-ième tirage, on note ${\text{X}}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la carte est un pique et $0$ sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de ${\text{X}}_i$.


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne ${\mathrm{M}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathrm{X}}_i$.


3. Quelle doit-être la valeur minimale de $n$, pour que la probabilité de s’écarter de l’espérance de plus de $0,1$ soit inférieure à $0,05$ ?

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Dans une classe de $25$ élèves, dix sont des garçons.
On effectue $n$ tirages avec remise d’un élève de cette classe pour l’interroger.
Pour le $i$-ième tirage, on note ${\text{X}}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la personne interrogée est un garçon et $0$ sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de ${\text{X}}_i$.


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne ${\mathrm{M}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathrm{X}}_i$.


3. Quelle est la valeur minimale de $n$, pour laquelle la probabilité de s’écarter de l’espérance d’au moins $0,1$ soit inférieure à $0,05$ ?

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Dans chacun des cas suivants, justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres ou non.

1. On effectue $n$ tirages avec remise d’une carte d’un jeu de $52$ cartes et on note si celle-ci est un as. On simule cette expérience pour de grandes valeurs de $n$.


2. On considère une urne contenant un très grand nombre de boules. On effectue $n$ tirages sans remise d’une boule de l’urne et on note sa couleur.

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On considère l’expérience suivante : on lance $n$ fois un dé truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$. La probabilité d’obtenir chaque face est de $\frac{1}{10}$, sauf celle d’obtenir la face $3$ qui est de $\frac{1}{2}$. On compte le nombre de $3$ obtenus.

1. Écrire un programme avec Python simulant l’expérience en utilisant une fonction.

2. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de $3$ obtenu.
a. Quelle est la loi de $\text{X}$ ?


b. Donner son espérance et sa variance.


3. a. Tester le programme pour plusieurs grandes valeurs de $n$ et comparer les résultats obtenus avec les résultats attendus.


b. Quel théorème du cours illustre-t-on ici ? Justifier.

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On lance un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ dont on ignore s’il est truqué ou non.
On lance $n$ fois le dé et on note le nombre de fois où chaque face a été obtenue.

1. Pour $n=10$ on obtient les valeurs suivantes.

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier.

2. Pour $n=100000$, on obtient les valeurs suivantes.

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier en utilisant les propriétés du cours.

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Imaginer un exercice tiré de la vie courante utilisant l’inégalité de Markov et permettant d’aboutir à une majoration de la probabilité d’un événement par $\frac{3}{7}$.

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On considère une moyenne calculée dans une situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l’écart à la moyenne soit supérieur ou égal à $3$ soit inférieure ou égale à $0,2$.
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.