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Travailler les automatismes
P.418-419

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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16
La moyenne d’une classe en mathématiques est de . À l’aide de l’inégalité de Markov, majorer la probabilité qu’un élève ait une moyenne supérieure à .
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17
Une usine fabrique en moyenne pièces par jour, avec une variance égale . Que peut-on dire de la probabilité de l’événement , où est la variable aléatoire comptant le nombre de pièces fabriquées lors d’une journée ?
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18
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telles que, pour tout entier compris entre et , et . On note la variable aléatoire moyenne associée. En utilisant l’inégalité de concentration, majorer la probabilité de l’événement pour .
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19
On souhaite estimer la probabilité qu’un événement se réalise. Pour cela, on réalise répétitions d’une expérience aléatoire et on compte la proportion de réalisations effectives.


Proposer deux expériences possibles permettant d’obtenir des résultats proches.
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20
Dans l’inégalité de concentration, déterminer à partir de quelle taille d’échantillon , la probabilité de s’écarter de la moyenne de plus de , est inférieure ou égale à .
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Inégalité de Markov


21
Dans les cas suivants, déterminer si on peut appliquer l’inégalité de Markov. Justifier.

1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.


2. Montant d’argent disponible sur un compte en banque.


3. Temps d’attente en ligne.


4. Numéro d’étage d’un immeuble avec sous-sol.
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22
Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants, où est une variable aléatoire positive ou nulle.

1. , avec .


2. , avec .


3. , avec .
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23
Dans un immeuble, l’ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d’être sollicité à nouveau. Majorer la probabilité que l’ascenseur reste au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.
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24
La température moyenne aux Maldives est de °C. On suppose que la température n’est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit supérieure ou égale à ° un jour donné.
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25
Sur une autoroute, la vitesse moyenne des voitures est de kmh.
1. Majorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse supérieure à kmh.


2. Minorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse inférieure à kmh.
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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev


26
Majorer la probabilité d’avoir un écart à la moyenne supérieur ou égal à lorsque .
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27
Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1. , avec .


2. , avec .


3. , avec .


4. , avec et .
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28
Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre le record de vitesse du tour s’il atteignait une vitesse de pointe supérieure ou égale à kmh. On considère que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette route est de kmh, avec une variance de .
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne, majorer la probabilité qu’il puisse battre le record de vitesse du tour.
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29
On considère la variable aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante.


1. Calculer l’espérance et la variance de .


2. Calculer .


3. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour et comparer le résultat à celui obtenu à la question 2..
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30
Sur les vingt matchs précédents, une équipe de rugby a marqué essais. On note la variable aléatoire donnant le nombre d’essais marqués au cours d’un match.

1. Que vaut l’espérance de ?


2. On suppose que la variance est égale à . Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit supérieur ou égal à .


3. Minorer la probabilité que l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit strictement inférieur à .
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Inégalité de concentration


31
On effectue n tirages avec remise d’une carte d’un jeu de cartes.
Pour le -ième tirage, on note la variable aléatoire valant si la carte est un pique et sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de .


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne .


3. Quelle doit-être la valeur minimale de , pour que la probabilité de s’écarter de l’espérance de plus de soit inférieure à ?
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32
Dans une classe de élèves, dix sont des garçons.
On effectue tirages avec remise d’un élève de cette classe pour l’interroger.
Pour le -ième tirage, on note la variable aléatoire valant si la personne interrogée est un garçon et sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de .


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne .


3. Quelle est la valeur minimale de , pour laquelle la probabilité de s’écarter de l’espérance d’au moins soit inférieure à ?
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Loi faible des grands nombres


33
Dans chacun des cas suivants, justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres ou non.

1. On effectue tirages avec remise d’une carte d’un jeu de cartes et on note si celle-ci est un as. On simule cette expérience pour de grandes valeurs de .


2. On considère une urne contenant un très grand nombre de boules. On effectue tirages sans remise d’une boule de l’urne et on note sa couleur.
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34
On considère l’expérience suivante : on lance fois un dé truqué à six faces numérotées de à . La probabilité d’obtenir chaque face est de , sauf celle d’obtenir la face qui est de . On compte le nombre de obtenus.

1. Écrire un programme avec Python simulant l’expérience en utilisant une fonction.



2. On note la variable aléatoire donnant le nombre de obtenu.
a. Quelle est la loi de ?


b. Donner son espérance et sa variance.


3. a. Tester le programme pour plusieurs grandes valeurs de et comparer les résultats obtenus avec les résultats attendus.


b. Quel théorème du cours illustre-t-on ici ? Justifier.
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35
On lance un dé à six faces numérotées de à dont on ignore s’il est truqué ou non.
On lance fois le dé et on note le nombre de fois où chaque face a été obtenue.

1. Pour on obtient les valeurs suivantes.
Face
Nombre de fois

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier.


2. Pour , on obtient les valeurs suivantes.
Face
Nombre de fois

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier en utilisant les propriétés du cours.
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Exercices inversés


36
Imaginer un exercice tiré de la vie courante utilisant l’inégalité de Markov et permettant d’aboutir à une majoration de la probabilité d’un événement par .
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37
On considère une moyenne calculée dans une situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l’écart à la moyenne soit supérieur ou égal à soit inférieure ou égale à .
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
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