16

La moyenne d'une classe en mathématiques est de $12$. À l'aide de l'inégalité de Markov, majorer la probabilité qu'un élève ait une moyenne supérieure à $14$.

17

Une usine fabrique en moyenne $40$ pièces par jour, avec une variance égale $3$. Que peut-on dire de la probabilité de l'événement $|\text{X}-40|⩾5$, où $\text{X}$ est la variable aléatoire comptant le nombre de pièces fabriquées lors d'une journée ?

21

Dans les cas suivants, déterminer si on peut appliquer l'inégalité de Markov. Justifier. 1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.

2. Montant d'argent disponible sur un compte en banque.

3. Temps d'attente en ligne.

4. Numéro d'étage d'un immeuble avec sous-sol.

22

Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants, où $\text{X}$ est une variable aléatoire positive ou nulle. 1. $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾1)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=0,5$.

2. $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾24)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=6$.

3. $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾4)$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{4}{3}$.

23

Dans un immeuble, l'ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d'être sollicité à nouveau. Majorer la probabilité que l'ascenseur reste au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.

24

La température moyenne aux Maldives est de $28,4$ °C. On suppose que la température n'est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit supérieure ou égale à $34$° un jour donné.

27

Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾2)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=2$.

2. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾20)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=10$.

3. $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾7)$, avec $\mathrm{V}(\mathrm{X})=12$.

4. $\mathrm{P}(\{\mathrm{X}⩽3\}\cup \{\mathrm{X}⩾17\})$, avec $\mathrm{E}(\mathrm{X})=10$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=5$.

28

Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre le record de vitesse du tour s'il atteignait une vitesse de pointe supérieure ou égale à $195$ km$\cdot$h${}^{-1}$. On considère que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette route est de $187$ km$\cdot$h${}^{-1}$, avec une variance de $7,3$.
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne, majorer la probabilité qu'il puisse battre le record de vitesse du tour.

31

On effectue n tirages avec remise d'une carte d'un jeu de $52$ cartes.
Pour le $i$-ième tirage, on note ${\text{X}}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la carte est un pique et $0$ sinon. 1. Donner l'espérance et la variance de ${\text{X}}_i$.

2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne ${\mathrm{M}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathrm{X}}_i$.

3. Quelle doit-être la valeur minimale de $n$, pour que la probabilité de s'écarter de l'espérance de plus de $0,1$ soit inférieure à $0,05$ ?

32

Dans une classe de $25$ élèves, dix sont des garçons.
On effectue $n$ tirages avec remise d'un élève de cette classe pour l'interroger.
Pour le $i$-ième tirage, on note ${\text{X}}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si la personne interrogée est un garçon et $0$ sinon. 1. Donner l'espérance et la variance de ${\text{X}}_i$.

2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne ${\mathrm{M}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\mathrm{X}}_i$.

3. Quelle est la valeur minimale de $n$, pour laquelle la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins $0,1$ soit inférieure à $0,05$ ?

36

Imaginer un exercice tiré de la vie courante utilisant l'inégalité de Markov et permettant d'aboutir à une majoration de la probabilité d'un événement par $\frac{3}{7}$.

37

On considère une moyenne calculée dans une situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l'écart à la moyenne soit supérieur ou égal à $3$ soit inférieure ou égale à $0,2$.
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.