Travailler les automatismes

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La moyenne d'une classe en mathématiques est de 12. À l'aide de l'inégalité de Markov, majorer la probabilité qu'un élève ait une moyenne supérieure à 14.

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Une usine fabrique en moyenne 40 pièces par jour, avec une variance égale 3. Que peut-on dire de la probabilité de l'événement |\text{X} - 40 |\geqslant 5, où \text{X} est la variable aléatoire comptant le nombre de pièces fabriquées lors d'une journée ?

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Dans les cas suivants, déterminer si on peut appliquer l'inégalité de Markov. Justifier. 1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.

2. Montant d'argent disponible sur un compte en banque.

3. Temps d'attente en ligne.

4. Numéro d'étage d'un immeuble avec sous-sol.

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Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants, où \text{X} est une variable aléatoire positive ou nulle. 1. \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 1), avec \mathrm{E}(\mathrm{X})=0{,}5.

2. \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 24), avec \mathrm{E}(\mathrm{X})=6.

3. \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 4), avec \mathrm{E}(\mathrm{X})=\frac{4}{3}.

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Dans un immeuble, l'ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d'être sollicité à nouveau. Majorer la probabilité que l'ascenseur reste au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.

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La température moyenne aux Maldives est de 28{,}4 °C. On suppose que la température n'est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit supérieure ou égale à 34° un jour donné.

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Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre le record de vitesse du tour s'il atteignait une vitesse de pointe supérieure ou égale à 195 km\cdoth^{-1}. On considère que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette route est de 187 km\cdoth^{-1}, avec une variance de 7{,}3.
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne, majorer la probabilité qu'il puisse battre le record de vitesse du tour.

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Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1. \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2), avec \mathrm{V}(\mathrm{X})=2.

2. \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 20), avec \mathrm{V}(\mathrm{X})=10.

3. \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant7), avec \mathrm{V}(\mathrm{X})=12.

4. \mathrm{P}(\{\mathrm{X} \leqslant 3\} \cup\{\mathrm{X} \geqslant 17\}), avec \mathrm{E}(\mathrm{X})=10 et \mathrm{V}(\mathrm{X})=5.

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On effectue n tirages avec remise d'une carte d'un jeu de 52 cartes.
Pour le i-ième tirage, on note \text{X}_i la variable aléatoire valant 1 si la carte est un pique et 0 sinon. 1. Donner l'espérance et la variance de \text{X}_i.

2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne \mathrm{M}_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_i.

3. Quelle doit-être la valeur minimale de n, pour que la probabilité de s'écarter de l'espérance de plus de 0{,}1 soit inférieure à 0{,}05 ?

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Dans une classe de 25 élèves, dix sont des garçons.
On effectue n tirages avec remise d'un élève de cette classe pour l'interroger.
Pour le i-ième tirage, on note \text{X}_i la variable aléatoire valant 1 si la personne interrogée est un garçon et 0 sinon. 1. Donner l'espérance et la variance de \text{X}_i.

2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne \mathrm{M}_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_i.

3. Quelle est la valeur minimale de n, pour laquelle la probabilité de s'écarter de l'espérance d'au moins 0{,}1 soit inférieure à 0{,}05 ?

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Imaginer un exercice tiré de la vie courante utilisant l'inégalité de Markov et permettant d'aboutir à une majoration de la probabilité d'un événement par \frac{3}{7}.

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On considère une moyenne calculée dans une situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l'écart à la moyenne soit supérieur ou égal à 3 soit inférieure ou égale à 0{,}2.
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.