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Travailler les automatismes
P.418-419

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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16
La moyenne d’une classe en mathématiques est de 1212. À l’aide de l’inégalité de Markov, majorer la probabilité qu’un élève ait une moyenne supérieure à 1414.
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17
Une usine fabrique en moyenne 4040 pièces par jour, avec une variance égale 33. Que peut-on dire de la probabilité de l’événement X405|\text{X} - 40 |\geqslant 5, où X\text{X} est la variable aléatoire comptant le nombre de pièces fabriquées lors d’une journée ?
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18
Soit (Xn)(\mathrm{X}_{n}) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi telles que, pour tout entier ii compris entre 11 et nn, E(Xi)=16\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\dfrac{1}{6} et V(Xi)=536\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\dfrac{5}{36}. On note Mn\mathrm{M}_{n} la variable aléatoire moyenne associée. En utilisant l’inégalité de concentration, majorer la probabilité de l’événement MnE(Mn)0,1\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{n}\right)\right| \geqslant 0{,}1 pour n=1000n = 1\:000.
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19
On souhaite estimer la probabilité qu’un événement se réalise. Pour cela, on réalise nn répétitions d’une expérience aléatoire et on compte la proportion pp de réalisations effectives.

n\boldsymbol{n} 1010 100100 10001\:000 1000010\:000
p\boldsymbol{p} 0,60{,}6 0,710{,}71 0,7420{,}742 0,74980{,}7498

Proposer deux expériences possibles permettant d’obtenir des résultats proches.
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20
Dans l’inégalité de concentration, déterminer à partir de quelle taille d’échantillon nn, la probabilité de s’écarter de la moyenne de plus de 0,010{,}01, est inférieure ou égale à V(X)\text{V(X)}.
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Inégalité de Markov


21
Dans les cas suivants, déterminer si on peut appliquer l’inégalité de Markov. Justifier.

1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.


2. Montant d’argent disponible sur un compte en banque.


3. Temps d’attente en ligne.


4. Numéro d’étage d’un immeuble avec sous-sol.
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22
Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants, où X\text{X} est une variable aléatoire positive ou nulle.

1. P(X1)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 1), avec E(X)=0,5\mathrm{E}(\mathrm{X})=0{,}5.


2. P(X24)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 24), avec E(X)=6\mathrm{E}(\mathrm{X})=6.


3. P(X4)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 4), avec E(X)=43\mathrm{E}(\mathrm{X})=\dfrac{4}{3}.
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23
Dans un immeuble, l’ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d’être sollicité à nouveau. Majorer la probabilité que l’ascenseur reste au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.
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24
La température moyenne aux Maldives est de 28,428{,}4 °C. On suppose que la température n’est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit supérieure ou égale à 3434° un jour donné.
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25
Sur une autoroute, la vitesse moyenne des voitures est de 120120 km\cdoth1^{-1}.
1. Majorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse supérieure à 150150 km\cdoth1^{-1}.


2. Minorer la probabilité qu’un automobiliste roule à une vitesse inférieure à 100100 km\cdoth1^{-1}.
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Inégalité de Bienaymé-Tchebychev


26
Majorer la probabilité d’avoir un écart à la moyenne supérieur ou égal à 22 lorsque V(X)=1\text{V(X)} = 1.
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27
Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1. P(XE(X)2)\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2), avec V(X)=2\mathrm{V}(\mathrm{X})=2.


2. P(XE(X)20)\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 20), avec V(X)=10\mathrm{V}(\mathrm{X})=10.


3. P(XE(X)7)\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant7), avec V(X)=12\mathrm{V}(\mathrm{X})=12.


4. P({X3}{X17})\mathrm{P}(\{\mathrm{X} \leqslant 3\} \cup\{\mathrm{X} \geqslant 17\}), avec E(X)=10\mathrm{E}(\mathrm{X})=10 et V(X)=5\mathrm{V}(\mathrm{X})=5.
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28
Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre le record de vitesse du tour s’il atteignait une vitesse de pointe supérieure ou égale à 195195 km\cdoth1^{-1}. On considère que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette route est de 187187 km\cdoth1^{-1}, avec une variance de 7,37{,}3.
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne, majorer la probabilité qu’il puisse battre le record de vitesse du tour.
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29
On considère la variable aléatoire X\text{X} dont la loi de probabilité est la suivante.

xi\boldsymbol{x}_{i} 11 44 1010
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}\boldsymbol{=}\boldsymbol{x}_{\mathbf{i}}\right) 0,60{,}6 0,30{,}3 0,10{,}1

1. Calculer l’espérance et la variance de X\text{X}.


2. Calculer P(XE(X)2)\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2).


3. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour a=2a = 2 et comparer le résultat à celui obtenu à la question 2..
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30
Sur les vingt matchs précédents, une équipe de rugby a marqué 6060 essais. On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre d’essais marqués au cours d’un match.

1. Que vaut l’espérance de X\text{X} ?


2. On suppose que la variance est égale à 0,670{,}67. Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit supérieur ou égal à 11.


3. Minorer la probabilité que l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit strictement inférieur à 22.
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Inégalité de concentration


31
On effectue n tirages avec remise d’une carte d’un jeu de 5252 cartes.
Pour le ii-ième tirage, on note Xi\text{X}_i la variable aléatoire valant 11 si la carte est un pique et 00 sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de Xi\text{X}_i.


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne Mn=1ni=1nXi\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_i.


3. Quelle doit-être la valeur minimale de nn, pour que la probabilité de s’écarter de l’espérance de plus de 0,10{,}1 soit inférieure à 0,050{,}05 ?
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32
Dans une classe de 2525 élèves, dix sont des garçons.
On effectue nn tirages avec remise d’un élève de cette classe pour l’interroger.
Pour le ii-ième tirage, on note Xi\text{X}_i la variable aléatoire valant 11 si la personne interrogée est un garçon et 00 sinon.

1. Donner l’espérance et la variance de Xi\text{X}_i.


2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne Mn=1ni=1nXi\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_i.


3. Quelle est la valeur minimale de nn, pour laquelle la probabilité de s’écarter de l’espérance d’au moins 0,10{,}1 soit inférieure à 0,050{,}05 ?
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Loi faible des grands nombres


33
Dans chacun des cas suivants, justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres ou non.

1. On effectue nn tirages avec remise d’une carte d’un jeu de 5252 cartes et on note si celle-ci est un as. On simule cette expérience pour de grandes valeurs de nn.


2. On considère une urne contenant un très grand nombre de boules. On effectue nn tirages sans remise d’une boule de l’urne et on note sa couleur.
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34
On considère l’expérience suivante : on lance nn fois un dé truqué à six faces numérotées de 11 à 66. La probabilité d’obtenir chaque face est de 110\dfrac{1}{10}, sauf celle d’obtenir la face 33 qui est de 12\dfrac{1}{2}. On compte le nombre de 33 obtenus.

1. Écrire un programme avec Python simulant l’expérience en utilisant une fonction.



2. On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de 33 obtenu.
a. Quelle est la loi de X\text{X} ?


b. Donner son espérance et sa variance.


3. a. Tester le programme pour plusieurs grandes valeurs de nn et comparer les résultats obtenus avec les résultats attendus.


b. Quel théorème du cours illustre-t-on ici ? Justifier.
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35
On lance un dé à six faces numérotées de 11 à 66 dont on ignore s’il est truqué ou non.
On lance nn fois le dé et on note le nombre de fois où chaque face a été obtenue.

1. Pour n=10n = 10 on obtient les valeurs suivantes.
Face 11 22 33 44 55 66
Nombre de fois 22 44 11 11 22 00

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier.


2. Pour n=100000n = 100\:000, on obtient les valeurs suivantes.
Face 11 22 33 44 55 66
Nombre de fois 1666516\:665 1666916\:669 1666316\:663 1667116\:671 1666216\:662 1667016\:670

Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier en utilisant les propriétés du cours.
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Exercices inversés


36
Imaginer un exercice tiré de la vie courante utilisant l’inégalité de Markov et permettant d’aboutir à une majoration de la probabilité d’un événement par 37\dfrac{3}{7}.
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37
On considère une moyenne calculée dans une situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l’écart à la moyenne soit supérieur ou égal à 33 soit inférieure ou égale à 0,20{,}2.
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
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