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16
La moyenne d’une classe en mathématiques est de 12. À l’aide de l’inégalité de Markov, majorer la probabilité qu’un élève ait une moyenne supérieure à 14.
17
Une usine fabrique en moyenne 40 pièces par
jour, avec une variance égale 3. Que peut-on dire
de la probabilité de l’événement ∣X−40∣⩾5, où
X est la variable aléatoire comptant le nombre de
pièces fabriquées lors d’une journée ?
18
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires
indépendantes et de même loi telles que, pour tout entier i compris entre 1 et n, E(Xi)=61 et V(Xi)=365. On note Mn la variable aléatoire
moyenne associée. En utilisant l’inégalité de concentration, majorer
la probabilité de l’événement ∣Mn−E(Mn)∣⩾0,1
pour n=1000.
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On souhaite estimer la probabilité qu’un événement se réalise. Pour cela, on réalise n répétitions d’une expérience aléatoire et on compte la
proportion p de réalisations effectives.
n
10
100
1000
10000
p
0,6
0,71
0,742
0,7498
Proposer deux expériences possibles permettant
d’obtenir des résultats proches.
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Dans l’inégalité de concentration, déterminer
à partir de quelle taille d’échantillon n, la probabilité
de s’écarter de la moyenne de plus de 0,01, est
inférieure ou égale à V(X).
Inégalité de Markov
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Dans les cas suivants, déterminer si on peut
appliquer l’inégalité de Markov. Justifier.
1. Nombre de notes au-dessus de la moyenne.
2. Montant d’argent disponible sur un compte en banque.
3. Temps d’attente en ligne.
4. Numéro d’étage d’un immeuble avec sous-sol.
22
Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants,
où X est une variable aléatoire positive ou nulle.
1.P(X⩾1), avec E(X)=0,5.
2.P(X⩾24), avec E(X)=6.
3.P(X⩾4), avec E(X)=34.
23
Dans un immeuble, l’ascenseur reste en moyenne deux minutes au rez-de-chaussée avant d’être sollicité
à nouveau. Majorer la probabilité que l’ascenseur reste
au rez-de-chaussée plus de cinq minutes.
24
La température moyenne aux Maldives est de 28,4 °C. On suppose que la température n’est jamais négative. Majorer la probabilité que la température soit
supérieure ou égale à 34° un jour donné.
25
Sur une autoroute, la vitesse moyenne des voitures
est de 120 km⋅h−1.
1. Majorer la probabilité qu’un automobiliste roule à
une vitesse supérieure à 150 km⋅h−1.
2. Minorer la probabilité qu’un automobiliste roule à
une vitesse inférieure à 100 km⋅h−1.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
26
Majorer la probabilité d’avoir un écart à la moyenne supérieur ou égal à 2 lorsque V(X)=1.
27
Majorer la probabilité demandée dans les cas suivants.
1.P(∣X−E(X)∣⩾2), avec V(X)=2.
2.P(∣X−E(X)∣⩾20), avec V(X)=10.
3.P(∣X−E(X)∣⩾7), avec V(X)=12.
4.P({X⩽3}∪{X⩾17}), avec E(X)=10 et V(X)=5.
28
Sur un circuit automobile, un pilote pourrait battre
le record de vitesse du tour s’il atteignait une vitesse de
pointe supérieure ou égale à 195 km⋅h−1. On considère
que la vitesse moyenne des automobilistes sur cette
route est de 187 km⋅h−1, avec une variance de 7,3.
Si le pilote roule à une vitesse supérieure à la moyenne,
majorer la probabilité qu’il puisse battre le record de
vitesse du tour.
29
On considère la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est la suivante.
xi
1
4
10
P(X=xi)
0,6
0,3
0,1
1. Calculer l’espérance et la variance de X.
2. Calculer P(∣X−E(X)∣⩾2).
3. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
a=2 et comparer le résultat à celui obtenu à la
question 2..
30
Sur les vingt matchs précédents, une équipe de rugby a marqué 60 essais. On note X la variable aléatoire donnant le nombre d’essais marqués au cours
d’un match.
1. Que vaut l’espérance de X ?
2. On suppose que la variance est égale à 0,67. Majorer la probabilité qu’au cours du prochain match, l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit
supérieur ou égal à 1.
3. Minorer la probabilité que l’écart entre le nombre d’essais marqués et la moyenne soit strictement inférieur à 2.
Inégalité de concentration
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On effectue n tirages avec remise d’une carte d’un jeu de 52 cartes.
Pour le i-ième tirage, on note Xi la variable aléatoire
valant 1 si la carte est un pique et 0 sinon.
1. Donner l’espérance et la variance de Xi.
2. En déduire l’espérance et la variance de la variable aléatoire moyenne Mn=n1i=1∑nXi.
3. Quelle doit-être la valeur minimale de n, pour que la probabilité de s’écarter de l’espérance de plus de 0,1 soit inférieure à 0,05 ?
32
Dans une classe de 25 élèves, dix sont des garçons.
On effectue n tirages avec remise d’un élève de cette
classe pour l’interroger.
Pour le i-ième tirage, on note Xi la variable aléatoire valant 1 si la personne interrogée est un garçon et 0 sinon.
1. Donner l’espérance et la variance de Xi.
2. En déduire l’espérance et la variance de la variable
aléatoire moyenne Mn=n1i=1∑nXi.
3. Quelle est la valeur minimale de n, pour laquelle la probabilité de s’écarter de l’espérance d’au moins 0,1 soit inférieure à 0,05 ?
Loi faible des grands nombres
33
Dans chacun des cas suivants, justifier si l’on peut appliquer la loi des grands nombres ou non.
1. On effectue n tirages avec remise d’une carte d’un jeu de 52 cartes et on note si celle-ci est un as. On simule cette expérience pour de grandes valeurs de n.
2. On considère une urne contenant un très grand nombre de boules. On effectue n tirages sans remise d’une boule de l’urne et on note sa couleur.
34
On considère l’expérience suivante : on lance n fois un dé truqué à six faces numérotées de 1 à 6.
La probabilité d’obtenir chaque face est de 101, sauf
celle d’obtenir la face 3 qui est de 21.
On compte le nombre de 3 obtenus.
1. Écrire un programme avec Python simulant
l’expérience en utilisant une fonction.
2. On note X la variable aléatoire donnant le nombre
de 3 obtenu.
a. Quelle est la loi de X ?
b. Donner son espérance et sa variance.
3.a. Tester le programme pour plusieurs grandes valeurs de n et comparer les résultats obtenus avec les résultats attendus.
b. Quel théorème du cours illustre-t-on ici ? Justifier.
35
On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6
dont on ignore s’il est truqué ou non.
On lance n fois le dé et on note le nombre de fois où
chaque face a été obtenue.
1. Pour n=10 on obtient les valeurs suivantes.
Face
1
2
3
4
5
6
Nombre de fois
2
4
1
1
2
0
Peut-on conclure que le dé est truqué ? Justifier.
2. Pour n=100000, on obtient les valeurs suivantes.
Face
1
2
3
4
5
6
Nombre de fois
16665
16669
16663
16671
16662
16670
Peut-on conclure que le dé est truqué ?
Justifier en utilisant les propriétés du cours.
Exercices inversés
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Imaginer un exercice tiré de la vie courante
utilisant l’inégalité de Markov et permettant d’aboutir à
une majoration de la probabilité d’un événement par 73.
37
On considère une moyenne calculée dans une
situation issue de la vie courante. On souhaite que la probabilité que l’écart à la moyenne soit supérieur ou égal à 3 soit inférieure ou égale à 0,2.
Imaginer un exercice mettant en oeuvre une telle situation
en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
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