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QCM
réponse unique


7
L’inégalité de Markov ne fournit aucune information utile lorsque :



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8
Sur un vol de 325325 voyageurs, une compagnie aérienne décide d’attribuer 340340 billets.
Elle perd de l’argent pour un nombre strictement inférieur à 317317 passagers et ne peut pas trouver un autre vol aux personnes en surréservation pour un nombre strictement supérieur à 329329 passagers.
On donne E(X)=323\text{E(X)} = 323 et V(X)=16,15\text{V(X)} = 16{,}15X\text{X} compte le nombre de passagers effectivement présents. Que peut-on dire de la probabilité que la compagnie ne perde pas d’argent et qu’elle trouve un vol à tout le monde ?



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9
Que simule l’algorithme suivant ?
C0Pour i allant de 1 aˋ n:X entier aleˊatoire entre 1 aˋ 10 Si X = 1:CC+1Fin Si Fin Pour  \boxed{ \begin{array} { l } { \text{C}\leftarrow0}\\ \text {Pour } i \text { allant de 1 à } n : \\ \quad \text{X} \leftarrow \text{ entier aléatoire entre 1 à 10 } \\ \quad \text {Si X = 1}: \\ \quad \quad {\text{C}} \leftarrow \text{C} + 1\\ \quad \text {Fin Si } \\ \text {Fin Pour }\\ \end{array} }




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10
On lance nn fois un dé équilibré à six faces et on note le nombre de fois où on obtient la face numéro 44. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum pour que la probabilité de s’écarter de la moyenne d’au moins 0,10{,}1 soit inférieure à 0,10{,}1 ?



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QCM
réponses multiples

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11
Dans quels cas peut-on appliquer l’inégalité de Markov sur la variable aléatoire X\text{X} ?



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12
Sur un QCM de 20 questions, avec quatre propositions dont une seule est juste, quelle valeur peut-on considérer comme estimateur de la moyenne des candidats s’ils répondent au hasard ?



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13
La taille moyenne des hommes est de 170170 cm et la variance est de 7,27{,}2 cm. On prend un homme au hasard et on note X\text{X} la variable aléatoire donnant sa taille en centimètre.
Alors P(X1705)\mathrm{P}(|\mathrm{X}-170| \geqslant 5) est inférieure ou égale à :



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14
La moyenne des notes des élèves d’un lycée est de 11,411{,}4 et la variance de 1,21{,}2. Sur une classe de 3636 élèves, on peut dire que la probabilité que la moyenne de la classe soit dans l’intervalle ]9;13,8[]9 \: ; 13{,}8[ est :



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Problème


15
Pour chaque membre ii d’un groupe de n personnes, on note Xi\text{X}_i la variable aléatoire qui vaut 11 si la personne est née au mois de mars et 00 sinon.
On suppose qu’on est dans une situation d’équiprobabilité et on pose Mn=1nk=1nXk\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{X}_{k}.

Déterminer nn pour que la probabilité de l’évènement MnE(X1)0,1\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)\right| \geqslant 0{,}1 soit inférieure à 0,050{,}05.
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QCM supplémentaires

[Une ou plusieurs bonnes réponses par question]

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A
La moyenne d’une classe de Terminale à un devoir de mathématiques est de 1212. La probabilité qu’un élève ait eu au moins 1616 à ce test est :





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B
Soit aa un réel positif et X\text{X} un variable aléatoire. Dans le cas où a=E(X)a=\text{E} \left( \text{X} \right), l’inégalité de Markov :


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C
On lance 44 fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit X\text{X} la variable aléatoire valant 11 si, au cours de ces quatres lancers, la pièce est tombé exactement deux fois de suite sur pile, et 00 sinon. On appellera succès ce premier événement.
Que peut-on alors dire ?








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D
L’inégalité de Markov peut s’appliquer si la variable aléatoire représente :




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E
Un footballeur marque en moyenne 1212 buts par saison avec une variance de 22. La probabilité qu’il marque entre 99 et 1515 buts est :







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F
Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètres n=20n=20 et pp. L’inégalité de Markov donne P(X5)0,8\text{P} ( \text{X} \geqslant 5) \leqslant 0,8. On peut alors dire que :







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G
On considère une variable aléatoire telle que l’espérance est égale au double de la variance. De plus, les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev appliquées au même réel aa permettent de trouver le même majorant 0,20,2. Alors :







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H
Soit X1,,Xn\text{X}_{1} \: , \ldots \: , \text{X}_{n} une suite de variable aléatoire identiquement distribuées et indépendantes. Alors :







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