L'inégalité de Markov ne fournit aucune information utile lorsque :

a. $a>\mathrm{E}(\mathrm{X})$

b. $a=1$

c. $a⩽\mathrm{E}(\mathrm{X})$

d. Jamais

Sur un vol de $325$ voyageurs, une compagnie aérienne décide d'attribuer $340$ billets.
Elle perd de l'argent pour un nombre strictement inférieur à $317$ passagers et ne peut pas trouver un autre vol aux personnes en surréservation pour un nombre strictement supérieur à $329$ passagers.
On donne $\text{E(X)}=323$ et $\text{V(X)}=16,15$ où $\text{X}$ compte le nombre de passagers effectivement présents. Que peut-on dire de la probabilité que la compagnie ne perde pas d'argent et qu'elle trouve un vol à tout le monde ?

a. Elle est supérieure à $0,65.$

b. Elle est inférieure à $0,45.$

c. Elle est supérieure à $0,75.$

d. Elle est inférieure à $0,55.$

Que simule l'algorithme suivant ?

a. Une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,1.$

b. Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,1$.

c. Une loi binomiale de paramètres inconnus.

d. Une expérience dont on ignore la loi.

On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces et on note le nombre de fois où on obtient la face numéro $4$. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum pour que la probabilité de s'écarter de la moyenne d'au moins $0,1$ soit inférieure à $0,1$ ?

a. $59$

b. $109$

c. $373$

d. $139$

Dans quels cas peut-on appliquer l'inégalité de Markov sur la variable aléatoire $\text{X}$ ?

a. $\text{X}$ représente la note à un contrôle.

b. $\text{X}$ représente la température sur une année.

c. $\text{X}$ représente le nombre de points d'une équipe de football.

d. $\text{X}$ représente le gain à un jeu de paris sportifs.

Sur un QCM de 20 questions, avec quatre propositions dont une seule est juste, quelle valeur peut-on considérer comme estimateur de la moyenne des candidats s'ils répondent au hasard ?

a. $4$

b. $6$

c. $5$

d. $7$

La taille moyenne des hommes est de $170$ cm et la variance est de $7,2$ cm. On prend un homme au hasard et on note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant sa taille en centimètre.
Alors $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-170|⩾5)$ est inférieure ou égale à :

a. $0,25$

b. $0,288$

c. $0,312$

d. $0,35$

La moyenne des notes des élèves d'un lycée est de $11,4$ et la variance de $1,2$. Sur une classe de $36$ élèves, on peut dire que la probabilité que la moyenne de la classe soit dans l'intervalle $]9;13,8[$ est :

a. Supérieure à $0,79$.

b. Inférieure à $0,79$.

c. Inférieure à $0,21$.

d. Supérieure à $0,21$.

15

Pour chaque membre $i$ d'un groupe de n personnes, on note ${\text{X}}_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la personne est née au mois de mars et $0$ sinon.
On suppose qu'on est dans une situation d'équiprobabilité et on pose ${\mathrm{M}}_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\mathrm{X}}_k$.

Déterminer $n$ pour que la probabilité de l'évènement $\left|{\mathrm{M}}_n-\mathrm{E}\left({\mathrm{X}}_1\right)\right|⩾0,1$ soit inférieure à $0,05$.

A

La moyenne d'une classe de Terminale à un devoir de mathématiques est de $12$. La probabilité qu'un élève ait eu au moins $16$ à ce test est :

a. supérieure à $\frac{3}{4}$.

b. inférieure à $\frac{3}{4}$.

c. supérieure à $\frac{1}{4}$.

d. inférieure à $\frac{1}{4}$.

B

Soit $a$ un réel positif et $\text{X}$ un variable aléatoire. Dans le cas où $a=\text{E}\left(\text{X}\right)$, l'inégalité de Markov :

a. ne fournit aucune information utile.

b. permet, dans ce cas précis, de trouver la probabilité exacte de l'événement $\text{X}⩾a$.

C

On lance $4$ fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire valant $1$ si, au cours de ces quatres lancers, la pièce est tombé exactement deux fois de suite sur pile, et $0$ sinon. On appellera succès ce premier événement.
Que peut-on alors dire ?

a. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\frac{1}{4}$.

b. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\frac{3}{8}$.

c. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\frac{5}{16}$.

d. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\frac{1}{2}$.

D

L'inégalité de Markov peut s'appliquer si la variable aléatoire représente :

a. un nombre de personnes.

b. une température.

c. l'argent sur un compte en banque.

d. le nombre de parties gagnées à un jeu.

E

Un footballeur marque en moyenne $12$ buts par saison avec une variance de $2$. La probabilité qu'il marque entre $9$ et $15$ buts est :

a. inférieure à $\frac{2}{3}$.

b. inférieure à $\frac{2}{9}$.

c. supérieure à $\frac{2}{3}$.

d. supérieure à $\frac{2}{9}$.

F

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètres $n=20$ et $p$. L'inégalité de Markov donne $\text{P}(\text{X}⩾5)⩽0,8$. On peut alors dire que :

a. $\text{V}\left(\text{X}\right)=1,6$.

b. $\text{V}\left(\text{X}\right)=3,2$.

c. $\text{P}\left(\mid \text{X}-4\mid ⩾5\right)⩽0,64$.

d. $\text{P}\left(\mid \text{X}-4\mid ⩾5\right)⩽0,32$.

G

On considère une variable aléatoire telle que l'espérance est égale au double de la variance. De plus, les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev appliquées au même réel $a$ permettent de trouver le même majorant $0,2$. Alors :

a. $\text{E}\left(\text{X}\right)=0,1$ et $\text{V}\left(\text{X}\right)=0,05$.

b. $\text{E}\left(\text{X}\right)=0,2$ et $\text{V}\left(\text{X}\right)=0,4$.

c. $a=0,25$.

d. $a=0,5$.

H

Soit ${\text{X}}_1,\dots ,{\text{X}}_n$ une suite de variable aléatoire identiquement distribuées et indépendantes. Alors :

a. Si $\text{V}\left({\text{X}}_i\right)=0,16$ et $n=100$ alors $\text{P}\left(\mid {\text{M}}_n-\text{E}\left({\text{X}}_i\right)\mid ⩾0,1\right)$ est majorée par $0,04$.

b. Si $\text{V}({\text{X}}_i)=0,16$ et $n=100$ alors $\text{P}\left(\mid {\text{M}}_n-\text{E}\left({\text{X}}_i\right)\mid ⩾0,1\right)$ est majorée par $0,08$.

c. Si $\text{V}({\text{X}}_i)=0,16$ et $n=100$ alors $\text{P}\left(\mid {\text{M}}_n-\text{E}\left({\text{X}}_i\right)\mid ⩾0,1\right)$ est majorée par $0,16$.

d. Si $\text{V}\left({\text{X}}_i\right)=0,16$ et $n=100$ alors $\text{P}\left(\mid {\text{M}}_n-\text{E}\left({\text{X}}_i\right)\mid ⩾0,1\right)$ est majorée par $0,32$.