Auto-évaluation

L’inégalité de Markov ne fournit aucune information utile lorsque :
a. $a \gt \mathrm{E}(\mathrm{X})$
b. $a=1$
c. $a \leqslant \mathrm{E}(\mathrm{X})$
d. Jamais

Sur un vol de $325$ voyageurs, une compagnie aérienne décide d’attribuer $340$ billets.
Elle perd de l’argent pour un nombre strictement inférieur à $317$ passagers et ne peut pas trouver un autre vol aux personnes en surréservation pour un nombre strictement supérieur à $329$ passagers.
On donne $\text{E(X)} = 323$ et $\text{V(X)} = 16{,}15$ où $\text{X}$ compte le nombre de passagers effectivement présents. Que peut-on dire de la probabilité que la compagnie ne perde pas d’argent et qu’elle trouve un vol à tout le monde ?
a. Elle est supérieure à $0{,}65.$
b. Elle est inférieure à $0{,}45.$
c. Elle est supérieure à $0{,}75.$
d. Elle est inférieure à $0{,}55.$

Que simule l’algorithme suivant ?

$\boxed{ \begin{array} { l } { \text{C}\leftarrow0}\\ \text {Pour } i \text { allant de 1 à } n : \\ \quad \text{X} \leftarrow \text{ entier aléatoire entre 1 à 10 } \\ \quad \text {Si X = 1}: \\ \quad \quad {\text{C}} \leftarrow \text{C} + 1\\ \quad \text {Fin Si } \\ \text {Fin Pour }\\ \end{array} }$

a. Une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}1.$
b. Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}1$.
c. Une loi binomiale de paramètres inconnus.
d. Une expérience dont on ignore la loi.

On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces et on note le nombre de fois où on obtient la face numéro $4$. Combien de lancers faut-il effectuer au minimum pour que la probabilité de s’écarter de la moyenne d’au moins $0{,}1$ soit inférieure à $0{,}1$ ?
a. $59$
b. $109$
c. $373$
d. $139$

Dans quels cas peut-on appliquer l’inégalité de Markov sur la variable aléatoire $\text{X}$ ?

×

a. $\text{X}$ représente la note à un contrôle.

b. $\text{X}$ représente la température sur une année.

×

c. $\text{X}$ représente le nombre de points d’une équipe de football.

d. $\text{X}$ représente le gain à un jeu de paris sportifs.

Sur un QCM de 20 questions, avec quatre propositions dont une seule est juste, quelle valeur peut-on considérer comme estimateur de la moyenne des candidats s’ils répondent au hasard ?

a. $4$

b. $6$

×

c. $5$

d. $7$

La taille moyenne des hommes est de $170$ cm et la variance est de $7{,}2$ cm. On prend un homme au hasard et on note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant sa taille en centimètre.
Alors $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-170| \geqslant 5)$ est inférieure ou égale à :

a. $0{,}25$

×

b. $0{,}288$

×

c. $0{,}312$

×

d. $0{,}35$

La moyenne des notes des élèves d’un lycée est de $11{,}4$ et la variance de $1{,}2$. Sur une classe de $36$ élèves, on peut dire que la probabilité que la moyenne de la classe soit dans l’intervalle $]9 \: ; 13{,}8[$ est :

×

a. Supérieure à $0{,}79$.

b. Inférieure à $0{,}79$.

c. Inférieure à $0{,}21$.

×

d. Supérieure à $0{,}21$.

15

Pour chaque membre $i$ d’un groupe de n personnes, on note $\text{X}_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si la personne est née au mois de mars et $0$ sinon.
On suppose qu’on est dans une situation d’équiprobabilité et on pose $\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{X}_{k}$.

Déterminer $n$ pour que la probabilité de l’évènement $\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{1}\right)\right| \geqslant 0{,}1$ soit inférieure à $0{,}05$.

A

La moyenne d’une classe de Terminale à un devoir de mathématiques est de $12$. La probabilité qu’un élève ait eu au moins $16$ à ce test est :

a. supérieure à $\dfrac{3}{4}$.
b. inférieure à $\dfrac{3}{4}$.
c. supérieure à $\dfrac{1}{4}$.
d. inférieure à $\dfrac{1}{4}$.

B

Soit $a$ un réel positif et $\text{X}$ un variable aléatoire. Dans le cas où $a=\text{E} \left( \text{X} \right)$, l’inégalité de Markov :

a. ne fournit aucune information utile.
b. permet, dans ce cas précis, de trouver la probabilité exacte de l'événement $\text{X} \geqslant a$.

C

On lance $4$ fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire valant $1$ si, au cours de ces quatres lancers, la pièce est tombé exactement deux fois de suite sur pile, et $0$ sinon. On appellera succès ce premier événement.
Que peut-on alors dire ?

a. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\dfrac{1}{4}$.

b. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\dfrac{3}{8}$.

c. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\dfrac{5}{16}$.

d. Si on itère un grand nombre de fois cette expérience, la moyenne de succès obtenus tend vers $\dfrac{1}{2}$.

D

L’inégalité de Markov peut s’appliquer si la variable aléatoire représente :

×

a. un nombre de personnes.

b. une température.

c. l’argent sur un compte en banque.

×

d. le nombre de parties gagnées à un jeu.

E

Un footballeur marque en moyenne $12$ buts par saison avec une variance de $2$. La probabilité qu’il marque entre $9$ et $15$ buts est :

×

a. inférieure à $\dfrac{2}{3}$.

×

b. inférieure à $\dfrac{2}{9}$.

c. supérieure à $\dfrac{2}{3}$.

d. supérieure à $\dfrac{2}{9}$.

F

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètres $n=20$ et $p$. L’inégalité de Markov donne $\text{P} ( \text{X} \geqslant 5) \leqslant 0,8$. On peut alors dire que :

a. $\text{V} \left( \text{X} \right)=1,6$.

×

b. $\text{V} \left( \text{X} \right)=3,2$.

×

c. $\text{P} \left( \mid \text{X} - 4 \mid \geqslant 5 \right) \leqslant 0{,}64$.

d. $\text{P} \left( \mid \text{X} - 4 \mid \geqslant 5 \right) \leqslant 0{,}32$.

G

On considère une variable aléatoire telle que l’espérance est égale au double de la variance. De plus, les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev appliquées au même réel $a$ permettent de trouver le même majorant $0,2$. Alors :

×

a. $\text{E} \left( \text{X} \right)=0{,}1$ et $\text{V} \left( \text{X} \right)=0{,}05$.

b. $\text{E} \left( \text{X} \right)=0{,}2$ et $\text{V} \left( \text{X} \right)=0{,}4$.

×

c. $a=0{,}25$.

×

d. $a=0{,}5$.

H

Soit $\text{X}_{1} \: , \ldots \: , \text{X}_{n}$ une suite de variable aléatoire identiquement distribuées et indépendantes. Alors :

a. Si $\text{V} \left( \text{X}_{i} \right)=0{,}16$ et $n=100$ alors $\text{P} \left( \mid \text{M}_n - \text{E} \left( \text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right)$ est majorée par $0{,}04$.

b. Si $\text{V} ( \text{X}_{i})=0{,}16$ et $n=100$ alors $\text{P} \left( \mid \text{M}_n - \text{E} \left( \text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right)$ est majorée par $0{,}08$.

×

c. Si $\text{V} ( \text{X} _{i})=0{,}16$ et $n=100$ alors $\text{P} \left( \mid \text{M}_n - \text{E} \left(\ \text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right)$ est majorée par $0{,}16$.

×

d. Si $\text{V} \left( \text{X}_{i} \right)=0{,}16$ et $n=100$ alors $\text{P} \left( \mid \text{M}_n- \text{E} \left(\text{X}_i \right) \mid \geqslant 0{,}1 \right)$ est majorée par $0{,}32$.