Chapitre 14
Entraînement 1
L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev
Parcours 1 : exercices
;
;
;
et
Parcours 2 : exercices
;
;
et
Parcours 3 : exercices
;
;
et
38
Flash
Majorer P(X⩾4) pour une variable aléatoire
positive X d'espérance 1.
39
Flash
Soit X une variable aléatoire positive d'espérance
x. Déterminer x tel que P(X⩾2)⩽31.
40
Flash
Soit X une variable aléatoire positive d'espérance
3. Que peut-on dire de P(X<9) ?
41
Flash
On considère une variable aléatoire X telle
que E(X2)=18,4 et E(X)=4.
On rappelle que
V(X)=E(X2)−E(X)2 où V(X) désigne la variance
de X.
Majorer alors P(∣X−4∣⩾3).
42
Flash
Une classe présente les caractéristiques suivantes : une moyenne de 12,4 et un écart type de 1,2.
Majorer la probabilité qu'un élève ait une
moyenne écartée d'au moins 2,5 points de la
moyenne.
43
Flash
On donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
P(∣X−E(X)∣⩾5)⩽0,3. Déterminer la variance de X.
Appliquer l'inégalité de Markov avec les valeurs de
l'énoncé. On suppose que X est une variable aléatoire
positive dans chaque cas.
44
[Calculer.
]
P(X⩾a), avec a=5 et E(X)=3.
45
[Calculer.
]
P(X<a), avec a=2 et E(X)=1.
46
[Calculer.
]
P(X⩾a), avec a=0,5 et E(X)=0,1.
47
[Calculer.
]
P(X<a), avec a=1,4 et E(X)=0,75.
48
[Calculer.
]
P(X⩾a), avec a=151 et E(X)=130.
49
[Calculer.
]
On considère la variable aléatoire
X donnant le nombre
de buts marqués par une équipe de football au cours
d'un match. Un analyste affirme : « Grâce à l'inégalité
de Markov, je peux dire que la probabilité que l'équipe
marque au moins deux buts est inférieure à
70 %. ».
Trouver alors le nombre moyen de buts marqués par
match par l'équipe.
50
[Communiquer.
]
Soit
X la variable aléatoire donnant la température
moyenne d'un jour donné dans une ville.
La température moyenne annuelle de la ville est de
14,1 °C. Le professeur demande aux élèves s'il est
possible d'estimer la probabilité que la température
soit supérieure à
17,2 °C.
Voici la copie d'un élève.
D'après les données de l'énoncé, E(X)=14,1.
On cherche à estimer P(X⩾17,2).
D'après l'inégalité de Markov, on peut dire que : P(X⩾17,2)⩽17,214,1 soit P(X⩾17,2)⩽0,8198.
La probabilité que la température dépasse donc 17,2 °C est inférieure à 0,82.
L'élève peut-il raisonner ainsi ? Justifier.
51
[Raisonner.
]
Soit X une variable aléatoire positive telle que
E(X)=a avec a>2.
Montrer que, pour tout entier n⩾2, P(X⩾an)⩽21.
52
[Calculer.
]
Léo termine le mois avec en moyenne 40 € sur son
compte. Sa banque ne lui autorise aucun découvert.
Minorer la probabilité qu'il termine le mois avec une
somme strictement inférieure à 50 €.
53
[Communiquer.
]
Un économiste affirme la chose suivante :
« Moins de
6,2 % de la population mondiale adulte est
millionnaire ».
On donne les données suivantes :
- la richesse mondiale est de 278,1 billions de dollars
(1 billion représente 1000 milliards) ;
- la population adulte mondiale s'élève à 4,5 milliards.
Peut-on penser que l'économiste a raison ? Justifier.
54
[Calculer.
]
On considère un troupeau de zèbres vivant en liberté
à proximité d'un fleuve. Chaque zèbre qui s'hydrate au
bord du fleuve risque d'être agressé par un alligator,
avec une probabilité égale à
31.
On suppose que
33 zèbres s'hydratent au bord du
fleuve. On note
X la variable aléatoire donnant le
nombre de zèbres victimes d'une attaque.
1. Donner l'espérance de X.
2. Majorer la probabilité que plus de 20 zèbres soient victimes d'une attaque.
55
[Raisonner.
]
Soit
X une variable aléatoire positive.
1. Soit k un entier naturel non nul. Montrer que P(X⩾kE(X))⩽k1.
2. En déduire, sans calcul, que moins de 10 % des salariés gagnent plus de 10 fois le salaire moyen.
Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec
les valeurs de l'énoncé.
56
[Calculer.
]
P(∣X−E(X)∣⩾a), avec a=3 et V(X)=2,5.
57
[Calculer.
]
P(∣X−E(X)∣⩾a), avec a=1,5 et V(X)=1.
58
[Calculer.
]
P(∣X−E(X)∣<a), avec a=3 et V(X)=1.
59
[Calculer.
]
P(∣X−E(X)∣<a), avec a=11 et V(X)=7.
60
[Calculer.
]
P((∣X−E(X))2∣⩾a), avec a=16 et V(X)=4.
61
[Calculer.
]
Dans une gare, le nombre moyen de passagers par jour
est évalué à
5000 avec une variance de
2500.
Majorer la probabilité que l'écart entre le nombre de
visiteurs enregistré lors d'une journée et la moyenne
soit supérieur ou égal à 100.
62
[Modéliser.
]
Une urne contient trois boules noires et sept boules
blanches. On tire des boules successivement et sans
remise, jusqu'à l'obtention de la première boule blanche.
On note
X la variable aléatoire donnant le rang
d'apparition de la première boule blanche.
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance et la variance de X.
3. Minorer la probabilité de l'événement :
∣X−E(X)∣<1,625.
4.
a. Calculer la probabilité de l'événement : ∣X−E(X)∣<1,625.
b. Comparer le résultat obtenu avec la minoration de la
question 3.
63
[Raisonner.
]
Une variable aléatoire
X suit une loi géométrique de
paramètre
p lorsqu'elle compte le nombre d'essais
avant le premier succès dans une répétition d'une
épreuve de Bernoulli de paramètre
p.
Dans ce cas,
X est une variable aléatoire positive et on
admet qu'on a alors
E(X)=p1 et
V(X)=p21−p.
Soient
n un entier naturel non nul et
Y une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre
p=n1.
1. Donner alors l'espérance et la variance de Y.
2. Montrer que P(Y⩾n2)⩽n1.
3. Montrer que P(∣Y−n∣⩾n)⩽1−n1.
64
[Chercher.
]
On considère une pièce de monnaie dont la probabilité
de tomber sur pile est p.
Soit X la variable aléatoire valant 1 si pile est obtenu et 0 sinon.
Soit a un réel strictement positif.
Déterminer la valeur de p pour laquelle le majorant
de P(∣X−E(X)∣⩾a) obtenu à l'aide de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev est le plus grand.
65
[Calculer.
]
Des clients estiment que leur temps d'attente en magasin varie trop fortement selon les périodes. Le gérant décide donc de vérifier cette impression.
Il mesure que le temps d'attente moyen de ses clients est de douze minutes et que la probabilité qu'un client attende strictement entre neuf et quinze minutes est de
0,55.
Que peut-il en déduire sur la valeur minimale de l'écart type du temps d'attente de ses clients ?
On considère une urne contenant 80 % de boules
blanches et le reste de boules noires.
On suppose que le nombre total de boules est
supérieur à 1000.
On tire 400 fois une boule de l'urne sans remise.
On note X le nombre de boules blanches obtenu.
On cherche à savoir si on peut facilement minorer la
probabilité P(300⩽X⩽340).
Un élève a rédigé la réponse ci-dessous.
On réalise 400 fois une expérience aléatoire de façon indépendante de probabilité p=0,8.
Ainsi, E(X)=400×0,8=320. La variance est donnée par V(X)=400×0,8×0,2=64.
De plus, 300⩽X⩽340⇔−20⩽X−E(X)⩽20 soit ∣X−E(X)∣⩽20.
On applique l'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev et on obtient P(∣X−E(X)∣⩽20)⩾1−20264 soit P(∣X−E(X)∣⩽20)⩾0,84.
1. L'élève commet deux erreurs dans son raisonnement : lesquelles ?
2. Peut-on répondre à la question posée ? Justifier.
67
[Chercher.
]
Une personne souffre d'hyperglycémie si son taux de
glycémie à jeun est supérieur à
1,8 g
⋅L
—1 et souffre
d'hypoglycémie si ce taux est inférieur à
0,4 g
⋅L
—1
Un statisticien affirme : « En utilisant l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, je peux affirmer que moins de
15 %
de la population présente un problème de glycémie. »
Un médecin lit cette conclusion et se demande s'il est
possible d'en déduire l'espérance et la variance de
X,
où
X est la variable aléatoire donnant le taux de
glycémie d'une personne.
Proposer une argumentation détaillée permettant de calculer l'espérance et majorer la variance de X puis déterminer E(X).
68
[Calculer.
]
Après étude de sa production, un boulanger constate
que la masse moyenne de ses pains s'élève à
275 g.
Il
décide que seuls les pains dont la masse est comprise
entre
250 g et
300 g peuvent être vendus.
On choisit un pain au hasard dans la production et on
note
X la variable aléatoire correspondant à la masse
du pain en grammes. On donne
V(X)=225.
Majorer la probabilité que le pain choisi ne soit pas mis
en vente.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.