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L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 44 ; 52 ; 63 ; 72 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 53 ; 62 ; 67 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 64 ; 66 ; 78 et 81

Majorer $\text{P}(\text{X} \geqslant 4)$ pour une variable aléatoire positive $\text{X}$ d’espérance $1$.

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire positive d’espérance $x$. Déterminer $x$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 2) \leqslant \dfrac{1}{3}$.

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire positive d’espérance $3$. Que peut-on dire de $\mathrm{P}(\mathrm{X}\lt9)$ ?

On considère une variable aléatoire $\text{X}$ telle que $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)=18{,}4$ et $\mathrm{E}(\mathrm{X})=4$.
On rappelle que $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)-\mathrm{E}(\mathrm{X})^{2}$ où $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ désigne la variance de $\text{X}$.
Majorer alors $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-4| \geqslant 3)$.

Une classe présente les caractéristiques suivantes : une moyenne de $12{,}4$ et un écart type de $1{,}2$.
Majorer la probabilité qu’un élève ait une moyenne écartée d’au moins $2{,}5$ points de la moyenne.

On donne l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 5) \leqslant 0{,}3.$ Déterminer la variance de $\text{X}$.

Pour les exercices

44

à 

48

Appliquer l’inégalité de Markov avec les valeurs de l’énoncé. On suppose que $\text{X}$ est une variable aléatoire positive dans chaque cas.

44

[Calculer.] ◉◉◉
$\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a)$, avec $a = 5$ et $\text{E(X)} = 3$.

45

[Calculer.]
$\mathrm{P}(\mathrm{X} \lt a)$, avec $a = 2$ et $\text{E(X)} = 1$.

46

[Calculer.]
$\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a)$, avec $a = 0{,}5$ et $\text{E(X)} = 0{,}1$.

47

[Calculer.]
$\mathrm{P}(\mathrm{X} \lt a)$, avec $a = 1{,}4$ et $\text{E(X)} = 0{,}75$.

48

[Calculer.]
$\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a)$, avec $a = 151$ et $\text{E(X)} = 130$.

49

[Calculer.]
On considère la variable aléatoire $\text{X}$ donnant le nombre de buts marqués par une équipe de football au cours d’un match. Un analyste affirme : « Grâce à l’inégalité de Markov, je peux dire que la probabilité que l’équipe marque au moins deux buts est inférieure à $\text{70}$ %. ».
Trouver alors le nombre moyen de buts marqués par match par l’équipe.

50

[Communiquer.]
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire donnant la température moyenne d’un jour donné dans une ville. La température moyenne annuelle de la ville est de $14{,}1$ °C. Le professeur demande aux élèves s’il est possible d’estimer la probabilité que la température soit supérieure à $\text{17{,}2}$ °C.
Voici la copie d’un élève.

L’élève peut-il raisonner ainsi ? Justifier.

51

[Raisonner.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire positive telle que $\text{E(X)} = a$ avec $a \gt 2$.
Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 2$, $\mathrm{P}\left(\mathrm{X} \geqslant a^{n}\right) \leqslant \dfrac{1}{2}$.

52

[Calculer.] ◉◉◉
Léo termine le mois avec en moyenne $40$ € sur son compte. Sa banque ne lui autorise aucun découvert.
Minorer la probabilité qu’il termine le mois avec une somme strictement inférieure à $50$ €.

53

[Communiquer.] ◉◉◉
Un économiste affirme la chose suivante : « Moins de $6{,}2$ % de la population mondiale adulte est millionnaire ». On donne les données suivantes :

• la richesse mondiale est de $278{,}1$ billions de dollars ($1$ billion représente $1\:000$ milliards) ;
• la population adulte mondiale s’élève à $4{,}5$ milliards.

Peut-on penser que l’économiste a raison ? Justifier.

54

[Calculer.]
On considère un troupeau de zèbres vivant en liberté à proximité d’un fleuve. Chaque zèbre qui s’hydrate au bord du fleuve risque d’être agressé par un alligator, avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$.
On suppose que $33$ zèbres s’hydratent au bord du fleuve. On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de zèbres victimes d’une attaque.

1. Donner l’espérance de $\text{X}$.


2. Majorer la probabilité que plus de $20$ zèbres soient victimes d’une attaque.

55

[Raisonner.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire positive.
1. Soit $k$ un entier naturel non nul. Montrer que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant k \mathrm{E}(\mathrm{X})) \leqslant \dfrac{1}{k}$.


2. En déduire, sans calcul, que moins de $10$ % des salariés gagnent plus de $10$ fois le salaire moyen.

Pour les exercices

56

à 

60

Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec les valeurs de l’énoncé.

56

[Calculer.]
$\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant a)$, avec $a=3$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=2{,}5$.

57

[Calculer.]
$\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant a)$, avec $a=1{,}5$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=1$.

58

[Calculer.]
$\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \lt a)$, avec $a=3$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=1$.

59

[Calculer.]
$\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \lt a)$, avec $a=11$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=7$.

60

[Calculer.]
$\mathrm{P}((|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^2| \geqslant a)$, avec $a=16$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=4$.

61

[Calculer.]
Dans une gare, le nombre moyen de passagers par jour est évalué à $5\:000$ avec une variance de $2\:500.$
Majorer la probabilité que l’écart entre le nombre de visiteurs enregistré lors d’une journée et la moyenne soit supérieur ou égal à $100$.

62

[Modéliser.] ◉◉◉
Une urne contient trois boules noires et sept boules blanches. On tire des boules successivement et sans remise, jusqu’à l’obtention de la première boule blanche.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le rang d’apparition de la première boule blanche.

1. Déterminer la loi de probabilité de $\text{X}$.

2. Calculer l’espérance et la variance de $\text{X}$.


3. Minorer la probabilité de l’événement : $|\text{X}-\text{E(X)} | \lt1{,}625$.


4. a. Calculer la probabilité de l’événement : $|\text{X}-\text{E(X)} |\lt1{,}625$.


b. Comparer le résultat obtenu avec la minoration de la question 3..

63

[Raisonner.] ◉◉◉
Une variable aléatoire $\text{X}$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ lorsqu’elle compte le nombre d’essais avant le premier succès dans une répétition d’une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.
Dans ce cas, $\text{X}$ est une variable aléatoire positive et on admet qu’on a alors $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\dfrac{1}{p}$ et $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\dfrac{1-p}{p^{2}}$.
Soient $n$ un entier naturel non nul et $\text{Y}$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p=\dfrac{1}{n}.$

1. Donner alors l’espérance et la variance de $\text{Y}$.


2. Montrer que $\mathrm{P}\left(\mathrm{Y} \geqslant n^{2}\right) \leqslant \dfrac{1}{n}.$


3. Montrer que $\mathrm{P}(|\mathrm{Y}-n| \geqslant n) \leqslant 1-\dfrac{1}{n}$.

64

[Chercher.] ◉◉◉
On considère une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile est $p$.
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire valant $1$ si pile est obtenu et $0$ sinon.
Soit $a$ un réel strictement positif.
Déterminer la valeur de $p$ pour laquelle le majorant de $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant a)$ obtenu à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est le plus grand.

65

[Calculer.]
Des clients estiment que leur temps d’attente en magasin varie trop fortement selon les périodes. Le gérant décide donc de vérifier cette impression. Il mesure que le temps d’attente moyen de ses clients est de douze minutes et que la probabilité qu’un client attende strictement entre neuf et quinze minutes est de $0{,}55$.
Que peut-il en déduire sur la valeur minimale de l’écart type du temps d’attente de ses clients ?

66

[Communiquer.] ◉◉◉
On considère une urne contenant $80$ % de boules blanches et le reste de boules noires.
On suppose que le nombre total de boules est supérieur à $1\:000$.
On tire $400$ fois une boule de l’urne sans remise.
On note $\text{X}$ le nombre de boules blanches obtenu.
On cherche à savoir si on peut facilement minorer la probabilité $\mathrm{P}(300 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 340)$.
Un élève a rédigé la réponse ci-dessous.

1. L’élève commet deux erreurs dans son raisonnement : lesquelles ?


2. Peut-on répondre à la question posée ? Justifier.

67

[Chercher.] ◉◉◉
Une personne souffre d’hyperglycémie si son taux de glycémie à jeun est supérieur à $1{,}8$ g$\cdot$L$^{—1}$ et souffre d’hypoglycémie si ce taux est inférieur à $0{,}4$ g$\cdot$L$^{—1}$
Un statisticien affirme : « En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, je peux affirmer que moins de $15$ % de la population présente un problème de glycémie. »
Un médecin lit cette conclusion et se demande s’il est possible d’en déduire l’espérance et la variance de $\text{X}$, où $\text{X}$ est la variable aléatoire donnant le taux de glycémie d’une personne.
Proposer une argumentation détaillée permettant de calculer l’espérance et majorer la variance de $\text{X}$ puis déterminer $\text{E(X)}$.

68

[Calculer.]
Après étude de sa production, un boulanger constate que la masse moyenne de ses pains s’élève à $275$ g.
Il décide que seuls les pains dont la masse est comprise entre $250$ g et $300$ g peuvent être vendus.
On choisit un pain au hasard dans la production et on note $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant à la masse du pain en grammes. On donne $\text{V(X)} = 225$.
Majorer la probabilité que le pain choisi ne soit pas mis en vente.