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2. Loi des grands nombres
P.422-423

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Entraînement


2
Loi des grands nombres





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 44 ; 52 ; 63 ; 72 et 80
◉◉ Parcours 2 : exercices 53 ; 62 ; 67 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 64 ; 66 ; 78 et 81

69
FLASH

On lance 1000010\:000 fois un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66.
Pour chaque lancer ii, on note Xi\text{X}_i la variable aléatoire valant 11 si on obtient 44 et 00 sinon.

On note X=110000k=110000Xk\overline{\mathrm{X}}=\dfrac{1}{10\:000} \sum\limits_{k=1}^{10\:000} \mathrm{X}_{k} la variable aléatoire moyenne donnant la proportion de 44 obtenus.

Majorer la probabilité que X\overline\text{X} s’écarte de plus de 0,050{,}05 par rapport à la moyenne.
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70
FLASH

On considère un jeu de 5252 cartes. On tire treize cartes avec remise et on note le nombre de rois obtenus.
D’après la loi des grands nombres, si on répète cette expérience un grand nombre nn de fois et que l’on note Mn\text{M}_n la moyenne des résultats obtenus, vers quelle valeur Mn\text{M}_n converge-t-elle ?
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71
FLASH

On lance nn fois une pièce de monnaie équilibrée. On note Mn\mathrm{M}_{n} la proportion de piles obtenus.
Quelle doit-être la valeur minimale de nn pour que la probabilité de l’événement Mn120,01\left|\mathrm{M}_{n}-\dfrac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01 soit inférieure à 0,010{,}01 ?
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Pour les exercices
72
à 
75

On lance nn fois un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66.
On note Mn\text{M}_n le nombre moyen de 55 obtenus. À l’aide de l’inégalité de concentration, déterminer la valeur minimale de nn pour respecter les conditions de l’exercice.

72
[Calculer.] ◉◉
a=0,05a=0{,}05 et P(MnE(X)a)0,1\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant 0{,}1.
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73
[Calculer.]
a=0,02a=0{,}02 et P(MnE(X)a)0,05\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant 0{,}05.
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74
[Calculer.]
a=0,1a=0{,}1 et P(MnE(X)<a)0,95\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \lt a\right) \geqslant 0{,}95.
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75
[Calculer.]
a=0,01a=0{,}01 et P(MnE(X)<a)0,99\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \lt a\right) \geqslant 0{,}99.
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76
[Raisonner.]
[DÉMO]

On souhaite démontrer l’inégalité de concentration. Soit X\text{X} une variable aléatoire d’espérance E(X)\text{E(X)} et de variance V(X)\text{V(X)}. Pour l’entier ii compris entre 11 et nn, on note Xi\text{X}_i des variables aléatoires indépendantes et toutes de même loi de probabilité que X\text{X}. On note enfin Mn=1ni=1nXi\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}.

1. Rappeler l’inégalité de concentration.


2. Démontrer que E(Mn)=E(X)\mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{n}\right)=\mathrm{E}(\mathrm{X}).


3. a. Justifier que V(X1+X2++Xn)=nV(X)\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=n \mathrm{V}(\mathrm{X}).


b. Démontrer alors que V(Mn)=V(X)n\mathrm{V}\left(\mathrm{M}_{n}\right)=\dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{n}.


4. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur Mn\mathrm{M}_{n} pour démontrer l’inégalité de concentration.
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77
[Calculer.] ◉◉
On considère un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66 et une succession de nn lancers de ce dé, où nn est un entier naturel strictement positif.
On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de 11 obtenu à l’issue de ces n lancers.

1. Que valent l’espérance et la variance de X\text{X} ?


2. Minorer la probabilité de l’événement Xn6<n100\left|\text{X}-\dfrac{n}{6}\right|\lt\dfrac{n}{100} en fonction de nn à l’aide de l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev.


3. En déduire le nombre de lancers nécessaires pour que la fréquence d’apparition du 11 au cours de ces nn lancers soit dans l’intervalle ]n6n100;n6+n100[\left] \dfrac{n}{6}-\dfrac{n}{100}\: ; \dfrac{n}{6}+\dfrac{n}{100}\right[, avec une certitude d’au moins 9595 %.
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78
PYTHON
[Modéliser.] ◉◉◉
On considère une urne contenant dix boules, dont quatre sont rouges. On tire successivement et avec remise une boule de l’urne et on s’arrête dès que l’on obtient une première boule rouge.
L’objectif est de conjecturer l’espérance de cette loi à l’aide d’un programme informatique.

1. Expliquer l’utilisation d’une boucle while\text{while} ici.


2. Compléter le programme suivant dont l’objectif est de simuler l’expérience.

from random import randint

def rang(n):
	S = 0
	for i in range(n):
		X = randint (1, 10)
		C = 1
		while X <= ...:
			X = randint (1, 10)
			C = ...
		S = S + C
	return... 

3. Quel est le rôle de la variable S\text{S} ?


4. Tester le programme pour différentes grandes valeurs de nn. Quelle semble être l’espérance de cette loi ? Justifier en citant le théorème utilisé.
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79
PYTHON
[Modéliser.]
Autour d’une table de poker, chaque joueur reçoit deux cartes d’un jeu de 5252 cartes. On souhaite estimer la probabilité qu’un joueur reçoive une paire, c’est-à-dire deux cartes identiques.

1. Écrire un algorithme permettant de simuler l’expérience et le programmer en Python.


2. Estimer alors la probabilité de cet événement, en justifiant les propriétés utilisées.


3. Proposer un calcul de la probabilité cherchée et comparer avec les résultats obtenus.
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80
[Chercher.] ◉◉
Une urne contient N boules (avec N>50\text{N} \gt 50), dont 5050 sont noires et les autres sont blanches. Ryem réalise l’expérience nn fois pour tenter de trouver le nombre total de boules dans l’urne. Il obtient les résultats suivants.

n\boldsymbol{n} 100100 10001\:000 1000010\:000
Proportion de boules blanches 0,7530{,}753 0,7480{,}748 0,74990{,}7499

Combien de boules semble-t-il y avoir dans l’urne ? On justifiera soigneusement la réponse.
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81
PYTHON
[Modéliser.] ◉◉◉
On considère le jeu de cible suivant.

 jeu de cible - exercice 81 - chapitre 14

On suppose que toutes les fléchettes atterrissent dans le carré beige de côté 22 unités. Sachant que les cercles sont respectivement de rayon 0,250{,}25, 0,50{,}5 et 0,750{,}75, estimer la probabilité des événements suivants à l’aide d’un programme :

1. « Le tir du joueur atteint l’intérieur de la cible délimitée par le cercle bleu de rayon 0,75. »


2. « Le tir du joueur atteint la cible rouge. »




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