On lance 10000 fois un dé équilibré à six faces
numérotées de 1 à 6.
Pour chaque lancer i, on note Xi la variable
aléatoire valant 1 si on obtient 4 et 0 sinon.
On note X=100001k=1∑10000Xk
la variable aléatoire moyenne donnant la proportion de 4 obtenus.
Majorer la probabilité que X s’écarte de plus de
0,05 par rapport à la moyenne.
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70
FLASH
On considère un jeu de 52 cartes.
On tire treize cartes avec remise et on note le
nombre de rois obtenus.
D’après la loi des grands nombres, si on répète cette
expérience un grand nombre n de fois et que l’on
note Mn la moyenne des résultats obtenus, vers
quelle valeur Mn converge-t-elle ?
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71
FLASH
On lance n fois une pièce de monnaie équilibrée.
On note Mn la proportion de piles obtenus.
Quelle doit-être la valeur minimale de n pour que
la probabilité de l’événement ∣∣∣∣∣Mn−21∣∣∣∣∣⩾0,01 soit
inférieure à 0,01 ?
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Pour les exercices
72
à
75
On lance n fois un dé équilibré à six faces numérotées
de 1 à 6.
On note Mn le nombre moyen de 5 obtenus.
À l’aide de l’inégalité de concentration, déterminer la valeur minimale de n pour respecter les conditions de l’exercice.
72
[Calculer.]
◉◉◉ a=0,05 et P(∣Mn−E(X)∣⩾a)⩽0,1.
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73
[Calculer.]
a=0,02 et P(∣Mn−E(X)∣⩾a)⩽0,05.
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74
[Calculer.]
a=0,1 et P(∣Mn−E(X)∣<a)⩾0,95.
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75
[Calculer.]
a=0,01 et P(∣Mn−E(X)∣<a)⩾0,99.
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76
[Raisonner.]
[DÉMO]
On souhaite démontrer l’inégalité de concentration.
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X)
et de variance V(X). Pour l’entier i compris entre 1 et
n, on note Xi des variables aléatoires indépendantes et toutes de même loi de probabilité que X. On note enfin Mn=n1i=1∑nXi.
1. Rappeler l’inégalité de concentration.
2. Démontrer que E(Mn)=E(X).
3.a. Justifier que V(X1+X2+…+Xn)=nV(X).
b. Démontrer alors que V(Mn)=nV(X).
4. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur Mn pour démontrer l’inégalité de concentration.
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77
[Calculer.]
◉◉◉
On considère un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et une succession de n lancers de ce dé, où n est un entier naturel strictement positif.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre
de 1 obtenu à l’issue de ces n lancers.
1. Que valent l’espérance et la variance de X ?
2. Minorer la probabilité de l’événement ∣∣∣∣X−6n∣∣∣∣<100n en fonction de n à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev.
3. En déduire le nombre de lancers nécessaires pour que la fréquence d’apparition du 1 au cours de ces n lancers soit dans l’intervalle ]6n−100n;6n+100n[, avec une certitude d’au moins 95 %.
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78
PYTHON
[Modéliser.]
◉◉◉
On considère une urne contenant dix boules, dont quatre sont rouges. On tire successivement
et avec remise une boule de l’urne et on s’arrête dès que l’on obtient une première boule rouge.
L’objectif est de conjecturer l’espérance de cette loi à l’aide d’un programme informatique.
1. Expliquer l’utilisation d’une boucle while ici.
2. Compléter le programme suivant dont
l’objectif est de simuler l’expérience.
from random import randint
def rang(n):
S = 0
for i in range(n):
X = randint (1, 10)
C = 1
while X <= ...:
X = randint (1, 10)
C = ...
S = S + C
return...
3. Quel est le rôle de la variable S ?
4. Tester le programme pour différentes grandes valeurs
de n. Quelle semble être l’espérance de cette loi ?
Justifier en citant le théorème utilisé.
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79
PYTHON
[Modéliser.]
Autour d’une table de poker, chaque joueur reçoit deux cartes d’un jeu de 52 cartes. On
souhaite estimer la probabilité qu’un joueur reçoive une paire, c’est-à-dire deux cartes identiques.
1. Écrire un algorithme permettant de simuler
l’expérience et le programmer en Python.
2. Estimer alors la probabilité de cet événement, en
justifiant les propriétés utilisées.
3. Proposer un calcul de la probabilité cherchée et
comparer avec les résultats obtenus.
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80
[Chercher.]
◉◉◉
Une urne contient N boules (avec N>50), dont 50 sont
noires et les autres sont blanches. Ryem réalise l’expérience n fois pour tenter de trouver le nombre total de boules dans l’urne. Il obtient les résultats suivants.
n
100
1000
10000
Proportion de boules blanches
0,753
0,748
0,7499
Combien de boules semble-t-il y avoir dans l’urne ? On justifiera soigneusement la réponse.
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81
PYTHON
[Modéliser.]
◉◉◉
On considère le jeu de cible suivant.
On suppose que toutes les fléchettes atterrissent dans le carré beige de côté 2 unités.
Sachant que les cercles sont respectivement de rayon 0,25, 0,5 et 0,75, estimer la probabilité des événements
suivants à l’aide d’un programme :
1. « Le tir du joueur atteint l’intérieur de la cible
délimitée par le cercle bleu de rayon 0,75. »
2. « Le tir du joueur atteint la cible rouge. »
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