Loi des grands nombres

Parcours 1 : exercices

44

 ;

52

 ;

63

 ;

72

et

80

Parcours 2 : exercices

53

 ;

62

 ;

67

et

77

Parcours 3 : exercices

64

 ;

66

 ;

78

et

81

77

[Calculer.]
On considère un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et une succession de n lancers de ce dé, où n est un entier naturel strictement positif.
On note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de 1 obtenu à l'issue de ces n lancers. 1. Que valent l'espérance et la variance de \text{X} ?

2. Minorer la probabilité de l'événement \left|\text{X}-\frac{n}{6}\right|\lt\frac{n}{100} en fonction de n à l'aide de l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev.

3. En déduire le nombre de lancers nécessaires pour que la fréquence d'apparition du 1 au cours de ces n lancers soit dans l'intervalle \left] \frac{n}{6}-\frac{n}{100}\: ; \frac{n}{6}+\frac{n}{100}\right[, avec une certitude d'au moins 95 %.

78

Python

[Modéliser.]
On considère une urne contenant dix boules, dont quatre sont rouges. On tire successivement et avec remise une boule de l'urne et on s'arrête dès que l'on obtient une première boule rouge.
L'objectif est de conjecturer l'espérance de cette loi à l'aide d'un programme informatique. 1. Expliquer l'utilisation d'une boucle \text{while} ici.

2. Compléter le programme suivant dont l'objectif est de simuler l'expérience.

from random import randint

def rang(n):
	S = 0
	for i in range(n):
		X = randint (1, 10)
		C = 1
		while X <= ...:
			X = randint (1, 10)
			C = ...
		S = S + C
	return... 

3. Quel est le rôle de la variable \text{S} ?

4. Tester le programme pour différentes grandes valeurs de n. Quelle semble être l'espérance de cette loi ? Justifier en citant le théorème utilisé.

79

Python

[Modéliser.]
Autour d'une table de poker, chaque joueur reçoit deux cartes d'un jeu de 52 cartes. On souhaite estimer la probabilité qu'un joueur reçoive une paire, c'est-à-dire deux cartes identiques. 1. Écrire un algorithme permettant de simuler l'expérience et le programmer en Python.

2. Estimer alors la probabilité de cet événement, en justifiant les propriétés utilisées.

3. Proposer un calcul de la probabilité cherchée et comparer avec les résultats obtenus.

80

[Chercher.]
Une urne contient N boules (avec \text{N} \gt 50), dont 50 sont noires et les autres sont blanches. Ryem réalise l'expérience n fois pour tenter de trouver le nombre total de boules dans l'urne. Il obtient les résultats suivants.


Combien de boules semble-t-il y avoir dans l'urne ? On justifiera soigneusement la réponse.