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Loi des grands nombres

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 44 ; 52 ; 63 ; 72 et 80
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 53 ; 62 ; 67 et 77
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 64 ; 66 ; 78 et 81

On lance $10\:000$ fois un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.
Pour chaque lancer $i$, on note $\text{X}_i$ la variable aléatoire valant $1$ si on obtient $4$ et $0$ sinon.

On note $\overline{\mathrm{X}}=\dfrac{1}{10\:000} \sum\limits_{k=1}^{10\:000} \mathrm{X}_{k}$ la variable aléatoire moyenne donnant la proportion de $4$ obtenus.

Majorer la probabilité que $\overline\text{X}$ s’écarte de plus de $0{,}05$ par rapport à la moyenne.

On considère un jeu de $52$ cartes. On tire treize cartes avec remise et on note le nombre de rois obtenus.
D’après la loi des grands nombres, si on répète cette expérience un grand nombre $n$ de fois et que l’on note $\text{M}_n$ la moyenne des résultats obtenus, vers quelle valeur $\text{M}_n$ converge-t-elle ?

On lance $n$ fois une pièce de monnaie équilibrée. On note $\mathrm{M}_{n}$ la proportion de piles obtenus.
Quelle doit-être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité de l’événement $\left|\mathrm{M}_{n}-\dfrac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01$ soit inférieure à $0{,}01$ ?

Pour les exercices

72

à 

75

On lance $n$ fois un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.
On note $\text{M}_n$ le nombre moyen de $5$ obtenus. À l’aide de l’inégalité de concentration, déterminer la valeur minimale de $n$ pour respecter les conditions de l’exercice.

72

[Calculer.] ◉◉◉
$a=0{,}05$ et $\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant 0{,}1$.

73

[Calculer.]
$a=0{,}02$ et $\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant 0{,}05$.

74

[Calculer.]
$a=0{,}1$ et $\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \lt a\right) \geqslant 0{,}95$.

75

[Calculer.]
$a=0{,}01$ et $\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \lt a\right) \geqslant 0{,}99$.

76

[Raisonner.]  

[DÉMO]

On souhaite démontrer l’inégalité de concentration. Soit $\text{X}$ une variable aléatoire d’espérance $\text{E(X)}$ et de variance $\text{V(X)}$. Pour l’entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on note $\text{X}_i$ des variables aléatoires indépendantes et toutes de même loi de probabilité que $\text{X}$. On note enfin $\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}$.

1. Rappeler l’inégalité de concentration.


2. Démontrer que $\mathrm{E}\left(\mathrm{M}_{n}\right)=\mathrm{E}(\mathrm{X})$.


3. a. Justifier que $\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{1}+\mathrm{X}_{2}+\ldots+\mathrm{X}_{n}\right)=n \mathrm{V}(\mathrm{X})$.


b. Démontrer alors que $\mathrm{V}\left(\mathrm{M}_{n}\right)=\dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{n}$.


4. Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur $\mathrm{M}_{n}$ pour démontrer l’inégalité de concentration.

77

[Calculer.] ◉◉◉
On considère un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$ et une succession de $n$ lancers de ce dé, où $n$ est un entier naturel strictement positif.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de $1$ obtenu à l’issue de ces n lancers.

1. Que valent l’espérance et la variance de $\text{X}$ ?


2. Minorer la probabilité de l’événement $\left|\text{X}-\dfrac{n}{6}\right|\lt\dfrac{n}{100}$ en fonction de $n$ à l’aide de l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev.


3. En déduire le nombre de lancers nécessaires pour que la fréquence d’apparition du $1$ au cours de ces $n$ lancers soit dans l’intervalle $\left] \dfrac{n}{6}-\dfrac{n}{100}\: ; \dfrac{n}{6}+\dfrac{n}{100}\right[$, avec une certitude d’au moins $95$ %.

78

PYTHON

[Modéliser.] ◉◉◉
On considère une urne contenant dix boules, dont quatre sont rouges. On tire successivement et avec remise une boule de l’urne et on s’arrête dès que l’on obtient une première boule rouge.
L’objectif est de conjecturer l’espérance de cette loi à l’aide d’un programme informatique.

1. Expliquer l’utilisation d’une boucle $\text{while}$ ici.


2. Compléter le programme suivant dont l’objectif est de simuler l’expérience.

from random import randint

def rang(n):
	S = 0
	for i in range(n):
		X = randint (1, 10)
		C = 1
		while X <= ...:
			X = randint (1, 10)
			C = ...
		S = S + C
	return... 

3. Quel est le rôle de la variable $\text{S}$ ?


4. Tester le programme pour différentes grandes valeurs de $n$. Quelle semble être l’espérance de cette loi ? Justifier en citant le théorème utilisé.

79

PYTHON

[Modéliser.]
Autour d’une table de poker, chaque joueur reçoit deux cartes d’un jeu de $52$ cartes. On souhaite estimer la probabilité qu’un joueur reçoive une paire, c’est-à-dire deux cartes identiques.

1. Écrire un algorithme permettant de simuler l’expérience et le programmer en Python.

2. Estimer alors la probabilité de cet événement, en justifiant les propriétés utilisées.


3. Proposer un calcul de la probabilité cherchée et comparer avec les résultats obtenus.

80

[Chercher.] ◉◉◉
Une urne contient N boules (avec $\text{N} \gt 50$), dont $50$ sont noires et les autres sont blanches. Ryem réalise l’expérience $n$ fois pour tenter de trouver le nombre total de boules dans l’urne. Il obtient les résultats suivants.

$\boldsymbol{n}$	$100$	$1\:000$	$10\:000$
Proportion de boules blanches	$0{,}753$	$0{,}748$	$0{,}7499$

Combien de boules semble-t-il y avoir dans l’urne ? On justifiera soigneusement la réponse.

81

PYTHON

[Modéliser.] ◉◉◉
On considère le jeu de cible suivant.

On suppose que toutes les fléchettes atterrissent dans le carré beige de côté $2$ unités. Sachant que les cercles sont respectivement de rayon $0{,}25$, $0{,}5$ et $0{,}75$, estimer la probabilité des événements suivants à l’aide d’un programme :

1. « Le tir du joueur atteint l’intérieur de la cible délimitée par le cercle bleu de rayon 0,75. »


2. « Le tir du joueur atteint la cible rouge. »