Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 14

Activité

Loi des grands nombres

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A
Autour d'une inégalité

Objectif : Travailler autour de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

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On considère une urne contenant quatre boules noires et six boules blanches indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise des boules dans l'urne jusqu'à l'obtention d'une boule blanche. On note

X

le rang d'apparition de la première boule blanche.

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Déterminer toutes les valeurs de

X

puis donner sa loi de probabilité.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

À l'aide de la calculatrice, calculer l'espérance et la variance de

X

(donner une valeur approchée à

1 0^{- 3}

près).

Calculer

P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ 2)

et comparer ce résultat à

\frac{V(X)}{2 ^{2}}

Aide

Déterminer les valeurs de

X

telles que l'inégalité

∣ X - E (X) ∣ ⩾ 2

est respectée.

Comparer

P (∣ X - E (X) ∣ ⩾ 0, 5)

\frac{V(X)}{0 , 5 ^{2}}

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Bilan

Conjecturer une généralisation de l'inégalité constatée dans cette activité.

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B
Une situation d'équiprobabilité

Objectif : Simuler une expérience dans un cas équiprobable et observer le comportement des valeurs obtenues.

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On lance une pièce de monnaie équilibrée et on souhaite observer la répartition du nombre de piles et de faces obtenu.

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Écrire un programme en Python permettant de simuler

n

lancers d'une pièce de monnaie.
Faire afficher le nombre de piles et de faces obtenu. On privilégiera un programme contenant une fonction prenant comme argument

n

et renvoyant le nombre de piles et de faces obtenu.

a) Faire fonctionner ce programme pour

n = 10

n = 100

puis

n = 1000

. Tester différentes fois pour

n = 10000

.

b) Compléter le tableau suivant avec les résultats obtenus.

$n$	$10$	$100$	$1 000$	$10 000$
Nombre de piles
Nombre de faces

c) Que remarque-t-on sur les valeurs obtenues ?

Expliquer en quoi cela n'est pas surprenant de trouver une telle répartition dans les résultats.

a) Sur

1000

lancers, quelle est la moyenne théorique du nombre de piles obtenu ?

b) On teste le programme

30

fois pour

n = 1000

et on relève le nombre de piles.
Sur ces

30

simulations, combien donnent un écart maximal de

100

par rapport à la moyenne attendue ?

Aide

On pourra compléter le programme Python pour automatiser les calculs.

c) Sur

10

lancers, quelle est la moyenne théorique du nombre de piles obtenu ?

d) On teste le programme

30

fois pour

n = 10

et on note le nombre de piles.
Sur ces

30

simulations, combien donnent un écart maximal de

1

par rapport à la moyenne attendue ?

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Bilan

Dans une situation d'équiprobabilité, que peut-on dire des fréquences observées par rapport à la moyenne théorique en fonction du nombre d'expériences réalisées ?

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C
Une situation non équiprobable

Objectif : Simuler une expérience dans un cas non équiprobable et observer le comportement des valeurs obtenues.

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On lance un dé non équilibré à six faces numérotées de

1

6

, ayant les caractéristiques suivantes :

la probabilité d'obtenir $3$ est la même que celle d'obtenir $4$ : elle est égale à $\frac{1}{10}$ ;
la probabilité d'obtenir une autre face est égale à $\frac{1}{5}$ .

On lance le dé et on appelle

X

la variable aléatoire qui prend comme valeur le résultat du dé obtenu.

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a) Donner toutes les valeurs possibles pour

X

b) Montrer que la situation décrit bien une loi de probabilité.

Alice a écrit le programme ci-contre pour simuler cette expérience.
Elle lance son programme pour

n = 10000

et obtient les résultats suivants.

Justifier que le programme d'Alice n'est pas correct.

a) Modifier le programme d'Alice pour simuler correctement l'expérience.
b) Exécuter ce nouveau programme pour

n = 10

n = 100

n = 1000

et enfin

n = 10000

. Noter les valeurs obtenues dans un tableau.

Aide

Modifier les arguments de $randint$ pour prendre en compte les probabilités et ajuster alors les conditions du $if$ .

	$n = 10$	$n = 100$	$n = 1000$	$n = 10000$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$

from random import randint

def Lancers_de_de(n):
  # n correspond au nombre de lancers effectues.
  # On initialise le nombre de faces obtenues :
  F1 = 0
  F2 = 0
  F3 = 0
  F4 = 0
  F5 = 0
  F6 = 0
  # on effectue n lancers :
  for i in range(n):
    # on simule le lancer du de Ã  6 faces :
    X = randint(1,6)
    # on comptabilise les resultats obtenus :
    if X == 1:
      F1 = F1 + 1
    elif X == 2:
      F2 = F2 + 1
    elif X == 3:
      F3 = F3 + 1
    elif X == 4:
      F4 = F4 + 1
    elif X == 5:
      F5 = F5 + 1
    else:
      F6 = F6 + 1
  # on renvoie le nombre de resultats obtenus :
  return(F1, F2, F3, F4, F5, F6)

print(Lancers_de_de(10000))

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Bilan

Dans une situation sans équiprobabilité, que peut-on dire des fréquences observées par rapport aux calculs théoriques en fonction du nombre d'expériences réalisées ?

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Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

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Loi des grands nombres

AAutour d'une inégalité

BUne situation d'équiprobabilité

CUne situation non équiprobable

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Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

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Orthogonalité et distances dans l’espace

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Suites

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Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

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Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

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Primitives - Équations différentielles

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Loi binomiale

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Sommes de variables aléatoires

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Loi des grands nombres

A
Autour d'une inégalité

B
Une situation d'équiprobabilité

C
Une situation non équiprobable