Activités

On considère une urne contenant quatre boules noires et six boules blanches indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise des boules dans l’urne jusqu’à l’obtention d’une boule blanche. On note $\text{X}$ le rang d’apparition de la première boule blanche.

Déterminer toutes les valeurs de $\text{X}$ puis donner sa loi de probabilité.




À l’aide de la calculatrice, calculer l’espérance et la variance de $\text{X}$ (donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près).


Calculer $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2)$ et comparer ce résultat à $\dfrac{\text{V(X)}}{2^{2}}$.

Aide

Déterminer les valeurs de $\text{X}$ telles que l’inégalité $|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 2$ est respectée.

Comparer $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 0{,}5)$ à $\dfrac{\text{V(X)}}{0{,}5^{2}}$.

On lance une pièce de monnaie équilibrée et on souhaite observer la répartition du nombre de piles et de faces obtenu.

Écrire un programme en Python permettant de simuler $n$ lancers d’une pièce de monnaie.
Faire afficher le nombre de piles et de faces obtenu. On privilégiera un programme contenant une fonction prenant comme argument $n$ et renvoyant le nombre de piles et de faces obtenu.

a) Faire fonctionner ce programme pour $n = 10$, $n = 100$ puis $n = 1\:000$. Tester différentes fois pour $n = 10\:000$.

b) Compléter le tableau suivant avec les résultats obtenus.



c) Que remarque-t-on sur les valeurs obtenues ?


Expliquer en quoi cela n’est pas surprenant de trouver une telle répartition dans les résultats.


a) Sur $1\, 000$ lancers, quelle est la moyenne théorique du nombre de piles obtenu ?


b) On teste le programme $30$ fois pour $n = 1\:000$ et on relève le nombre de piles.
Sur ces $30$ simulations, combien donnent un écart maximal de $100$ par rapport à la moyenne attendue ?

Aide

On pourra compléter le programme Python pour automatiser les calculs.

c) Sur $10$ lancers, quelle est la moyenne théorique du nombre de piles obtenu ?


d) On teste le programme $30$ fois pour $n = 10$ et on note le nombre de piles.
Sur ces $30$ simulations, combien donnent un écart maximal de $1$ par rapport à la moyenne attendue ?

On lance un dé non équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$, ayant les caractéristiques suivantes :

• la probabilité d’obtenir $3$ est la même que celle d’obtenir $4$ : elle est égale à $\dfrac{1}{10}$ ;
• la probabilité d’obtenir une autre face est égale à $\dfrac{1}{5}$.

On lance le dé et on appelle $\text{X}$ la variable aléatoire qui prend comme valeur le résultat du dé obtenu.

a) Donner toutes les valeurs possibles pour $\text{X}$.


b) Montrer que la situation décrit bien une loi de probabilité.


Alice a écrit le programme ci-contre pour simuler cette expérience.
Elle lance son programme pour $n = 10\:000$ et obtient les résultats suivants.

Justifier que le programme d’Alice n’est pas correct.

a) Modifier le programme d’Alice pour simuler correctement l’expérience.
b) Exécuter ce nouveau programme pour $n = 10$, $n = 100$, $n = 1\:000$ et enfin $n = 10\:000$. Noter les valeurs obtenues dans un tableau.

Aide

Modifier les arguments de $\text{randint}$ pour prendre en compte les probabilités et ajuster alors les conditions du $\text{if}$.

from random import randint

def Lancers_de_de(n):
  # n correspond au nombre de lancers effectues.
  # On initialise le nombre de faces obtenues :
  F1 = 0
  F2 = 0
  F3 = 0
  F4 = 0
  F5 = 0
  F6 = 0
  # on effectue n lancers :
  for i in range(n):
    # on simule le lancer du de à 6 faces :
    X = randint(1,6)
    # on comptabilise les resultats obtenus :
    if X == 1:
      F1 = F1 + 1
    elif X == 2:
      F2 = F2 + 1
    elif X == 3:
      F3 = F3 + 1
    elif X == 4:
      F4 = F4 + 1
    elif X == 5:
      F5 = F5 + 1
    else:
      F6 = F6 + 1
  # on renvoie le nombre de resultats obtenus :
  return(F1, F2, F3, F4, F5, F6)

print(Lancers_de_de(10000))