Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 14
Activité

Loi des grands nombres

A
Autour d'une inégalité


Objectif : Travailler autour de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

On considère une urne contenant quatre boules noires et six boules blanches indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise des boules dans l'urne jusqu'à l'obtention d'une boule blanche. On note le rang d'apparition de la première boule blanche.
1
Déterminer toutes les valeurs de puis donner sa loi de probabilité.


Dessinez ici


2
À l'aide de la calculatrice, calculer l'espérance et la variance de (donner une valeur approchée à près).


3
Calculer et comparer ce résultat à .
Déterminer les valeurs de telles que l'inégalité est respectée.
Aide


4
Comparer à .
Bilan
Conjecturer une généralisation de l'inégalité constatée dans cette activité.

B
Une situation d'équiprobabilité


Objectif : Simuler une expérience dans un cas équiprobable et observer le comportement des valeurs obtenues.

On lance une pièce de monnaie équilibrée et on souhaite observer la répartition du nombre de piles et de faces obtenu.
1
Écrire un programme en Python permettant de simuler lancers d'une pièce de monnaie.
Faire afficher le nombre de piles et de faces obtenu. On privilégiera un programme contenant une fonction prenant comme argument et renvoyant le nombre de piles et de faces obtenu.




2
a) Faire fonctionner ce programme pour , puis . Tester différentes fois pour .

b) Compléter le tableau suivant avec les résultats obtenus.

Nombre de piles
Nombre de faces


c) Que remarque-t-on sur les valeurs obtenues ?


3
Expliquer en quoi cela n'est pas surprenant de trouver une telle répartition dans les résultats.


4
a) Sur lancers, quelle est la moyenne théorique du nombre de piles obtenu ?


b) On teste le programme fois pour et on relève le nombre de piles.
Sur ces simulations, combien donnent un écart maximal de par rapport à la moyenne attendue ?
On pourra compléter le programme Python pour automatiser les calculs.
Aide


c) Sur lancers, quelle est la moyenne théorique du nombre de piles obtenu ?


d) On teste le programme fois pour et on note le nombre de piles.
Sur ces simulations, combien donnent un écart maximal de par rapport à la moyenne attendue ?
Bilan
Dans une situation d'équiprobabilité, que peut-on dire des fréquences observées par rapport à la moyenne théorique en fonction du nombre d'expériences réalisées ?

C
Une situation non équiprobable


Objectif : Simuler une expérience dans un cas non équiprobable et observer le comportement des valeurs obtenues.


On lance un dé non équilibré à six faces numérotées de à , ayant les caractéristiques suivantes :
  • la probabilité d'obtenir est la même que celle d'obtenir : elle est égale à ;
  • la probabilité d'obtenir une autre face est égale à .

On lance le dé et on appelle la variable aléatoire qui prend comme valeur le résultat du dé obtenu.
1
a) Donner toutes les valeurs possibles pour .

b) Montrer que la situation décrit bien une loi de probabilité.

2
Alice a écrit le programme ci-contre pour simuler cette expérience.
Elle lance son programme pour et obtient les résultats suivants.
Résultat python - activité c - une situation non équiprobable - chapitre 14
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Résultat python - activité c - une situation non équiprobable - chapitre 14
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Justifier que le programme d'Alice n'est pas correct.

3
a) Modifier le programme d'Alice pour simuler correctement l'expérience.
b) Exécuter ce nouveau programme pour , , et enfin . Noter les valeurs obtenues dans un tableau.
Modifier les arguments de pour prendre en compte les probabilités et ajuster alors les conditions du .
Aide

 
 
 
 
 
 
from random import randint

def Lancers_de_de(n):
  # n correspond au nombre de lancers effectues.
  # On initialise le nombre de faces obtenues :
  F1 = 0
  F2 = 0
  F3 = 0
  F4 = 0
  F5 = 0
  F6 = 0
  # on effectue n lancers :
  for i in range(n):
    # on simule le lancer du de à 6 faces :
    X = randint(1,6)
    # on comptabilise les resultats obtenus :
    if X == 1:
      F1 = F1 + 1
    elif X == 2:
      F2 = F2 + 1
    elif X == 3:
      F3 = F3 + 1
    elif X == 4:
      F4 = F4 + 1
    elif X == 5:
      F5 = F5 + 1
    else:
      F6 = F6 + 1
  # on renvoie le nombre de resultats obtenus :
  return(F1, F2, F3, F4, F5, F6)

print(Lancers_de_de(10000))
Bilan
Dans une situation sans équiprobabilité, que peut-on dire des fréquences observées par rapport aux calculs théoriques en fonction du nombre d'expériences réalisées ?

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