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1. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
P.410-411

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COURS 1


1
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev




A
L’inégalité de Markov


Définition

Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans un univers Ω\Omega, lorsque toutes les valeurs prises par celle-ci sont des réels positifs ou nuls.

Remarque

Autrement dit, pour tout ωΩ,\omega \in \Omega, X(ω)0\text{X}(\omega) \geqslant 0.

Exemple

La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées 11 obtenues sur dix lancers d’un dé est positive ou nulle.

Théorème

Soit X\text{X} une variable aléatoire réelle positive ou nulle d’espérance E(X)\text{E(X)}.
Alors, pour tout réel aa strictement positif, P(Xa)E(X)a\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) \leqslant \dfrac{\mathrm{E}(\mathrm{X})}{a}.
Cette inégalité est appelée l’inégalité de Markov.

Remarque

Il est essentiel que la variable aléatoire X\text{X} soit positive ou nulle.

DÉMONSTRATION

Soit X\text{X} une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note xix_i les nn valeurs pour l’entier ii entre 11 et nn.
Par définition de l’espérance, on E(X)=i=1nxiP(X=xi)\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou égales à aa et celles strictement inférieures à aa.
On obtient E(X)=xiaxiP(X=xi)+xi<axiP(X=xi)\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum\limits_{x_{i} \geqslant a} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)+\sum\limits_{x_{i} \lt {a}} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Pour tout entier ii compris entre 11 et nn, on sait que xi0x_{i} \geqslant 0 (car X\text{X} est positive ou nulle) et P(X=xi)0\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) \geqslant 0 (par définition d’une probabilité) donc xi<axiP(X=xi)0\sum\limits_{x_{i}\lt {a}} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) \geqslant 0.
On en déduit que E(X)xiaxiP(X=xi)\mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier ii compris entre 11 et nn, xiax_{i} \geqslant a donc E(X)xiaxiP(X=xi)xiaaP(X=xi)\mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) \geqslant \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} a \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Or, xiaaP(X=xi)=axiaP(X=xi)=aP(Xa)\sum\limits_{x_{i} \geqslant a} a \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a).
Par conséquent, E(X)axiaP(X=xi)\mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant a \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) ou encore E(X)aP(Xa)\mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant a \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a).
Puisque a>0a \gt 0, on obtient enfin P(Xa)E(X)a\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) \leqslant \dfrac{\mathrm{E}(\mathrm{X})}{a}.

NOTATION

xia\sum\limits_{x_{i} \geqslant a} signifie la somme pour tous xiax_{i} \geqslant a.

Exemple

En 2015, le salaire brut mensuel moyen en France était de 24422\:442 €. On choisit un salarié au hasard et on note X\text{X} la variable aléatoire donnant son salaire. Les salaires étant positifs ou nuls, on sait que X\text{X} est une variable aléatoire positive ou nulle.
On peut donc appliquer l’inégalité de Markov sur un exemple :
P(X7326)24427326\text{P}(\text{X} \geqslant 7\:326) \leqslant \dfrac{2\:442}{7\:326} soit P(X7326)13\text{P}(\text{X} \geqslant 7\:326) \leqslant \dfrac{1}{3}.

Remarque

Cette inégalité permet de trouver un majorant, mais pas forcément le plus petit possible.

Application et méthode - 1

Énoncé

Une usine produit en moyenne 3535 pièces par semaine.
On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de pièces produites par semaine.
Que peut-on dire de la probabilité que l’usine produise plus de 7070 pièces par semaine ?

Solution

D’après le contexte, on sait que la variable X\text{X} est positive et que E(X)=35\text{E(X)} = 35. L’inégalité de Markov implique que P(X70)3570\text{P}(\text{X} \geqslant 70) \leqslant \dfrac{35}{70} donc P(X70)0,5\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 70) \leqslant 0{,}5.

Pour s'entraîner : exercices 22 et 23 p. 418

Méthode

  • On vérifie que la variable aléatoire considérée est positive ou nulle.
  • On repère la valeur de l’espérance (qui correspond ici à la moyenne).
  • On applique l’inégalité de Markov.

B
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev


Théorème

Soit X\text{X} une variable aléatoire d’espérance E(X)\text{E(X)} et de variance V(X)\text{V(X)}.
Alors, pour tout réel aa strictement positif, P(XE(X)a)V(X)a2.\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant a) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{a^{2}}.
Cette inégalité est appelée l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Remarque

La variable aléatoire XE(X)| \text{X}-\text{E(X)}| est positive ou nulle.

Remarque

Irénée- Jules Bienaymé est un probabiliste et statisticien français. Pafnouti Lvovitch Tchebychev est un mathématicien russe.

DÉMONSTRATION

Comme a>0a \gt 0, les inégalités XE(X)a|\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant a et [XE(X)]2a2[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2} \geqslant a^{2} sont équivalentes.
De plus, la variable [XE(X)]2[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2} est positive ou nulle.
On applique donc l’inégalité de Markov à la variable [XE(X)]2[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2} et au réel a2a^2.
Ainsi, P([XE(X)]2a2)E([XE(X)]2)a2\mathrm{P}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2} \geqslant a^{2}\right) \leqslant \dfrac{\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2}\right)}{a^{2}}.
Or, E([XE(X)]2)=V(X)\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2}\right)=\mathrm{V}(\mathrm{X}) donc P([XE(X)]2a2)V(X)a2\mathrm{P}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})]^{2} \geqslant a^{2}\right) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{a^{2}} et on a bien P(XE(X)a)V(X)a2\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant a) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{a^{2}}.

Remarque

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est loin d’être optimale. En réalité, il est fort possible que la probabilité soit bien inférieure au majorant obtenu.

Exemple

Le taux moyen de glycémie dans une population est de 1gL11 \mathrm{g} \cdot \mathrm{L}^{-1} avec une variance de 0,10{,}1.
Une personne présente un taux X\text{X} critique si son taux ne se situe pas dans l’intervalle ]0,5;1,5[] 0{,}5\: ; 1{,}5[. Cet événement se traduit par l’inégalité XE(X)0,5|\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant 0{,}5.
Sa probabilité vérifie donc P(XE(X)0,5)0,10,52\text{P}(|\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant 0{,}5) \leqslant \dfrac{0{,}1}{0{,}5^{2}} soit P(XE(X)0,5)0,4\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}4.
La probabilité qu’une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à 0,40{,}4.

Propriété

Sous les mêmes conditions que la propriété précédente, l’inégalité peut être réécrite de la façon suivante P(XE(X)<a)1V(X)a2\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \lt a) \geqslant 1-\dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{a^{2}}.

DÉMONSTRATION

Il suffit de remarquer que P(XE(X)a)=1P(XE(X)<a)\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant a)=1-\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \lt a) et d’utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Application et méthode - 2

Énoncé

Lors d’une saison de football, le nombre moyen de buts par match est de 2,52{,}5, avec une variance de 1,11{,}1.
Majorer la probabilité que le match suivant ne se termine pas avec deux ou trois buts.

Solution

Soit X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de buts. On cherche ici la probabilité que X1\text{X} \leqslant 1 ou X4\text{X} \geqslant 4 et on sait que E(X)=2,5\text{E(X)} = 2{,}5 et V(X)=1,1\text{V(X)} = 1{,}1.
Cela revient donc à dire que XE(X)1,5|\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant 1{,}5.
On applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir P(XE(X)1,5)1,11,52\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 1{,}5) \leqslant \dfrac{1{,}1}{1{,}5^{2}}, soit P(XE(X)1,5)2245<0,49\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 1{,}5) \leqslant \dfrac{22}{45} \lt 0{,}49.
La probabilité que le match ne se termine pas par deux ou trois buts est inférieure à 0,490{,}49.

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 418

Méthode

  • Définir une variable aléatoire correspondant à l’énoncé.
  • Traduire les inégalités de l’énoncé sous forme d’écart par rapport à la moyenne.
  • Appliquer l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev pour conclure.

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