L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev

La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées 1 obtenues sur dix lancers d'un dé est positive ou nulle.

Soit \text{X} une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note x_i les n valeurs pour l'entier i entre 1 et n. Par définition de l'espérance, on \mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum\limits_{i=1}^{n} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou égales à a et celles strictement inférieures à a.
On obtient \mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum\limits_{x_{i} \geqslant a} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)+\sum\limits_{x_{i} \lt {a}} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Pour tout entier i compris entre 1 et n, on sait que x_{i} \geqslant 0 (car \text{X} est positive ou nulle) et \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) \geqslant 0 (par définition d'une probabilité) donc \sum\limits_{x_{i}\lt {a}} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) \geqslant 0.
On en déduit que \mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier i compris entre 1 et n, x_{i} \geqslant a donc \mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} x_{i} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) \geqslant \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} a \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right).
Or, \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} a \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right)=a \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a).
Par conséquent, \mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant a \sum\limits_{x_{i} \geqslant a} \mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_{i}\right) ou encore \mathrm{E}(\mathrm{X}) \geqslant a \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a).
Puisque a \gt 0, on obtient enfin \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) \leqslant \frac{\mathrm{E}(\mathrm{X})}{a}.

\sum\limits_{x_{i} \geqslant a} signifie la somme pour tous x_{i} \geqslant a.

D'après le contexte, on sait que la variable \text{X} est positive et que \text{E(X)} = 35. L'inégalité de Markov implique que \text{P}(\text{X} \geqslant 70) \leqslant \frac{35}{70} donc \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 70) \leqslant 0{,}5.

Exercices

22

et

23 p. 418

Le taux moyen de glycémie dans une population est de 1 \mathrm{g} \cdot \mathrm{L}^{-1} avec une variance de 0{,}1.
Une personne présente un taux \text{X} critique si son taux ne se situe pas dans l'intervalle ] 0{,}5\: ; 1{,}5[. Cet événement se traduit par l'inégalité |\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant 0{,}5.
Sa probabilité vérifie donc \text{P}(|\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{0{,}1}{0{,}5^{2}} soit \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}4.
La probabilité qu'une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à 0{,}4.

Soit \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de buts. On cherche ici la probabilité que \text{X} \leqslant 1 ou \text{X} \geqslant 4 et on sait que \text{E(X)} = 2{,}5 et \text{V(X)} = 1{,}1.
Cela revient donc à dire que |\text{X}-\text{E(X)}| \geqslant 1{,}5.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 1{,}5) \leqslant \frac{1{,}1}{1{,}5^{2}}, soit \mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})| \geqslant 1{,}5) \leqslant \frac{22}{45} \lt 0{,}49.
La probabilité que le match ne se termine pas par deux ou trois buts est inférieure à 0{,}49.

Exercices

26

et

27 p. 418