Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans un univers Ω, lorsque toutes les valeurs prises par celle-ci sont des réels positifs ou nuls.
Remarque
Autrement dit, pour tout ω∈Ω,X(ω)⩾0.
Exemple
La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées 1 obtenues sur dix
lancers d’un dé est positive ou nulle.
Théorème
Soit X une variable aléatoire réelle positive ou nulle d’espérance E(X).
Alors, pour tout réel a strictement positif, P(X⩾a)⩽aE(X).
Cette inégalité est appelée l’inégalité de Markov.
Remarque
Il est essentiel que la variable aléatoire X
soit positive ou nulle.
DÉMONSTRATION
Soit X une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note xi les n valeurs pour l’entier i entre 1 et n.
Par définition de l’espérance, on E(X)=i=1∑nxiP(X=xi).
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou
égales à a et celles strictement inférieures à a.
On obtient E(X)=xi⩾a∑xiP(X=xi)+xi<a∑xiP(X=xi).
Pour tout entier i compris entre 1 et n, on sait que xi⩾0 (car X est positive ou
nulle) et P(X=xi)⩾0 (par définition d’une probabilité) donc xi<a∑xiP(X=xi)⩾0.
On en déduit que E(X)⩾xi⩾a∑xiP(X=xi).
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier i compris entre 1 et n, xi⩾a donc E(X)⩾xi⩾a∑xiP(X=xi)⩾xi⩾a∑aP(X=xi).
Or, xi⩾a∑aP(X=xi)=axi⩾a∑P(X=xi)=aP(X⩾a).
Par conséquent, E(X)⩾axi⩾a∑P(X=xi) ou encore E(X)⩾aP(X⩾a).
Puisque a>0, on obtient enfin P(X⩾a)⩽aE(X).
NOTATION
xi⩾a∑ signifie la
somme pour tous xi⩾a.
Exemple
En 2015, le salaire brut mensuel moyen en France était de 2442 €. On choisit un salarié au hasard et on note X la variable aléatoire donnant son salaire. Les salaires étant positifs ou nuls, on sait que X est une variable aléatoire positive ou nulle.
On peut donc appliquer l’inégalité de Markov sur un exemple : P(X⩾7326)⩽73262442 soit P(X⩾7326)⩽31.
Remarque
Cette inégalité permet de trouver un majorant, mais pas forcément le plus petit possible.
Application et méthode - 1
Énoncé
Une usine produit en moyenne 35 pièces par semaine.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de pièces produites par semaine.
Que peut-on dire de la probabilité que l’usine produise plus de 70 pièces par semaine ?
B
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème
Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X).
Alors, pour tout réel a strictement positif, P(∣X−E(X)∣⩾a)⩽a2V(X).
Cette inégalité est appelée l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Remarque
La variable aléatoire ∣X−E(X)∣ est positive ou nulle.
Remarque
Irénée- Jules Bienaymé est un probabiliste et statisticien français.
Pafnouti Lvovitch Tchebychev est un mathématicien russe.
DÉMONSTRATION
Comme a>0, les inégalités ∣X−E(X)∣⩾a et [X−E(X)]2⩾a2 sont équivalentes.
De plus, la variable [X−E(X)]2 est positive ou nulle.
On applique donc l’inégalité de Markov à la variable [X−E(X)]2 et au réel a2.
Ainsi, P([X−E(X)]2⩾a2)⩽a2E([X−E(X)]2).
Or, E([X−E(X)]2)=V(X) donc
P([X−E(X)]2⩾a2)⩽a2V(X) et on a bien P(∣X−E(X)∣⩾a)⩽a2V(X).
Remarque
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est loin d’être optimale.
En réalité, il est fort possible que la probabilité soit bien inférieure au
majorant obtenu.
Exemple
Le taux moyen de glycémie dans une population est de 1g⋅L−1 avec une variance de 0,1.
Une personne présente un taux X critique si son taux ne se situe pas dans l’intervalle ]0,5;1,5[. Cet événement se traduit par l’inégalité ∣X−E(X)∣⩾0,5.
Sa probabilité vérifie donc P(∣X−E(X)∣⩾0,5)⩽0,520,1 soit P(∣X−E(X)∣⩾0,5)⩽0,4.
La probabilité qu’une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à 0,4.
Propriété
Sous les mêmes conditions que la propriété précédente, l’inégalité peut être réécrite de la façon suivante P(∣X−E(X)∣<a)⩾1−a2V(X).
DÉMONSTRATION
Il suffit de remarquer que P(∣X−E(X)∣⩾a)=1−P(∣X−E(X)∣<a) et d’utiliser
l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Application et méthode - 2
Énoncé
Lors d’une saison de football, le nombre moyen de buts par match est de 2,5, avec une variance de 1,1.
Majorer la probabilité que le match suivant ne se termine pas avec deux ou trois buts.
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