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L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Autrement dit, pour tout $\omega \in \Omega ,$ $\text{X}(\omega )⩾0$.

Exemple

La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées $1$ obtenues sur dix lancers d’un dé est positive ou nulle.

Il est essentiel que la variable aléatoire $\text{X}$ soit positive ou nulle.

DÉMONSTRATION

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note $x_i$ les $n$ valeurs pour l’entier $i$ entre $1$ et $n$.
Par définition de l’espérance, on $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum _{i=1}^n{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou égales à $a$ et celles strictement inférieures à $a$.
On obtient $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum _{x_i⩾a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)+\sum _{x_i<a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on sait que $x_i⩾0$ (car $\text{X}$ est positive ou nulle) et $\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)⩾0$ (par définition d’une probabilité) donc $\sum _{x_i<a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)⩾0$.
On en déduit que $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾\sum _{x_i⩾a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $x_i⩾a$ donc $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾\sum _{x_i⩾a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)⩾\sum _{x_i⩾a}a\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Or, $\sum _{x_i⩾a}a\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a\sum _{x_i⩾a}\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)$.
Par conséquent, $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾a\sum _{x_i⩾a}\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$ ou encore $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾a\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)$.
Puisque $a>0$, on obtient enfin $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)⩽\frac{\mathrm{E}(\mathrm{X})}{a}$.

Exemple

En 2015, le salaire brut mensuel moyen en France était de $2442$ €. On choisit un salarié au hasard et on note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant son salaire. Les salaires étant positifs ou nuls, on sait que $\text{X}$ est une variable aléatoire positive ou nulle.
On peut donc appliquer l’inégalité de Markov sur un exemple :
$\text{P}(\text{X}⩾7326)⩽\frac{2442}{7326}$ soit $\text{P}(\text{X}⩾7326)⩽\frac{1}{3}$.

Cette inégalité permet de trouver un majorant, mais pas forcément le plus petit possible.

Une usine produit en moyenne $35$ pièces par semaine.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de pièces produites par semaine.
Que peut-on dire de la probabilité que l’usine produise plus de $70$ pièces par semaine ?

La variable aléatoire $|\text{X}-\text{E(X)}|$ est positive ou nulle.

Irénée- Jules Bienaymé est un probabiliste et statisticien français. Pafnouti Lvovitch Tchebychev est un mathématicien russe.

DÉMONSTRATION

Comme $a>0$, les inégalités $|\text{X}-\text{E(X)}|⩾a$ et $[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2⩾a^2$ sont équivalentes.
De plus, la variable $[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2$ est positive ou nulle.
On applique donc l’inégalité de Markov à la variable $[\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2$ et au réel $a^2$.
Ainsi, $\mathrm{P}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2⩾a^2\right)⩽\frac{\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2\right)}{a^2}$.
Or, $\mathrm{E}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2\right)=\mathrm{V}(\mathrm{X})$ donc $\mathrm{P}\left([\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X}){]}^2⩾a^2\right)⩽\frac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{a^2}$ et on a bien $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾a)⩽\frac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{a^2}$.

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est loin d’être optimale. En réalité, il est fort possible que la probabilité soit bien inférieure au majorant obtenu.

Exemple

Le taux moyen de glycémie dans une population est de $1\mathrm{g}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$ avec une variance de $0,1$.
Une personne présente un taux $\text{X}$ critique si son taux ne se situe pas dans l’intervalle $]0,5;1,5[$. Cet événement se traduit par l’inégalité $|\text{X}-\text{E(X)}|⩾0,5$.
Sa probabilité vérifie donc $\text{P}(|\text{X}-\text{E(X)}|⩾0,5)⩽\frac{0,1}{0,5^2}$ soit $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾0,5)⩽0,4$.
La probabilité qu’une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à $0,4$.

DÉMONSTRATION

Il suffit de remarquer que $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾a)=1-\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|<a)$ et d’utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Lors d’une saison de football, le nombre moyen de buts par match est de $2,5$, avec une variance de $1,1$.
Majorer la probabilité que le match suivant ne se termine pas avec deux ou trois buts.