L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev

La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées $1$ obtenues sur dix lancers d'un dé est positive ou nulle.

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note $x_i$ les $n$ valeurs pour l'entier $i$ entre $1$ et $n$. Par définition de l'espérance, on $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum _{i=1}^n{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou égales à $a$ et celles strictement inférieures à $a$.
On obtient $\mathrm{E}(\mathrm{X})=\sum _{x_i⩾a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)+\sum _{x_i<a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, on sait que $x_i⩾0$ (car $\text{X}$ est positive ou nulle) et $\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)⩾0$ (par définition d'une probabilité) donc $\sum _{x_i<a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)⩾0$.
On en déduit que $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾\sum _{x_i⩾a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$, $x_i⩾a$ donc $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾\sum _{x_i⩾a}{x}_i\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)⩾\sum _{x_i⩾a}a\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$.
Or, $\sum _{x_i⩾a}a\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a\sum _{x_i⩾a}\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)=a\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)$.
Par conséquent, $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾a\sum _{x_i⩾a}\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=x_i\right)$ ou encore $\mathrm{E}(\mathrm{X})⩾a\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)$.
Puisque $a>0$, on obtient enfin $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)⩽\frac{\mathrm{E}(\mathrm{X})}{a}$.

$\sum _{x_i⩾a}$ signifie la somme pour tous $x_i⩾a$.

D'après le contexte, on sait que la variable $\text{X}$ est positive et que $\text{E(X)}=35$. L'inégalité de Markov implique que $\text{P}(\text{X}⩾70)⩽\frac{35}{70}$ donc $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾70)⩽0,5$.

Exercices

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et

23 p. 418

Le taux moyen de glycémie dans une population est de $1\mathrm{g}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$ avec une variance de $0,1$.
Une personne présente un taux $\text{X}$ critique si son taux ne se situe pas dans l'intervalle $]0,5;1,5[$. Cet événement se traduit par l'inégalité $|\text{X}-\text{E(X)}|⩾0,5$.
Sa probabilité vérifie donc $\text{P}(|\text{X}-\text{E(X)}|⩾0,5)⩽\frac{0,1}{0,5^2}$ soit $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾0,5)⩽0,4$.
La probabilité qu'une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à $0,4$.

Soit $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de buts. On cherche ici la probabilité que $\text{X}⩽1$ ou $\text{X}⩾4$ et on sait que $\text{E(X)}=2,5$ et $\text{V(X)}=1,1$.
Cela revient donc à dire que $|\text{X}-\text{E(X)}|⩾1,5$.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾1,5)⩽\frac{1,1}{1,5^2}$, soit $\mathrm{P}(|\mathrm{X}-\mathrm{E}(\mathrm{X})|⩾1,5)⩽\frac{22}{45}<0,49$.
La probabilité que le match ne se termine pas par deux ou trois buts est inférieure à $0,49$.

Exercices

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et

27 p. 418