Chapitre 14
Cours 1
L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev
Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans un univers Ω, lorsque toutes les valeurs prises par celle-ci sont des réels positifs ou nuls.
Autrement dit, pour tout ω∈Ω, X(ω)⩾0.
La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées 1 obtenues sur dix
lancers d'un dé est positive ou nulle.
Soit X une variable aléatoire réelle positive ou nulle d'espérance E(X).
Alors, pour tout réel a strictement positif, P(X⩾a)⩽aE(X).
Cette inégalité est appelée l'inégalité de Markov.
Il est essentiel que la variable aléatoire X
soit positive ou nulle.
Soit X une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note xi les n valeurs pour l'entier i entre 1 et n.
Par définition de l'espérance, on E(X)=i=1∑nxiP(X=xi).
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou
égales à a et celles strictement inférieures à a.
On obtient E(X)=xi⩾a∑xiP(X=xi)+xi<a∑xiP(X=xi).
Pour tout entier i compris entre 1 et n, on sait que xi⩾0 (car X est positive ou
nulle) et P(X=xi)⩾0 (par définition d'une probabilité) donc xi<a∑xiP(X=xi)⩾0.
On en déduit que E(X)⩾xi⩾a∑xiP(X=xi).
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier i compris entre 1 et n, xi⩾a donc E(X)⩾xi⩾a∑xiP(X=xi)⩾xi⩾a∑aP(X=xi).
Or, xi⩾a∑aP(X=xi)=axi⩾a∑P(X=xi)=aP(X⩾a).
Par conséquent, E(X)⩾axi⩾a∑P(X=xi) ou encore E(X)⩾aP(X⩾a).
Puisque a>0, on obtient enfin P(X⩾a)⩽aE(X).
xi⩾a∑ signifie la
somme pour tous xi⩾a.
En 2015, le salaire brut mensuel moyen en France était de 2442 €. On choisit un salarié au hasard et on note X la variable aléatoire donnant son salaire. Les salaires étant positifs ou nuls, on sait que X est une variable aléatoire positive ou nulle.
On peut donc appliquer l'inégalité de Markov sur un exemple :
P(X⩾7326)⩽73262442 soit P(X⩾7326)⩽31.
Cette inégalité permet de trouver un majorant, mais pas forcément le plus petit possible.
Application et méthode - 1
Une usine produit en moyenne 35 pièces par semaine.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de pièces produites par semaine.
Que peut-on dire de la probabilité que l'usine produise plus de 70 pièces par semaine ?
- On vérifie que la variable aléatoire considérée est positive ou nulle.
- On repère la valeur de l'espérance (qui correspond ici à la moyenne).
- On applique l'inégalité de Markov.
D'après le contexte, on sait que la variable
X est positive et que
E(X)=35. L'inégalité de Markov implique que
P(X⩾70)⩽7035 donc
P(X⩾70)⩽0,5.
Pour s'entraîner
Exercices
et
B
L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev
Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) et de variance V(X).
Alors, pour tout réel a strictement positif, P(∣X−E(X)∣⩾a)⩽a2V(X).
Cette inégalité est appelée l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
La variable aléatoire ∣X−E(X)∣ est positive ou nulle.
Irénée-Jules Bienaymé est un probabiliste et statisticien français.
Pafnouti Lvovitch Tchebychev est un mathématicien russe.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est loin d'être optimale.
En réalité, il est fort possible que la probabilité soit bien inférieure au
majorant obtenu.
Comme a>0, les inégalités ∣X−E(X)∣⩾a et [X−E(X)]2⩾a2 sont équivalentes.
De plus, la variable [X−E(X)]2 est positive ou nulle.
On applique donc l'inégalité de Markov à la variable [X−E(X)]2 et au réel a2.
Ainsi, P([X−E(X)]2⩾a2)⩽a2E([X−E(X)]2).
Or, E([X−E(X)]2)=V(X) donc
P([X−E(X)]2⩾a2)⩽a2V(X) et on a bien P(∣X−E(X)∣⩾a)⩽a2V(X).
Le taux moyen de glycémie dans une population est de 1g⋅L−1 avec une variance de 0,1.
Une personne présente un taux X critique si son taux ne se situe pas dans l'intervalle ]0,5;1,5[. Cet événement se traduit par l'inégalité ∣X−E(X)∣⩾0,5.
Sa probabilité vérifie donc P(∣X−E(X)∣⩾0,5)⩽0,520,1 soit P(∣X−E(X)∣⩾0,5)⩽0,4.
La probabilité qu'une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à 0,4.
Sous les mêmes conditions que la propriété précédente, l'inégalité peut être réécrite de la façon suivante P(∣X−E(X)∣<a)⩾1−a2V(X).
Il suffit de remarquer que P(∣X−E(X)∣⩾a)=1−P(∣X−E(X)∣<a) et d'utiliser
l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Application et méthode - 2
Lors d'une saison de football, le nombre moyen de buts par match est de 2,5, avec une variance de 1,1.
Majorer la probabilité que le match suivant ne se termine pas avec deux ou trois buts.
- Définir une variable aléatoire correspondant à l'énoncé.
- Traduire les inégalités de l'énoncé sous forme d'écart par rapport à la moyenne.
- Appliquer l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev pour conclure.
Soit
X la variable aléatoire donnant le nombre de buts. On cherche ici la probabilité que
X⩽1 ou
X⩾4 et on sait que
E(X)=2,5 et
V(X)=1,1.
Cela revient donc à dire que
∣X−E(X)∣⩾1,5.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir
P(∣X−E(X)∣⩾1,5)⩽1,521,1, soit
P(∣X−E(X)∣⩾1,5)⩽4522<0,49.
La probabilité que le match ne se termine pas par deux ou trois buts est
inférieure à
0,49.
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