Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 14
Cours 1

L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev

A
L'inégalité de Markov

Définition
Une variable aléatoire est dite positive ou nulle dans un univers , lorsque toutes les valeurs prises par celle-ci sont des réels positifs ou nuls.

Remarque

Autrement dit, pour tout .
Exemple
La variable aléatoire donnant le nombre de faces numérotées obtenues sur dix lancers d'un dé est positive ou nulle.
Théorème
Soit une variable aléatoire réelle positive ou nulle d'espérance .
Alors, pour tout réel strictement positif, .
Cette inégalité est appelée l'inégalité de Markov.

Remarque

Il est essentiel que la variable aléatoire soit positive ou nulle.
Démonstration
Soit une variable aléatoire réelle positive ou nulle dont on note les valeurs pour l'entier entre et . Par définition de l'espérance, on .
Séparons cette somme en deux blocs en considérant les valeurs supérieures ou égales à et celles strictement inférieures à .
On obtient .
Pour tout entier compris entre et , on sait que (car est positive ou nulle) et (par définition d'une probabilité) donc .
On en déduit que .
Par ailleurs, dans cette partie de la somme, pour tout entier compris entre et , donc .
Or, .
Par conséquent, ou encore .
Puisque , on obtient enfin .

Notation

signifie la somme pour tous .
Exemple
En 2015, le salaire brut mensuel moyen en France était de €. On choisit un salarié au hasard et on note la variable aléatoire donnant son salaire. Les salaires étant positifs ou nuls, on sait que est une variable aléatoire positive ou nulle.
On peut donc appliquer l'inégalité de Markov sur un exemple :
soit .

Remarque

Cette inégalité permet de trouver un majorant, mais pas forcément le plus petit possible.
Application et méthode - 1
Énoncé
Une usine produit en moyenne pièces par semaine. On note la variable aléatoire donnant le nombre de pièces produites par semaine. Que peut-on dire de la probabilité que l'usine produise plus de pièces par semaine ?

Méthode

  • On vérifie que la variable aléatoire considérée est positive ou nulle.
  • On repère la valeur de l'espérance (qui correspond ici à la moyenne).
  • On applique l'inégalité de Markov.

Solution
D'après le contexte, on sait que la variable est positive et que . L'inégalité de Markov implique que donc .

Pour s'entraîner
Exercices et

B
L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev

Théorème
Soit une variable aléatoire d'espérance et de variance .
Alors, pour tout réel strictement positif,
Cette inégalité est appelée l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Remarque

La variable aléatoire est positive ou nulle.

Remarque

Irénée-Jules Bienaymé est un probabiliste et statisticien français. Pafnouti Lvovitch Tchebychev est un mathématicien russe.

Remarque

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est loin d'être optimale. En réalité, il est fort possible que la probabilité soit bien inférieure au majorant obtenu.
Démonstration
Comme , les inégalités et sont équivalentes. De plus, la variable est positive ou nulle.
On applique donc l'inégalité de Markov à la variable et au réel .
Ainsi, .
Or, donc et on a bien .
Exemple
Le taux moyen de glycémie dans une population est de avec une variance de .
Une personne présente un taux critique si son taux ne se situe pas dans l'intervalle . Cet événement se traduit par l'inégalité .
Sa probabilité vérifie donc soit .
La probabilité qu'une personne présente un taux critique est inférieure ou égale à .
Propriété
Sous les mêmes conditions que la propriété précédente, l'inégalité peut être réécrite de la façon suivante .
Démonstration
Il suffit de remarquer que et d'utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Application et méthode - 2
Énoncé
Lors d'une saison de football, le nombre moyen de buts par match est de , avec une variance de . Majorer la probabilité que le match suivant ne se termine pas avec deux ou trois buts.

Méthode

  • Définir une variable aléatoire correspondant à l'énoncé.
  • Traduire les inégalités de l'énoncé sous forme d'écart par rapport à la moyenne.
  • Appliquer l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev pour conclure.

Solution
Soit la variable aléatoire donnant le nombre de buts. On cherche ici la probabilité que ou et on sait que et .
Cela revient donc à dire que .
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour obtenir , soit .
La probabilité que le match ne se termine pas par deux ou trois buts est inférieure à .

Pour s'entraîner
Exercices et

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