Loi des grands nombres

On effectue n lancers successifs supposés indépendants d'une pièce équilibrée.
On associe à chaque tirage i la variable aléatoire \text{X}_i, prenant comme valeur 0 si on obtient face et 1 si on obtient pile.
On pose \mathrm{S}_{n}=\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n} la variable aléatoire donnant le nombre de piles obtenu. On pose \mathrm{M}_{n}=\frac{\mathrm{S}_{n}}{n}.
On a, pour tout i \in\{1 \:; \ldots \: ; n\}, \mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\frac{1}{2} et \mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\frac{1}{4}.
Pour n = 10\:000, l'inégalité de concentration donne \text{P}\left(\left|\text{M}_{n}-\frac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant \frac{\frac{1}{4}}{10\:000 \times 0{,}01^{2}} donc \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\frac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant \frac{1}{4}.
Ainsi, pour 10\:000 lancers, la probabilité que la proportion de pile obtenue s'écarte de plus d'un centième de \frac{1}{2} est inférieure à \frac{1}{4}.

Énoncé

On reprend l'exemple précédent. On souhaite que l'écart entre la proportion de pile obtenue et \frac{1}{2} soit inférieur ou égal à 0{,}01. Quelle est la valeur minimale de n pour que le risque d'erreur soit inférieur ou égal à 5 % ?

Propriété

Soit (\text{X}_n) un échantillon d'une variable aléatoire.
On pose \mathrm{M}_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{X}_{k}.
Alors, pour tout réel a strictement positif, \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right)=0.

Il existe une propriété similaire, dite loi forte des grands nombres, qui dépasse le cadre de ce cours.

Démonstration

On applique l'inégalité de concentration à la variable aléatoire \text{M}_n.
0 \leqslant \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{n a^{2}}. Puisque \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0, on a \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \frac{\text{V(X)}}{n a^{2}}=0 donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right)=0.

On considère une urne contenant cinq boules noires et trois boules blanches. On souhaite estimer la probabilité d'obtenir au moins six boules noires sur un ensemble de dix tirages avec remise. Pour simuler cette expérience plusieurs fois, Adrien a écrit un programme avec Python.
En effectuant 100\:000 épreuves de dix tirages, il obtient une proportion p \approx 0{,}6943.
Sachant que la variance est 2{,}344, déterminer la probabilité de se tromper de plus d'un centième.