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2. Loi des grands nombres
P.412-413

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COURS 2


2
Loi des grands nombres




A
L’inégalité de concentration


Théorème

Soit une variable aléatoire d’espérance et de variance .
On pose la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille de ; autrement dit, , où les variables sont indépendantes et de même loi de probabilité (celle de ).
Alors, pour tout réel strictement positif, .
Cette inégalité est appelée l’inégalité de concentration.

Rappel

Un échantillon de taille de est la donnée de variables aléatoires indépendantes , … , , suivant toutes la même loi de probabilité, qui est celle de .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
76
p. 423
.

Exemple

On effectue lancers successifs supposés indépendants d’une pièce équilibrée.
On associe à chaque tirage la variable aléatoire , prenant comme valeur si on obtient face et si on obtient pile.
On pose la variable aléatoire donnant le nombre de piles obtenu. On pose .
On a, pour tout , et .
Pour , l’inégalité de concentration donne donc .
Ainsi, pour lancers, la probabilité que la proportion de pile obtenue s’écarte de plus d’un centième de est inférieure à .

Application et méthode - 3

Énoncé

On reprend l’exemple précédent. On souhaite que l’écart entre la proportion de pile obtenue et soit inférieur ou égal à .
Quelle est la valeur minimale de pour que le risque d’erreur soit inférieur ou égal à % ?

Méthode

Dans un exercice complet :
  • on pose convenablement les données pour écrire l’inégalité de concentration dans le cas général ;
  • on l’applique ensuite pour les valeurs souhaitées en résolvant l’inégalité.

Solution

En reprenant le travail effectué dans l’exemple avec lancers à la place de , on est amené à résoudre , ce qui aboutit à .

Pour s'entraîner : exercices 31 et 32 p. 419

B
Loi faible des grands nombres


Propriété

Soit un échantillon d’une variable aléatoire.
On pose .
Alors, pour tout réel a strictement positif, .

Remarque

Il existe une propriété similaire, dite loi forte des grands nombres, qui dépasse le cadre de ce cours.

DÉMONSTRATION

On applique l’inégalité de concentration à la variable aléatoire .
. Puisque , on a donc, d’après le théorème des gendarmes, .

Application et méthode - 4

Énoncé

On considère une urne contenant cinq boules noires et trois boules blanches. On souhaite estimer la probabilité d’obtenir au moins six boules noires sur un ensemble de dix tirages avec remise.
Pour simuler cette expérience plusieurs fois, Adrien a écrit un programme avec Python.
En effectuant épreuves de dix tirages, il obtient une proportion .
Sachant que la variance est , déterminer la probabilité de se tromper de plus d’un centième.

Méthode

  • Avec Python, on peut modéliser le phénomène comptant une boule blanche si le nombre est supérieur ou égal à six et une boule noire sinon.
  • On applique la loi des grands nombres et l’inégalité de concentration pour obtenir la probabilité cherchée.

Solution

D’après la loi des grands nombres, la probabilité cherchée est proche de .
La probabilité de s’écarter de plus de est inférieure à soit .

Pour s'entraîner : exercices 34 et 35 p. 419
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