Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Loi des grands nombres
P.412-413

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS 2


2
Loi des grands nombres




A
L’inégalité de concentration


Théorème

Soit X\text{X} une variable aléatoire d’espérance E(X)\text{E(X)} et de variance V(X)\text{V(X)}.
On pose Mn\text{M}_n la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille nn de X\text{X} ; autrement dit, Mn=1ni=1nXi\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \mathrm{X}_{i}, où les variables Xi\mathrm{X}_{i} sont indépendantes et de même loi de probabilité (celle de X\text{X}).
Alors, pour tout réel aa strictement positif, P(MnE(X)a)V(X)na2\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{n a^{2}}.
Cette inégalité est appelée l’inégalité de concentration.

Rappel

Un échantillon de taille n\boldsymbol{n} de X\mathbf{X} est la donnée de nn variables aléatoires indépendantes X1\text{X}_1, … , Xn\text{X}_n, suivant toutes la même loi de probabilité, qui est celle de X\text{X}.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
76
p. 423
.

Exemple

On effectue nn lancers successifs supposés indépendants d’une pièce équilibrée.
On associe à chaque tirage ii la variable aléatoire Xi\text{X}_i, prenant comme valeur 00 si on obtient face et 11 si on obtient pile.
On pose Sn=X1++Xn\mathrm{S}_{n}=\mathrm{X}_{1}+\ldots+\mathrm{X}_{n} la variable aléatoire donnant le nombre de piles obtenu. On pose Mn=Snn\mathrm{M}_{n}=\dfrac{\mathrm{S}_{n}}{n}.
On a, pour tout i{1;;n}i \in\{1 \:; \ldots \: ; n\}, E(Xi)=12\mathrm{E}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\dfrac{1}{2} et V(Xi)=14\mathrm{V}\left(\mathrm{X}_{i}\right)=\dfrac{1}{4}.
Pour n=10000n = 10\:000, l’inégalité de concentration donne P(Mn120,01)1410000×0,012\text{P}\left(\left|\text{M}_{n}-\dfrac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant \dfrac{\dfrac{1}{4}}{10\:000 \times 0{,}01^{2}} donc P(Mn120,01)14\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\dfrac{1}{2}\right| \geqslant 0{,}01\right) \leqslant \dfrac{1}{4}.
Ainsi, pour 1000010\:000 lancers, la probabilité que la proportion de pile obtenue s’écarte de plus d’un centième de 12\dfrac{1}{2} est inférieure à 14\dfrac{1}{4}.

Application et méthode - 3

Énoncé

On reprend l’exemple précédent. On souhaite que l’écart entre la proportion de pile obtenue et 12\dfrac{1}{2} soit inférieur ou égal à 0,010{,}01.
Quelle est la valeur minimale de nn pour que le risque d’erreur soit inférieur ou égal à 55 % ?

Méthode

Dans un exercice complet :
  • on pose convenablement les données pour écrire l’inégalité de concentration dans le cas général ;
  • on l’applique ensuite pour les valeurs souhaitées en résolvant l’inégalité.

Solution

En reprenant le travail effectué dans l’exemple avec nn lancers à la place de 1000010\:000, on est amené à résoudre 14n×0,0120,05\dfrac{\dfrac{1}{4}}{n \times 0{,}01^{2}} \leqslant 0{,}05, ce qui aboutit à n50000n \geqslant 50\:000.

Pour s'entraîner : exercices 31 et 32 p. 419

B
Loi faible des grands nombres


Propriété

Soit (Xn)(\text{X}_n) un échantillon d’une variable aléatoire.
On pose Mn=1nk=1nXk\mathrm{M}_{n}=\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{X}_{k}.
Alors, pour tout réel a strictement positif, limn+P(MnE(X)a)=0\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right)=0.

Remarque

Il existe une propriété similaire, dite loi forte des grands nombres, qui dépasse le cadre de ce cours.

DÉMONSTRATION

On applique l’inégalité de concentration à la variable aléatoire Mn\text{M}_n.
0P(MnE(X)a)V(X)na20 \leqslant \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{n a^{2}}. Puisque limn+1n=0\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{n}=0, on a limn+V(X)na2=0\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\text{V(X)}}{n a^{2}}=0 donc, d’après le théorème des gendarmes, limn+P(MnE(X)a)=0\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{n}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right| \geqslant a\right)=0.

Application et méthode - 4

Énoncé

On considère une urne contenant cinq boules noires et trois boules blanches. On souhaite estimer la probabilité d’obtenir au moins six boules noires sur un ensemble de dix tirages avec remise.
Pour simuler cette expérience plusieurs fois, Adrien a écrit un programme avec Python.
En effectuant 100000100\:000 épreuves de dix tirages, il obtient une proportion p0,6943p \approx 0{,}6943.
Sachant que la variance est 2,3442{,}344, déterminer la probabilité de se tromper de plus d’un centième.

Voir les réponses

Méthode

  • Avec Python, on peut modéliser le phénomène comptant une boule blanche si le nombre est supérieur ou égal à six et une boule noire sinon.
  • On applique la loi des grands nombres et l’inégalité de concentration pour obtenir la probabilité cherchée.

Solution

D’après la loi des grands nombres, la probabilité cherchée est proche de 0,69430{,}6943.
La probabilité de s’écarter de plus de a=0,01a = 0{,}01 est inférieure à V(X)n×a2\dfrac{\text{V(X)}}{n \times a^{2}} soit 0,23440{,}2344.

Pour s'entraîner : exercices 34 et 35 p. 419
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.