Soit X une variable aléatoire d’espérance E(X) et de variance V(X).
On pose Mn la variable aléatoire moyenne d’un échantillon de taille n de X ; autrement
dit, Mn=n1i=1∑nXi, où les variables Xi sont indépendantes et de même loi de probabilité (celle de X).
Alors, pour tout réel a strictement positif, P(∣Mn−E(X)∣⩾a)⩽na2V(X).
Cette inégalité est appelée l’inégalité de concentration.
Rappel
Un échantillon de taille n de X est la donnée de n variables aléatoires indépendantes X1, … , Xn, suivant toutes la même loi de probabilité, qui est celle de X.
On effectue n lancers successifs supposés indépendants d’une pièce équilibrée.
On associe à chaque tirage i la variable aléatoire Xi, prenant comme valeur 0 si on
obtient face et 1 si on obtient pile.
On pose Sn=X1+…+Xn la variable aléatoire donnant le nombre de piles obtenu.
On pose Mn=nSn.
On a, pour tout i∈{1;…;n}, E(Xi)=21 et V(Xi)=41.
Pour n=10000, l’inégalité de concentration donne
P(∣∣∣∣∣Mn−21∣∣∣∣∣⩾0,01)⩽10000×0,01241 donc P(∣∣∣∣∣Mn−21∣∣∣∣∣⩾0,01)⩽41.
Ainsi, pour 10000 lancers, la probabilité que la proportion de pile obtenue s’écarte de plus d’un centième de 21 est inférieure à 41.
Application et méthode - 3
Énoncé
On reprend l’exemple précédent. On souhaite que l’écart entre la proportion de pile obtenue et 21 soit inférieur ou égal à 0,01.
Quelle est la valeur minimale de n pour que le risque d’erreur soit inférieur ou égal à 5 % ?
Méthode
Dans un exercice complet :
on pose convenablement les données pour écrire l’inégalité de concentration dans le cas général ;
on l’applique ensuite pour les valeurs souhaitées en résolvant l’inégalité.
Solution
En reprenant le travail effectué dans l’exemple avec n lancers à
la place de 10000, on est amené à résoudre n×0,01241⩽0,05, ce
qui aboutit à n⩾50000.
Soit (Xn) un échantillon d’une variable aléatoire.
On pose Mn=n1k=1∑nXk.
Alors, pour tout réel a strictement positif, n→+∞limP(∣Mn−E(X)∣⩾a)=0.
Remarque
Il existe une propriété similaire, dite loi forte des grands nombres, qui dépasse le cadre de ce cours.
DÉMONSTRATION
On applique l’inégalité de concentration à la variable aléatoire Mn. 0⩽P(∣Mn−E(X)∣⩾a)⩽na2V(X). Puisque n→+∞limn1=0, on a n→+∞limna2V(X)=0 donc,
d’après le théorème des gendarmes, n→+∞limP(∣Mn−E(X)∣⩾a)=0.
Application et méthode - 4
Énoncé
On considère une urne contenant cinq boules noires et trois boules blanches. On souhaite estimer la probabilité d’obtenir au moins six boules noires sur un ensemble de dix tirages avec remise.
Pour simuler cette expérience plusieurs fois, Adrien a écrit un programme avec Python.
En effectuant 100000 épreuves de dix tirages, il obtient une proportion p≈0,6943.
Sachant que la variance est 2,344, déterminer la probabilité de se tromper de plus d’un centième.
Voir les réponses
Méthode
Avec Python, on peut modéliser le phénomène comptant une boule blanche si le nombre est supérieur ou égal à six et une boule noire sinon.
On applique la loi des grands nombres et l’inégalité de concentration pour obtenir la probabilité cherchée.
Solution
D’après la loi des grands nombres, la probabilité cherchée est proche de 0,6943.
La probabilité de s’écarter de plus de a=0,01 est inférieure à n×a2V(X) soit 0,2344.
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