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Chapitre 14


Loi des grands nombres





Loi des grands nombres

Le LHC à Genève est le plus grand accélérateur à particules au monde. Pour détecter une nouvelle particule, les physiciens répètent les expériences un très grand nombre de fois, afin de réduire l’incertitude des mesures à une valeur proche de zéro et ce, en utilisant la loi des grands nombres.

Capacités attendues - chapitre 14

1. Modéliser une situation probabiliste.

2. Connaître et appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

3. Connaître et appliquer l’inégalité de concentration.

4. Simuler une expérience à l’aide d’outils numériques.

5. Étendre les applications à différents domaines.

Avant de commencer

Prérequis

1. Utiliser des variables aléatoires.
2. Calculer une espérance et une variance.
3. Manipuler une somme de variables aléatoires.
4. Savoir utiliser les fonctions et les listes avec Python.

1
Interpréter une espérance

On lance douze fois un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66. On note X\text{X} le nombre de fois qu’apparaît la face numérotée 11.
Calculer E(X)\text{E(X)} et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
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2
Utiliser une loi de probabilité

On considère une roulette au casino composée de 3737 numéros, allant de 00 à 3636. On suppose une mise fixe de 55 €. Les règles sont les suivantes :
  • si on mise sur le bon numéro, on remporte 3636 fois la mise ;
  • si on se trompe de numéro, on perd sa mise.

On note X\text{X} le gain algébrique associé à l’expérience (autrement dit, X\text{X} peut prendre des valeurs positives en cas de gain et négatives en cas de perte).

1. Donner la loi de probabilité de X\text{X}.


2. Calculer l’espérance de X\text{X} et interpréter le résultat.


3. Calculer la variance de X\text{X}.
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3
Inventer une situation

Proposer un jeu simple avec au moins trois issues différentes et qui soit équitable (c’est-à-dire dont l’espérance est nulle).

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4
Utiliser une somme de variables aléatoires

Soient X\text{X} et Y\text{Y} deux variables aléatoires, résultant d’une succession d’expériences aléatoires indépendantes.
On sait que E(X)=2\text{E(X)} = 2, V(X)=4\text{V(X)} = 4, E(Y)=3\text{E(Y)} = 3 et V(Y)=5\text{V(Y)} = 5. On pose Z\text{Z} la variable aléatoire définie par Z = X + Y\text{Z = X + Y}.

1. Calculer E(Z)\text{E(Z)} et V(Z)\text{V(Z)}.


2. Calculer E(2Z)\text{E(2Z)} et V(2Z)\text{V(2Z)}.
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5
Utiliser un algorithme

Une personne décide de créer un jeu pour animer une soirée. Une autre personne tire de manière équiprobable une carte d’un jeu de 5252 cartes. Si elle obtient un roi, elle gagne 33  € et si elle obtient une autre figure, elle gagne 22 €. Enfin, si elle obtient une carte de valeur inférieure ou égale à 1010, elle perd une somme xx qui varie d’un jour à l’autre.
On note X\text{X} le gain algébrique associé à l’expérience. Écrire un programme en langage Python qui permette de calculer l’espérance de la variable aléatoire X\text{X} en fonction de xx.



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6
Problème

Une urne contient huit boules rouges et n boules blanches où n3n \geqslant 3.
On tire une boule au hasard dans l’urne et on admet que les boules sont indiscernables au toucher. Si on tire une boule rouge, on gagne 44 € et si on tire une boule blanche, on perd 33 €. On désigne par X\text{X} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

1. a. Donner les valeurs possibles prises par X\text{X}.


b. Établir, en fonction de nn, la loi de probabilité de X\text{X}.


c. Exprimer l’espérance de X\text{X} en fonction de nn.


d. Pour quelles valeurs de nn le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.


2. Le joueur tire successivement deux boules sans remise. On désigne par Y\text{Y} la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

a. Donner les valeurs possibles prises par Y\text{Y}.


b. Établir, en fonction de nn, la loi de probabilité de Y\text{Y}.
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c. Exprimer l’espérance de Y\text{Y} en fonction de nn.


d. Pour quelles valeurs de nn, le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
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Anecdote

8,06×10678{,}06 \times 10^{67} est approximativement le nombre de façons différentes de mélanger un jeu de 5252 cartes. Même si l’humanité tout entière mélangeait depuis 10 000 ans chaque seconde, on serait encore loin de ce nombre. Il est donc quasi certain qu’aucun mélange de cartes de l’histoire n’est apparu deux fois !
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