1. Calculer $\text{E(Z)}$ et $\text{V(Z)}$.

2. Calculer $\text{E(2Z)}$ et $\text{V(2Z)}$.

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Utiliser un algorithme

Une personne décide de créer un jeu pour animer une soirée. Une autre personne tire de manière équiprobable une carte d'un jeu de $52$ cartes. Si elle obtient un roi, elle gagne $3$  € et si elle obtient une autre figure, elle gagne $2$ €. Enfin, si elle obtient une carte de valeur inférieure ou égale à $10$, elle perd une somme $x$ qui varie d'un jour à l'autre.

On note $\text{X}$ le gain algébrique associé à l'expérience. Écrire un programme en langage Python qui permette de calculer l'espérance de la variable aléatoire $\text{X}$ en fonction de $x$.

Une urne contient huit boules rouges et n boules blanches où $n⩾3$.
On tire une boule au hasard dans l'urne et on admet que les boules sont indiscernables au toucher. Si on tire une boule rouge, on gagne $4$ € et si on tire une boule blanche, on perd $3$ €. On désigne par $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur. 1. a. Donner les valeurs possibles prises par $\text{X}$.

b. Établir, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $\text{X}$.

c. Exprimer l'espérance de $\text{X}$ en fonction de $n$.

d. Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

2. Le joueur tire successivement deux boules sans remise. On désigne par $\text{Y}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

a. Donner les valeurs possibles prises par $\text{Y}$

b. Établir, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $\text{Y}$

c. Exprimer l'espérance de $\text{Y}$ en fonction de $n$

d. Pour quelles valeurs de $n$, le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.