Loi des grands nombres

1

Interpréter une espérance

On lance douze fois un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. On note $\text{X}$ le nombre de fois qu’apparaît la face numérotée $1$.
Calculer $\text{E(X)}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

2

Utiliser une loi de probabilité

On considère une roulette au casino composée de $37$ numéros, allant de $0$ à $36$. On suppose une mise fixe de $5$ €. Les règles sont les suivantes :

• si on mise sur le bon numéro, on remporte $36$ fois la mise ;
• si on se trompe de numéro, on perd sa mise.

On note $\text{X}$ le gain algébrique associé à l’expérience (autrement dit, $\text{X}$ peut prendre des valeurs positives en cas de gain et négatives en cas de perte).

1. Donner la loi de probabilité de $\text{X}$.

2. Calculer l’espérance de $\text{X}$ et interpréter le résultat.


3. Calculer la variance de $\text{X}$.

3

Inventer une situation

Proposer un jeu simple avec au moins trois issues différentes et qui soit équitable (c’est-à-dire dont l’espérance est nulle).

4

Utiliser une somme de variables aléatoires

Soient $\text{X}$ et $\text{Y}$ deux variables aléatoires, résultant d’une succession d’expériences aléatoires indépendantes.
On sait que $\text{E(X)}=2$, $\text{V(X)}=4$, $\text{E(Y)}=3$ et $\text{V(Y)}=5$. On pose $\text{Z}$ la variable aléatoire définie par $\text{Z = X + Y}$.

1. Calculer $\text{E(Z)}$ et $\text{V(Z)}$.


2. Calculer $\text{E(2Z)}$ et $\text{V(2Z)}$.

5

Utiliser un algorithme

Une personne décide de créer un jeu pour animer une soirée. Une autre personne tire de manière équiprobable une carte d’un jeu de $52$ cartes. Si elle obtient un roi, elle gagne $3$  € et si elle obtient une autre figure, elle gagne $2$ €. Enfin, si elle obtient une carte de valeur inférieure ou égale à $10$, elle perd une somme $x$ qui varie d’un jour à l’autre.
On note $\text{X}$ le gain algébrique associé à l’expérience. Écrire un programme en langage Python qui permette de calculer l’espérance de la variable aléatoire $\text{X}$ en fonction de $x$.

6

Problème

Une urne contient huit boules rouges et n boules blanches où $n⩾3$.
On tire une boule au hasard dans l’urne et on admet que les boules sont indiscernables au toucher. Si on tire une boule rouge, on gagne $4$ € et si on tire une boule blanche, on perd $3$ €. On désigne par $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

1. a. Donner les valeurs possibles prises par $\text{X}$.


b. Établir, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $\text{X}$.

c. Exprimer l’espérance de $\text{X}$ en fonction de $n$.


d. Pour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.


2. Le joueur tire successivement deux boules sans remise. On désigne par $\text{Y}$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.

a. Donner les valeurs possibles prises par $\text{Y}$.


b. Établir, en fonction de $n$, la loi de probabilité de $\text{Y}$.

c. Exprimer l’espérance de $\text{Y}$ en fonction de $n$.


d. Pour quelles valeurs de $n$, le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.