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Raisonnement par l'absurde

On s'intéresse à deux propositions \text{A} et \text{B} et on veut démontrer que \text{A} implique \text{B} (autrement dit, si \text{A} est vraie, alors \text{B} l'est aussi).
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que \text{A} est vraie et que \text{B} est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que \text{B} doit être nécessairement vraie.

Lorsque \mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}, on dit que \text{B} est une condition nécessaire à \text{A}.

On souhaite démontrer que \sqrt{2} est irrationnel. Pour cela, on suppose qu'il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice

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)

L'implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit x un réel positif. Si x^2 = 2, alors x est irrationnel. »

Raisonnons par l'absurde et supposons que \frac{1}{3} est décimal.
Il existe alors un entier relatif a et un entier relatif b tels que \frac{1}{3}=\frac{a}{10^{b}}.
Ainsi, 3 \times a=10^{b}, ce qui signifie que 10^b est un multiple de 3 : la somme de ses chiffres doit donc être divisible par 3, ce qui est absurde. En effet, la somme des chiffres de 10^b est toujours égale à 1 et n'est donc pas divisible par 3.
L'hypothèse « \frac{1}{3} est décimal. » est donc fausse et ainsi \frac{1}{3} n'est pas décimal.

• On suppose que le contraire de la conclusion est vrai.
• On aboutit à une contradiction.
• On en déduit que notre hypothèse de départ est fausse.
• On conclut donc que la proposition de départ est vraie.

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On considère deux réels positifs x et y. On souhaite montrer par l'absurde la proposition :
« Si \frac{x}{1+y}=\frac{y}{1+x}, alors x=y. »

1. Pour raisonner par l'absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?

2. Montrer alors que x^{2}-y^{2}=-(x-y).

3. En déduire que x + y = -1. Est‑ce possible ?

4. Conclure.

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Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si n n'est pas premier, alors n admet un diviseur inférieur ou égal à \sqrt{n}.

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Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

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Soit n un entier naturel. Montrer que si l'on range n + 1 paires de chaussettes dans n tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.