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Raisonnement par contraposée

On s'intéresse à une proposition qui s'énonce de la manière suivante 
« Si \text{A} est vraie, alors \text{B} est vraie. »
Cette proposition peut également s'énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si \text{B} est fausse, alors \text{A} est fausse. »
Ou encore : « Si \text{non(B)} est vraie, alors \text{non(A)} est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.

On retrouve ici le fait que \text{B} est une condition nécessaire à \text{A}.

La contraposée de la proposition « S'il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »

Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.

Soit n \in \N. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c'est‑à‑dire que si n est impair, alors n^2 est impair.
Supposons donc que n est impair. Il existe alors k \in \N tel que n = 2k + 1.
Ainsi, n^{2}=(2 k+1)^{2}=(2 k)^{2}+2 \times 2 k \times 1+1=4 k^{2}+4 k+1=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1.
En posant k^{\prime}=2 k^{2}+2 k, on a k^{\prime} \in \mathbb{N} et n^{2}=2 k^{\prime}+1.
n^2 est donc impair. Ainsi, si n est impair, alors n^2 est impair. Par contraposée, si n^2 n'est pas impair, alors n n'est pas impair. Autrement dit, si n^2 est pair, alors n est pair.

• On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
• Impair est bien le contraire de pair.
• On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.

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On considère un triangle \text{ABC} tel que \mathrm{AB} = 3, \mathrm{BC} = 5 et \mathrm{AC} = 8.

1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.

2. Le triangle \text{ABC} est‑il rectangle ? Justifier.

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Soient m et n deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que si m \times n est impair, alors m et n sont impairs.

2. Montrer que si m \times n = 1, alors m = 1 et n = 1.