On s’intéresse à deux propositions A et B et on veut démontrer que A implique B (autrement dit, si A est vraie, alors B l’est aussi).
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que A est vraie et que B est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B doit être nécessairement vraie.
Remarque
Lorsque A⇒B, on dit que B est une condition nécessaire à A.
Exemple
On souhaite démontrer que 2 est irrationnel. Pour cela, on suppose qu’il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice
L’implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit x un réel positif. Si x2=2, alors x est irrationnel. »
Énoncé
Montrer que 31 n’est pas un nombre décimal.
Rédaction détaillée
Raisonnons par l’absurde et supposons que 31 est décimal.
Il existe alors un entier relatif a et un entier relatif b tels que 31=10ba.
Ainsi, 3×a=10b, ce qui signifie que 10b est un multiple de 3 : la somme de ses chiffres doit donc être divisible par 3, ce qui est absurde. En effet, la somme des
chiffres de 10b est toujours égale à 1 et n’est donc pas divisible par 3.
L’hypothèse « 31 est décimal. » est donc fausse et ainsi 31 n’est pas décimal.
Explications
On suppose que le contraire de la conclusion est vrai.
On aboutit à une contradiction.
On en déduit que notre hypothèse de départ est fausse.
On conclut donc que la proposition de départ est vraie.
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On considère deux réels positifs x et y. On souhaite montrer par l’absurde la proposition :
« Si 1+yx=1+xy, alors x=y. »
1. Pour raisonner par l’absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?
2. Montrer alors que x2−y2=−(x−y).
3. En déduire que x+y=−1. Est‑ce possible ?
4. Conclure.
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30
Soit n un entier naturel non nul. Montrer que si n n’est pas premier, alors n admet un diviseur inférieur ou égal à n.
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31
Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
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32
Soit n un entier naturel. Montrer que si l’on range n+1 paires de chaussettes dans n tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.
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33
L’objectif de cet exercice est de montrer que 2 est irrationnel. On procède par l’absurde en supposant que 2 est un nombre rationnel.
1. Montrer que, sous cette hypothèse, il existe deux entiers naturels p et q avec q=0 n’ayant que 1 comme diviseur commun et tels que p2=2q2.
2. En déduire que p est pair.
3. En écrivant qu’il existe un entier relatif k tel que p=2k, montrer que q est pair.
4. Conclure.
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