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5. Raisonnement par l’absurde
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Apprendre à démontrer


5
Raisonnement par l’absurde





Principe
On s’intéresse à deux propositions A\text{A} et B\text{B} et on veut démontrer que A\text{A} implique B\text{B} (autrement dit, si A\text{A} est vraie, alors B\text{B} l’est aussi).
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que A\text{A} est vraie et que B\text{B} est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que B\text{B} doit être nécessairement vraie.

Remarque

Lorsque A⇒B\mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}, on dit que B\text{B} est une condition nécessaire à A\text{A}.

Exemple

On souhaite démontrer que 2\sqrt{2} est irrationnel. Pour cela, on suppose qu’il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice
33
)

Remarque

L’implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit xx un réel positif. Si x2=2x^2 = 2, alors xx est irrationnel. »

Énoncé

Montrer que 13\dfrac{1}{3} n’est pas un nombre décimal.

Rédaction détaillée

Raisonnons par l’absurde et supposons que 13\dfrac{1}{3} est décimal.
Il existe alors un entier relatif aa et un entier relatif bb tels que 13=a10b\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^{b}}.
Ainsi, 3×a=10b3 \times a=10^{b}, ce qui signifie que 10b10^b est un multiple de 33 : la somme de ses chiffres doit donc être divisible par 33, ce qui est absurde. En effet, la somme des chiffres de 10b10^b est toujours égale à 11 et n’est donc pas divisible par 33.
L’hypothèse « 13\dfrac{1}{3} est décimal. » est donc fausse et ainsi 13\dfrac{1}{3} n’est pas décimal.

Explications

  • On suppose que le contraire de la conclusion est vrai.
  • On aboutit à une contradiction.
  • On en déduit que notre hypothèse de départ est fausse.
  • On conclut donc que la proposition de départ est vraie.


29
On considère deux réels positifs xx et yy. On souhaite montrer par l’absurde la proposition :
« Si x1+y=y1+x\dfrac{x}{1+y}=\dfrac{y}{1+x}, alors x=yx=y. »

1. Pour raisonner par l’absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?


2. Montrer alors que x2−y2=−(x−y)x^{2}-y^{2}=-(x-y).


3. En déduire que x+y=−1x + y = -1. Est‑ce possible ?


4. Conclure.
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30
Soit nn un entier naturel non nul. Montrer que si nn n’est pas premier, alors nn admet un diviseur inférieur ou égal à n\sqrt{n}.
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31
Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
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32
Soit nn un entier naturel. Montrer que si l’on range n+1n + 1 paires de chaussettes dans nn tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.
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33
L’objectif de cet exercice est de montrer que 2\sqrt{2} est irrationnel. On procède par l’absurde en supposant que 2\sqrt{2} est un nombre rationnel.

1. Montrer que, sous cette hypothèse, il existe deux entiers naturels pp et qq avec q≠0q \neq 0 n’ayant que 11 comme diviseur commun et tels que p2=2q2p^{2}=2 q^{2}.


2. En déduire que pp est pair.


3. En écrivant qu’il existe un entier relatif kk tel que p=2kp = 2k, montrer que qq est pair.


4. Conclure.
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