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Raisonnement par l'absurde

On s'intéresse à deux propositions $\text{A}$ et $\text{B}$ et on veut démontrer que $\text{A}$ implique $\text{B}$ (autrement dit, si $\text{A}$ est vraie, alors $\text{B}$ l'est aussi).
Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que $\text{A}$ est vraie et que $\text{B}$ est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que $\text{B}$ doit être nécessairement vraie.

Lorsque $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$, on dit que $\text{B}$ est une condition nécessaire à $\text{A}$.

On souhaite démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Pour cela, on suppose qu'il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice

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)

L'implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit $x$ un réel positif. Si $x^2=2$, alors $x$ est irrationnel. »

Raisonnons par l'absurde et supposons que $\frac{1}{3}$ est décimal.
Il existe alors un entier relatif $a$ et un entier relatif $b$ tels que $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^b}$.
Ainsi, $3\times a=10^b$, ce qui signifie que $10^b$ est un multiple de $3$ : la somme de ses chiffres doit donc être divisible par $3$, ce qui est absurde. En effet, la somme des chiffres de $10^b$ est toujours égale à $1$ et n'est donc pas divisible par $3$.
L'hypothèse « $\frac{1}{3}$ est décimal. » est donc fausse et ainsi $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal.

• On suppose que le contraire de la conclusion est vrai.
• On aboutit à une contradiction.
• On en déduit que notre hypothèse de départ est fausse.
• On conclut donc que la proposition de départ est vraie.

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On considère deux réels positifs $x$ et $y$. On souhaite montrer par l'absurde la proposition :
« Si $\frac{x}{1+y}=\frac{y}{1+x}$, alors $x=y$. »

1. Pour raisonner par l'absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?

2. Montrer alors que $x^2-y^2=-(x-y)$.

3. En déduire que $x+y=-1$. Est‑ce possible ?

4. Conclure.

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Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que si $n$ n'est pas premier, alors $n$ admet un diviseur inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

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Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

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Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si l'on range $n+1$ paires de chaussettes dans $n$ tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.