5. Raisonnement par l’absurde
P.23
Apprendre à démontrer
5Raisonnement par l’absurde
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Principe
On s’intéresse à deux propositions et et on veut démontrer que implique (autrement dit, si est vraie, alors l’est aussi).
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que est vraie et que est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que doit être nécessairement vraie.
Remarque
Lorsque , on dit que est une condition nécessaire à .
Exemple
On souhaite démontrer que est irrationnel. Pour cela, on suppose qu’il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice
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Remarque
L’implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit un réel positif. Si , alors est irrationnel. »
Énoncé
Montrer que n’est pas un nombre décimal.
Rédaction détaillée
Raisonnons par l’absurde et supposons que est décimal.
Il existe alors un entier relatif et un entier relatif tels que .
Ainsi, , ce qui signifie que est un multiple de : la somme de ses chiffres doit donc être divisible par , ce qui est absurde. En effet, la somme des chiffres de est toujours égale à et n’est donc pas divisible par .
L’hypothèse « est décimal. » est donc fausse et ainsi n’est pas décimal.
Il existe alors un entier relatif et un entier relatif tels que .
Ainsi, , ce qui signifie que est un multiple de : la somme de ses chiffres doit donc être divisible par , ce qui est absurde. En effet, la somme des chiffres de est toujours égale à et n’est donc pas divisible par .
L’hypothèse « est décimal. » est donc fausse et ainsi n’est pas décimal.
Explications
- On suppose que le contraire de la conclusion est vrai.
- On aboutit à une contradiction.
- On en déduit que notre hypothèse de départ est fausse.
- On conclut donc que la proposition de départ est vraie.
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On considère deux réels positifs et . On souhaite montrer par l’absurde la proposition :
« Si , alors . »
1. Pour raisonner par l’absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?
2. Montrer alors que .
3. En déduire que . Est‑ce possible ?
4. Conclure.
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Soit un entier naturel non nul. Montrer que si n’est pas premier, alors admet un diviseur inférieur ou égal à .
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Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
32
Soit un entier naturel. Montrer que si l’on range paires de chaussettes dans tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.
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L’objectif de cet exercice est de montrer que est irrationnel. On procède par l’absurde en supposant que est un nombre rationnel.
1. Montrer que, sous cette hypothèse, il existe deux entiers naturels et avec n’ayant que comme diviseur commun et tels que .
2. En déduire que est pair.
3. En écrivant qu’il existe un entier relatif tel que , montrer que est pair.
4. Conclure.