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Raisonnement par l’absurde

Lorsque $\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{B}$, on dit que $\text{B}$ est une condition nécessaire à $\text{A}$.

On souhaite démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Pour cela, on suppose qu’il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice

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)

L’implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit $x$ un réel positif. Si $x^2=2$, alors $x$ est irrationnel. »

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On considère deux réels positifs $x$ et $y$. On souhaite montrer par l’absurde la proposition :
« Si $\frac{x}{1+y}=\frac{y}{1+x}$, alors $x=y$. »

1. Pour raisonner par l’absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?


2. Montrer alors que $x^2-y^2=-(x-y)$.


3. En déduire que $x+y=-1$. Est‑ce possible ?


4. Conclure.

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Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que si $n$ n’est pas premier, alors $n$ admet un diviseur inférieur ou égal à $\sqrt{n}$.

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Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

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Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si l’on range $n+1$ paires de chaussettes dans $n$ tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.

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L’objectif de cet exercice est de montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. On procède par l’absurde en supposant que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.

1. Montrer que, sous cette hypothèse, il existe deux entiers naturels $p$ et $q$ avec $q\ne 0$ n’ayant que $1$ comme diviseur commun et tels que $p^2=2q^2$.


2. En déduire que $p$ est pair.


3. En écrivant qu’il existe un entier relatif $k$ tel que $p=2k$, montrer que $q$ est pair.


4. Conclure.