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5. Raisonnement par l’absurde
P.23

Apprendre à démontrer


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Raisonnement par l’absurde





Principe

On s’intéresse à deux propositions et et on veut démontrer que implique (autrement dit, si est vraie, alors l’est aussi).
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que est vraie et que est fausse. On aboutit alors à une contradiction, ce qui entraîne que doit être nécessairement vraie.

Remarque

Lorsque , on dit que est une condition nécessaire à .

Exemple

On souhaite démontrer que est irrationnel. Pour cela, on suppose qu’il est rationnel et on aboutit à une contradiction. (Voir exercice
33
)

Remarque

L’implication est cachée ici. On peut reformuler la proposition ainsi : « Soit un réel positif. Si , alors est irrationnel. »

Énoncé

Montrer que n’est pas un nombre décimal.

29

On considère deux réels positifs et . On souhaite montrer par l’absurde la proposition :
« Si , alors . »

1. Pour raisonner par l’absurde, quelles hypothèses doit‑on faire ?


2. Montrer alors que .


3. En déduire que . Est‑ce possible ?


4. Conclure.
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30

Soit un entier naturel non nul. Montrer que si n’est pas premier, alors admet un diviseur inférieur ou égal à .
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31

Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.
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32

Soit un entier naturel. Montrer que si l’on range paires de chaussettes dans tiroirs, alors il y aura forcément au moins un tiroir comportant au moins deux paires de chaussettes.
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33

L’objectif de cet exercice est de montrer que est irrationnel. On procède par l’absurde en supposant que est un nombre rationnel.

1. Montrer que, sous cette hypothèse, il existe deux entiers naturels et avec n’ayant que comme diviseur commun et tels que .


2. En déduire que est pair.


3. En écrivant qu’il existe un entier relatif tel que , montrer que est pair.


4. Conclure.
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