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8. Raisonnement par récurrence
P.26-27

Apprendre à démontrer


8
Raisonnement par récurrence





Principe

Le raisonnement par récurrence ne peut s’utiliser que lorsque l’on cherche à démontrer qu’une proposition est vraie pour tout entier naturel supérieur ou égal à un entier naturel .

Remarque

En terminale, on a généralement ou .

Théorème

Soit . On considère la proposition définie pour tout entier naturel .
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. est vraie pour l’entier  ;
2. pour tout entier naturel , «  est vraie. » implique «  est vraie. » ; alors on peut conclure que, pour tout , la proposition est vraie.

Remarque

Les étapes du raisonnement par récurrence sont :
  • initialisation ;
  • hypothèse de récurrence ;
  • hérédité ;
  • conclusion.

Énoncé

Démontrer que, pour tout entier naturel , est un multiple de .

48

Résoudre l’exercice suivant en complétant la rédaction entamée.

Énoncé : Démontrer par récurrence que, pour tout , .

Démonstration :
1. Soit . On note la proposition


2. Soit .
D’une part,

D’autre part,

On a ainsi montré que
est vraie.

3. On considère
tel que
est vraie ;
autrement dit :

On veut démontrer que
 ;
autrement dit :


4.



Donc
est vraie.

5. Ainsi,
et

Par le principe de récurrence, on en déduit que
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49

Soit . On souhaite démontrer la proposition suivante, notée  :
.

1. Montrer que est vraie.


2. Supposons qu’il existe un entier tel que est vraie.
a. Écrire .


b. Montrer que est vraie.


3. Conclure.
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50

Soit . On définit la suite par et, pour tout , .

1. Montrer que, pour tout , .


2. Démontrer que, pour tout , .
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51

Soit . On considère la proposition  : «  est divisible par . »

1. Montrer que s’il existe un entier tel que est vraie, alors est vraie.


2. Peut‑on en conclure que est vraie pour tout entier naturel  ? Justifier.


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , est un multiple de .


4. À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que est fausse pour tout entier naturel .
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52

Soient un entier naturel non nul et une fonction définie et dérivable sur .

1. Montrer par récurrence que la fonction est dérivable sur et que, pour tout réel , .


2. Application : retrouver la dérivée de la fonction , définie et dérivable sur .
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53

Soient et deux réels. On considère la suite arithmétique de terme initial et de raison .
Montrer que, pour tout entier naturel , .
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54

Soit . On note la proposition suivante :
« Pour tout réel strictement positif,  »

1. Montrer que cette proposition est vraie pour .


2. Supposons qu’il existe un entier tel que est vraie. Soit .
a. Développer .


b. En déduire que est vraie.


3. Conclure.
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55

Pour un polygone convexe — c’est‑à‑dire un polygone dont tous les angles sont inférieurs à 180 degrés —, on souhaite compter le nombre de diagonales, c’est‑à‑dire le nombre de segments joignant deux sommets non consécutifs de ce polygone.

1. Déterminer le nombre de diagonales d’un triangle, d’un quadrilatère et d’un pentagone convexe.


2. Soit un entier naturel supérieur ou égal à . On considère la proposition suivante : « Un polygone convexe à côtés possède diagonales. »
Que peut‑on vérifier d’après la question 1. ?


3. On suppose qu’il existe un entier naturel pour lequel est vraie. On considère un polygone convexe à sommets et on note l’un de ses sommets.
a. Combien de diagonales comporte le polygone composé des sommets sauf (donc possède sommets) ?


b. Combien y a‑t‑il de diagonales de partant du point  ?


c. En remarquant qu’un des côtés de est une diagonale de , montrer que est vraie et conclure.
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