Le raisonnement par récurrence ne peut s’utiliser que lorsque l’on cherche à démontrer qu’une proposition est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier naturel n0.
Remarque
En terminale, on a généralement n0=0 ou n0=1.
Théorème
Soit n0∈N. On considère la proposition Pn définie pour tout entier naturel n⩾n0.
Si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1.Pn est vraie pour l’entier n0 ;
2. pour tout entier naturel k⩾n0, « Pk est vraie. » implique « Pk+1 est vraie. » ; alors on peut conclure que, pour tout n⩾n0, la proposition Pn est vraie.
Remarque
Les étapes du raisonnement par récurrence sont :
initialisation ;
hypothèse de récurrence ;
hérédité ;
conclusion.
Énoncé
Démontrer que, pour tout entier naturel n, n3−n est un multiple de 3.
Rédaction détaillée
1. Soit n∈N. On note Pn la proposition « n3−n est un multiple de 3. »
2. Pour n=0, n3−n=03−0=0=3×0, donc n3−n est un multiple de 3.
La proposition P0 est donc vraie.
3. On considère un entier naturel k pour lequel Pk est vraie. Autrement dit, on suppose que k3−k est un multiple de 3. Il existe donc un entier relatif q tel que k3−k=3q. On veut démontrer que Pk+1 est vraie, autrement dit, que (k+1)3−(k+1) est un multiple de 3. On cherche donc q′∈Z tel que (k+1)3−(k+1)=3q′.
Or, par hypothèse de récurrence, k3−k=3q.
Ainsi, (k+1)3−(k+1)=3q+3k2+3k=3(q+k2+k).
On note q′=q+k2+k. q′ est bien un entier en tant que somme d’entiers. On a ainsi trouvé q′∈Z tel que (k+1)3−(k+1)=3q′ donc Pk+1 est vraie.
5. Ainsi, P0 est vraie et, pour tout entier k tel que Pk est vraie, alors Pk+1 est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n∈N, Pn est vraie.
Donc, pour tout n∈N, n3−n est un multiple de 3.
Explications
1. On nomme la proposition que l’on souhaite démontrer.
2. Cette étape est l’initialisation : on vérifie que P0 est vraie en remplaçant n par 0.
3. On énonce l’hypothèse de récurrence dont on se servira dans la démonstration de l’hérédité.
4. On démontre l’hérédité de la proposition. La plupart du temps, c’est la partie la plus technique du raisonnement par récurrence. L’hypothèse de récurrence doit être utilisée dans l’hérédité. Dans cet exemple, la principale difficulté consiste à traduire l’énoncé « multiple de 3 » en une proposition mathématique. Cela permet de savoir qu’une factorisation par 3 est nécessaire.
5. La conclusion est une étape importante du raisonnement mais rarement difficile à rédiger puisqu’elle reprend notamment l’énoncé de départ.
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Résoudre l’exercice suivant en complétant la rédaction entamée.
Énoncé : Démontrer par récurrence que, pour tout n∈N, 1+2+3+…+n=2n(n+1).
Démonstration : 1. Soit n∈N. On note Pn la proposition
2. Soit n=0.
D’une part,
D’autre part,
On a ainsi montré que est vraie.
3. On considère tel que est vraie ;
autrement dit :
On veut démontrer que ;
autrement dit :
4.1+2+3+…+k+(k+1)=
Donc est vraie.
5. Ainsi, et
Par le principe de récurrence, on en déduit que
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49
Soit n∈N. On souhaite démontrer la proposition suivante, notée Pn :
12+22+32+…+n2=6n(n+1)(2n+1).
1. Montrer que P0 est vraie.
2. Supposons qu’il existe un entier k tel que Pk est vraie.
a. Écrire Pk+1.
b. Montrer que Pk+1 est vraie.
3. Conclure.
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Soit a∈[0;1]. On définit la suite (un) par u0=a et, pour tout n∈N, un+1=3un(1−un).
1. Montrer que, pour tout x∈[0;1], x(1−x)⩽41.
2. Démontrer que, pour tout n∈N, un∈[0;1].
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51
Soit n∈N. On considère la proposition Pn : « 10n+1 est divisible par 9. »
1. Montrer que s’il existe un entier k tel que Pk est vraie, alors Pk+1 est vraie.
2. Peut‑on en conclure que Pn est vraie pour tout entier naturel n ? Justifier.
3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 10n−1 est un multiple de 9.
4. À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que Pn est fausse pour tout entier naturel n.
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Soient n un entier naturel non nul et f une fonction définie et dérivable sur R.
1. Montrer par récurrence que la fonction fn:x↦(f(x))n est dérivable sur R et que, pour tout réel x, (fn)′(x)=nf′(x)(f(x))n−1.
2.Application : retrouver la dérivée de la fonction x↦xn, définie et dérivable sur R.
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53
Soient a et r deux réels. On considère la suite arithmétique (un) de terme initial u0=a et de raison r.
Montrer que, pour tout entier naturel n, un=a+rn.
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54
Soit n∈N. On note Pn la proposition suivante :
« Pour tout réel x strictement positif, (1+x)n⩾1+nx. »
1. Montrer que cette proposition est vraie pour n=0.
2. Supposons qu’il existe un entier k tel que Pk est vraie. Soit x>0.
a. Développer (1+kx)(1+x).
b. En déduire que Pk+1 est vraie.
3. Conclure.
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Pour un polygone convexe — c’est‑à‑dire un polygone dont tous les angles sont inférieurs à 180 degrés —, on souhaite compter le nombre de diagonales, c’est‑à‑dire le nombre de segments joignant deux sommets non consécutifs de ce polygone.
1. Déterminer le nombre de diagonales d’un triangle, d’un quadrilatère et d’un pentagone convexe.
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère la proposition Pn suivante : « Un polygone convexe à n côtés possède 2n(n−3) diagonales. »
Que peut‑on vérifier d’après la question 1. ?
3. On suppose qu’il existe un entier naturel k⩾3 pour lequel Pk est vraie. On considère P un polygone convexe à k+1 sommets et on note A l’un de ses sommets.
a. Combien de diagonales comporte le polygone P′ composé des k+1 sommets sauf A (donc P′ possède k sommets) ?
b. Combien y a‑t‑il de diagonales de P partant du point A ?
c. En remarquant qu’un des côtés de P′ est une diagonale de P, montrer que Pk+1 est vraie et conclure.
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