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Raisonnement par récurrence

En terminale, on a généralement $n_0=0$ ou $n_0=1$.

Les étapes du raisonnement par récurrence sont :

• initialisation ;
• hypothèse de récurrence ;
• hérédité ;
• conclusion.

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Résoudre l’exercice suivant en complétant la rédaction entamée.

Énoncé : Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Démonstration :
1. Soit $n\in \mathbb{N}$. On note ${\mathcal{P}}_n$ la proposition

2. Soit $n=0$.
D’une part,
D’autre part,
On a ainsi montré que est vraie.

3. On considère tel que est vraie ;
autrement dit :
On veut démontrer que  ;
autrement dit :

4. $1+2+3+\dots +k+(k+1)=$


Donc est vraie.

5. Ainsi, et
Par le principe de récurrence, on en déduit que

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Soit $n\in \mathbb{N}$. On souhaite démontrer la proposition suivante, notée ${\mathcal{P}}_n$ : $1^2+2^2+3^2+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
1. Montrer que ${\mathcal{P}}_0$ est vraie.


2. Supposons qu’il existe un entier $k$ tel que ${\mathcal{P}}_k$ est vraie.
a. Écrire ${\mathcal{P}}_{k+1}$.


b. Montrer que ${\mathcal{P}}_{k+1}$ est vraie.


3. Conclure.

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Soit $a\in [0;1]$. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=3u_n\left(1-u_n\right)$.

1. Montrer que, pour tout $x\in [0;1]$, $x(1-x)⩽\frac{1}{4}$.


2. Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in [0;1]$.

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Soit $n\in \mathbb{N}$. On considère la proposition ${\mathcal{P}}_n$ : « $10^n+1$ est divisible par $9$. »

1. Montrer que s’il existe un entier $k$ tel que ${\mathcal{P}}_k$ est vraie, alors ${\mathcal{P}}_{k+1}$ est vraie.


2. Peut‑on en conclure que ${\mathcal{P}}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ ? Justifier.


3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $10^n-1$ est un multiple de $9$.


4. À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que ${\mathcal{P}}_n$ est fausse pour tout entier naturel $n$.

52

Soient $n$ un entier naturel non nul et $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer par récurrence que la fonction $f^n:x\mapsto (f(x){)}^n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout réel $x$, ${\left(f^n\right)}^{\prime }(x)=n{f}^{\prime }(x)(f(x){)}^{n-1}$.


2. Application : retrouver la dérivée de la fonction $x\mapsto x^n$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

53

Soient $a$ et $r$ deux réels. On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de terme initial $u_0=a$ et de raison $r$.
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=a+rn$.

54

Soit $n\in \mathbb{N}$. On note ${\mathcal{P}}_n$ la proposition suivante :
« Pour tout réel $x$ strictement positif, $(1+x{)}^n⩾1+nx.$ »

1. Montrer que cette proposition est vraie pour $n=0$.


2. Supposons qu’il existe un entier $k$ tel que ${\mathcal{P}}_k$ est vraie. Soit $x>0$.
a. Développer $(1+kx)(1+x)$.


b. En déduire que ${\mathcal{P}}_{k+1}$ est vraie.


3. Conclure.

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Pour un polygone convexe — c’est‑à‑dire un polygone dont tous les angles sont inférieurs à 180 degrés —, on souhaite compter le nombre de diagonales, c’est‑à‑dire le nombre de segments joignant deux sommets non consécutifs de ce polygone.

1. Déterminer le nombre de diagonales d’un triangle, d’un quadrilatère et d’un pentagone convexe.


2. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$. On considère la proposition ${\mathcal{P}}_n$ suivante : « Un polygone convexe à $n$ côtés possède $\frac{n(n-3)}{2}$ diagonales. »
Que peut‑on vérifier d’après la question 1. ?


3. On suppose qu’il existe un entier naturel $k⩾3$ pour lequel ${\mathcal{P}}_k$ est vraie. On considère $\text{P}$ un polygone convexe à $k+1$ sommets et on note $\text{A}$ l’un de ses sommets.
a. Combien de diagonales comporte le polygone ${\mathrm{P}}^{\prime }$ composé des $k+1$ sommets sauf $\text{A}$ (donc ${\mathrm{P}}^{\prime }$ possède $k$ sommets) ?


b. Combien y a‑t‑il de diagonales de $\text{P}$ partant du point $\text{A}$ ?


c. En remarquant qu’un des côtés de ${\mathrm{P}}^{\prime }$ est une diagonale de $\text{P}$, montrer que ${\mathcal{P}}_{k+1}$ est vraie et conclure.