7

Raisonnement par disjonction des cas

Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s’assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.

38

Montrer que, pour tout réel $x$, $x^2⩾0$.

39

Soit $x$ un réel. Montrer que $\sqrt{x^2}=|x|$.

40

Soit $n$ un entier relatif. Montrer que le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par $3$.

41

Soient $a$ et $q$ deux réels, tous les deux non nuls.
On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=q{u}_n$.

1. Soit $n\in \mathbb{N}$. Que vaut $u_{n+1}-u_n$ ?


2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ selon les valeurs de $a$ et $q$.

42

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, décroissante sur $]-\infty ;5]$ et croissante sur $[5;+\infty [$. On sait que $f(5)=-3$. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)⩾-3$.

43

Montrer que, pour tout réel $x$, $|x-1|⩽x^2-x+1$.

44

Soit $f$ une fonction définie et monotone sur $\mathbb{R}$.
On note $f\circ f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $(f\circ f)(x)=f(f(x))$.
Montrer que $f\circ f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

45

Soient $x$ et $y$ deux réels. On souhaite montrer que $|x+y|⩽|x|+|y|$.

1. Si $x+y⩾0$, que vaut $|x+y|$ ?


2. En déduire que $|x+y|⩽|x|+|y|$.


3. Faire de même dans le cas où $x+y<0$ et conclure.

46

Montrer que, pour tous réels $x$ et $y$ : $\max (x,y)=\frac{1}{2}(x+y+|x-y|)$.

47

On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ qui ne sont pas divisibles par $3$. On veut alors démontrer que $a\times b$ n’est pas divisible par $3$.

1. a. Justifier qu’il existe un entier $q$ tel que $a=3q+1$ ou $a=3q+2$.


b. De même, décomposer $b$ à l’aide d’un entier $q^{\prime }$.


2. Supposons que $a=3q+1$ et $b=3q^{\prime }+2$.
a. Déterminer le produit $a\times b$ en fonction de $q$ et $q^{\prime }$.


b. Justifier que ce produit n’est pas divisible par $3$.


3. Il existe encore trois autres cas à tester. Calculer le produit $a\times b$ dans chacun de ces cas‑là et conclure.