Lorsque la démonstration d'une propriété dépend de la valeur de $x$, il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre $x$.
On peut, par exemple, séparer les cas où $x$ est un entier pair des cas où $x$ est impair, ou encore séparer les cas où $x$ est un réel positif des cas où il est strictement négatif.

Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s'assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.

• Si $n$ est pair, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
  Ainsi, $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2k(2k+1)}{2}=k(2k+1)$ et ce nombre est un entier.
• Si $n$ est impair, il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$.
  Ainsi, $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2k+1)(2k+2)}{2}=\frac{(2k+1)\times 2(k+1)}{2}=(2k+1)(k+1)$ et ce nombre est un entier.

Finalement, pour tout entier relatif $n$, $\frac{n(n+1)}{2}$ est un entier.

• On sépare les raisonnements suivant la parité de $n$.
• Un entier étant soit pair, soit impair, on a bien traité tous les cas : on peut donc conclure que la proposition est vraie pour tout $n$.

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Montrer que, pour tout réel $x$, $x^2⩾0$.

39

Soit $x$ un réel. Montrer que $\sqrt{x^2}=|x|$.

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Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, décroissante sur $]-\infty ;5]$ et croissante sur $[5;+\infty [$. On sait que $f(5)=-3$. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)⩾-3$.

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Montrer que, pour tout réel $x$, $|x-1|⩽x^2-x+1$.