7

Raisonnement par disjonction des cas

Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s’assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.

38

Montrer que, pour tout réel $x$, $x^{2} \geqslant 0$.

39

Soit $x$ un réel. Montrer que $\sqrt{x^{2}}=|x|$.

40

Soit $n$ un entier relatif. Montrer que le produit $n(n+1)(n+2)$ est divisible par $3$.

41

Soient $a$ et $q$ deux réels, tous les deux non nuls.
On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=q u_{n}$.

1. Soit $n \in \N$. Que vaut $u_{n+1}-u_{n}$ ?


2. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ selon les valeurs de $a$ et $q$.

42

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, décroissante sur $]-\infty~; 5]$ et croissante sur $[5~; +\infty[$. On sait que $f(5) = -3$. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x) \geqslant-3$.

43

Montrer que, pour tout réel $x$, $|x-1| \leqslant x^{2}-x+1$.

44

Soit $f$ une fonction définie et monotone sur $\R$.
On note $f \circ f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $(f \circ f)(x)=f(f(x))$.
Montrer que $f \circ f$ est croissante sur $\R$.

45

Soient $x$ et $y$ deux réels. On souhaite montrer que $|x+y| \leqslant|x|+|y|$.

1. Si $x+y \geqslant 0$, que vaut $|x+y|$ ?


2. En déduire que $|x+y| \leqslant|x|+|y|$.


3. Faire de même dans le cas où $x + y \lt 0$ et conclure.

46

Montrer que, pour tous réels $x$ et $y$ : $\max (x, y)=\dfrac{1}{2}(x+y+|x-y|)$.

47

On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ qui ne sont pas divisibles par $3$. On veut alors démontrer que $a \times b$ n’est pas divisible par $3$.

1. a. Justifier qu’il existe un entier $q$ tel que $a = 3q + 1$ ou $a = 3q + 2$.


b. De même, décomposer $b$ à l’aide d’un entier $q'$.


2. Supposons que $a = 3q + 1$ et $b = 3q' + 2$.
a. Déterminer le produit $a \times b$ en fonction de $q$ et $q'$.


b. Justifier que ce produit n’est pas divisible par $3$.


3. Il existe encore trois autres cas à tester. Calculer le produit $a \times b$ dans chacun de ces cas‑là et conclure.