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7. Raisonnement par disjonction des cas
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Apprendre à démontrer


7
Raisonnement par disjonction des cas





Principe

Lorsque la démonstration d’une propriété dépend de la valeur de xx, il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre xx.
On peut, par exemple, séparer les cas où xx est un entier pair des cas où xx est impair, ou encore séparer les cas où xx est un réel positif des cas où il est strictement négatif.

Remarque

Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s’assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.

Énoncé

Montrer que, pour tout entier relatif nn, n(n+1)2\dfrac{n(n+1)}{2} est un entier.

Rédaction détaillée

  • Si nn est pair, il existe un entier relatif kk tel que n=2kn = 2k.
    Ainsi, n(n+1)2=2k(2k+1)2=k(2k+1)\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{2 k(2 k+1)}{2}=k(2 k+1) et ce nombre est un entier.
  • Si nn est impair, il existe un entier relatif kk tel que n=2k+1n = 2k + 1.
    Ainsi, n(n+1)2=(2k+1)(2k+2)2=(2k+1)×2(k+1)2=(2k+1)(k+1)\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{(2 k+1)(2 k+2)}{2}=\dfrac{(2 k+1) \times 2(k+1)}{2}=(2 k+1)(k+1) et ce nombre est un entier.

Finalement, pour tout entier relatif nn, n(n+1)2\dfrac{n(n+1)}{2} est un entier.

Explications

  • On sépare les raisonnements suivant la parité de nn.
  • Un entier étant soit pair, soit impair, on a bien traité tous les cas : on peut donc conclure que la proposition est vraie pour tout nn.


38

Montrer que, pour tout réel xx, x20x^{2} \geqslant 0.
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39

Soit xx un réel. Montrer que x2=x\sqrt{x^{2}}=|x|.
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40

Soit nn un entier relatif. Montrer que le produit n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) est divisible par 33.
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41

Soient aa et qq deux réels, tous les deux non nuls.
On considère une suite (un)(u_n) définie par u0=au_0=a et, pour tout entier naturel nn, un+1=qunu_{n+1}=q u_{n}.

1. Soit nNn \in \N. Que vaut un+1unu_{n+1}-u_{n} ?


2. En déduire le sens de variation de la suite (un)(u_n) selon les valeurs de aa et qq.
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42

Soit ff une fonction définie sur R\R, décroissante sur ] ;5]]-\infty~; 5] et croissante sur [5 ;+[[5~; +\infty[. On sait que f(5)=3f(5) = -3. Montrer que, pour tout réel xx, f(x)3f(x) \geqslant-3.
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43

Montrer que, pour tout réel xx, x1x2x+1|x-1| \leqslant x^{2}-x+1.
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44

Soit ff une fonction définie et monotone sur R\R.
On note fff \circ f la fonction définie pour tout réel xx par (ff)(x)=f(f(x))(f \circ f)(x)=f(f(x)).
Montrer que fff \circ f est croissante sur R\R.
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45

Soient xx et yy deux réels. On souhaite montrer que x+yx+y|x+y| \leqslant|x|+|y|.

1. Si x+y0x+y \geqslant 0, que vaut x+y|x+y| ?


2. En déduire que x+yx+y|x+y| \leqslant|x|+|y|.


3. Faire de même dans le cas où x+y<0x + y \lt 0 et conclure.
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46

Montrer que, pour tous réels xx et yy :
max(x,y)=12(x+y+xy)\max (x, y)=\dfrac{1}{2}(x+y+|x-y|).
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47

On considère deux entiers naturels aa et bb qui ne sont pas divisibles par 33. On veut alors démontrer que a×ba \times b n’est pas divisible par 33.

1. a. Justifier qu’il existe un entier qq tel que a=3q+1a = 3q + 1 ou a=3q+2a = 3q + 2.


b. De même, décomposer bb à l’aide d’un entier qq'.


2. Supposons que a=3q+1a = 3q + 1 et b=3q+2b = 3q' + 2.
a. Déterminer le produit a×ba \times b en fonction de qq et qq'.


b. Justifier que ce produit n’est pas divisible par 33.


3. Il existe encore trois autres cas à tester. Calculer le produit a×ba \times b dans chacun de ces cas‑là et conclure.
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