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7. Raisonnement par disjonction des cas
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Apprendre à démontrer


7
Raisonnement par disjonction des cas





Principe

Lorsque la démonstration d’une propriété dépend de la valeur de , il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre .
On peut, par exemple, séparer les cas où est un entier pair des cas où est impair, ou encore séparer les cas où est un réel positif des cas où il est strictement négatif.

Remarque

Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s’assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.

Énoncé

Montrer que, pour tout entier relatif , est un entier.

Rédaction détaillée

  • Si est pair, il existe un entier relatif tel que .
    Ainsi, et ce nombre est un entier.
  • Si est impair, il existe un entier relatif tel que .
    Ainsi, et ce nombre est un entier.

Finalement, pour tout entier relatif , est un entier.

Explications

  • On sépare les raisonnements suivant la parité de .
  • Un entier étant soit pair, soit impair, on a bien traité tous les cas : on peut donc conclure que la proposition est vraie pour tout .


38

Montrer que, pour tout réel , .
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39

Soit un réel. Montrer que .
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40

Soit un entier relatif. Montrer que le produit est divisible par .
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41

Soient et deux réels, tous les deux non nuls.
On considère une suite définie par et, pour tout entier naturel , .

1. Soit . Que vaut  ?


2. En déduire le sens de variation de la suite selon les valeurs de et .
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42

Soit une fonction définie sur , décroissante sur et croissante sur . On sait que . Montrer que, pour tout réel , .
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43

Montrer que, pour tout réel , .
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44

Soit une fonction définie et monotone sur .
On note la fonction définie pour tout réel par .
Montrer que est croissante sur .
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45

Soient et deux réels. On souhaite montrer que .

1. Si , que vaut  ?


2. En déduire que .


3. Faire de même dans le cas où et conclure.
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46

Montrer que, pour tous réels et  :
.
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47

On considère deux entiers naturels et qui ne sont pas divisibles par . On veut alors démontrer que n’est pas divisible par .

1. a. Justifier qu’il existe un entier tel que ou .


b. De même, décomposer à l’aide d’un entier .


2. Supposons que et .
a. Déterminer le produit en fonction de et .


b. Justifier que ce produit n’est pas divisible par .


3. Il existe encore trois autres cas à tester. Calculer le produit dans chacun de ces cas‑là et conclure.
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