Lorsque la démonstration d’une propriété dépend de la valeur de x, il est parfois utile de faire une disjonction de cas : on sépare le raisonnement suivant toutes les valeurs que peut prendre x.
On peut, par exemple, séparer les cas où x est un entier pair des cas où x est impair, ou encore séparer les cas où x est un réel positif des cas où il est strictement négatif.
Remarque
Après avoir raisonné par disjonction des cas, il faut s’assurer de bien avoir effectivement traité tous les cas.
Énoncé
Montrer que, pour tout entier relatif n, 2n(n+1) est un entier.
38
Montrer que, pour tout réel x, x2⩾0.
39
Soit x un réel. Montrer que x2=∣x∣.
40
Soit n un entier relatif. Montrer que le produit n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
41
Soient a et q deux réels, tous les deux non nuls.
On considère une suite (un) définie par u0=a et, pour tout entier naturel n, un+1=qun.
1. Soit n∈N. Que vaut un+1−un ?
2. En déduire le sens de variation de la suite (un) selon les valeurs de a et q.
42
Soit f une fonction définie sur R, décroissante sur ]−∞;5] et croissante sur [5;+∞[. On sait que f(5)=−3. Montrer que, pour tout réel x, f(x)⩾−3.
43
Montrer que, pour tout réel x, ∣x−1∣⩽x2−x+1.
44
Soit f une fonction définie et monotone sur R.
On note f∘f la fonction définie pour tout réel x par (f∘f)(x)=f(f(x)).
Montrer que f∘f est croissante sur R.
45
Soient x et y deux réels. On souhaite montrer que ∣x+y∣⩽∣x∣+∣y∣.
1. Si x+y⩾0, que vaut ∣x+y∣ ?
2. En déduire que ∣x+y∣⩽∣x∣+∣y∣.
3. Faire de même dans le cas où x+y<0 et conclure.
46
Montrer que, pour tous réels x et y :
max(x,y)=21(x+y+∣x−y∣).
47
On considère deux entiers naturels a et b qui ne sont pas divisibles par 3. On veut alors démontrer que a×b n’est pas divisible par 3.
1.a. Justifier qu’il existe un entier q tel que a=3q+1 ou a=3q+2.
b. De même, décomposer b à l’aide d’un entier q′.
2. Supposons que a=3q+1 et b=3q′+2.
a. Déterminer le produit a×b en fonction de q et q′.
b. Justifier que ce produit n’est pas divisible par 3.
3. Il existe encore trois autres cas à tester. Calculer le produit a×b dans chacun de ces cas‑là et conclure.
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