On s’intéresse à une proposition qui s’énonce de la manière suivante
« Si A est vraie, alors B est vraie. »
Cette proposition peut également s’énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si B est fausse, alors A est fausse. »
Ou encore : « Si non(B) est vraie, alors non(A) est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.
Remarque
On retrouve ici le fait que B est une condition nécessaire à A.
Exemple
La contraposée de la proposition « S’il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »
Remarque
Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.
Théorème
Une proposition et sa contraposée sont équivalentes : démontrer l’une revient à démontrer l’autre. Autrement dit, si une proposition est vraie, alors sa contraposée est vraie également.
Énoncé
Soit n∈N. Montrer que si n2 est pair, alors n est pair.
34
On considère un triangle ABC tel que AB=3, BC=5 et AC=8.
1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.
2. Le triangle ABC est‑il rectangle ? Justifier.
35
Soient m et n deux entiers naturels non nuls.
1. Montrer que si m×n est impair, alors m et n sont impairs.
2. Montrer que si m×n=1, alors m=1 et n=1.
36
Soient x et y deux réels.
Montrer que si xy=0, alors x=0 ou y=0.
37
Soit n un entier naturel.
1. On suppose que n est un entier composé : il existe deux entiers naturels m et k, tous deux supérieurs ou égaux à 2, tels que n=mk.
a. Que vaut 1+2k+22k+…+2(m−1)k ?
b. En déduire une factorisation de 2n−1 et que cet entier est donc composé.
2. On suppose que 2n−1 est premier. Que peut‑on en déduire sur n ? Les nombres premiers de la forme 2n−1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.