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Raisonnement par contraposée

Soit $n\in \mathbb{N}$. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c’est‑à‑dire que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.
Supposons donc que $n$ est impair. Il existe alors $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$.
Ainsi, $n^2=(2k+1{)}^2=(2k{)}^2+2\times 2k\times 1+1=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1$.
En posant $k^{\prime }=2k^2+2k$, on a $k^{\prime }\in \mathbb{N}$ et $n^2=2k^{\prime }+1$.
$n^2$ est donc impair. Ainsi, si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Par contraposée, si $n^2$ n’est pas impair, alors $n$ n’est pas impair. Autrement dit, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

• On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
• Impair est bien le contraire de pair.
• On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.