Apprendre à démontrer
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Raisonnement par contraposée
On s'intéresse à une proposition qui s'énonce de la manière suivante
« Si A est vraie, alors B est vraie. »
Cette proposition peut également s'énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si B est fausse, alors A est fausse. »
Ou encore : « Si non(B) est vraie, alors non(A) est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.
On retrouve ici le fait que B est une condition nécessaire à A.
La contraposée de la proposition « S'il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »
Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.
Une proposition et sa contraposée sont équivalentes : démontrer l'une revient à démontrer l'autre. Autrement dit, si une proposition est vraie, alors sa contraposée est vraie également.
Énoncé
Soit
n∈N. Montrer que si
n2 est pair, alors
n est pair.
Soit n∈N. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c'est‑à‑dire que si n est impair, alors n2 est impair.
Supposons donc que n est impair. Il existe alors k∈N tel que n=2k+1.
Ainsi, n2=(2k+1)2=(2k)2+2×2k×1+1=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1.
En posant k′=2k2+2k, on a k′∈N et n2=2k′+1.
n2 est donc impair. Ainsi, si n est impair, alors n2 est impair. Par contraposée, si n2 n'est pas impair, alors n n'est pas impair. Autrement dit, si n2 est pair, alors n est pair.
- On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
- Impair est bien le contraire de pair.
- On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.
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On considère un triangle
ABC tel que
AB=3,
BC=5 et
AC=8.
1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.
2. Le triangle ABC est‑il rectangle ? Justifier.
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Soient
m et
n deux entiers naturels non nuls.
1. Montrer que si m×n est impair, alors m et n sont impairs.
2. Montrer que si m×n=1, alors m=1 et n=1.
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Soient x et y deux réels.
Montrer que si xy=0, alors x=0 ou y=0.
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Soit
n un entier naturel.
1. On suppose que
n est un entier composé : il existe deux entiers naturels
m et
k, tous deux supérieurs ou égaux à
2, tels que
n=mk.
a. Que vaut 1+2k+22k+…+2(m−1)k ?
b. En déduire une factorisation de 2n−1 et que cet entier est donc composé.
2. On suppose que 2n−1 est premier. Que peut‑on en déduire sur n ? Les nombres premiers de la forme 2n−1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
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