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Raisonnement par contraposée

Soit $n \in \N$. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c’est‑à‑dire que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.
Supposons donc que $n$ est impair. Il existe alors $k \in \N$ tel que $n = 2k + 1$.
Ainsi, $n^{2}=(2 k+1)^{2}=(2 k)^{2}+2 \times 2 k \times 1+1=4 k^{2}+4 k+1=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1$.
En posant $k^{\prime}=2 k^{2}+2 k$, on a $k^{\prime} \in \mathbb{N}$ et $n^{2}=2 k^{\prime}+1$.
$n^2$ est donc impair. Ainsi, si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Par contraposée, si $n^2$ n’est pas impair, alors $n$ n’est pas impair. Autrement dit, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

• On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
• Impair est bien le contraire de pair.
• On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.