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6. Raisonnement par contraposée
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Apprendre à démontrer


6
Raisonnement par contraposée





Principe

On s’intéresse à une proposition qui s’énonce de la manière suivante 
« Si A\text{A} est vraie, alors B\text{B} est vraie. »
Cette proposition peut également s’énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si B\text{B} est fausse, alors A\text{A} est fausse. »
Ou encore : « Si non(B)\text{non(B)} est vraie, alors non(A)\text{non(A)} est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.

Remarque

On retrouve ici le fait que B\text{B} est une condition nécessaire à A\text{A}.

Exemple

La contraposée de la proposition « S’il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »

Remarque

Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.

Théorème

Une proposition et sa contraposée sont équivalentes : démontrer l’une revient à démontrer l’autre. Autrement dit, si une proposition est vraie, alors sa contraposée est vraie également.

Énoncé

Soit nNn \in \N. Montrer que si n2n^2 est pair, alors nn est pair.

Rédaction détaillée

Soit nNn \in \N. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c’est‑à‑dire que si nn est impair, alors n2n^2 est impair.
Supposons donc que nn est impair. Il existe alors kNk \in \N tel que n=2k+1n = 2k + 1.
Ainsi, n2=(2k+1)2=(2k)2+2×2k×1+1=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n^{2}=(2 k+1)^{2}=(2 k)^{2}+2 \times 2 k \times 1+1=4 k^{2}+4 k+1=2\left(2 k^{2}+2 k\right)+1.
En posant k=2k2+2kk^{\prime}=2 k^{2}+2 k, on a kNk^{\prime} \in \mathbb{N} et n2=2k+1n^{2}=2 k^{\prime}+1.
n2n^2 est donc impair. Ainsi, si nn est impair, alors n2n^2 est impair. Par contraposée, si n2n^2 n’est pas impair, alors nn n’est pas impair. Autrement dit, si n2n^2 est pair, alors nn est pair.

Explications

  • On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
  • Impair est bien le contraire de pair.
  • On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.


34

On considère un triangle ABC\text{ABC} tel que AB=3\mathrm{AB} = 3, BC=5\mathrm{BC} = 5 et AC=8\mathrm{AC} = 8.

1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.


2. Le triangle ABC\text{ABC} est‑il rectangle ? Justifier.
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35

Soient mm et nn deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que si m×nm \times n est impair, alors mm et nn sont impairs.


2. Montrer que si m×n=1m \times n = 1, alors m=1m = 1 et n=1n = 1.
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36

Soient xx et yy deux réels.
Montrer que si xy=0xy = 0, alors x=0x = 0 ou y=0y = 0.
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37

Soit nn un entier naturel.

1. On suppose que nn est un entier composé : il existe deux entiers naturels mm et kk, tous deux supérieurs ou égaux à 22, tels que n=mkn = mk.
a. Que vaut 1+2k+22k++2(m1)k1+2^{k}+2^{2 k}+\ldots+2^{(m-1) k} ?


b. En déduire une factorisation de 2n12^n - 1 et que cet entier est donc composé.


2. On suppose que 2n12^n - 1 est premier. Que peut‑on en déduire sur nn ? Les nombres premiers de la forme 2n12^n - 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
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