On s’intéresse à une proposition qui s’énonce de la manière suivante
« Si A est vraie, alors B est vraie. »
Cette proposition peut également s’énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si B est fausse, alors A est fausse. »
Ou encore : « Si non(B) est vraie, alors non(A) est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.
Remarque
On retrouve ici le fait que B est une condition nécessaire à A.
Exemple
La contraposée de la proposition « S’il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »
Remarque
Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.
Théorème
Une proposition et sa contraposée sont équivalentes : démontrer l’une revient à démontrer l’autre. Autrement dit, si une proposition est vraie, alors sa contraposée est vraie également.
Énoncé
Soit n∈N. Montrer que si n2 est pair, alors n est pair.
Rédaction détaillée
Soit n∈N. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c’est‑à‑dire que si n est impair, alors n2 est impair.
Supposons donc que n est impair. Il existe alors k∈N tel que n=2k+1.
Ainsi, n2=(2k+1)2=(2k)2+2×2k×1+1=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1.
En posant k′=2k2+2k, on a k′∈N et n2=2k′+1. n2 est donc impair. Ainsi, si n est impair, alors n2 est impair. Par contraposée, si n2 n’est pas impair, alors n n’est pas impair. Autrement dit, si n2 est pair, alors n est pair.
Explications
On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
Impair est bien le contraire de pair.
On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.
34
On considère un triangle ABC tel que AB=3, BC=5 et AC=8.
1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.
2. Le triangle ABC est‑il rectangle ? Justifier.
Voir les réponses
35
Soient m et n deux entiers naturels non nuls.
1. Montrer que si m×n est impair, alors m et n sont impairs.
2. Montrer que si m×n=1, alors m=1 et n=1.
Voir les réponses
36
Soient x et y deux réels.
Montrer que si xy=0, alors x=0 ou y=0.
Voir les réponses
Voir les réponses
37
Soit n un entier naturel.
1. On suppose que n est un entier composé : il existe deux entiers naturels m et k, tous deux supérieurs ou égaux à 2, tels que n=mk.
a. Que vaut 1+2k+22k+…+2(m−1)k ?
b. En déduire une factorisation de 2n−1 et que cet entier est donc composé.
2. On suppose que 2n−1 est premier. Que peut‑on en déduire sur n ? Les nombres premiers de la forme 2n−1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.