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Raisonnement par contraposée

On s'intéresse à une proposition qui s'énonce de la manière suivante 
« Si $\text{A}$ est vraie, alors $\text{B}$ est vraie. »
Cette proposition peut également s'énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si $\text{B}$ est fausse, alors $\text{A}$ est fausse. »
Ou encore : « Si $\text{non(B)}$ est vraie, alors $\text{non(A)}$ est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.

On retrouve ici le fait que $\text{B}$ est une condition nécessaire à $\text{A}$.

La contraposée de la proposition « S'il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »

Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.

Soit $n\in \mathbb{N}$. On va démontrer la contraposée de cette proposition, c'est‑à‑dire que si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair.
Supposons donc que $n$ est impair. Il existe alors $k\in \mathbb{N}$ tel que $n=2k+1$.
Ainsi, $n^2=(2k+1{)}^2=(2k{)}^2+2\times 2k\times 1+1=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1$.
En posant $k^{\prime }=2k^2+2k$, on a $k^{\prime }\in \mathbb{N}$ et $n^2=2k^{\prime }+1$.
$n^2$ est donc impair. Ainsi, si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. Par contraposée, si $n^2$ n'est pas impair, alors $n$ n'est pas impair. Autrement dit, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

• On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
• Impair est bien le contraire de pair.
• On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.

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On considère un triangle $\text{ABC}$ tel que $\mathrm{AB}=3$, $\mathrm{BC}=5$ et $\mathrm{AC}=8$.

1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.

2. Le triangle $\text{ABC}$ est‑il rectangle ? Justifier.

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Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que si $m\times n$ est impair, alors $m$ et $n$ sont impairs.

2. Montrer que si $m\times n=1$, alors $m=1$ et $n=1$.