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6. Raisonnement par contraposée
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Apprendre à démontrer


6
Raisonnement par contraposée





Principe

On s’intéresse à une proposition qui s’énonce de la manière suivante 
« Si est vraie, alors est vraie. »
Cette proposition peut également s’énoncer, de manière équivalente, comme suit :
« Si est fausse, alors est fausse. »
Ou encore : « Si est vraie, alors est vraie. »
Cet énoncé est appelé la contraposée de la première proposition.

Remarque

On retrouve ici le fait que est une condition nécessaire à .

Exemple

La contraposée de la proposition « S’il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »

Remarque

Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.

Théorème

Une proposition et sa contraposée sont équivalentes : démontrer l’une revient à démontrer l’autre. Autrement dit, si une proposition est vraie, alors sa contraposée est vraie également.

Énoncé

Soit . Montrer que si est pair, alors est pair.

Rédaction détaillée

Soit . On va démontrer la contraposée de cette proposition, c’est‑à‑dire que si est impair, alors est impair.
Supposons donc que est impair. Il existe alors tel que .
Ainsi, .
En posant , on a et .
est donc impair. Ainsi, si est impair, alors est impair. Par contraposée, si n’est pas impair, alors n’est pas impair. Autrement dit, si est pair, alors est pair.

Explications

  • On souhaite utiliser la contraposée : on a donc besoin des propositions négatives.
  • Impair est bien le contraire de pair.
  • On montre que la contraposée est vraie. La proposition de départ, qui lui est équivalente, est donc également vraie.


34

On considère un triangle tel que , et .

1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.


2. Le triangle est‑il rectangle ? Justifier.
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35

Soient et deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que si est impair, alors et sont impairs.


2. Montrer que si , alors et .
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36

Soient et deux réels.
Montrer que si , alors ou .
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37

Soit un entier naturel.

1. On suppose que est un entier composé : il existe deux entiers naturels et , tous deux supérieurs ou égaux à , tels que .
a. Que vaut  ?


b. En déduire une factorisation de et que cet entier est donc composé.


2. On suppose que est premier. Que peut‑on en déduire sur  ? Les nombres premiers de la forme sont appelés nombres premiers de Mersenne.
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