6

Raisonnement par contraposée

On retrouve ici le fait que $\text{B}$ est une condition nécessaire à $\text{A}$.

La contraposée de la proposition « S’il pleut, alors le sol est mouillé. » est « Si le sol n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas. »

Il ne faut pas confondre la réciproque et la contraposée.

34

On considère un triangle $\text{ABC}$ tel que $\mathrm{A}\mathrm{B}=3$, $\mathrm{B}\mathrm{C}=5$ et $\mathrm{A}\mathrm{C}=8$.

1. Énoncer le théorème de Pythagore et sa contraposée.


2. Le triangle $\text{ABC}$ est‑il rectangle ? Justifier.

35

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que si $m\times n$ est impair, alors $m$ et $n$ sont impairs.


2. Montrer que si $m\times n=1$, alors $m=1$ et $n=1$.

36

Soient $x$ et $y$ deux réels.
Montrer que si $xy=0$, alors $x=0$ ou $y=0$.

37

Soit $n$ un entier naturel.

1. On suppose que $n$ est un entier composé : il existe deux entiers naturels $m$ et $k$, tous deux supérieurs ou égaux à $2$, tels que $n=mk$.
a. Que vaut $1+2^k+2^{2k}+\dots +2^{(m-1)k}$ ?


b. En déduire une factorisation de $2^n-1$ et que cet entier est donc composé.


2. On suppose que $2^n-1$ est premier. Que peut‑on en déduire sur $n$ ? Les nombres premiers de la forme $2^n-1$ sont appelés nombres premiers de Mersenne.