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3. Raisonnement par déduction
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Apprendre à démontrer


3
Raisonnement par déduction





Principe

Le raisonnement par déduction est le type de raisonnement le plus courant. Partant d’une hypothèse, on construit un raisonnement logique qui aboutit à la conclusion.

Énoncé

Montrer que, pour tout réel x7x \geqslant 7, (x4)2+312(x-4)^{2}+3 \geqslant 12.

Rédaction détaillée

On considère un réel xx tel que x7x \geqslant 7.
Alors, x474x-4 \geqslant 7-4, c’est‑à‑dire x43x-4 \geqslant 3.
De plus, la fonction xx2x \mapsto x^{2} est croissante sur [0 ;+[[0~; +\infty[.
On a donc (x4)232(x-4)^{2} \geqslant 3^{2}, soit (x4)29(x-4)^{2} \geqslant 9.
Finalement, (x4)2+312(x-4)^{2}+3 \geqslant 12.

Explications

  • On part de l’hypothèse x7x \geqslant 7.
  • On applique les propriétés de calcul dans les inégalités ainsi que les variations de la fonction carré.
  • On aboutit à la conclusion.


10

Soit xx un réel inférieur ou égal à 33.
Montrer que (x5)2+26(x-5)^{2}+2 \geqslant 6.
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11

On considère un triangle ABC\text{ABC} tel que AB=3\mathrm{AB} = 3, BC=4\mathrm{BC} = 4 et AC=5\mathrm{AC} = 5. Quelle est la nature du triangle ABC\text{ABC} ?
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12

On considère deux réels xx et yy tels que 0<x<y0 \lt x \lt y.

1. Montrer que xy=xyx+y\sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.


2. En déduire que x<y\sqrt{x} \lt \sqrt{y}.


3. Que cela signifie‑t‑il pour les variations de la fonction xxx \mapsto \sqrt{x} sur R+\mathbb{R}^{+*} ?
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13

On considère un parallélogramme ABCD\text{ABCD} et on appelle I\text{I} le milieu de [AC][\mathrm{AC}].
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. »

1. Donner un vecteur égal au vecteur AB\overrightarrow{\mathrm{AB}}.


2. À l’aide de la relation de Chasles, décomposer ces deux vecteurs selon le point I\text{I}.


3. Traduire par une égalité vectorielle que I\text{I} est le milieu de [AC][\mathrm{AC}] et démontrer que I\text{I} est le milieu de [BD][\mathrm{BD}].
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14

Dans un repère orthonormé (O ;i ,j)(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j}), on considère les points A(2 ;11)\mathrm{A}(2~; 11), B(4 ;2)\mathrm{B}(-4~; 2), C(3 ;1)\mathrm{C}(3~;-1) et D(7 ;5)\mathrm{D}(7~; 5).
Montrer que les droites (AB)(\mathrm{AB}) et (CD)(\mathrm{CD}) sont parallèles.
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15

Soient xx un réel et hh un réel non nul.

1. Simplifier le quotient (x+h)2x2h\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.


2. En déduire que la fonction f:xx2f: x \mapsto x^{2} est dérivable sur R\R et que, pour tout réel xx, f(x)=2xf'(x) = 2x.
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16

Soit qq un réel différent de 11 et nn un entier naturel non nul. On pose S=1+q+q2++qn=i=0nqi\mathrm{S}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n} q^{i}.

1. Exprimer qSSq \mathrm{S}-\mathrm{S} en fonction de qq.


2. En déduire la valeur de S\text{S} en fonction de qq.
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17

Soient dd et dd' deux droites d’équations respectives y=mx+py = mx + p et y=mx+py = m'x + p', où mm, mm', pp et pp' sont des réels.

1. On suppose que m×m=1m \times m' = -1. Démontrer que dd et dd' sont perpendiculaires.


2. Réciproquement, on suppose que dd et dd' sont perpendiculaires. Démontrer que m×m=1m \times m' = -1.
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18

On souhaite démontrer que la fonction carré est croissante sur [0 ;+[[0~;+\infty[.
Soient aa et bb deux réels tels que 0a<b0 \leqslant a \lt b.

1. Quel est le signe de a+ba + b ? et celui de aba - b ?


2. À l’aide d’une factorisation, en déduire le signe de a2b2a^2 - b^2.


3. Comparer alors a2a^2 et b2b^2. Qu’en déduit‑on pour la fonction carré sur [0;+[[0 ; +\infty[ ?
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