3

Raisonnement par déduction

10

Soit $x$ un réel inférieur ou égal à $3$.
Montrer que $(x-5)^{2}+2 \geqslant 6$.

11

On considère un triangle $\text{ABC}$ tel que $\mathrm{AB} = 3$, $\mathrm{BC} = 4$ et $\mathrm{AC} = 5$. Quelle est la nature du triangle $\text{ABC}$ ?

12

On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $0 \lt x \lt y$.

1. Montrer que $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.


2. En déduire que $\sqrt{x} \lt \sqrt{y}$.


3. Que cela signifie‑t‑il pour les variations de la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ ?

13

On considère un parallélogramme $\text{ABCD}$ et on appelle $\text{I}$ le milieu de $[\mathrm{AC}]$.
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. »

1. Donner un vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.


2. À l’aide de la relation de Chasles, décomposer ces deux vecteurs selon le point $\text{I}$.


3. Traduire par une égalité vectorielle que $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{AC}]$ et démontrer que $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{BD}]$.

14

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O}~;\overrightarrow{i}~,\overrightarrow{j})$, on considère les points $\mathrm{A}(2~; 11)$, $\mathrm{B}(-4~; 2)$, $\mathrm{C}(3~;-1)$ et $\mathrm{D}(7~; 5)$.
Montrer que les droites $(\mathrm{AB})$ et $(\mathrm{CD})$ sont parallèles.

15

Soient $x$ un réel et $h$ un réel non nul.

1. Simplifier le quotient $\dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$.


2. En déduire que la fonction $f: x \mapsto x^{2}$ est dérivable sur $\R$ et que, pour tout réel $x$, $f'(x) = 2x$.

16

Soit $q$ un réel différent de $1$ et $n$ un entier naturel non nul. On pose $\mathrm{S}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n} q^{i}$.

1. Exprimer $q \mathrm{S}-\mathrm{S}$ en fonction de $q$.


2. En déduire la valeur de $\text{S}$ en fonction de $q$.

17

Soient $d$ et $d'$ deux droites d’équations respectives $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$, où $m$, $m'$, $p$ et $p'$ sont des réels.

1. On suppose que $m \times m' = -1$. Démontrer que $d$ et $d'$ sont perpendiculaires.


2. Réciproquement, on suppose que $d$ et $d'$ sont perpendiculaires. Démontrer que $m \times m' = -1$.

18

On souhaite démontrer que la fonction carré est croissante sur $[0~;+\infty[$.
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a \lt b$.

1. Quel est le signe de $a + b$ ? et celui de $a - b$ ?


2. À l’aide d’une factorisation, en déduire le signe de $a^2 - b^2$.


3. Comparer alors $a^2$ et $b^2$. Qu’en déduit‑on pour la fonction carré sur $[0 ; +\infty[$ ?