On considère un réel $x$ tel que $x⩾7$.
Alors, $x-4⩾7-4$, c'est‑à‑dire $x-4⩾3$.
De plus, la fonction $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0;+\infty [$.
On a donc $(x-4{)}^2⩾3^2$, soit $(x-4{)}^2⩾9$.
Finalement, $(x-4{)}^2+3⩾12$.

• On part de l'hypothèse $x⩾7$.
• On applique les propriétés de calcul dans les inégalités ainsi que les variations de la fonction carré.
• On aboutit à la conclusion.

10

Soit $x$ un réel inférieur ou égal à $3$.
Montrer que $(x-5{)}^2+2⩾6$.

11

On considère un triangle $\text{ABC}$ tel que $\mathrm{A}\mathrm{B}=3$, $\mathrm{B}\mathrm{C}=4$ et $\mathrm{A}\mathrm{C}=5$. Quelle est la nature du triangle $\text{ABC}$ ?

12

On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $0<x<y$.

1. Montrer que $\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$.

2. En déduire que $\sqrt{x}<\sqrt{y}$.

3. Que cela signifie‑t‑il pour les variations de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ sur ${\mathbb{R}}^{+\ast }$ ?

13

On considère un parallélogramme $\text{ABCD}$ et on appelle $\text{I}$ le milieu de $[\mathrm{A}\mathrm{C}]$.
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. »

1. Donner un vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$.

2. À l'aide de la relation de Chasles, décomposer ces deux vecteurs selon le point $\text{I}$.

3. Traduire par une égalité vectorielle que $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{A}\mathrm{C}]$ et démontrer que $\text{I}$ est le milieu de $[\mathrm{B}\mathrm{D}]$.

14

Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on considère les points $\mathrm{A}(2;11)$, $\mathrm{B}(-4;2)$, $\mathrm{C}(3;-1)$ et $\mathrm{D}(7;5)$.
Montrer que les droites $(\mathrm{A}\mathrm{B})$ et $(\mathrm{C}\mathrm{D})$ sont parallèles.

15

Soient $x$ un réel et $h$ un réel non nul.

1. Simplifier le quotient $\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$.

2. En déduire que la fonction $f:x\mapsto x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=2x$.

16

Soit $q$ un réel différent de $1$ et $n$ un entier naturel non nul. On pose $\mathrm{S}=1+q+q^2+\dots +q^n=\sum _{i=0}^n{q}^i$.

1. Exprimer $q\mathrm{S}-\mathrm{S}$ en fonction de $q$.

2. En déduire la valeur de $\text{S}$ en fonction de $q$.

17

Soient $d$ et $d^{\prime }$ deux droites d'équations respectives $y=mx+p$ et $y=m^{\prime }x+p^{\prime }$, où $m$, $m^{\prime }$, $p$ et $p^{\prime }$ sont des réels.

1. On suppose que $m\times m^{\prime }=-1$. Démontrer que $d$ et $d^{\prime }$ sont perpendiculaires.

2. Réciproquement, on suppose que $d$ et $d^{\prime }$ sont perpendiculaires. Démontrer que $m\times m^{\prime }=-1$.