Le raisonnement par déduction est le type de raisonnement le plus courant. Partant d’une hypothèse, on construit un raisonnement logique qui aboutit à la conclusion.
Énoncé
Montrer que, pour tout réel x⩾7, (x−4)2+3⩾12.
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Soit x un réel inférieur ou égal à 3.
Montrer que (x−5)2+2⩾6.
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11
On considère un triangle ABC tel que AB=3, BC=4 et AC=5. Quelle est la nature du triangle ABC ?
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12
On considère deux réels x et y tels que 0<x<y.
1. Montrer que x−y=x+yx−y.
2. En déduire que x<y.
3. Que cela signifie‑t‑il pour les variations de la fonction x↦x sur R+∗ ?
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13
On considère un parallélogramme ABCD et on appelle I le milieu de [AC].
On souhaite démontrer la proposition suivante : « Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. »
1. Donner un vecteur égal au vecteur AB.
2. À l’aide de la relation de Chasles, décomposer ces deux vecteurs selon le point I.
3. Traduire par une égalité vectorielle que I est le milieu de [AC] et démontrer que I est le milieu de [BD].
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14
Dans un repère orthonormé (O;i,j), on considère les points A(2;11), B(−4;2), C(3;−1) et D(7;5).
Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
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15
Soient x un réel et h un réel non nul.
1. Simplifier le quotient h(x+h)2−x2.
2. En déduire que la fonction f:x↦x2 est dérivable sur R et que, pour tout réel x, f′(x)=2x.
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Soit q un réel différent de 1 et n un entier naturel non nul. On pose S=1+q+q2+…+qn=i=0∑nqi.
1. Exprimer qS−S en fonction de q.
2. En déduire la valeur de S en fonction de q.
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Soient d et d′ deux droites d’équations respectives y=mx+p et y=m′x+p′, où m, m′, p et p′ sont des réels.
1. On suppose que m×m′=−1. Démontrer que d et d′ sont perpendiculaires.
2. Réciproquement, on suppose que d et d′ sont perpendiculaires. Démontrer que m×m′=−1.
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18
On souhaite démontrer que la fonction carré est croissante sur [0;+∞[.
Soient a et b deux réels tels que 0⩽a<b.
1. Quel est le signe de a+b ? et celui de a−b ?
2. À l’aide d’une factorisation, en déduire le signe de a2−b2.
3. Comparer alors a2 et b2. Qu’en déduit‑on pour la fonction carré sur [0;+∞[ ?