Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être soit vrai, soit faux.
Remarque
Une proposition P peut dépendre d’une variable (par exemple : le réel x est positif ou nul). On peut alors la
noter P(x).
Exemple
« Tout nombre premier est impair. » est une proposition fausse car 2 est un nombre premier. « Le carré d’un nombre réel est toujours positif. » est une proposition vraie.
Définition
La négation d’une proposition P est une proposition qui est vraie si P est fausse et qui est fausse si P est vraie.
Remarque
La négation d’une proposition P est souvent appelée « non P ».
Exemple
On considère un réel x. La négation de la proposition « x>3 » est « x⩽3 ».
Définition
On considère deux propositions P et Q. On dit que PimpliqueQ dans le cas où, si P est vraie, alors Q l’est aussi. On peut traduire une implication par une phrase de la forme « Si P est vraie, alors Q est vraie. » Il est ainsi suffisant de vérifier P pour vérifier Q.
NOTATION
On note l’implication P⇒Q.
Exemple
On considère un réel x. On note P la proposition « x>0 » et Q la proposition « x>−1 ». On a bien P⇒Q. En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à −1.
VOCABULAIRE
On dit que P est une condition suffisante pour Q. Il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie.
Définition
L’implication Q⇒P est la réciproque de P⇒Q.
Exemple
Soit n un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si n est premier, alors n est impair. » est « Si n est impair, alors n est premier. »
Remarque
Dans l’exemple ci‑contre, ni l’implication, ni sa réciproque ne sont vraies.
Définition
On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes si P implique Q et Q implique P. Autrement dit, les propositions P et Q sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
On dit également que P est vraie si, et seulement si,Q est vraie.
NOTATION
On a P⇒Q et Q⇒P.
On note P⇔Q.
Exemple
Soit x un réel. 2x−4=0 est équivalent à x=2. En revanche, x2=9 n’est pas équivalent à x=3. En effet, pour x=−3, la proposition x2=9 est vraie mais la proposition x=3 est fausse.
Remarque
En revanche, « x=3 » implique « x2=9 ».
Énoncé
On considère un triangle ABC.
1. Déterminer les implications et les équivalences logiques entre les propositions suivantes.
P1 : « Le triangle ABC est équilatéral. »
P2 : « Le triangle ABC est isocèle. »
2. Quelle est la négation de la proposition P2 ?
1
Soit x un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.
1.x<1
2.t est solution de l’équation 3t2+2t−5=0.
3.x∈[4;9]
2
Soit f une fonction définie sur R.
1. La proposition « f est décroissante sur R. » est‑elle la négation de « f est croissante sur R. » ? Justifier.
2. La proposition « f est impaire sur R. » est‑elle la
négation de « f est paire sur R. » ? Justifier.
3
Soient x et y deux réels. Dans chacun des cas suivants, dire si A implique B, si B implique A ou si A et B sont équivalentes.
1.A : « x=2 » et B : « x>1 ».
2.A : « x⩽3 » et B : « 2x⩽6 ».
3.A : « x est un nombre rationnel. » et B : « x est un
entier relatif. ».
4.A : « x2>16 » et B : « x>4 ».
5.A : « x⩽0 » et B : « ∣x∣=−x ».
6.A : « x=y » et B : « x2=y2 ».
4
Soit a, b et c trois réels tels que a=0.
On note Δ=b2−4ac.
1. La proposition « Si, pour tout réel x, ax2+bx+c>0, alors Δ<0. » est‑elle vraie ? Justifier.
2. La réciproque est‑elle vraie ? Si non, que faut‑il ajouter ?
5
On dispose de quatre cartes disposées comme ci‑dessous. Les cartes 1 et 4 sont face visible. Les cartes 2 et 3 sont vues de dos.
On donne l’affirmation suivante : « Si une carte a une face rouge, alors son dos est vert. »
Quelle(s) carte(s) est‑il nécessaire de retourner pour vérifier que cette implication est vraie ?
Aide
Autrement dit, on cherche à retourner le nombre minimum de cartes.
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