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Propositions mathématiques

Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être soit vrai, soit faux.

Une proposition $\text{P}$ peut dépendre d'une variable (par exemple : le réel $x$ est positif ou nul). On peut alors la noter $\mathrm{P}(x)$.

La négation d'une proposition $\text{P}$ est une proposition qui est vraie si $\text{P}$ est fausse et qui est fausse si $\text{P}$ est vraie.

La négation d'une proposition $\text{P}$ est souvent appelée « non $\text{P}$ ».

On considère deux propositions $\text{P}$ et $\text{Q}$. On dit que $\text{P}$ implique $\text{Q}$ dans le cas où, si $\text{P}$ est vraie, alors $\text{Q}$ l'est aussi. On peut traduire une implication par une phrase de la forme « Si $\text{P}$ est vraie, alors $\text{Q}$ est vraie. » Il est ainsi suffisant de vérifier $\text{P}$ pour vérifier $\text{Q}$.

On note l'implication $\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{Q}$.

On considère un réel $x$. On note $\text{P}$ la proposition « $x>0$ » et $\text{Q}$ la proposition « $x>-1$ ». On a bien $\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{Q}$. En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à $-1$.

On dit que $\text{P}$ est une condition suffisante pour $\text{Q}$. Il suffit que $\text{P}$ soit vraie pour que $\text{Q}$ soit vraie.

Soit $n$ un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si $n$ est premier, alors $n$ est impair. » est « Si $n$ est impair, alors $n$ est premier. »

Dans l'exemple ci‑contre, ni l'implication, ni sa réciproque ne sont vraies.

On dit que deux propositions $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont équivalentes si $\text{P}$ implique $\text{Q}$ et $\text{Q}$ implique $\text{P}$. Autrement dit, les propositions $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
On dit également que $\text{P}$ est vraie si, et seulement si, $\text{Q}$ est vraie.

On a $\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{Q}$ et $\mathrm{Q}\Rightarrow \mathrm{P}$.
On note $\mathrm{P}\iff \mathrm{Q}$.

Soit $x$ un réel. 2$x-4=0$ est équivalent à $x=2$. En revanche, $x^2=9$ n'est pas équivalent à $x=3$. En effet, pour $x=-3$, la proposition $x^2=9$ est vraie mais la proposition $x=3$ est fausse.

En revanche, « $x=3$ » implique « $x^2=9$ ».

1. La proposition ${\mathrm{P}}_1$ implique ${\mathrm{P}}_2$. En effet, si $\text{ABC}$ est un triangle équilatéral, alors $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$. En particulier, on a $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$, le triangle $\text{ABC}$ est donc isocèle. Ainsi, si ${\mathrm{P}}_1$ est vraie, alors ${\mathrm{P}}_2$ est vraie.
La proposition ${\mathrm{P}}_2$ n'implique pas ${\mathrm{P}}_1$. On peut, par exemple, construire un triangle $\text{ABC}$ tel que $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$ et $\mathrm{BC}=3$. Ce triangle est isocèle mais il n'est pas équilatéral.

2. La proposition ${\mathrm{P}}_2$ signifie que le triangle a au moins deux côtés de même longueur. Sa négation est donc : « Tous les côtés du triangle $\text{ABC}$ ont des longueurs différentes. »

1. ${\mathrm{P}}_1$ implique ${\mathrm{P}}_2$ signifie « Si ${\mathrm{P}}_1$ est vraie, alors ${\mathrm{P}}_1$ est forcément vraie. »
Si l'on trouve un cas où ${\mathrm{P}}_2$ est vraie mais pas ${\mathrm{P}}_1$, on peut dire que ${\mathrm{P}}_2$ n'implique pas ${\mathrm{P}}_1$.

Voir p. 22

pour les explications sur les contre‑exemples.

2. En travaillant dans l'ensemble des entiers, la négation de « au moins 2 » est « au maximum 1 » donc ici, chaque côté a une longueur différente des autres.

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Soit $x$ un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.

1. $x<1$

2. $t$ est solution de l'équation $3t^2+2t-5=0$.

3. $x\in [4;9]$

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Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

1. La proposition « $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. » est‑elle la négation de « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. » ? Justifier.

2. La proposition « $f$ est impaire sur $\mathbb{R}$. » est‑elle la négation de « $f$ est paire sur $\mathbb{R}$. » ? Justifier.