Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être soit vrai, soit faux.
Remarque
Une proposition P peut dépendre d’une variable (par exemple : le réel x est positif ou nul). On peut alors la
noter P(x).
Exemple
« Tout nombre premier est impair. » est une proposition fausse car 2 est un nombre premier. « Le carré d’un nombre réel est toujours positif. » est une proposition vraie.
Définition
La négation d’une proposition P est une proposition qui est vraie si P est fausse et qui est fausse si P est vraie.
Remarque
La négation d’une proposition P est souvent appelée « non P ».
Exemple
On considère un réel x. La négation de la proposition « x>3 » est « x⩽3 ».
Définition
On considère deux propositions P et Q. On dit que PimpliqueQ dans le cas où, si P est vraie, alors Q l’est aussi. On peut traduire une implication par une phrase de la forme « Si P est vraie, alors Q est vraie. » Il est ainsi suffisant de vérifier P pour vérifier Q.
NOTATION
On note l’implication P⇒Q.
Exemple
On considère un réel x. On note P la proposition « x>0 » et Q la proposition « x>−1 ». On a bien P⇒Q. En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à −1.
VOCABULAIRE
On dit que P est une condition suffisante pour Q. Il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie.
Définition
L’implication Q⇒P est la réciproque de P⇒Q.
Exemple
Soit n un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si n est premier, alors n est impair. » est « Si n est impair, alors n est premier. »
Remarque
Dans l’exemple ci‑contre, ni l’implication, ni sa réciproque ne sont vraies.
Définition
On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes si P implique Q et Q implique P. Autrement dit, les propositions P et Q sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
On dit également que P est vraie si, et seulement si,Q est vraie.
NOTATION
On a P⇒Q et Q⇒P.
On note P⇔Q.
Exemple
Soit x un réel. 2x−4=0 est équivalent à x=2. En revanche, x2=9 n’est pas équivalent à x=3. En effet, pour x=−3, la proposition x2=9 est vraie mais la proposition x=3 est fausse.
Remarque
En revanche, « x=3 » implique « x2=9 ».
Énoncé
On considère un triangle ABC.
1. Déterminer les implications et les équivalences logiques entre les propositions suivantes.
P1 : « Le triangle ABC est équilatéral. »
P2 : « Le triangle ABC est isocèle. »
2. Quelle est la négation de la proposition P2 ?
Rédaction détaillée
1. La proposition P1 implique P2. En effet, si ABC est un triangle équilatéral, alors AB=AC=BC. En particulier, on a AB=AC, le triangle ABC est donc isocèle. Ainsi, si P1 est vraie, alors P2 est vraie.
La proposition P2 n’implique pas P1. On peut, par exemple, construire un triangle ABC tel que AB=AC=2 et BC=3. Ce triangle est isocèle mais il n’est pas équilatéral.
2. La proposition P2 signifie que le triangle a au moins deux côtés de même longueur. Sa négation est donc : « Tous les côtés du triangle ABC ont des longueurs différentes. »
Explications
1.P1 implique P2 signifie « Si P1 est vraie, alors P1 est forcément vraie. »
Si l’on trouve un cas où P2 est vraie mais pas P1, on peut dire que P2 n’implique pas P1. Voir p. 22 pour les explications sur les contre‑exemples.
2. En travaillant dans l’ensemble des entiers, la négation de « au moins 2 » est « au maximum 1 » donc ici, chaque côté a une longueur différente des autres.
1
Soit x un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.
1.x<1
2.t est solution de l’équation 3t2+2t−5=0.
3.x∈[4;9]
Voir les réponses
2
Soit f une fonction définie sur R.
1. La proposition « f est décroissante sur R. » est‑elle la négation de « f est croissante sur R. » ? Justifier.
2. La proposition « f est impaire sur R. » est‑elle la
négation de « f est paire sur R. » ? Justifier.
Voir les réponses
3
Soient x et y deux réels. Dans chacun des cas suivants, dire si A implique B, si B implique A ou si A et B sont équivalentes.
1.A : « x=2 » et B : « x>1 ».
2.A : « x⩽3 » et B : « 2x⩽6 ».
3.A : « x est un nombre rationnel. » et B : « x est un
entier relatif. ».
4.A : « x2>16 » et B : « x>4 ».
5.A : « x⩽0 » et B : « ∣x∣=−x ».
6.A : « x=y » et B : « x2=y2 ».
Voir les réponses
4
Soit a, b et c trois réels tels que a=0.
On note Δ=b2−4ac.
1. La proposition « Si, pour tout réel x, ax2+bx+c>0, alors Δ<0. » est‑elle vraie ? Justifier.
2. La réciproque est‑elle vraie ? Si non, que faut‑il ajouter ?
Voir les réponses
Voir les réponses
5
On dispose de quatre cartes disposées comme ci‑dessous. Les cartes 1 et 4 sont face visible. Les cartes 2 et 3 sont vues de dos.
On donne l’affirmation suivante : « Si une carte a une face rouge, alors son dos est vert. »
Quelle(s) carte(s) est‑il nécessaire de retourner pour vérifier que cette implication est vraie ?
Aide
Autrement dit, on cherche à retourner le nombre minimum de cartes.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.