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Propositions mathématiques

Une proposition $\text{P}$ peut dépendre d’une variable (par exemple : le réel $x$ est positif ou nul). On peut alors la noter $\mathrm{P}(x)$.

« Tout nombre premier est impair. » est une proposition fausse car $2$ est un nombre premier. « Le carré d’un nombre réel est toujours positif. » est une proposition vraie.

La négation d’une proposition $\text{P}$ est souvent appelée « non $\text{P}$ ».

On considère un réel $x$. La négation de la proposition « $x>3$ » est « $x⩽3$ ».

On considère un réel $x$. On note $\text{P}$ la proposition « $x>0$ » et $\text{Q}$ la proposition « $x>-1$ ». On a bien $\mathrm{P}\Rightarrow \mathrm{Q}$. En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à $-1$.

Soit $n$ un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si $n$ est premier, alors $n$ est impair. » est « Si $n$ est impair, alors $n$ est premier. »

Dans l’exemple ci‑contre, ni l’implication, ni sa réciproque ne sont vraies.

Soit $x$ un réel. 2$x-4=0$ est équivalent à $x=2$. En revanche, $x^2=9$ n’est pas équivalent à $x=3$. En effet, pour $x=-3$, la proposition $x^2=9$ est vraie mais la proposition $x=3$ est fausse.

En revanche, « $x=3$ » implique « $x^2=9$ ».

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Soit $x$ un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.

1. $x<1$


2. $t$ est solution de l’équation $3t^2+2t-5=0$.


3. $x\in [4;9]$

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Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

1. La proposition « $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. » est‑elle la négation de « $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. » ? Justifier.


2. La proposition « $f$ est impaire sur $\mathbb{R}$. » est‑elle la négation de « $f$ est paire sur $\mathbb{R}$. » ? Justifier.

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Soient $x$ et $y$ deux réels. Dans chacun des cas suivants, dire si $\text{A}$ implique $\text{B}$, si $\text{B}$ implique $\text{A}$ ou si $\text{A}$ et $\text{B}$ sont équivalentes.

1. $\text{A}$ : « $x=2$ » et $\text{B}$ : « $x>1$ ».


2. $\text{A}$ : « $x⩽3$ » et $\text{B}$ : « $2x⩽6$ ».


3. $\text{A}$ : « $x$ est un nombre rationnel. » et $\text{B}$ : « $x$ est un entier relatif. ».


4. $\text{A}$ : « $x^2>16$ » et $\text{B}$ : « $x>4$ ».


5. $\text{A}$ : « $x⩽0$ » et $\text{B}$ : « $|x|=-x$ ».


6. $\text{A}$ : « $x=y$ » et $\text{B}$ : « $x^2=y^2$ ».

4

Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $a\ne 0$.
On note $\Delta =b^2-4ac$.

1. La proposition « Si, pour tout réel $x$, $a{x}^2+bx+c>0$, alors $\Delta <0$. » est‑elle vraie ? Justifier.


2. La réciproque est‑elle vraie ? Si non, que faut‑il ajouter ?

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On dispose de quatre cartes disposées comme ci‑dessous. Les cartes 1 et 4 sont face visible. Les cartes 2 et 3 sont vues de dos.


On donne l’affirmation suivante : « Si une carte a une face rouge, alors son dos est vert. »

Quelle(s) carte(s) est‑il nécessaire de retourner pour vérifier que cette implication est vraie ?