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Propositions mathématiques

Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être soit vrai, soit faux.

Une proposition \text{P} peut dépendre d'une variable (par exemple : le réel x est positif ou nul). On peut alors la noter \mathrm{P}(x).

La négation d'une proposition \text{P} est une proposition qui est vraie si \text{P} est fausse et qui est fausse si \text{P} est vraie.

La négation d'une proposition \text{P} est souvent appelée « non \text{P} ».

On considère deux propositions \text{P} et \text{Q}. On dit que \text{P} implique \text{Q} dans le cas où, si \text{P} est vraie, alors \text{Q} l'est aussi. On peut traduire une implication par une phrase de la forme « Si \text{P} est vraie, alors \text{Q} est vraie. » Il est ainsi suffisant de vérifier \text{P} pour vérifier \text{Q}.

On note l'implication \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}.

On considère un réel x. On note \text{P} la proposition « x > 0 » et \text{Q} la proposition « x > -1 ». On a bien \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}. En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à -1.

On dit que \text{P} est une condition suffisante pour \text{Q}. Il suffit que \text{P} soit vraie pour que \text{Q} soit vraie.

Soit n un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si n est premier, alors n est impair. » est « Si n est impair, alors n est premier. »

Dans l'exemple ci‑contre, ni l'implication, ni sa réciproque ne sont vraies.

On dit que deux propositions \text{P} et \text{Q} sont équivalentes si \text{P} implique \text{Q} et \text{Q} implique \text{P}. Autrement dit, les propositions \text{P} et \text{Q} sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
On dit également que \text{P} est vraie si, et seulement si, \text{Q} est vraie.

On a \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q} et \mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P}.
On note \mathrm{P} \Leftrightarrow \mathrm{Q}.

Soit x un réel. 2x - 4 = 0 est équivalent à x = 2. En revanche, x^2 = 9 n'est pas équivalent à x = 3. En effet, pour x = -3, la proposition x^2 = 9 est vraie mais la proposition x = 3 est fausse.

En revanche, « x = 3 » implique « x^2 = 9 ».

1. La proposition \mathrm{P}_1 implique \mathrm{P}_2. En effet, si \text{ABC} est un triangle équilatéral, alors \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}. En particulier, on a \mathrm{AB}=\mathrm{AC}, le triangle \text{ABC} est donc isocèle. Ainsi, si \mathrm{P}_1 est vraie, alors \mathrm{P}_2 est vraie.
La proposition \mathrm{P}_2 n'implique pas \mathrm{P}_1. On peut, par exemple, construire un triangle \text{ABC} tel que \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2 et \mathrm{BC}=3. Ce triangle est isocèle mais il n'est pas équilatéral.

2. La proposition \mathrm{P}_2 signifie que le triangle a au moins deux côtés de même longueur. Sa négation est donc : « Tous les côtés du triangle \text{ABC} ont des longueurs différentes. »

1. \mathrm{P}_1 implique \mathrm{P}_2 signifie « Si \mathrm{P}_1 est vraie, alors \mathrm{P}_1 est forcément vraie. »
Si l'on trouve un cas où \mathrm{P}_2 est vraie mais pas \mathrm{P}_1, on peut dire que \mathrm{P}_2 n'implique pas \mathrm{P}_1.

Voir p. 22

pour les explications sur les contre‑exemples.

2. En travaillant dans l'ensemble des entiers, la négation de « au moins 2 » est « au maximum 1 » donc ici, chaque côté a une longueur différente des autres.

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Soit x un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.

1. x \lt 1

2. t est solution de l'équation 3t^2 + 2t - 5 = 0.

3. x \in[4~; 9]

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Soit f une fonction définie sur \R.

1. La proposition « f est décroissante sur \R. » est‑elle la négation de « f est croissante sur \R. » ? Justifier.

2. La proposition « f est impaire sur \R. » est‑elle la négation de « f est paire sur \R. » ? Justifier.