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1. Propositions mathématiques
P.18-19
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Propositions mathématiques





Principe
Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être soit vrai, soit faux.

Remarque

Une proposition P\text{P} peut dépendre d’une variable (par exemple : le réel xx est positif ou nul). On peut alors la noter P(x)\mathrm{P}(x).

Exemple

« Tout nombre premier est impair. » est une proposition fausse car 22 est un nombre premier. « Le carré d’un nombre réel est toujours positif. » est une proposition vraie.

Définition
La négation d’une proposition P\text{P} est une proposition qui est vraie si P\text{P} est fausse et qui est fausse si P\text{P} est vraie.

Remarque

La négation d’une proposition P\text{P} est souvent appelée « non P\text{P} ».

Exemple

On considère un réel xx. La négation de la proposition « x>3x > 3 » est « x⩽3x \leqslant 3 ».

Définition
On considère deux propositions P\text{P} et Q\text{Q}. On dit que P\text{P} implique Q\text{Q} dans le cas où, si P\text{P} est vraie, alors Q\text{Q} l’est aussi. On peut traduire une implication par une phrase de la forme « Si P\text{P} est vraie, alors Q\text{Q} est vraie. » Il est ainsi suffisant de vérifier P\text{P} pour vérifier Q\text{Q}.

NOTATION
On note l’implication P⇒Q\mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}.

Exemple

On considère un réel xx. On note P\text{P} la proposition « x>0x > 0 » et Q\text{Q} la proposition « x>−1x > -1 ». On a bien P⇒Q\mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}. En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à −1-1.

VOCABULAIRE
On dit que P\text{P} est une condition suffisante pour Q\text{Q}. Il suffit que P\text{P} soit vraie pour que Q\text{Q} soit vraie.

Définition
L’implication Q⇒P\mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P} est la réciproque de P⇒Q\mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q}.

Exemple

Soit nn un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si nn est premier, alors nn est impair. » est « Si nn est impair, alors nn est premier. »

Remarque

Dans l’exemple ci‑contre, ni l’implication, ni sa réciproque ne sont vraies.

Définition
On dit que deux propositions P\text{P} et Q\text{Q} sont équivalentes si P\text{P} implique Q\text{Q} et Q\text{Q} implique P\text{P}. Autrement dit, les propositions P\text{P} et Q\text{Q} sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
On dit également que P\text{P} est vraie si, et seulement si, Q\text{Q} est vraie.

NOTATION
On a P⇒Q\mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{Q} et Q⇒P\mathrm{Q} \Rightarrow \mathrm{P}.
On note P⇔Q\mathrm{P} \Leftrightarrow \mathrm{Q}.

Exemple

Soit xx un réel. 2x−4=0x - 4 = 0 est équivalent à x=2x = 2. En revanche, x2=9x^2 = 9 n’est pas équivalent à x=3x = 3. En effet, pour x=−3x = -3, la proposition x2=9x^2 = 9 est vraie mais la proposition x=3x = 3 est fausse.

Remarque

En revanche, « x=3x = 3 » implique « x2=9x^2 = 9 ».

Énoncé

On considère un triangle ABC\text{ABC}.

1. Déterminer les implications et les équivalences logiques entre les propositions suivantes.
  • P1\mathrm{P}_1 : « Le triangle ABC\text{ABC} est équilatéral. »
  • P2\mathrm{P}_2 : « Le triangle ABC\text{ABC} est isocèle. »

2. Quelle est la négation de la proposition P2\mathrm{P}_2 ?

Rédaction détaillée

1. La proposition P1\mathrm{P}_1 implique P2\mathrm{P}_2. En effet, si ABC\text{ABC} est un triangle équilatéral, alors AB=AC=BC\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}. En particulier, on a AB=AC\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, le triangle ABC\text{ABC} est donc isocèle. Ainsi, si P1\mathrm{P}_1 est vraie, alors P2\mathrm{P}_2 est vraie.
La proposition P2\mathrm{P}_2 n’implique pas P1\mathrm{P}_1. On peut, par exemple, construire un triangle ABC\text{ABC} tel que AB=AC=2\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2 et BC=3\mathrm{BC}=3. Ce triangle est isocèle mais il n’est pas équilatéral.

2. La proposition P2\mathrm{P}_2 signifie que le triangle a au moins deux côtés de même longueur. Sa négation est donc : « Tous les côtés du triangle ABC\text{ABC} ont des longueurs différentes. »

Explications

1. P1\mathrm{P}_1 implique P2\mathrm{P}_2 signifie « Si P1\mathrm{P}_1 est vraie, alors P1\mathrm{P}_1 est forcément vraie. »
Si l’on trouve un cas où P2\mathrm{P}_2 est vraie mais pas P1\mathrm{P}_1, on peut dire que P2\mathrm{P}_2 n’implique pas P1\mathrm{P}_1. Voir p. 22 pour les explications sur les contre‑exemples.

2. En travaillant dans l’ensemble des entiers, la négation de « au moins 2 » est « au maximum 1 » donc ici, chaque côté a une longueur différente des autres.


1
Soit xx un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.

1. x<1x \lt 1


2. tt est solution de l’équation 3t2+2t−5=03t^2 + 2t - 5 = 0.


3. x∈[4 ;9]x \in[4~; 9]
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2
Soit ff une fonction définie sur R\R.

1. La proposition « ff est décroissante sur R\R. » est‑elle la négation de « ff est croissante sur R\R. » ? Justifier.


2. La proposition « ff est impaire sur R\R. » est‑elle la négation de « ff est paire sur R\R. » ? Justifier.
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3
Soient xx et yy deux réels. Dans chacun des cas suivants, dire si A\text{A} implique B\text{B}, si B\text{B} implique A\text{A} ou si A\text{A} et B\text{B} sont équivalentes.

1. A\text{A} : « x=2x = 2 » et B\text{B} : « x>1x > 1 ».


2. A\text{A} : « x⩽3x \leqslant 3 » et B\text{B} : « 2x⩽62 x \leqslant 6 ».


3. A\text{A} : « xx est un nombre rationnel. » et B\text{B} : « xx est un entier relatif. ».


4. A\text{A} : « x2>16x^{2}>16 » et B\text{B} : « x>4x>4 ».


5. A\text{A} : « x⩽0x \leqslant 0 » et B\text{B} : « ∣x∣=−x|x|=-x ».


6. A\text{A} : « x=yx = y » et B\text{B} : « x2=y2x^{2}=y^{2} ».
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4
Soit aa, bb et cc trois réels tels que a≠0a \neq 0.
On note Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4 a c.

1. La proposition « Si, pour tout réel xx, ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0, alors Δ<0\Delta \lt 0. » est‑elle vraie ? Justifier.


2. La réciproque est‑elle vraie ? Si non, que faut‑il ajouter ?
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5
On dispose de quatre cartes disposées comme ci‑dessous. Les cartes 1 et 4 sont face visible. Les cartes 2 et 3 sont vues de dos.

Maths spé - Apprendre à démontrer - exercice 5 - jeu de quatre cartes

On donne l’affirmation suivante : « Si une carte a une face rouge, alors son dos est vert. »

Quelle(s) carte(s) est‑il nécessaire de retourner pour vérifier que cette implication est vraie ?


Aide
 Autrement dit, on cherche à retourner le nombre minimum de cartes.
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