1. Propositions mathématiques
P.18-19
Apprendre à démontrer
1Propositions mathématiques
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Principe
Une proposition mathématique est un énoncé qui peut être soit vrai, soit faux.
Remarque
Une proposition peut dépendre d’une variable (par exemple : le réel est positif ou nul). On peut alors la
noter .
Exemple
« Tout nombre premier est impair. » est une proposition fausse car est un nombre premier. « Le carré d’un nombre réel est toujours positif. » est une proposition vraie.
Définition
La négation d’une proposition est une proposition qui est vraie si est fausse et qui est fausse si est vraie.
Remarque
La négation d’une proposition est souvent appelée « non ».
Exemple
On considère un réel . La négation de la proposition « » est « ».
Définition
On considère deux propositions et . On dit que implique dans le cas où, si est vraie, alors l’est aussi. On peut traduire une implication par une phrase de la forme « Si est vraie, alors est vraie. » Il est ainsi suffisant de vérifier pour vérifier .
NOTATION
On note l’implication .
Exemple
On considère un réel . On note la proposition « » et la proposition « ». On a bien . En effet, tout nombre strictement positif est aussi strictement supérieur à .
VOCABULAIRE
On dit que est une condition suffisante pour . Il suffit que soit vraie pour que soit vraie.
Définition
L’implication est la réciproque de .
Exemple
Soit un entier naturel. La réciproque de la proposition « Si est premier, alors est impair. » est « Si est impair, alors est premier. »
Remarque
Dans l’exemple ci‑contre, ni l’implication, ni sa réciproque ne sont vraies.
Définition
On dit que deux propositions et sont équivalentes si implique et implique . Autrement dit, les propositions et sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.
On dit également que est vraie si, et seulement si, est vraie.
NOTATION
On a et .
On note .
Exemple
Soit un réel. 2 est équivalent à . En revanche, n’est pas équivalent à . En effet, pour , la proposition est vraie mais la proposition est fausse.
Remarque
En revanche, « » implique « ».
Énoncé
On considère un triangle .
1. Déterminer les implications et les équivalences logiques entre les propositions suivantes.
2. Quelle est la négation de la proposition ?
1. Déterminer les implications et les équivalences logiques entre les propositions suivantes.
- : « Le triangle est équilatéral. »
- : « Le triangle est isocèle. »
2. Quelle est la négation de la proposition ?
Rédaction détaillée
1. La proposition implique . En effet, si est un triangle équilatéral, alors . En particulier, on a , le triangle est donc isocèle. Ainsi, si est vraie, alors est vraie.
La proposition n’implique pas . On peut, par exemple, construire un triangle tel que et . Ce triangle est isocèle mais il n’est pas équilatéral.
2. La proposition signifie que le triangle a au moins deux côtés de même longueur. Sa négation est donc : « Tous les côtés du triangle ont des longueurs différentes. »
La proposition n’implique pas . On peut, par exemple, construire un triangle tel que et . Ce triangle est isocèle mais il n’est pas équilatéral.
2. La proposition signifie que le triangle a au moins deux côtés de même longueur. Sa négation est donc : « Tous les côtés du triangle ont des longueurs différentes. »
Explications
1. implique signifie « Si est vraie, alors est forcément vraie. »
Si l’on trouve un cas où est vraie mais pas , on peut dire que n’implique pas . Voir p. 22 pour les explications sur les contre‑exemples.
2. En travaillant dans l’ensemble des entiers, la négation de « au moins 2 » est « au maximum 1 » donc ici, chaque côté a une longueur différente des autres.
Si l’on trouve un cas où est vraie mais pas , on peut dire que n’implique pas . Voir p. 22 pour les explications sur les contre‑exemples.
2. En travaillant dans l’ensemble des entiers, la négation de « au moins 2 » est « au maximum 1 » donc ici, chaque côté a une longueur différente des autres.
1
Soit un réel. Écrire la négation des propositions suivantes.
1.
2. est solution de l’équation .
3.
2
Soit une fonction définie sur .
1. La proposition « est décroissante sur . » est‑elle la négation de « est croissante sur . » ? Justifier.
2. La proposition « est impaire sur . » est‑elle la négation de « est paire sur . » ? Justifier.
3
Soient et deux réels. Dans chacun des cas suivants, dire si implique , si implique ou si et sont équivalentes.
1. : « » et : « ».
2. : « » et : « ».
3. : « est un nombre rationnel. » et : « est un entier relatif. ».
4. : « » et : « ».
5. : « » et : « ».
6. : « » et : « ».
4
Soit , et trois réels tels que .
On note .
1. La proposition « Si, pour tout réel , , alors . » est‑elle vraie ? Justifier.
2. La réciproque est‑elle vraie ? Si non, que faut‑il ajouter ?
5
On dispose de quatre cartes disposées comme ci‑dessous. Les cartes 1 et 4 sont face visible. Les cartes 2 et 3 sont vues de dos.
On donne l’affirmation suivante : « Si une carte a une face rouge, alors son dos est vert. »
Quelle(s) carte(s) est‑il nécessaire de retourner pour vérifier que cette implication est vraie ?
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