À partir de deux propositions $\text{P}$ et $\text{Q}$, on peut définir :

• « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ » : cette proposition est vraie si, et seulement si, au moins une des propositions $\text{P}$ et $\text{Q}$ est vraie ;
• « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » : cette proposition est vraie si, et seulement si, les propositions $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont toutes les deux vraies.

« $\text{P}$ ou $\text{Q}$ » se note $\mathrm{P}\vee \mathrm{Q}$ et « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » se note $\mathrm{P}\wedge \mathrm{Q}$.

Lorsqu'une proposition dépend d'un paramètre, on peut utiliser deux types de quantificateurs :

• le quantificateur universel « Pour tout » ;
• le quantificateur existentiel « Il existe ».

« Pour tout $x$ » se note $\forall x$. « Il existe $x$ » se note $\exists x$.

Soit $x$ un réel. On a toujours $x^2⩾0$, peu importe la valeur de $x$. On dira donc que pour tout réel $x$, $x^2⩾0$ ($\forall x\in \mathbb{R}$, $x^2⩾0$). En revanche, $x^2=1$ n'est vraie que si $x=1$ ou $x=-1$. On dira qu'il existe un réel $x$ tel que $x^2=1$ '$\exists x\in \mathbb{R}$, $x^2=1$).

Lorsqu'on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il existe au moins un réel ».

$\text{P}$ : Si $f$ est constante sur $\mathbb{R}$, alors, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ appartenant à $\mathbb{R}$, $f(x_1)=f(x_2)$.

$\text{Q}$ : Si $f$ n'est pas constante sur $\mathbb{R}$, alors elle prend au moins deux valeurs différentes, il existe deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)\ne f(x_2)$.

La proposition $\text{P}$ signifie que l'image $f(x)$ est la même pour toutes les valeurs de $x$.

$\text{Q}$ est la négation de $\text{P}$. La négation de « toutes les valeurs sont égales » est « il en existe au moins deux qui sont différentes. »

6

Soit $x$ un réel. On note $\text{P}$ la proposition « $x^2>4$ » et $\text{Q}$ la proposition « $x<-1$ ».

1. Si $x=3$, quelles sont les propositions vraies parmi $\text{P}$, $\text{non}(\text{P})$, $\text{Q}$, « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ » et « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » ?

2. Même question si $x=-5$.

7

Soit $x$ un réel. On note $\text{P}$ la proposition « $x$ est un entier. » et $\text{Q}$ la proposition « $x$ est positif ou nul. »

1. Pour quelles valeurs de $x$ la proposition « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » est‑elle vraie ?

2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » et « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ ».

8

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

1. À l'aide de quantificateurs, traduire le fait que $g$ s'annule au moins une fois sur $[0;5]$.

2. Exprimer la négation de cette proposition.

9

On rappelle qu'un polynôme du second degré $a{x}^2+bx+c$, avec $a\ne 0$, peut s'écrire sous la forme $a(x-\alpha {)}^2+\beta$.
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :

« 

réels $a$, $b$ et $c$, avec $a\ne 0$,

réels $\alpha$ et $\beta$ tels que

réel $x$, $a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha {)}^2+\beta$. »