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2. Connecteurs logiques et quantificateurs
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Connecteurs logiques et quantificateurs





Principe

À partir de deux propositions P\text{P} et Q\text{Q}, on peut définir :
  • « P\text{P} ou Q\text{Q} » : cette proposition est vraie si, et seulement si, au moins une des propositions P\text{P} et Q\text{Q} est vraie ;
  • « P\text{P} et Q\text{Q} » : cette proposition est vraie si, et seulement si, les propositions P\text{P} et Q\text{Q} sont toutes les deux vraies.

NOTATION

« P\text{P} ou Q\text{Q} » se note PQ\mathrm{P} \vee \mathrm{Q} et « P\text{P} et Q\text{Q} » se note PQ\mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}.

Définitions

Lorsqu’une proposition dépend d’un paramètre, on peut utiliser deux types de quantificateurs :
  • le quantificateur universel « Pour tout » ;
  • le quantificateur existentiel « Il existe ».

NOTATION

« Pour tout xx » se note x\forall x. « Il existe xx » se note x\exists x.

Exemple

Soit xx un réel. On a toujours x20x^{2} \geqslant 0, peu importe la valeur de xx. On dira donc que pour tout réel xx, x20x^{2} \geqslant 0 (xR\forall x \in \mathbb{R}, x20x^{2} \geqslant 0). En revanche, x2=1x^2 = 1 n’est vraie que si x=1x = 1 ou x=1x = -1. On dira qu’il existe un réel xx tel que x2=1x^2 =1 'xR\exists x \in \mathbb{R}, x2=1x^2 =1).

Remarque

Lorsqu’on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il existe au moins un réel ».

Énoncé

Soit ff une fonction définie sur R\R. À l’aide de quantificateurs, traduire les propositions suivantes.
P\text{P} : « ff est constante sur R\R. » et Q\mathrm{Q} : « ff n’est pas constante sur R\R. »

Rédaction détaillée

P\text{P} : Si ff est constante sur R\R, alors, pour tous nombres x1x_1 et x2x_2 appartenant à R\R, f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2).

Q\text{Q} : Si ff n’est pas constante sur R\R, alors elle prend au moins deux valeurs différentes, il existe deux réels x1x_1 et x2x_2 tels que f(x1)f(x2)f(x_1) \neq f(x_2).

Explications

La proposition P\text{P} signifie que l’image f(x)f(x) est la même pour toutes les valeurs de xx.

Q\text{Q} est la négation de P\text{P}. La négation de « toutes les valeurs sont égales » est « il en existe au moins deux qui sont différentes. »


6

Soit xx un réel. On note P\text{P} la proposition « x2>4x^2 > 4 » et Q\text{Q} la proposition « x<1x \lt -1 ».

1. Si x=3x = 3, quelles sont les propositions vraies parmi P\text{P}, non(P)\text{non}( \text{P}), Q\text{Q}, « P\text{P} ou Q\text{Q} » et « P\text{P} et Q\text{Q} » ?


2. Même question si x=5x = -5.
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7

Soit xx un réel. On note P\text{P} la proposition « xx est un entier. » et Q\text{Q} la proposition « xx est positif ou nul. »

1. Pour quelles valeurs de xx la proposition « P\text{P} et Q\text{Q} » est‑elle vraie ?


2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions « P\text{P} et Q\text{Q} » et « P\text{P} ou Q\text{Q} ».
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8

Soit gg une fonction définie sur R\R.

1. À l’aide de quantificateurs, traduire le fait que gg s’annule au moins une fois sur [0 ;5][0~; 5].


2. Exprimer la négation de cette proposition.
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9

On rappelle qu’un polynôme du second degré ax2+bx+cax^2 + bx + c, avec a0a \neq 0, peut s’écrire sous la forme a(xα)2+βa(x-\alpha)^{2}+\beta.
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :

« 
réels aa, bb et cc, avec a0a \neq 0,
réels α\alpha et β\beta tels que
réel xx, ax2+bx+c=a(xα)2+βa x^{2}+b x+c=a(x-\alpha)^{2}+\beta. »
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