À partir de deux propositions P et Q, on peut définir :
« PouQ » : cette proposition est vraie si, et seulement si, au moins une des propositions P et Q est vraie ;
« PetQ » : cette proposition est vraie si, et seulement si, les propositions P et Q sont toutes les deux vraies.
NOTATION
« P ou Q » se note P∨Q et « P et Q » se note P∧Q.
Définitions
Lorsqu’une proposition dépend d’un paramètre, on peut utiliser deux types de quantificateurs :
le quantificateur universel « Pour tout » ;
le quantificateur existentiel « Il existe ».
NOTATION
« Pour tout x » se note ∀x. « Il existe x » se note ∃x.
Exemple
Soit x un réel. On a toujours x2⩾0, peu importe la valeur de x. On dira donc que pour tout réel x, x2⩾0 (∀x∈R, x2⩾0). En revanche, x2=1 n’est vraie que si x=1 ou x=−1. On dira qu’il existe un réel x tel que x2=1 '∃x∈R, x2=1).
Remarque
Lorsqu’on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il
existe au moins un réel ».
Énoncé
Soit f une fonction définie sur R. À l’aide de quantificateurs, traduire les propositions suivantes. P : « f est constante sur R. » et Q : « f n’est pas constante sur R. »
6
Soit x un réel. On note P la proposition « x2>4 » et Q la proposition « x<−1 ».
1. Si x=3, quelles sont les propositions vraies parmi P, non(P), Q, « P ou Q » et « P et Q » ?
2. Même question si x=−5.
7
Soit x un réel. On note P la proposition « x est un entier. » et Q la proposition « x est positif ou nul. »
1. Pour quelles valeurs de x la proposition « P et Q » est‑elle vraie ?
2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions « P et Q » et « P ou Q ».
8
Soit g une fonction définie sur R.
1. À l’aide de quantificateurs, traduire le fait que g s’annule au moins une fois sur [0;5].
2. Exprimer la négation de cette proposition.
9
On rappelle qu’un polynôme du second degré ax2+bx+c, avec a=0, peut s’écrire sous la forme a(x−α)2+β.
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :
« réels a, b et c, avec a=0, réels α et β tels que réel x, ax2+bx+c=a(x−α)2+β. »
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