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2. Connecteurs logiques et quantificateurs
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Connecteurs logiques et quantificateurs





Principe

À partir de deux propositions et , on peut définir :
  • «  ou  » : cette proposition est vraie si, et seulement si, au moins une des propositions et est vraie ;
  • «  et  » : cette proposition est vraie si, et seulement si, les propositions et sont toutes les deux vraies.

NOTATION

«  ou  » se note et «  et  » se note .

Définitions

Lorsqu’une proposition dépend d’un paramètre, on peut utiliser deux types de quantificateurs :
  • le quantificateur universel « Pour tout » ;
  • le quantificateur existentiel « Il existe ».

NOTATION

« Pour tout  » se note . « Il existe  » se note .

Exemple

Soit un réel. On a toujours , peu importe la valeur de . On dira donc que pour tout réel , (, ). En revanche, n’est vraie que si ou . On dira qu’il existe un réel tel que ', ).

Remarque

Lorsqu’on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il existe au moins un réel ».

Énoncé

Soit une fonction définie sur . À l’aide de quantificateurs, traduire les propositions suivantes.
 : «  est constante sur . » et  : «  n’est pas constante sur . »

Rédaction détaillée

 : Si est constante sur , alors, pour tous nombres et appartenant à , .

 : Si n’est pas constante sur , alors elle prend au moins deux valeurs différentes, il existe deux réels et tels que .

Explications

La proposition signifie que l’image est la même pour toutes les valeurs de .

est la négation de . La négation de « toutes les valeurs sont égales » est « il en existe au moins deux qui sont différentes. »


6

Soit un réel. On note la proposition «  » et la proposition «  ».

1. Si , quelles sont les propositions vraies parmi , , , «  ou  » et «  et  » ?


2. Même question si .
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7

Soit un réel. On note la proposition «  est un entier. » et la proposition «  est positif ou nul. »

1. Pour quelles valeurs de la proposition «  et  » est‑elle vraie ?


2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions «  et  » et «  ou  ».
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8

Soit une fonction définie sur .

1. À l’aide de quantificateurs, traduire le fait que s’annule au moins une fois sur .


2. Exprimer la négation de cette proposition.
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9

On rappelle qu’un polynôme du second degré , avec , peut s’écrire sous la forme .
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :

« 
réels , et , avec ,
réels et tels que
réel , . »
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