2

Connecteurs logiques et quantificateurs

Soit $x$ un réel. On a toujours $x^{2} \geqslant 0$, peu importe la valeur de $x$. On dira donc que pour tout réel $x$, $x^{2} \geqslant 0$ ($\forall x \in \mathbb{R}$, $x^{2} \geqslant 0$). En revanche, $x^2 = 1$ n’est vraie que si $x = 1$ ou $x = -1$. On dira qu’il existe un réel $x$ tel que $x^2 =1$ '$\exists x \in \mathbb{R}$, $x^2 =1$).

Lorsqu’on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il existe au moins un réel ».

6

Soit $x$ un réel. On note $\text{P}$ la proposition « $x^2 > 4$ » et $\text{Q}$ la proposition « $x \lt -1$ ».

1. Si $x = 3$, quelles sont les propositions vraies parmi $\text{P}$, $\text{non}( \text{P})$, $\text{Q}$, « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ » et « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » ?


2. Même question si $x = -5$.

7

Soit $x$ un réel. On note $\text{P}$ la proposition « $x$ est un entier. » et $\text{Q}$ la proposition « $x$ est positif ou nul. »

1. Pour quelles valeurs de $x$ la proposition « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » est‑elle vraie ?


2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » et « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ ».

8

Soit $g$ une fonction définie sur $\R$.

1. À l’aide de quantificateurs, traduire le fait que $g$ s’annule au moins une fois sur $[0~; 5]$.


2. Exprimer la négation de cette proposition.

9

On rappelle qu’un polynôme du second degré $ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$, peut s’écrire sous la forme $a(x-\alpha)^{2}+\beta$.
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :

«  réels $a$, $b$ et $c$, avec $a \neq 0$, réels $\alpha$ et $\beta$ tels que réel $x$, $a x^{2}+b x+c=a(x-\alpha)^{2}+\beta$. »