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Connecteurs logiques et quantificateurs

À partir de deux propositions \text{P} et \text{Q}, on peut définir :

• « \text{P} ou \text{Q} » : cette proposition est vraie si, et seulement si, au moins une des propositions \text{P} et \text{Q} est vraie ;
• « \text{P} et \text{Q} » : cette proposition est vraie si, et seulement si, les propositions \text{P} et \text{Q} sont toutes les deux vraies.

« \text{P} ou \text{Q} » se note \mathrm{P} \vee \mathrm{Q} et « \text{P} et \text{Q} » se note \mathrm{P} \wedge \mathrm{Q}.

Lorsqu'une proposition dépend d'un paramètre, on peut utiliser deux types de quantificateurs :

• le quantificateur universel « Pour tout » ;
• le quantificateur existentiel « Il existe ».

« Pour tout x » se note \forall x. « Il existe x » se note \exists x.

Soit x un réel. On a toujours x^{2} \geqslant 0, peu importe la valeur de x. On dira donc que pour tout réel x, x^{2} \geqslant 0 (\forall x \in \mathbb{R}, x^{2} \geqslant 0). En revanche, x^2 = 1 n'est vraie que si x = 1 ou x = -1. On dira qu'il existe un réel x tel que x^2 =1 '\exists x \in \mathbb{R}, x^2 =1).

Lorsqu'on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il existe au moins un réel ».

\text{P} : Si f est constante sur \R, alors, pour tous nombres x_1 et x_2 appartenant à \R, f(x_1) = f(x_2).

\text{Q} : Si f n'est pas constante sur \R, alors elle prend au moins deux valeurs différentes, il existe deux réels x_1 et x_2 tels que f(x_1) \neq f(x_2).

La proposition \text{P} signifie que l'image f(x) est la même pour toutes les valeurs de x.

\text{Q} est la négation de \text{P}. La négation de « toutes les valeurs sont égales » est « il en existe au moins deux qui sont différentes. »

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Soit x un réel. On note \text{P} la proposition « x^2 > 4 » et \text{Q} la proposition « x \lt -1 ».

1. Si x = 3, quelles sont les propositions vraies parmi \text{P}, \text{non}( \text{P}), \text{Q}, « \text{P} ou \text{Q} » et « \text{P} et \text{Q} » ?

2. Même question si x = -5.

7

Soit x un réel. On note \text{P} la proposition « x est un entier. » et \text{Q} la proposition « x est positif ou nul. »

1. Pour quelles valeurs de x la proposition « \text{P} et \text{Q} » est‑elle vraie ?

2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions « \text{P} et \text{Q} » et « \text{P} ou \text{Q} ».

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Soit g une fonction définie sur \R.

1. À l'aide de quantificateurs, traduire le fait que g s'annule au moins une fois sur [0~; 5].

2. Exprimer la négation de cette proposition.

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On rappelle qu'un polynôme du second degré ax^2 + bx + c, avec a \neq 0, peut s'écrire sous la forme a(x-\alpha)^{2}+\beta.
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :

« 

réels a, b et c, avec a \neq 0,

réels \alpha et \beta tels que

réel x, a x^{2}+b x+c=a(x-\alpha)^{2}+\beta. »