Soit $x$ un réel. On a toujours $x^2⩾0$, peu importe la valeur de $x$. On dira donc que pour tout réel $x$, $x^2⩾0$ ($\forall x\in \mathbb{R}$, $x^2⩾0$). En revanche, $x^2=1$ n’est vraie que si $x=1$ ou $x=-1$. On dira qu’il existe un réel $x$ tel que $x^2=1$ '$\exists x\in \mathbb{R}$, $x^2=1$).

Lorsqu’on dit « Il existe un réel », on sous‑entend : « Il existe au moins un réel ».

6

Soit $x$ un réel. On note $\text{P}$ la proposition « $x^2>4$ » et $\text{Q}$ la proposition « $x<-1$ ».

1. Si $x=3$, quelles sont les propositions vraies parmi $\text{P}$, $\text{non}(\text{P})$, $\text{Q}$, « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ » et « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » ?


2. Même question si $x=-5$.

7

Soit $x$ un réel. On note $\text{P}$ la proposition « $x$ est un entier. » et $\text{Q}$ la proposition « $x$ est positif ou nul. »

1. Pour quelles valeurs de $x$ la proposition « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » est‑elle vraie ?


2. Traduire par une phrase les négations des deux propositions « $\text{P}$ et $\text{Q}$ » et « $\text{P}$ ou $\text{Q}$ ».

8

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.

1. À l’aide de quantificateurs, traduire le fait que $g$ s’annule au moins une fois sur $[0;5]$.


2. Exprimer la négation de cette proposition.

9

On rappelle qu’un polynôme du second degré $a{x}^2+bx+c$, avec $a\ne 0$, peut s’écrire sous la forme $a(x-\alpha {)}^2+\beta$.
Compléter la phrase ci‑dessous avec les quantificateurs adéquats :

«  réels $a$, $b$ et $c$, avec $a\ne 0$, réels $\alpha$ et $\beta$ tels que réel $x$, $a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha {)}^2+\beta$. »