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Utilisation d'un contre‑exemple

Pour rejeter une affirmation, il suffit parfois de trouver un cas particulier qui vient la contredire. Ce cas particulier est appelé contre‑exemple.

Un exemple ne suffit pas à prouver qu'une affirmation est vraie mais un contre‑exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.

Soit n un entier naturel strictement positif. Posons u_{n}=1-\frac{1}{n}.
Montrons que la suite (u_n) est strictement croissante.
Pour tout entier n > 0, u_{n+1}-u_{n}=1-\frac{1}{n+1}-\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}.
Puisque u_{n+1}-u_{n}>0, alors la suite (u_n) est strictement croissante.
Or, la limite de cette suite est égale à 1 donc l'affirmation de l'énoncé est fausse.

Pour démontrer que cette proposition dépendant de n \in \N^* est vraie, il faut réaliser un raisonnement pour tout n \in \N^*.
Pour démontrer qu'elle est fausse, il suffit de trouver une suite qui est strictement croissante mais dont la limite n'est pas +\infty.

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Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l'aide d'un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.

\mathrm{P}_1 : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »

\mathrm{P}_2 : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »

\mathrm{P}_3 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »

\mathrm{P}_4 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »

\mathrm{P}_5 : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »

\mathrm{P}_6 : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n'est jamais un nombre entier. »

22

La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels x et y, |x+y|=|x|+|y|. »

23

Montrer que la fonction f: x \mapsto x^{2}-3 x, définie sur \R, n'est ni paire, ni impaire.

24

Soit f une fonction définie et dérivable sur \R. On suppose qu'il existe un réel x tel que f'(x) = 0.
Peut‑on affirmer que f admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.

25

L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur \R est dérivable sur \R. »

26

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?

\mathrm{P}_1 : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »

\mathrm{P}_2 : « Il est impossible que l'aire d'un rectangle soit égale à son périmètre. »

27

L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles (u_n) et (v_n) qui n'admettent pas de limite en l'infini. Alors, la suite \left(u_{n} v_{n}\right) n'admet pas non plus de limite en l'infini. »

28

L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout n \in \N, le nombre n^2 + n + 41 est premier. »