4

Utilisation d’un contre‑exemple

19

La propriété suivante est‑elle vraie ? « Si $x$ et $y$ sont deux réels tels que $x^2 \lt y^2$, alors $x \lt y$. »

20

Pour tout $n \in \N$, on pose $u_{n}=\cos \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)+2 n$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.


2. Si $(u_n)$ était une suite arithmétique, quelle devrait être sa raison ?


3. Calculer $u_3$ et en déduire que la suite $(u_n)$ n’est pas arithmétique.

21

Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l’aide d’un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.

$\mathrm{P}_1$ : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »


$\mathrm{P}_2$ : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »


$\mathrm{P}_3$ : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »


$\mathrm{P}_4$ : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »


$\mathrm{P}_5$ : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »


$\mathrm{P}_6$ : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n’est jamais un nombre entier. »

22

La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels $x$ et $y$, $|x+y|=|x|+|y|$. »

23

Montrer que la fonction $f: x \mapsto x^{2}-3 x$, définie sur $\R$, n’est ni paire, ni impaire.

24

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On suppose qu’il existe un réel $x$ tel que $f'(x) = 0$.
Peut‑on affirmer que $f$ admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.

25

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur $\R$ est dérivable sur $\R$. »

26

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?

$\mathrm{P}_1$ : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »


$\mathrm{P}_2$ : « Il est impossible que l’aire d’un rectangle soit égale à son périmètre. »

27

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ qui n’admettent pas de limite en l’infini. Alors, la suite $\left(u_{n} v_{n}\right)$ n’admet pas non plus de limite en l’infini. »

28

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout $n \in \N$, le nombre $n^2 + n + 41$ est premier. »