4

Utilisation d’un contre‑exemple

19

La propriété suivante est‑elle vraie ? « Si $x$ et $y$ sont deux réels tels que $x^2<y^2$, alors $x<y$. »

20

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $u_n=\cos \left(\frac{n\pi }{2}\right)+2n$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.


2. Si $(u_n)$ était une suite arithmétique, quelle devrait être sa raison ?


3. Calculer $u_3$ et en déduire que la suite $(u_n)$ n’est pas arithmétique.

21

Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l’aide d’un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.

${\mathrm{P}}_1$ : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »


${\mathrm{P}}_2$ : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »


${\mathrm{P}}_3$ : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »


${\mathrm{P}}_4$ : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »


${\mathrm{P}}_5$ : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »


${\mathrm{P}}_6$ : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n’est jamais un nombre entier. »

22

La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels $x$ et $y$, $|x+y|=|x|+|y|$. »

23

Montrer que la fonction $f:x\mapsto x^2-3x$, définie sur $\mathbb{R}$, n’est ni paire, ni impaire.

24

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On suppose qu’il existe un réel $x$ tel que $f^{\prime }(x)=0$.
Peut‑on affirmer que $f$ admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.

25

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. »

26

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?

${\mathrm{P}}_1$ : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »


${\mathrm{P}}_2$ : « Il est impossible que l’aire d’un rectangle soit égale à son périmètre. »

27

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ qui n’admettent pas de limite en l’infini. Alors, la suite $\left(u_n{v}_n\right)$ n’admet pas non plus de limite en l’infini. »

28

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout $n\in \mathbb{N}$, le nombre $n^2+n+41$ est premier. »