Apprendre à démontrer
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Utilisation d'un contre‑exemple
Pour rejeter une affirmation, il suffit parfois de trouver un cas particulier qui vient la contredire. Ce cas particulier est appelé contre‑exemple.
Un exemple ne suffit pas à prouver qu'une affirmation est vraie mais un contre‑exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.
Énoncé
Déterminer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :
« Toute suite strictement croissante tend vers
+∞. »
Soit n un entier naturel strictement positif. Posons un=1−n1.
Montrons que la suite (un) est strictement croissante.
Pour tout entier n>0, un+1−un=1−n+11−(1−n1)=n1−n+11=n(n+1)1.
Puisque un+1−un>0, alors la suite (un) est strictement croissante.
Or, la limite de cette suite est égale à 1 donc l'affirmation de l'énoncé est fausse.
Pour démontrer que cette proposition dépendant de n∈N∗ est vraie, il faut réaliser un raisonnement pour tout n∈N∗.
Pour démontrer qu'elle est fausse, il suffit de trouver une suite qui est strictement croissante mais dont la limite n'est pas +∞.
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La propriété suivante est‑elle vraie ? « Si x et y sont deux réels tels que x2<y2, alors x<y. »
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Pour tout
n∈N, on pose
un=cos(2nπ)+2n.
1. Calculer u0, u1 et u2.
2. Si (un) était une suite arithmétique, quelle devrait être sa raison ?
3. Calculer u3 et en déduire que la suite (un) n'est pas arithmétique.
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Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l'aide d'un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.
P1 : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »
P2 : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »
P3 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »
P4 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »
P5 : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »
P6 : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n'est jamais un nombre entier. »
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La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels x et y, ∣x+y∣=∣x∣+∣y∣. »
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Montrer que la fonction f:x↦x2−3x, définie sur R, n'est ni paire, ni impaire.
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Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On suppose qu'il existe un réel x tel que f′(x)=0.
Peut‑on affirmer que f admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.
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L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur R est dérivable sur R. »
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Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?
P1 : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »
P2 : « Il est impossible que l'aire d'un rectangle soit égale à son périmètre. »
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L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles (un) et (vn) qui n'admettent pas de limite en l'infini. Alors, la suite (unvn) n'admet pas non plus de limite en l'infini. »
28
L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout n∈N, le nombre n2+n+41 est premier. »
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