Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

4. Utilisation d’un contre-exemple
P.22

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Apprendre à démontrer


4
Utilisation d’un contre‑exemple





Principe

Pour rejeter une affirmation, il suffit parfois de trouver un cas particulier qui vient la contredire. Ce cas particulier est appelé contre‑exemple.

LOGIQUE

Un exemple ne suffit pas à prouver qu’une affirmation est vraie mais un contre‑exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse.

Énoncé

Déterminer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse : « Toute suite strictement croissante tend vers ++\infty. »

Rédaction détaillée

Soit nn un entier naturel strictement positif. Posons un=11nu_{n}=1-\dfrac{1}{n}.
Montrons que la suite (un)(u_n) est strictement croissante.
Pour tout entier n>0n > 0, un+1un=11n+1(11n)=1n1n+1=1n(n+1)u_{n+1}-u_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}.
Puisque un+1un>0u_{n+1}-u_{n}>0, alors la suite (un)(u_n) est strictement croissante.
Or, la limite de cette suite est égale à 11 donc l’affirmation de l’énoncé est fausse.

Explications

Pour démontrer que cette proposition dépendant de nNn \in \N^* est vraie, il faut réaliser un raisonnement pour tout nNn \in \N^*.
Pour démontrer qu’elle est fausse, il suffit de trouver une suite qui est strictement croissante mais dont la limite n’est pas ++\infty.


19

La propriété suivante est‑elle vraie ? « Si xx et yy sont deux réels tels que x2<y2x^2 \lt y^2, alors x<yx \lt y. »
Voir les réponses

20

Pour tout nNn \in \N, on pose un=cos(nπ2)+2nu_{n}=\cos \left(\dfrac{n \pi}{2}\right)+2 n.

1. Calculer u0u_0, u1u_1 et u2u_2.


2. Si (un)(u_n) était une suite arithmétique, quelle devrait être sa raison ?


3. Calculer u3u_3 et en déduire que la suite (un)(u_n) n’est pas arithmétique.
Voir les réponses

21

Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l’aide d’un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.

P1\mathrm{P}_1 : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »


P2\mathrm{P}_2 : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »


P3\mathrm{P}_3 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »


P4\mathrm{P}_4 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »


P5\mathrm{P}_5 : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »


P6\mathrm{P}_6 : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n’est jamais un nombre entier. »
Voir les réponses

22

La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels xx et yy, x+y=x+y|x+y|=|x|+|y|. »
Voir les réponses

23

Montrer que la fonction f:xx23xf: x \mapsto x^{2}-3 x, définie sur R\R, n’est ni paire, ni impaire.
Voir les réponses

24

Soit ff une fonction définie et dérivable sur R\R. On suppose qu’il existe un réel xx tel que f(x)=0f'(x) = 0.
Peut‑on affirmer que ff admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.
Voir les réponses

25

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur R\R est dérivable sur R\R. »
Voir les réponses

26

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?

P1\mathrm{P}_1 : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »


P2\mathrm{P}_2 : « Il est impossible que l’aire d’un rectangle soit égale à son périmètre. »
Voir les réponses

27

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles (un)(u_n) et (vn)(v_n) qui n’admettent pas de limite en l’infini. Alors, la suite (unvn)\left(u_{n} v_{n}\right) n’admet pas non plus de limite en l’infini. »
Voir les réponses
Voir les réponses

28

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout nNn \in \N, le nombre n2+n+41n^2 + n + 41 est premier. »
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.