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4. Utilisation d’un contre-exemple
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Apprendre à démontrer


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Utilisation d’un contre‑exemple





Principe

Pour rejeter une affirmation, il suffit parfois de trouver un cas particulier qui vient la contredire. Ce cas particulier est appelé contre‑exemple.

LOGIQUE

Un exemple ne suffit pas à prouver qu’une affirmation est vraie mais un contre‑exemple suffit à prouver qu’une affirmation est fausse.

Énoncé

Déterminer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse : « Toute suite strictement croissante tend vers . »

Rédaction détaillée

Soit un entier naturel strictement positif. Posons .
Montrons que la suite est strictement croissante.
Pour tout entier , .
Puisque , alors la suite est strictement croissante.
Or, la limite de cette suite est égale à donc l’affirmation de l’énoncé est fausse.

Explications

Pour démontrer que cette proposition dépendant de est vraie, il faut réaliser un raisonnement pour tout .
Pour démontrer qu’elle est fausse, il suffit de trouver une suite qui est strictement croissante mais dont la limite n’est pas .


19

La propriété suivante est‑elle vraie ? « Si et sont deux réels tels que , alors . »
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20

Pour tout , on pose .

1. Calculer , et .


2. Si était une suite arithmétique, quelle devrait être sa raison ?


3. Calculer et en déduire que la suite n’est pas arithmétique.
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21

Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l’aide d’un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.

 : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »


 : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »


 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »


 : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »


 : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »


 : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n’est jamais un nombre entier. »
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22

La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels et , . »
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23

Montrer que la fonction , définie sur , n’est ni paire, ni impaire.
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24

Soit une fonction définie et dérivable sur . On suppose qu’il existe un réel tel que .
Peut‑on affirmer que admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.
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25

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur est dérivable sur . »
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26

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?

 : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »


 : « Il est impossible que l’aire d’un rectangle soit égale à son périmètre. »
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27

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles et qui n’admettent pas de limite en l’infini. Alors, la suite n’admet pas non plus de limite en l’infini. »
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28

L’affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout , le nombre est premier. »
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