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Utilisation d'un contre‑exemple

Pour rejeter une affirmation, il suffit parfois de trouver un cas particulier qui vient la contredire. Ce cas particulier est appelé contre‑exemple.

Un exemple ne suffit pas à prouver qu'une affirmation est vraie mais un contre‑exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.

Soit $n$ un entier naturel strictement positif. Posons $u_n=1-\frac{1}{n}$.
Montrons que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Pour tout entier $n>0$, $u_{n+1}-u_n=1-\frac{1}{n+1}-\left(1-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$.
Puisque $u_{n+1}-u_n>0$, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Or, la limite de cette suite est égale à $1$ donc l'affirmation de l'énoncé est fausse.

Pour démontrer que cette proposition dépendant de $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ est vraie, il faut réaliser un raisonnement pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Pour démontrer qu'elle est fausse, il suffit de trouver une suite qui est strictement croissante mais dont la limite n'est pas $+\infty$.

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Parmi les propositions suivantes, déterminer celles qui sont fausses à l'aide d'un contre‑exemple.
Démontrer celles qui sont vraies.

${\mathrm{P}}_1$ : « Le produit de deux entiers impairs est un entier impair. »

${\mathrm{P}}_2$ : « La somme de deux entiers impairs est un entier impair. »

${\mathrm{P}}_3$ : « La somme de deux nombres premiers est un nombre premier. »

${\mathrm{P}}_4$ : « La somme de deux nombres premiers est un nombre pair. »

${\mathrm{P}}_5$ : « La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. »

${\mathrm{P}}_6$ : « La somme de deux nombres rationnels non entiers n'est jamais un nombre entier. »

22

La propriété suivante est‑elle vraie ?
« Pour tous réels $x$ et $y$, $|x+y|=|x|+|y|$. »

23

Montrer que la fonction $f:x\mapsto x^2-3x$, définie sur $\mathbb{R}$, n'est ni paire, ni impaire.

24

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On suppose qu'il existe un réel $x$ tel que $f^{\prime }(x)=0$.
Peut‑on affirmer que $f$ admet un minimum local ou un maximum local ? Justifier.

25

L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Toute fonction continue sur $\mathbb{R}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. »

26

Les affirmations suivantes sont‑elles vraies ?

${\mathrm{P}}_1$ : « Deux rectangles de même périmètre ont même aire. »

${\mathrm{P}}_2$ : « Il est impossible que l'aire d'un rectangle soit égale à son périmètre. »

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L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« On considère deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ qui n'admettent pas de limite en l'infini. Alors, la suite $\left(u_n{v}_n\right)$ n'admet pas non plus de limite en l'infini. »

28

L'affirmation suivante est‑elle vraie ? Justifier.
« Pour tout $n\in \mathbb{N}$, le nombre $n^2+n+41$ est premier. »